2025版一輪高考總復習數(shù)學第十章　重難專攻(十二)　概率與統(tǒng)計的綜合問題

重難專攻（十二）概率與統(tǒng)計的綜合問題概率與統(tǒng)計的綜合問題是命制生活實踐情境類試題的最佳切入點，所考查內(nèi)容涉及數(shù)據(jù)分析、數(shù)學建模、數(shù)學運算、邏輯推理等核心素養(yǎng)，是近幾年高考追逐的熱點之一，處理此類問題的關(guān)鍵是把握概率、統(tǒng)計的本質(zhì)，合理構(gòu)造模型，正確進行數(shù)學運算和必要的邏輯推理.統(tǒng)計圖表與概率的綜合問題【例1】某校為了落實“雙減”政策，安排了25名教師參與課后服務工作，在某個星期內(nèi)，他們參與課后服務的次數(shù)統(tǒng)計如圖所示.（1）求這25名教師在該星期參與課后服務的平均次數(shù)；（2）從這25名教師中任選2人，設(shè)這2人在該星期參與課后服務的次數(shù)之差的絕對值為X，求X的分布列與數(shù)學期望.解題技法統(tǒng)計圖表與概率綜合問題的求解策略（1）正確識讀統(tǒng)計圖表，從圖表中提取有效信息及樣本數(shù)據(jù)；（2）根據(jù)統(tǒng)計原理即用樣本數(shù)字特征估計總體的思想，結(jié)合樣本中各統(tǒng)計量之間的關(guān)系構(gòu)造數(shù)學模型（函數(shù)模型、不等式模型、二項分布模型、超幾何分布模型或正態(tài)分布模型等）；（3）正確進行運算，求出樣本數(shù)據(jù)中能夠說明問題的特征值，從而用此數(shù)據(jù)估計總體或作出科學的決策與判斷.（2022·新高考Ⅱ卷19題）在某地區(qū)進行流行病學調(diào)查，隨機調(diào)查了100位某種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：（1）估計該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；（2）估計該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間[20，70）的概率；（3）已知該地區(qū)這種疾病的患病率為0.1%，該地區(qū)年齡位于區(qū)間[40，50）的人口占該地區(qū)總?cè)丝诘?6%.從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間[40，50），求此人患這種疾病的概率（以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率，精確到0.0001）.回歸分析與概率的綜合問題【例2】（2024·煙臺一模）當下，大量的青少年沉迷于各種網(wǎng)絡游戲，極大地毒害了青少年的身心健康.為了引導青少年抵制不良游戲，適度參與益腦游戲，某游戲公司開發(fā)了一款益腦游戲，在內(nèi)測時收集了玩家對每一關(guān)的平均過關(guān)時間，如下表：關(guān)卡x123456平均過關(guān)時間y（單位：秒）5078124121137352計算得到一些統(tǒng)計量的值為：∑i=16ui＝28.5，∑i=16xiui＝106.05，其中（1）若用模型y＝aebx擬合y與x的關(guān)系，根據(jù)提供的數(shù)據(jù)，求出y與x的經(jīng)驗回歸方程；（2）制定游戲規(guī)則如下：玩家在每關(guān)的平均過關(guān)時間內(nèi)通過可獲得積分2分并進入下一關(guān)，否則獲得－1分且該輪游戲結(jié)束.甲通過練習，前3關(guān)都能在平均時間內(nèi)過關(guān)，后面3關(guān)能在平均時間內(nèi)通過的概率均為45，若甲玩一輪此款益腦游戲，求“甲獲得的積分X”的分布列和數(shù)學期望參考公式：對于一組數(shù)據(jù)（xi，yi）（i＝1，2，3，…，n），其經(jīng)驗回歸直線y＝bx＋a的斜率和截距的最小二乘估計分別為b＝∑i=1nxiyi解題技法回歸分析與概率綜合問題的解題思路（1）此類問題的特點為：同一生活實踐情境下設(shè)計兩類問題，即：①求經(jīng)驗回歸方程（預測）；②求某隨機變量的概率（范圍）、均值、方差等；（2）充分利用題目中提供的成對樣本數(shù)據(jù)（散點圖）做出判斷，確定是線性問題還是非線性問題.求解時要充分利用已知數(shù)據(jù)，合理利用變形公式，以達到快速準確運算的目的；（3）明確所求問題所屬事件的類型，準確構(gòu)建概率模型.近年來，我國大學生畢業(yè)人數(shù)呈逐年上升趨勢，各省市出臺優(yōu)惠政策鼓勵高校畢業(yè)生自主創(chuàng)業(yè)，以創(chuàng)業(yè)帶動就業(yè).某市統(tǒng)計了該市其中四所大學2023年畢業(yè)生人數(shù)及自主創(chuàng)業(yè)人數(shù)（單位：千人），得到下表：A大學B大學C大學D大學2023年畢業(yè)生人數(shù)x/千人3456自主創(chuàng)業(yè)人數(shù)y/千人0.10.20.40.5（1）已知y與x具有較強的線性相關(guān)關(guān)系，求y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程y＝a＋bx；（2）假設(shè)該市政府對選擇自主創(chuàng)業(yè)的大學生每人發(fā)放1萬元的創(chuàng)業(yè)補貼.①若該市E大學2023年畢業(yè)生人數(shù)為7千人，根據(jù)（1）的結(jié)論估計該市政府要給E大學選擇自主創(chuàng)業(yè)的畢業(yè)生發(fā)放創(chuàng)業(yè)補貼的總金額；②若A大學的畢業(yè)生中小明、小紅選擇自主創(chuàng)業(yè)的概率分別為p，2p－1（12＜p＜1），該市政府對小明、小紅兩人的自主創(chuàng)業(yè)的補貼總金額的期望不超過1.4萬元，求p的取值范圍參考公式及參考數(shù)據(jù)：b＝∑i=1nxiyi－nxy∑i=1nx獨立性檢驗與概率的綜合問題【例3】（2023·全國甲卷19題）一項試驗旨在研究臭氧效應，試驗方案如下：選40只小白鼠，隨機地將其中20只分配到試驗組，另外20只分配到對照組，試驗組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境，對照組的小白鼠飼養(yǎng)在正常環(huán)境，一段時間后統(tǒng)計每只小白鼠體重的增加量（單位：g）.（1）設(shè)X表示指定的兩只小白鼠中分配到對照組的只數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望；（2）試驗結(jié)果如下：對照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為：15.218.820.221.322.523.225.826.527.530.132.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2試驗組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為：7.809.2011.412.413.215.516.518.018.819.219.820.221.622.823.623.925.128.232.336.5①求40只小白鼠體重的增加量的中位數(shù)m，再分別統(tǒng)計兩樣本中小于m與不小于m的數(shù)據(jù)的個數(shù)，完成如下列聯(lián)表：＜m≥m對照組試驗組②根據(jù)①中的列聯(lián)表，能否有95%的把握認為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與在正常環(huán)境中體重的增加量有差異？附：K2＝n（P（K2≥k）0.1000.0500.010k2.7063.8416.635解題技法獨立性檢驗與概率綜合問題的解題思路本類題目以生活題材為背景，涉及獨立性檢驗及概率問題的綜合，解決該類問題首先收集數(shù)據(jù)列出2×2列聯(lián)表，并按照公式求得χ2的值后進行比較，其次再按照隨機變量滿足的概率模型求解.某種疾病可分為A，B兩種類型.為了解患該疾病的類型與患者性別是否相關(guān)，在某地區(qū)隨機抽取了若干名該疾病的患者進行調(diào)查，發(fā)現(xiàn)女性患者總?cè)藬?shù)是男性患者總?cè)藬?shù)的2倍，男性患A型疾病的人數(shù)占男性患者總?cè)藬?shù)的56，女性患A型疾病的人數(shù)占女性患者總?cè)藬?shù)的1（1）若本次調(diào)查得出“依據(jù)小概率值α＝0.005的χ2獨立性檢驗，認為所患疾病類型與性別有關(guān)”的結(jié)論，求被調(diào)查的男性患者至少有多少人；（2）某團隊進行預防A型疾病的疫苗的研發(fā)試驗，試驗