2025版一輪高考總復習數(shù)學第五章　數(shù)列教考銜接5⇒高考與數(shù)列中的創(chuàng)新試題

高考與數(shù)列中的創(chuàng)新試題真題展示【例】（1）（2022·新高考Ⅱ卷3題）圖①是中國古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)，AA'，BB'，CC'，DD'是桁，相鄰桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉.圖②是某古代建筑屋頂截面的示意圖，其中DD1，CC1，BB1，AA1是舉，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為DD1OD1＝0.5，CC1DC1＝k1，BB1CB1＝k2，AA1BA1＝k3.已知k1，kA.0.75 B.0.8C.0.85 D.0.9（2）（2020·全國Ⅱ卷12題）0－1周期序列在通信技術中有著重要應用.若序列a1a2…an…滿足ai∈{0，1}（i＝1，2，…），且存在正整數(shù)m，使得ai＋m＝ai（i＝1，2，…）成立，則稱其為0－1周期序列，并稱滿足ai＋m＝ai（i＝1，2，…）的最小正整數(shù)m為這個序列的周期.對于周期為m的0－1序列a1a2…an…，C（k）＝1m∑i=1maiai＋k（k＝1，2，…，m－1）是描述其性質(zhì)的重要指標.下列周期為5的0－1序列中，滿足C（k）≤15（k＝1，2，3，A.11010… B.11011…C.10001… D.11001…聽課記錄真題溯源與考法探究1.（選擇性必修第二冊第55頁4（2）題）我國古代數(shù)學名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈.”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有盞燈.2.（選擇性必修第二冊第10頁閱讀與思考）如果1對兔子每月能生1對小兔子（一雄一雌），而每1對小兔子在它出生后的第3個月里，又能生1對小兔子，假定在不發(fā)生死亡的情況下，由1對初生的小兔子開始，50個月后會有多少對兔子？如果用Fn表示第n個月的兔子的總對數(shù)，可以看出，F(xiàn)n＝Fn－1＋Fn－2（n＞2）.這是一個由遞推公式給出的數(shù)列，稱為斐波那契數(shù)列.由高考真題與教材原題可以看出，隨著高考改革的不斷深入，高考也由單純的知識考查轉(zhuǎn)變?yōu)槟芰?、素養(yǎng)的全面考查，數(shù)列中的創(chuàng)新試題因其情境設置新穎，考查角度靈活等特點，不僅體現(xiàn)了新課程標準的考查要求，更突出了對學生數(shù)學思維、探索能力的考查，對于全面促進“教—考—學”的改革起到了關鍵作用.數(shù)列創(chuàng)新試題的常見類型類型1數(shù)列中的數(shù)學文化試題1.數(shù)學文化中的遞推數(shù)列問題【例1】九連環(huán)是我國古代流傳至今的一種益智游戲，它由九個鐵絲圓環(huán)相連成串，按一定規(guī)則移動圓環(huán)，移動圓環(huán)的次數(shù)決定解開圓環(huán)的個數(shù).在某種玩法中，推廣到m連環(huán)，用an表示解下n（n≤m）個圓環(huán)所需的最少移動次數(shù)，若數(shù)列{an}滿足：a1＝1，且an＝2an－1－1，n為偶數(shù)，2an－1+2，n為奇數(shù)，聽課記錄反思感悟以數(shù)學文化為背景的已知遞推公式的數(shù)列問題的求解關鍵是耐心讀題、仔細理解題意，只有弄清題意，才能將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型進行解答，“盯緊”題目條件中的遞推公式，利用遞推公式往要求的量轉(zhuǎn)化.2.數(shù)學文化中的周期數(shù)列問題【例2】意大利數(shù)學家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖為例，引入“兔子數(shù)列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，即F（1）＝F（2）＝1，F(xiàn)（n）＝F（n－1）＋F（n－2）（n≥3，n∈N*），此數(shù)列在現(xiàn)代物理“準晶體結(jié)構(gòu)”、化學等領域都有著廣泛的應用.若此數(shù)列的各項除以3的余數(shù)構(gòu)成一個新數(shù)列{an}，則數(shù)列{an}的前2024項的和為.聽課記錄反思感悟以數(shù)學文化為背景的周期數(shù)列問題的求解關鍵是仔細審題，建立數(shù)學模型，并會適時脫去背景，如本例實質(zhì)是利用斐波那契數(shù)列的各項除以3的余數(shù)的特征，得出新數(shù)列的周期性，進而求出結(jié)果.3.數(shù)學文化中的等差、等比數(shù)列問題【例3】（2021·新高考Ⅰ卷16題）某校學生在研究民間剪紙藝術時，發(fā)現(xiàn)剪紙時經(jīng)常會沿紙的某條對稱軸把紙對折.規(guī)格為20dm×12dm的長方形紙，對折1次共可以得到10dm×12dm，20dm×6dm兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和S1＝240dm2，對折2次共可以得到5dm×12dm，10dm×6dm，20dm×3dm三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和S2＝180dm2，以此類推.則對折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為；如果對折n次，那么∑k=1nSk＝聽課記錄反思感悟以數(shù)學文化為背景的等差、等比數(shù)列問題的求解關鍵是：（1）會脫去數(shù)學文化的背景，讀懂題意；（2）構(gòu)建模型，即由題意構(gòu)建等差、等比數(shù)列模型；（3）解模，即把文字語言轉(zhuǎn)化為求等差、等比數(shù)列的相關問題，如求指定項、公差（公比）或項數(shù)、通項公式或前n項和等.類型2數(shù)列中的新定義試題1.定義數(shù)列的“新概念”【例4】（多選）在數(shù)列{an}中，若an2－an－12＝p（n≥2，n∈N*，p為常數(shù)），則稱{an}A.若{an}是等差數(shù)列，則{an2B.數(shù)列{（－1）n}是等方差數(shù)列C.若數(shù)列{an}既是等方差數(shù)列，又是等差數(shù)列，則數(shù)列{an}一定是常數(shù)列D.若數(shù)列{an}是等方差數(shù)列，則數(shù)列{akn}（k∈N*，k為常數(shù)）也是等方差數(shù)列聽課記錄反思感悟?qū)τ凇靶赂拍睢鳖惖臄?shù)列問題，求解關鍵是要讀懂“新概念”的本質(zhì)含義，剝?nèi)ァ靶赂拍睢钡耐庖?，將其轉(zhuǎn)化成等差、等比等我們熟悉的數(shù)列知識解決.2.定義數(shù)列的“新性質(zhì)、新運算”【例5】（1）（2024·襄陽模擬）在一個數(shù)列中，如果對?n∈N*，都有anan＋1an＋2＝k（k為常數(shù)），那么這個數(shù)列叫做等積數(shù)列，k叫做這個數(shù)列的公積.已知數(shù)列{an}是等積數(shù)列，且a1＝1，a2＝2，公積為8，則a1＋a2＋a3＋…＋a12＝；（2）定義：若數(shù)列{an}對任意的正整數(shù)n，都有｜an＋1｜＋｜an｜＝d（d為常數(shù)），則稱{an}為“絕對和數(shù)列”，d叫做“絕對公和”.已知“絕對和數(shù)列”{an}中，a1＝2，絕對公和為3，則其前2024項的和S2024的最小值為.聽課記錄反思感悟解決數(shù)列“新性質(zhì)、新運算”問題的一般流程（1）理解“新性質(zhì)、新運算”的含義；（2）特殊分析，比如先對n＝1，2，3，…的情況進行討論；（3）通過特殊情況尋找“新性質(zhì)、新運算”數(shù)列的規(guī)律及性質(zhì)，通過類比已知數(shù)列（如等差或等比數(shù)列），仔細觀察，探求規(guī)律，注重轉(zhuǎn)化，合理設計解題方案；（4）聯(lián)系等差數(shù)列與等比數(shù)列知識將“新性質(zhì)、新運算”數(shù)列問題轉(zhuǎn)化為熟悉的知識進行求解.高考還可這樣考1.十二平均律是我國明代音樂理論家和數(shù)學家朱載堉發(fā)明的.明萬歷十二年（公元1584年），他寫成《律學新說》，提出了十二平均律的理論，這一成果被意大利傳教士利瑪竇通過絲綢之路帶到了西方，對西方音樂產(chǎn)生了深遠的影響.十二平均律的數(shù)學意義是在1和2之間插入11個正數(shù)，使包含1和2的這13個數(shù)依次成遞增的等比數(shù)列.依此規(guī)則，插入的第四個數(shù)應為（）A.2413 B.C.2142.滿足a1＝a2＝1，an＝an－1＋an－2（n≥3）的數(shù)列{an}稱為斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割數(shù)列.依次以斐波那契數(shù)列{an}各項為邊長作正方形，在每個正方形中取半徑為該正方形邊長、圓心角為90°的圓弧，依次連接圓弧端點所成的曲線被稱為斐波那契螺旋線（也稱“黃金螺旋線”）.如圖，圓心角為90°的扇形OAB中的曲線是斐波那契螺旋線的一段，則陰影部分面積與扇形OAB面積的比值為（）A.38 B.1C.58 D.3.已知點列{Pn}中的所有點都在△ABC內(nèi)部，△ABPn的面積與△ACPn的面積比值為13.在數(shù)列{an}中，a1＝1，若?n∈N*且n≥2，APn＝3anAB＋（4an－1＋3）AC恒成立，那么a4＝（A.15 B.31C.63