數(shù)學(xué)知識導(dǎo)航：任意角的三角函數(shù)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精1.2任意角的三角函數(shù)知識梳理一、任意角的三角函數(shù)1。定義：設(shè)α是一個任意角，α的終邊上任意一點(diǎn)P的坐標(biāo)是（x,y），它與原點(diǎn)的距離是r(r=＞0),那么sinα=，cosα=,tanα=.2.在直角坐標(biāo)系中,以原點(diǎn)O為圓心，以單位長度為半徑的圓為單位圓.單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)定義任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù).如圖1-2—1，設(shè)α是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P（x,y)，那么圖1-2-1（1）y叫做α的正弦，記作sinα，即sinα=y；（2）x叫做α的余弦,記作cosα，即cos=x；（3）叫做α的正切,記做tanα，即tanα=(x≠0）.3。三角函數(shù)的定義：正弦、余弦、正切等以角為自變量，以單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)，統(tǒng)稱三角函數(shù).二、三角函數(shù)的定義域、值域函數(shù)定義域值域y=sinαR［—1，1］y=cosαR［-1,1]y=tanα{α｜α≠+kπ，k∈Z｝R三、三角函數(shù)的符號由三角函數(shù)的定義，以及各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的符號，可以得知:(1）正弦值對于第一、二象限為正（y＞0，r＞0)，對于第三、四象限為負(fù)（y＜0,r＞0）；（2)余弦值對于第一、四象限為正（x＞0，r＞0)，對于第二、三象限為負(fù)（x＜0，r＞0）；（3)正切值對于第一、三象限為正（x,y同號),對于第二、四象限為負(fù)（x，y異號）。四、誘導(dǎo)公式由三角函數(shù)的定義，就可知道:終邊相同的角三角函數(shù)值相同.即有sin（α+2kπ）=sinα,cos（α+2kπ）=cosα，tan(α+2kπ)=tanα,其中k∈Z。這組公式的作用是可把任意角的三角函數(shù)值問題轉(zhuǎn)化為0—2π間角的三角函數(shù)值問題.五、正弦線、余弦線、正切線1。有向線段：坐標(biāo)軸是規(guī)定了方向的直線,那么與之平行的線段亦可規(guī)定方向.規(guī)定:與坐標(biāo)軸軸方向一致時為正，與坐標(biāo)軸方向相反時為負(fù).2.三角函數(shù)線的定義：在單位圓中，設(shè)任意角α的頂點(diǎn)在原點(diǎn)O，始邊與x軸非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓相交于點(diǎn)P（x,y），過點(diǎn)P作x軸的垂線,垂足為M；過點(diǎn)A（1,0)作單位圓的切線，它與角α的終邊或其反向延長線交于點(diǎn)T。圖1—2-2由圖1-2-2看出：當(dāng)角α的終邊不在坐標(biāo)軸上時，有向線段OM=x,MP=y，于是有sinα=MP,cosα=OM,tanα=AT.我們就分別稱有向線段MP\，OM\,AT為正弦線、余弦線、正切線.六、同角的三角函數(shù)的基本關(guān)系1.平方關(guān)系：sin2α+cos2α=1.2。商數(shù)關(guān)系：=tanα。知識導(dǎo)學(xué)要學(xué)好本節(jié)內(nèi)容，可從復(fù)習(xí)初中學(xué)過：銳角三角函數(shù)就是以銳角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)入手。把這個定義推廣到任意角，通過單位圓和角的終邊，探討任意角的三角函數(shù)值的求法,最終得到任意角三角函數(shù)的定義。根據(jù)角終邊所在位置不同,分別探討各三角函數(shù)的定義域以及這三種函數(shù)的值在各象限的符號.最后主要是借助有向線段進(jìn)一步認(rèn)識三角函數(shù)。由圓的幾何性質(zhì)出發(fā),利用三角函數(shù)線，探究同一個角的不同三角函數(shù)之間的關(guān)系；學(xué)習(xí)已知一個三角函數(shù)值，求它的其余各三角函數(shù)值；利用同角三角函數(shù)關(guān)系式化簡三角函數(shù)式；利用同角三角函數(shù)關(guān)系式證明三角恒等式等.總結(jié)方法,通過做練習(xí),鞏固所學(xué)知識.疑難突破1.求任意角的三角函數(shù)值時應(yīng)注意的幾點(diǎn)。剖析：（1)以后在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)研究角的問題的,其頂點(diǎn)都在原點(diǎn)，始邊都與x軸的非負(fù)半軸重合。（2）α是任意角，射線OP是角α的終邊，α的各三角函數(shù)值與α繞x軸轉(zhuǎn)了幾圈，按什么方向旋轉(zhuǎn)到OP的位置無關(guān).（3）sinα是個整體符號，不能認(rèn)為是“sin”與“α"的積,其余五個符號也是這樣。(4）任意角的三角函數(shù)的定義與銳角三角函數(shù)的定義的聯(lián)系與區(qū)別:銳角三角函數(shù)是任意角三角函數(shù)的一種特例，它們的基礎(chǔ)建立于相似（直角）三角形的性質(zhì),“r”同為正值。所不同的是,銳角三角函數(shù)是以邊的比來定義的，任意角的三角函數(shù)是以坐標(biāo)與距離、坐標(biāo)與坐標(biāo)、距離與坐標(biāo)的比來定義的,它也適合銳角三角函數(shù)的定義.實(shí)質(zhì)上，由銳角三角函數(shù)的定義到任意角的三角函數(shù)的定義是由特殊到一般的認(rèn)識和研究過程.（5）為了便于記憶，可以利用兩種三角函數(shù)定義的一致性，將直角三角形置于平面直角坐標(biāo)系的第一象限，使一銳角頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，一直角邊與x軸的非負(fù)半軸重合，利用我們熟悉的銳角三角函數(shù)類比記憶。2.三角函數(shù)線的幾點(diǎn)說明.剖析：（1）三條有向線段的位置：正弦線為α的終邊與單位圓的交點(diǎn)到x軸的垂直線段；余弦線在x軸上；正切線在過單位圓與x軸正方向的交點(diǎn)的切線上，三條有向線段中兩條在單位圓內(nèi)，一條在單位圓外。(2）三條有向線段的方向:正弦線由垂足指向α的終邊與單位圓的交點(diǎn)；余弦線