重慶市清華中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期12月檢測（期中）數(shù)學(xué)試題（含答案）

1PAGE第10頁重慶市清華中學(xué)校高2026屆高二上期12月檢測數(shù)學(xué)試題（滿分：150分時間：120分鐘）一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.2.圓心為點，半徑的平方為5的圓的一般方程為（）A. B.C. D.3.與雙曲線有相同離心率和相同漸近線的雙曲線方程是（）A. B. C. D.4.橢圓的左、右焦點分別記為，過左焦點的直線交橢圓于A、B兩點.若弦長|AB|的最小值為3，且的周長為8，則橢圓的焦距等于（）A.1 B.2 C. D.5.下列說法錯誤的是（）A.若空間中點滿足，則三點共線B.空間中的三個向量，若有兩個向量共線，則這三個向量一定共面C.，若，則與的夾角為銳角D.對空間任意一點和不共線三點，若，則共面6.已知雙曲線，過點的直線與雙曲線交于兩點，若線段的中點是，則雙曲線的離心率為（）A. B. C.2 D.37.已知直線與圓，點在直線上，過點作圓切線，切點分別為，當(dāng)取最小值時，則的最小值為（）A. B. C. D.8.從橢圓外一點Px0,y0向橢圓引兩條切線，切點分別為，則直線稱作點關(guān)于橢圓極線，其方程為，現(xiàn)有如圖所示的兩個橢圓，離心率分別為內(nèi)含于，橢圓上的任意一點關(guān)于的極線為，若原點到直線的距離為1，則的最大值為（）A. B. C. D.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知橢圓，則橢圓（）A.焦點在軸上 B.長軸長為10 C.短軸長為4 D.離心率為10.在正方體中，點為平面內(nèi)一動點，是點到平面的距離，是點到直線的距離，且（為常數(shù)），則點的軌跡可能是（）A.圓 B.橢圓 C.雙曲線 D.拋物線11.已知點為橢圓（）的左焦點，過原點的直線交橢圓于，兩點，點是橢圓上異于，的一點，直線，分別為，，橢圓的離心率為，若，，則（）A. B. C. D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若拋物線上的點到焦點的距離為9，則它到軸的距離是______．13.畫法幾何學(xué)的創(chuàng)始人——法國數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日發(fā)現(xiàn)：與橢圓相切的兩條垂直切線的交點的軌跡是以橢圓中心為圓心的圓，我們通常把這個圓稱為該橢圓的蒙日圓.已知橢圓的蒙日圓方程為.若圓與橢圓的蒙日圓有且僅有一個公共點，則的值為______.14.已知棱長為的正方體內(nèi)有一內(nèi)切球，點在球的表面上運動，則的取值范圍為______________.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知為實數(shù)，設(shè)直線．（1）若，求的值；（2）若，求與的距離．16.如圖，在正方體中，分別為的中點．（1）求異面直線與的夾角的正弦值；（2）求點到線段距離．17.求下列曲線的方程（1）若圓與軸相切，且圓心為關(guān)于直線的對稱點，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）雙曲線的焦點在軸上，焦點為，焦距為，雙曲線的右焦點到一條漸近線的距離為，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（3）已知拋物線的頂點在坐標(biāo)原點O，對稱軸為軸，焦點為，拋物線上一點的橫坐標(biāo)為2，且，求拋物線的方程；18.如圖，在三棱柱中，底面是邊長為2的等邊三角形，在菱形中，，，平面平面，，分別是線段、的中點.（1）求證：平面；（2）若點為棱的中點，求點到平面的距離；（3）若點為線段上的動點（不包括端點），求銳二面角的余弦值的取值范圍.19.已知橢圓的左右焦點分別為，離心率，點分別是橢圓的右頂點和上頂點，的邊上的中線長為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點的直線交橢圓于兩點，若，求直線的方程；（3）直線過右焦點，且它們的斜率乘積為，設(shè)分別與橢圓交于點和．若分別是線段和的中點，求面積的最大值．重慶市清華中學(xué)校高2026屆高二上期12月檢測數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.【答案】D2.【答案】B3.【答案】C4.【答案】B5.【答案】C6.【答案】A7.【答案】C8.【答案】D二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.【答案】ABD10.【答案】BCD11.【答案】AC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.【答案】513.【答案】14.【答案】四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.【解析】【分析】（1）由，可得，從而可求出實數(shù)的值；（2）根據(jù)條件得到，進而求出滿足條件的實數(shù)的值，再利用平行線間的距離公式即可求解.【小問1詳解】因為，又，所以，解得.【小問2詳解】因為，又，所以，即，解得或，當(dāng)時，，此時，兩平行線間的距離為，當(dāng)時，，此時兩直線重合，不合題意，所以，兩平行線間的距離為.16.【解析】【分析】（1）由題意建立空間直角坐標(biāo)系，分別取異面直線的方向向量，利用夾角的余弦公式，再結(jié)合同角三角函數(shù)的平方式，可得答案；（2）根據(jù)（1）空間直角坐標(biāo)系，利用空間點到直線的距離公式直接求解即可.【小問1詳解】由題意，以為原點，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖：則，取，設(shè)異面直線與的夾角為，則，可得.小問2詳解】由（1）可知，取，直線的單位方向向量，點到線段的距離為.17.【解析】【分析】（1）先根據(jù)對稱得到圓心，圓與軸相切可知圓的半徑等于圓心縱坐標(biāo)的絕對值，即可求得結(jié)果；（2）根據(jù)焦距得到的值，再根據(jù)焦點到漸近線的距離得到的值，再根據(jù)得到的值，即可求出結(jié)果；（3）根據(jù)拋物線的性質(zhì)設(shè)出拋物線方程，已知拋物線上一點橫坐標(biāo)可得到該點的縱坐標(biāo)，再根據(jù)向量的數(shù)量積公式列出方程，可求得結(jié)果.【小問1詳解】設(shè)關(guān)于直線的對稱點，所以，直線斜率為，所以①，又因為中點在直線上，所以②，聯(lián)立①②可求得，即圓心為，又圓與軸相切，所以半徑，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；【小問2詳解】因為焦距為，所以，即，，設(shè)雙曲線方程為，右焦點為到其中一條漸近線（即）的距離為，根據(jù)點到直線距離公式，又，所以，解得，即，所以，所以雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為；【小問3詳解】因為拋物線的頂點在坐標(biāo)原點O，對稱軸為軸，拋物線上一點的橫坐標(biāo)為2，所以拋物線開口向右，設(shè)拋物線方程為，焦點，當(dāng)時，，不妨設(shè)點，所以，因為，所以，解得，所以拋物線方程為.18.【解析】【分析】（1）利用線面垂直、面面垂直的性質(zhì)定理與判定定理可證；（2）利用空間向量法求點到面的距離；（3）利用空間向量求出二面角的余弦值，再借助函數(shù)性質(zhì)求值域.【小問1詳解】連接，因為為等邊三角形，為中點，則，又因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，則平面，可得，由題設(shè)知四邊形為菱形，則，因為，分別為，中點，則，可得，且，，平面，所以平面.【小問2詳解】由題設(shè)知四邊形為菱形，且，所以為正三角形，又因為為中點，則，且平面平面，平面平面，平面，所以平面，由平面，平面，可得，，又因為為等邊三角形，為中點，所以，則以為坐標(biāo)原點，，，所在直線為，，軸，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，可得，，，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則，可得，所以點到平面的距離為.【小問3詳解】因為，設(shè)，，則，可得，，，即，可得，由（2）知：平面，即平面的一個法向量設(shè)平面的法向量，則，令，則，，可得；則，令，則，可得，因為，則，可得，所以銳二面角的余弦值的取值范圍為19.【解析】【分析】（1）根據(jù)的邊上中線為得，再聯(lián)立即可求解；（2）設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立直線與橢圓方程得，再由，即，最后代入即可求解；（3）設(shè)直線的方程為,則直線的方程為，分別與橢圓方程聯(lián)立，通過韋達定理求出中點的坐標(biāo)，觀察坐標(biāo)知，的中點坐標(biāo)在軸上，則整理后利用基本不等式即可得到面積的最值.【小問1詳解】由題意，因為，為直角三角形，所以.又，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2