2024-2025學(xué)年高一【數(shù)學(xué)(人教A版)】三角函數(shù)的概念-教學(xué)設(shè)計

課程基本信息課例編號學(xué)科數(shù)學(xué)年級高一學(xué)期上課題三角函數(shù)的概念教科書教學(xué)人員姓名單位授課教師指導(dǎo)教師教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)：1.初步理解借助單位圓上點的坐標(biāo)定義三角函數(shù)，理解任意角的三角函數(shù)的概念；2.在三角函數(shù)定義的過程中進(jìn)一步認(rèn)知函數(shù)的本質(zhì)，體會數(shù)形結(jié)合思想方法的作用；3.經(jīng)歷三角函數(shù)概念的抽象過程，提升學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).教學(xué)重點：任意角的三角函數(shù)概念.教學(xué)難點：用單位圓上點的坐標(biāo)定義三角函數(shù).教學(xué)過程時間教學(xué)環(huán)節(jié)主要師生活動創(chuàng)設(shè)情景，導(dǎo)入新課問題引入：在客觀世界中存在大量循環(huán)往復(fù)、周而復(fù)始的周期現(xiàn)象，比如日出日落、鐘擺運動等，勻速圓周運動是這類現(xiàn)象的代表，在前面的學(xué)習(xí)中我們已經(jīng)知道函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型，那么勻速圓周運動的運動規(guī)律該用什么函數(shù)模型刻畫呢？如右圖所示,圓上的點以為起點做逆時針旋轉(zhuǎn),在把角的范圍推廣到任意角后，我們可以借助角的大小變化刻畫點的位置變化.根據(jù)弧度制的定義，角的大小與圓的半徑無關(guān)，我們能否建立一個函數(shù)模型，刻畫點的位置變化情況?【設(shè)計意圖】開門見山引出研究內(nèi)容、過程與研究方法，指明點隨著角度的變化而變化，明確構(gòu)建函數(shù)模型的目標(biāo)，讓學(xué)生初步了解本節(jié)課學(xué)習(xí)的方向，為具體研究指明方向.引導(dǎo)探究，形成新知分析要解決這個問題，我們需要什么工具？①建立函數(shù)模型,要利用直角坐標(biāo)系.②根據(jù)任意角的定義，需要借助單位圓.如圖，以單位圓的圓心為坐標(biāo)原點，以射線為軸的非負(fù)半軸，建立直角坐標(biāo)系，點的坐標(biāo)是，點的坐標(biāo)是.把該問題抽象為一個質(zhì)點從點開始在單位圓上的運動.問題1：這個運動過程中的有哪些變量，判斷它們之間是否具有函數(shù)關(guān)系.如果有，能否寫出函數(shù)解析式？（1）點在單位圓上運動過程中涉及的變量有：點的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)，弧長，旋轉(zhuǎn)角度；（2）判斷變量：間的哪兩個變量能否構(gòu)成函數(shù)關(guān)系？過過點作軸于,根據(jù)勾股定理可知，即，顯然變量、間的對應(yīng)關(guān)系不符合函數(shù)定義.在弧度制學(xué)習(xí)中我們已經(jīng)知道變量之間的關(guān)系，并且變量與的關(guān)系和與的關(guān)系等價，所以我們研究變量與的關(guān)系.問題2:若角終邊與單位圓交于點，如何求點的坐標(biāo)呢？追問1：當(dāng)我們遇到一般性問題應(yīng)該如何研究？特殊化：不妨設(shè)，此時點在第一象限,構(gòu)造直角三角形，過點向軸引垂線交軸于,中,可得,,即,,所以點的坐標(biāo)為.追問2:當(dāng)時，點的坐標(biāo)是什么？同樣,當(dāng)時，點在第二象限,可得,,所以點的坐標(biāo)為.追問3：任意給定一個角，點的坐標(biāo)唯一確定嗎？因為單位圓的半徑不變，點的坐標(biāo)只與角的大小有關(guān)，當(dāng)角確定時，點的坐標(biāo)是也唯一確定.追問4：在展示的運動變化的過程中，觀察角的終邊與單位圓的交點的坐標(biāo)，有什么發(fā)現(xiàn)？能否運用函數(shù)的語言刻畫這種對應(yīng)關(guān)系呢？對任意一個實數(shù)，它的終邊與單位圓的交點的橫、縱坐標(biāo)、都是唯一確定的，有如下對應(yīng)關(guān)系：任意角(弧度)→唯一實數(shù)；①任意角(弧度)→唯一實數(shù)．②一般地，任意給定一個角，它的終邊與單位圓交點的坐標(biāo)，無論是橫坐標(biāo)，還是縱坐標(biāo)，都是唯一確定的.所以，點的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都是角的函數(shù).【設(shè)計意圖】以函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系為指向，使學(xué)生確認(rèn)相應(yīng)的對應(yīng)關(guān)系滿足函數(shù)的定義，角的終邊與單位圓的交點的橫、縱坐標(biāo)都是圓心角(弧度)的函數(shù)，為引出三角函數(shù)的定義做好鋪墊.下面給出這些函數(shù)的定義：如圖，設(shè)是一個任意角，，它的終邊與單位圓相交于點，那么把點的縱坐標(biāo)叫做的正弦函數(shù)，記做，即；把點的橫坐標(biāo)叫做的余弦函數(shù)，記做，即；把點的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的比值叫做的正切函數(shù)，記做，即.問題3:正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系各是什么？實數(shù)(弧度)對應(yīng)于點的縱坐標(biāo)→正弦函數(shù)；實數(shù)(弧度)對應(yīng)于點的橫坐標(biāo)→余弦函數(shù)；當(dāng)點的橫坐標(biāo)為0時，角的終邊在軸上，此時，所以無意義.因此，對于確定的角，的值也是唯一確定的，所以也是以角為自變量，以單位圓上點的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的比值為函數(shù)，稱為正切函數(shù).實數(shù)(弧度)對應(yīng)于點的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)之比→正切函數(shù).追問1:任意角三角函數(shù)的定義是否符合高中函數(shù)的定義呢？正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以單位圓上點的坐標(biāo)或者坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù).由于角的集合與實數(shù)集之間可以建立一一對應(yīng)關(guān)系，所以三角函數(shù)可以看成是自變量為實數(shù)的函數(shù).按照函數(shù)的定義與常用的符號，我們通常將它們記為正弦函數(shù)：；余弦函數(shù)：；正切函數(shù)：.將正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù).追問2：任意角三角函數(shù)的定義域分別是什么呢?很明顯，正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的定義域都是實數(shù)集，即，對于正切函數(shù)而言，要求點的橫坐標(biāo)，即角的終邊不能位于軸上，那么正切函數(shù)的定義域為.追問3：這個定義相對于銳角三角函數(shù)的定義有什么不同呢?任意角的三角函數(shù)是通過角與單位圓交點的坐標(biāo)定義的，銳角三角函數(shù)是通過直角三角形邊長的比值定義的，在單位圓中直角三角形斜邊為1，所以銳角三角函數(shù)也可用角的終邊與單位圓交點的坐標(biāo)定義，此時終邊上的點都在第一象限，因此銳角三角函數(shù)值都是正數(shù)，而任意角的三角函數(shù)值可以是負(fù)數(shù).追問4：“任意角的三角函數(shù)”與“銳角三角函數(shù)”這兩個概念有什么異同?銳角三角函數(shù)的自變量是銳角，應(yīng)理解為；；.【設(shè)計意圖】引導(dǎo)學(xué)生將任意角三角函數(shù)納入到函數(shù)中，豐富學(xué)生對三角函數(shù)的認(rèn)知，另外，注意任意角為軸線角的特殊情況，讓學(xué)生更全面地認(rèn)識任意角的三角函數(shù)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性.理解概念，運用新知例1求的正弦、余弦和正切值.解：在直角坐標(biāo)系中，作，此時的終邊與單位圓的交點的坐標(biāo)為，所以【設(shè)計意圖】通過概念的簡單應(yīng)用，明確用定義求三角函數(shù)值的基本步驟，進(jìn)一步理解定義的內(nèi)涵.例2如圖，設(shè)是一個任意角，它的終邊上任意一點（不與原點重合）的坐標(biāo)為，點與原點的距離為.求證：，，引導(dǎo)學(xué)生分析問題：①你能根據(jù)三角函數(shù)的定義作圖表示和嗎？②在你所作的圖形中，，，表示什么？你能找到它們與任意角的三角函數(shù)的關(guān)系嗎？解：設(shè)角的終邊與單位圓交于點，分別過點作軸的垂線，垂足分別為，則，.所以得到,即.因為與同號，所以，即.同理可證：，.【設(shè)計意圖】通過問題引導(dǎo)，使學(xué)生找到、，并利用它們的相似關(guān)系，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到證明.追問：例2實際上給出了任意角的三角函數(shù)的另外一種定義，而且這種定義與已有的定義是等價的，能否用嚴(yán)格的的數(shù)學(xué)語言敘述這個定義嗎？一般地，對于任意角，角終邊上的任意一點的坐標(biāo)為，它到原點的距離為，那么，，.顯然任意角的三角函數(shù)值不會隨點的位置的變化而變化.應(yīng)用新知，總結(jié)提升任意角三角函數(shù)的概念是三角函數(shù)知識的基礎(chǔ)，我們以后要學(xué)習(xí)的有關(guān)三角函數(shù)其他知識都建立在我們對三角函數(shù)的概念的理解與認(rèn)識上，所以同學(xué)們一定要認(rèn)真學(xué)習(xí)和體會今天所學(xué)的知識.三角函數(shù)是如何定義的？我們除了學(xué)習(xí)單位圓定義，還有什么定義方法？①單位圓定義法:建立直角坐標(biāo)系，使角的頂點與坐標(biāo)原點重合，終邊與單位圓的交點為，即可由點坐標(biāo)得到三角函數(shù)定義.正弦函數(shù)：;余弦函數(shù)：;正切函數(shù)：.②終邊定義法:建立直角坐標(biāo)系，對于任意角，角終邊上的任意一點的坐標(biāo)為，它到原點的距離