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文檔簡介
2025屆新疆昌吉二中高三一診考試數(shù)學(xué)試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知等比數(shù)列的前項和為,若,且公比為2,則與的關(guān)系正確的是()A. B.C. D.2.已知向量與的夾角為,,,則()A. B.0 C.0或 D.3.已知向量,,若,則()A. B. C. D.4.已知實數(shù)x,y滿足約束條件,若的最大值為2,則實數(shù)k的值為()A.1 B. C.2 D.5.1777年,法國科學(xué)家蒲豐在宴請客人時,在地上鋪了一張白紙,上面畫著一條條等距離的平行線,而他給每個客人發(fā)許多等質(zhì)量的,長度等于相鄰兩平行線距離的一半的針,讓他們隨意投放.事后,蒲豐對針落地的位置進行統(tǒng)計,發(fā)現(xiàn)共投針2212枚,與直線相交的有704枚.根據(jù)這次統(tǒng)計數(shù)據(jù),若客人隨意向這張白紙上投放一根這樣的針,則針落地后與直線相交的概率約為()A. B. C. D.6.已知數(shù)列對任意的有成立,若,則等于()A. B. C. D.7.等差數(shù)列的前項和為,若,,則數(shù)列的公差為()A.-2 B.2 C.4 D.78.已知數(shù)列的前n項和為,,且對于任意,滿足,則()A. B. C. D.9.已知復(fù)數(shù)z1=3+4i,z2=a+i,且z1是實數(shù),則實數(shù)a等于()A. B. C.- D.-10.已知函數(shù),將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后,所得到的圖象關(guān)于軸對稱,則的最小值是()A. B. C. D.11.將函數(shù)圖象上每一點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍,再將圖像向左平移個單位長度,得到函數(shù)的圖象,則函數(shù)圖象的一個對稱中心為()A. B. C. D.12.已知,則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.雙曲線的焦距為__________,漸近線方程為________.14.已知,,且,若恒成立,則實數(shù)的取值范圍是____.15.已知兩個單位向量滿足,則向量與的夾角為_____________.16.已知橢圓的左焦點為,點在橢圓上且在軸的上方,若線段的中點在以原點為圓心,為半徑的圓上,則直線的斜率是_______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以坐標(biāo)原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求直線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)若射線與和分別交于點,求.18.(12分)已知函數(shù),其中,為自然對數(shù)的底數(shù).(1)當(dāng)時,求函數(shù)的極值;(2)設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為,求證:函數(shù)有且僅有一個零點.19.(12分)在直角坐標(biāo)系中,已知點,的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點為極點,軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求的普通方程和的直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè)曲線與曲線相交于,兩點,求的值.20.(12分)在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程是為參數(shù)),曲線的參數(shù)方程是為參數(shù)),以為極點,軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.(1)求直線和曲線的極坐標(biāo)方程;(2)已知射線與曲線交于兩點,射線與直線交于點,若的面積為1,求的值和弦長.21.(12分)已知.(1)求不等式的解集;(2)記的最小值為,且正實數(shù)滿足.證明:.22.(10分)在如圖所示的多面體中,平面平面,四邊形是邊長為2的菱形,四邊形為直角梯形,四邊形為平行四邊形,且,,(1)若分別為,的中點,求證:平面;(2)若,與平面所成角的正弦值,求二面角的余弦值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】
在等比數(shù)列中,由即可表示之間的關(guān)系.【詳解】由題可知,等比數(shù)列中,且公比為2,故故選:C【點睛】本題考查等比數(shù)列求和公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】
由數(shù)量積的定義表示出向量與的夾角為,再由,代入表達(dá)式中即可求出.【詳解】由向量與的夾角為,得,所以,又,,,,所以,解得.故選:B【點睛】本題主要考查向量數(shù)量積的運算和向量的模長平方等于向量的平方,考查學(xué)生的計算能力,屬于基礎(chǔ)題.3、A【解析】
利用平面向量平行的坐標(biāo)條件得到參數(shù)x的值.【詳解】由題意得,,,,解得.故選A.【點睛】本題考查向量平行定理,考查向量的坐標(biāo)運算,屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】
畫出約束條件的可行域,利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,求出最優(yōu)解,轉(zhuǎn)化求解即可.【詳解】可行域如圖中陰影部分所示,,,要使得z能取到最大值,則,當(dāng)時,x在點B處取得最大值,即,得;當(dāng)時,z在點C處取得最大值,即,得(舍去).故選:B.【點睛】本題考查由目標(biāo)函數(shù)最值求解參數(shù)值,數(shù)形結(jié)合思想,分類討論是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.5、D【解析】
根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù),求出頻率,用以估計概率.【詳解】.故選:D.【點睛】本題以數(shù)學(xué)文化為背景,考查利用頻率估計概率,屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】
觀察已知條件,對進行化簡,運用累加法和裂項法求出結(jié)果.【詳解】已知,則,所以有,,,,兩邊同時相加得,又因為,所以.故選:【點睛】本題考查了求數(shù)列某一項的值,運用了累加法和裂項法,遇到形如時就可以采用裂項法進行求和,需要掌握數(shù)列中的方法,并能熟練運用對應(yīng)方法求解.7、B【解析】
在等差數(shù)列中由等差數(shù)列公式與下標(biāo)和的性質(zhì)求得,再由等差數(shù)列通項公式求得公差.【詳解】在等差數(shù)列的前項和為,則則故選:B【點睛】本題考查等差數(shù)列中求由已知關(guān)系求公差,屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】
利用數(shù)列的遞推關(guān)系式判斷求解數(shù)列的通項公式,然后求解數(shù)列的和,判斷選項的正誤即可.【詳解】當(dāng)時,.所以數(shù)列從第2項起為等差數(shù)列,,所以,,.,,.故選:.【點睛】本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用、數(shù)列求和以及數(shù)列的通項公式的求法,考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力,是中檔題.9、A【解析】分析:計算,由z1,是實數(shù)得,從而得解.詳解:復(fù)數(shù)z1=3+4i,z2=a+i,.所以z1,是實數(shù),所以,即.故選A.點睛:本題主要考查了復(fù)數(shù)共軛的概念,屬于基礎(chǔ)題.10、A【解析】
化簡為,求出它的圖象向左平移個單位長度后的圖象的函數(shù)表達(dá)式,利用所得到的圖象關(guān)于軸對稱列方程即可求得,問題得解。【詳解】函數(shù)可化為:,將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后,得到函數(shù)的圖象,又所得到的圖象關(guān)于軸對稱,所以,解得:,即:,又,所以.故選:A.【點睛】本題主要考查了兩角和的正弦公式及三角函數(shù)圖象的平移、性質(zhì)等知識,考查轉(zhuǎn)化能力,屬于中檔題。11、D【解析】
根據(jù)函數(shù)圖象的變換規(guī)律可得到解析式,然后將四個選項代入逐一判斷即可.【詳解】解:圖象上每一點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍,得到再將圖像向左平移個單位長度,得到函數(shù)的圖象,故選:D【點睛】考查三角函數(shù)圖象的變換規(guī)律以及其有關(guān)性質(zhì),基礎(chǔ)題.12、C【解析】
利用誘導(dǎo)公式得,,再利用倍角公式,即可得答案.【詳解】由可得,∴,∴.故選:C.【點睛】本題考查誘導(dǎo)公式、倍角公式,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查邏輯推理能力和運算求解能力,求解時注意三角函數(shù)的符號.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、6【解析】由題得所以焦距,故第一個空填6.由題得漸近線方程為.故第二個空填.14、(-4,2)【解析】試題分析:因為當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,所以考點:基本不等式求最值15、【解析】
由得,即得解.【詳解】由題意可知,則.解得,所以,向量與的夾角為.故答案為:【點睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積的計算和夾角的計算,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.16、【解析】
結(jié)合圖形可以發(fā)現(xiàn),利用三角形中位線定理,將線段長度用坐標(biāo)表示成圓的方程,與橢圓方程聯(lián)立可進一步求解.利用焦半徑及三角形中位線定理,則更為簡潔.【詳解】方法1:由題意可知,由中位線定理可得,設(shè)可得,聯(lián)立方程可解得(舍),點在橢圓上且在軸的上方,求得,所以方法2:焦半徑公式應(yīng)用解析1:由題意可知,由中位線定理可得,即求得,所以.【點睛】本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓的幾何性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系,利用數(shù)形結(jié)合思想,是解答解析幾何問題的重要途徑.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1):;:.(2)【解析】
(1)由可得,由,消去參數(shù),可得直線的普通方程為.由可得,將,代入上式,可得,所以曲線的直角坐標(biāo)方程為.(2)由(1)得,的普通方程為,將其化為極坐標(biāo)方程可得,當(dāng)時,,,所以.18、見解析【解析】
(1)當(dāng)時,函數(shù),其定義域為,則,設(shè),,易知函數(shù)在上單調(diào)遞增,且,所以當(dāng)時,,即;當(dāng)時,,即,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以函數(shù)在處取得極小值,為,無極大值.(2)由題可得函數(shù)的定義域為,,設(shè),,顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增,當(dāng)時,,,所以函數(shù)在內(nèi)有一個零點,所以函數(shù)有且僅有一個零點;當(dāng)時,,,所以函數(shù)有且僅有一個零點,所以函數(shù)有且僅有一個零點;當(dāng)時,,,因為,所以,,又,所以函數(shù)在內(nèi)有一個零點,所以函數(shù)有且僅有一個零點.綜上,函數(shù)有且僅有一個零點.19、(1);(2)【解析】
(1)消去參數(shù)方程中的參數(shù),求得的普通方程,利用極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化公式,求得的直角坐標(biāo)方程.(2)求得曲線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程,代入的直角坐標(biāo)方程,寫出韋達(dá)定理,根據(jù)直線參數(shù)中參數(shù)的幾何意義,求得的值.【詳解】(1)由的參數(shù)方程(為參數(shù)),消去參數(shù)可得,由曲線的極坐標(biāo)方程為,得,所以的直角坐方程為,即.(2)因為在曲線上,故可設(shè)曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),代入化簡可得.設(shè),對應(yīng)的參數(shù)分別為,,則,,所以.【點睛】本小題主要考查參數(shù)方程化為普通方程,考查極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,考查利用利用和直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義進行計算,屬于中檔題.20、(1),;(2).【解析】
(1)先把直線和曲線的參數(shù)方程化成普通方程,再化成極坐標(biāo)方程;(2)聯(lián)立極坐標(biāo)方程,根據(jù)極徑的幾何意義可得,再由面積可解得極角,從而可得.【詳解】(1)直線的參數(shù)方程是為參數(shù)),消去參數(shù)得直角坐標(biāo)方程為:.轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo)方程為:,即.曲線的參數(shù)方程是(為參數(shù)),轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為:,化為一般式得化為極坐標(biāo)方程為:.
(2)由于,得,.所以,所以,由于,所以,所以.【點睛】本題主要考查參數(shù)方程與普通方程的互化、直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的互化,熟記公式即可,屬于??碱}型.21、(1)或;(2)見解析【解析】
(1)根據(jù),利用零點分段法解不等式,或作出函數(shù)的圖像,利用函數(shù)的圖像解不等式;(2)由(1)作出的函數(shù)圖像求出的最小值為,可知,代入中,然后給等式兩邊同乘以,再將寫成后,化簡變形,再用均值不等式可證明.【詳解】(1)解法一:1°時,,即,解得;2°時,,即,解得;3°時,,即,解得.綜上可得,不等式的解集為或.解法二:由作出圖象如下:由圖象可得不等式的解集為或.(2)由所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以,正實數(shù)滿足,則,即,(當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號)故,得證.【點睛】此題考查了絕對值不等式的解法,絕對值不等式的性質(zhì)和均值不等式的運用,考查了分類討論思想和轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.22、(1)見解析(2)【解析】試題分析:(1)第(1)問,轉(zhuǎn)化成證明平面,再轉(zhuǎn)化成證明和.(2)第(2)問,先利用幾何法找到與平面所成角,再根據(jù)與平面所成角的正弦值為求出再建立空間直角坐標(biāo)系,求出二面角的余弦值.試題解析:(1)連接,因為四邊形為菱形,所以.因為平面平面,平面平面,平面,,所以平面.又平面,所以.因為,所以.因為,所以平面.因為分別為,的中點,所以,所以平面(2)設(shè),由(1)得平面.由,,得,.過點作,與的延長線交于點,取的中點
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