數(shù)學(xué)知識(shí)導(dǎo)航單調(diào)性

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精1.3導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用1。3。1單調(diào)性知識(shí)梳理1。如果函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說(shuō)函數(shù)y=f（x）在這一區(qū)間具有（嚴(yán)格的)____________，這一區(qū)間叫做y=f(x）的____________，在____________上增函數(shù)的圖象是____________，減函數(shù)的圖象是下降的。2。設(shè)函數(shù)y=f(x）在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果____________,那么f（x）為增函數(shù)；如果____________，那么f（x）為減函數(shù)；如果在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有f′(x)=0，則f(x）為_(kāi)___________。知識(shí)導(dǎo)學(xué)要學(xué)好本節(jié)內(nèi)容，重要的是要掌握好怎樣利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，一般應(yīng)先確定函數(shù)的定義域，再求導(dǎo)數(shù)f′(x），通過(guò)判斷函數(shù)的定義域被導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)所劃分的各區(qū)間內(nèi)f′(x）的符號(hào)來(lái)確定函數(shù)f（x)在該區(qū)間上的單調(diào)性.疑難突破1。本節(jié)內(nèi)容的重點(diǎn)是利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)性，難點(diǎn)在于如何把握導(dǎo)數(shù)的符號(hào)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系.若y=f(x)在（a，b)內(nèi)對(duì)任何x，都有f′（x）＞0，則f（x）在（a，b）內(nèi)為增函數(shù)對(duì)嗎？反之成立嗎？剖析:對(duì),反之不成立.例如y=x3在x∈R上恒為增函數(shù),但f′(x)=3x2≥0.2.判斷函數(shù)y=f（x)在某一區(qū)間內(nèi)有f′（x）＞0〔或f′（x)＜0〕是函數(shù)y=f(x）在該區(qū)間上為增(或減）函數(shù)的什么條件?剖析：在某一區(qū)間內(nèi)f′(x）＞0〔或f′（x)＜0〕是函數(shù)y=f（x）在該區(qū)間上為增(或減)函數(shù)的充分條件.典題精講【例1】討論下列函數(shù)的單調(diào)性.（1）f（x）=ax—a—x（a＞0且a≠1）；（2)f（x）=(-1＜x＜1，b≠0)。思路分析：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，一般應(yīng)先確定函數(shù)的定義域，再求導(dǎo)數(shù)f′（x)，由函數(shù)定義域中導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)所劃分的各區(qū)間內(nèi)f′(x)的符號(hào)來(lái)確定f(x）在該區(qū)間的單調(diào)性，當(dāng)給定函數(shù)含有字母參數(shù)時(shí)，要運(yùn)用分類(lèi)討論的思想方法。解：（1)函數(shù)定義域?yàn)镽.f′(x)=axlna—a—x·lna·（—x）′=lna（ax+a—x）。當(dāng)a＞1時(shí)，lna＞0，ax+a—x＞0,∴f′(x)＞0。∴函數(shù)f（x）在(—∞，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，lna＜0，ax+a-x＞0，∴f′（x)＜0。∴函數(shù)f（x）在(—∞,+∞）上是減函數(shù).（2)函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，只需討論函數(shù)在（0，1）上的單調(diào)性。當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′(x)=b·.若b＞0，則f′（x）＜0，函數(shù)f（x）在(0，1)上是減函數(shù)；若b＜0,則f′（x)＞0,函數(shù)f(x)在（0，1）上是增函數(shù).又函數(shù)f（x）是奇函數(shù),而奇函數(shù)在對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上有相同的單調(diào)性,所以當(dāng)b＞0時(shí)，函數(shù)f(x)在(—1,1)上是減函數(shù)；當(dāng)b＜0時(shí)，函數(shù)f(x）在（—1，1)上是增函數(shù).綠色通道：在判斷含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，不僅要考慮到參數(shù)的取值范圍，而且要結(jié)合函數(shù)的定義域來(lái)確定f′(x）的符號(hào)，否則會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤判斷.明確利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的基本步驟：(1)確定函數(shù)f（x)的定義域；（2)求導(dǎo)數(shù)f′(x);(3）在函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)解不等式f′(x）＞0和f′（x)＜0；(4)確定f（x）的單調(diào)區(qū)間.變式訓(xùn)練:求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,并指出其單調(diào)性.（1)y=2x-lnx；（2）y=+cosx;(3）y=x3-x。思路分析：按判斷函數(shù)單調(diào)性的方法解之即可。解：(1）函數(shù)的定義域?yàn)?0,+∞),其導(dǎo)數(shù)f′(x)=.令＞0,解得x＞；令＜0,得0＜x＜.因此,（，+∞)為該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間,（0,）為該函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間.（2）函數(shù)的定義域?yàn)镽，f′(x)=—sinx。令-sinx＜0，解得2kπ+＜x＜2kπ+（k∈Z）；令—sinx＞0，解得2kπ—＜x＜2kπ+(k∈Z).因此f（x）在（2kπ+，2kπ+)(k∈Z)上為減函數(shù)，在(2kπ-,2kπ+)（k∈Z)上為增函數(shù).(3)函數(shù)的定義域?yàn)镽,令y′=3x2-1＞0，得x＜。令y′=3x2—1＜0，得,∴y=x3—x有三個(gè)單調(diào)區(qū)間。其中在(-∞,)和(，+∞)上是增函數(shù)，在(，）上為減函數(shù)?！纠?】已知x∈R，求證：ex≥x+1。思路分析：首先需構(gòu)造函數(shù)，對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)并判斷函數(shù)的單調(diào)性。證明：令f(x）=ex—x-1，∴f′（x)=ex—1.∵x∈R,∴ex-1≥0恒成立，即f′（x)≥0?！鄁（x）在x∈R上為增函數(shù).又∵f（0)=0，∴當(dāng)x∈R時(shí),f（x）≥f（0）,即ex-x-1≥0。∴ex≥x+1。綠色通道：這是一類(lèi)構(gòu)造函數(shù)再求導(dǎo)的題目，這種方法常用來(lái)證明不等式的成立.變式訓(xùn)練：證明不等式ln(1+x）＞x—x2(x＞0）。證明：令f（x)=ln（1+x）—x+x2，則f′(x)=。當(dāng)x＞—1時(shí)，f′(x）＞0，因此f(x）在(-1，+∞)內(nèi)為增函數(shù).于是當(dāng)x＞0時(shí)，f(x）＞f(0）=0?！喈?dāng)x＞0時(shí)，ln（1+x）＞x—x2.【例3】已知f（x)=x2+c,且f［f（x）］=f（x2+1）。（1）設(shè)g(x）=f［f(x)］，求g（x)的解析式；（2）設(shè)φ（x)=g（x）—λf（x）,試問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù)λ，使φ（x)在（-∞，-1）內(nèi)為減函數(shù)，且在（—1,0）內(nèi)是增函數(shù).思路分析：根據(jù)題設(shè)條件可以求出φ（x)的表達(dá)式,對(duì)于探索性問(wèn)題，一般先對(duì)結(jié)論作肯定存在的假設(shè)，然后由此肯定的假設(shè)出發(fā)，結(jié)合已知條件進(jìn)行推理論證，由推證結(jié)果是否出現(xiàn)矛盾來(lái)作出判斷。解題的過(guò)程實(shí)質(zhì)是一種轉(zhuǎn)化的過(guò)程，由于函數(shù)φ（x)是可導(dǎo)函數(shù),因此選擇好解題的突破口,要充分利用函數(shù)的單調(diào)性構(gòu)造等價(jià)的不等式，確定適合條件的參數(shù)λ的取值范圍,使問(wèn)題獲解.解：(1)由題意得f［f(x）］=f(x2+c）=(x2+c)2+c，f（x2+1）=（x2+1)2+c，∵f［f（x）］=f(x2+1）,∴(x2+c)2+c=（x2+1）2+c.∴x2+c=x2+1?！郼=1。∴f(x）=x2+1,g(x）=f[f(x）]=f（x2+1)=（x2+1）2+1.(2)φ(x）=g(x）—λf（x）=x4+（2—λ）x2+（2-λ)。若滿足條件的λ存在,則φ′(x)=4x3+2(2-λ)x?！吆瘮?shù)φ(x)在（—∞，-1）上是減函數(shù),∴當(dāng)x＜—1時(shí),φ′（x)＜0,即4x3+2(2—λ）x＜0對(duì)于x∈(—∞,-1)恒成立?！?（2-λ）＞—4x2?！選＜-1,∴—4x2＜-4?！?（2-λ)≥-4。解得λ≤4。又函數(shù)φ(x)在（—1,0）上是增函數(shù),∴當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，φ′（x）＞0,即4x2+2(2-λ）x＞0對(duì)x∈（-1,0)恒成立?！?（2—λ)＜-4x2?！?1＜x＜0?！?4＜4x2＜0.2（2-λ)≤—4，解得λ≥4，故當(dāng)λ=4時(shí),φ(x）在(-∞，-1）上是減函數(shù)，在（—1,0)上是增函數(shù),即滿足條件的λ存在。綠色通道：函數(shù)思維實(shí)際上是辯證思維的一種特殊表現(xiàn)形式,它包含著運(yùn)動(dòng)、變化，也就存在著量與量之間的相互依賴、相互制約的關(guān)系，因此挖掘題目中隱含條件則是打開(kāi)解題思路的重要鑰匙。具體到解題的過(guò)程，學(xué)生最大思維障礙是迷失方向,不知從何處入手去溝通已知與未知的關(guān)系，使分散的條件相對(duì)集中，促成問(wèn)題的解決,不善于應(yīng)用f(x)＜a恒成立［f（x）max］＜a和f(x)＞a恒成立[f(x)min］＞a。變式訓(xùn)練：當(dāng)x＞0時(shí),證明不等式ex＞1+x+x2成立.證明：設(shè)f（x）=ex—1-x-x2則f′（x）=ex—1-x.下面證明g(x）=ex—1-x在x＞0時(shí)恒為正?！遟′（x）=ex-1,當(dāng)x＞0時(shí),g′(x）=ex-1＞0，∴g(x)在(0，+∞)上為增函數(shù).當(dāng)x＞0時(shí),g(x)＞g（0)=0，即f′（x）在(0,+∞）上恒為正.∴f(x）在(0,+∞）上為增函數(shù)。又f（0)=e0-1—0—0=0，∴x＞0時(shí),f(x)＞f(0）=0?！鄀x-1—x—x2＞0,即x＞0時(shí)，ex＞1+x+x2成立。問(wèn)題探究問(wèn)題：研究函數(shù)單調(diào)性的必要條件是什么？導(dǎo)思：此問(wèn)題主要考查學(xué)生逆向思維能力，考慮問(wèn)題要全方位進(jìn)行，有利于培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力。探究：設(shè)函數(shù)y=f（x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果