高考數(shù)學(xué)第六章數(shù)列考點(diǎn)規(guī)范練29等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和

考點(diǎn)規(guī)范練29等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和基礎(chǔ)鞏固組1.(2018北京高考)“十二平均律”是通用的音律體系,明代朱載堉最早用數(shù)學(xué)方法計(jì)算出半音比例,為這個(gè)理論的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn).十二平均律將一個(gè)純八度音程分成十二份,依次得到十三個(gè)單音,從第二個(gè)單音起,每一個(gè)單音的頻率與它的前一個(gè)單音的頻率的比都等于122.若第一個(gè)單音的頻率為f,則第八個(gè)單音的頻率為(A.32f B.322f C答案D解析設(shè)第n個(gè)單音的頻率為an,由題意,anan-1=122(n≥2),所以{an}為等比數(shù)列,因?yàn)閍1=f,所以a8=a1×(2.已知{an}是等比數(shù)列,則“a2<a4”是“{an}是單調(diào)遞增數(shù)列”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件答案B解析在等比數(shù)列1,2,4,8,…中,滿足a2<a4,但{an}是單調(diào)遞增數(shù)列不成立,即充分性不成立,若{an}是單調(diào)遞增數(shù)列,則必有a2<a4,即必要性成立,則“a2<a4”是“{an}是單調(diào)遞增數(shù)列”的必要不充分條件.故選B.3.已知一個(gè)蜂巢里有1只蜜蜂,第1天,它飛出去找回了4個(gè)伙伴;第2天,5只蜜蜂飛出去,各自找回了4個(gè)伙伴,……按照這個(gè)規(guī)律繼續(xù)下去,第20天所有的蜜蜂都?xì)w巢后,蜂巢中一共有蜜蜂()A.420只 B.520只 C.520-5答案B解析由題意,可設(shè)蜂巢里的蜜蜂數(shù)為數(shù)列{an},則a1=1+4=5,a2=5×4+5=25,…,an=5an1,故數(shù)列{an}為等比數(shù)列,首項(xiàng)a1=5,公比q=5,故第20天所有的蜜蜂都?xì)w巢后,蜂巢中一共有a20=5×519=520只蜜蜂.4.設(shè)實(shí)數(shù)列{an},{bn}分別為等差數(shù)列與等比數(shù)列,且a1=b1=4,a4=b4=1,則以下結(jié)論正確的是()A.a2>b2 B.a3<b3 C.a5>b5 D.a6>b6答案A解析∵a1=4,a4=1,∴d=1.∵b1=4,b4=1,又0<q<1,∴q=2-23,b2=243<a2=3,b3<223<a3=2,b5=2-23>a5=5.數(shù)列{an}滿足an+1=λan1(n∈N*,λ∈R,且λ≠0),若數(shù)列{an1}是等比數(shù)列,則λ的值等于()A.1 B.1 C.12 D答案D解析由an+1=λan1,得an+11=λan2=λ由{an1}是等比數(shù)列,所以2λ=1,得λ=26.等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,已知a1=1,a1,S2,5成等差數(shù)列,則數(shù)列{an}的公比q=.

答案2解析由題意得2S2=a1+5,即2(1+q)=1+5,q=2.7.在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中,a3=21,a5=2+1,則a32+2a2a6+a3a7=答案8解析由等比數(shù)列性質(zhì),得a3a7=a52,a2a6=a3a所以a32+2a2a6+a3a7=a32+2a3a5+a52=(a3+a5)2=(21+2+1)2=(28.已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足a1=1,an2(2an+11)an2an+1=0,則a3=,an=答案1解析由題意得a2=12,a3=(等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式)由an2(2an+11)an2an+1=0得2an+1(an+1)=an(an+1).因?yàn)閧an}的各項(xiàng)都為正數(shù),所以an+1an=12.能力提升組9.已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列,a2=2,a5=14,則a1a2+a2a3+…+anan+1=(A.16(14n) B.16(12n)C.323(14n) D.323答案C解析由a5=14=a2·q3=2·q3,解得q=12,可知數(shù)列{anan+1}仍是等比數(shù)列:其首項(xiàng)是a1a2=所以a1a2+a2a3+…+anan+1=81-14n10.已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1+a3=30,S4=120,設(shè)bn=1+log3an,則數(shù)列{bn}的前15項(xiàng)和為()A.152 B.135 C.80 D.16答案B解析由題設(shè)可得a2+a4=S4(a1+a3)=90,即q(a1+a3)=90?q=3,所以a1=301+9=3,則an=3·3n1=3n.所以bn=1+log3(3n)=1+n,則數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為b1=2,公差為d=1的等差數(shù)列.所以S15=2×15+15×1411.已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1·an=2n,則S2015=()A.220151 B.210093C.3×210073 D.210083答案B解析∵a1=1,an+1·an=2n,∴an≠0,a2=2,當(dāng)n≥2時(shí),an·an1=2n1.∴an+1an∴數(shù)列{an}中奇數(shù)項(xiàng),偶數(shù)項(xiàng)分別成等比數(shù)列.∴S2015=1-210081-2+12.(2018浙江高考)已知a1,a2,a3,a4成等比數(shù)列,且a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3).若a1>1,則()A.a1<a3,a2<a4 B.a1>a3,a2<a4C.a1<a3,a2>a4 D.a1>a3,a2>a4答案B解析設(shè)等比數(shù)列的公比為q,則a1+a2+a3+a4=a1(1-q4)1-∵a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3),∴a1+a2+a3=ea即a1(1+q+q2)=e又a1>1,∴q<0.假設(shè)1+q+q2>1,即q+q2>0,解得q<1(q>0舍去).由a1>1,可知a1(1+q+q2)>1,∴a1(1+q+q2+q3)>0,即1+q+q2+q3>0,即(1+q)+q2(1+q)>0,即(1+q)(1+q2)>0,這與q<1相矛盾.∴1+q+q2<1,即1<q<0.∴a1>a3,a2<a4.13.已知a,b為實(shí)常數(shù),{ci}(i∈N*)是公比不為1的等比數(shù)列,直線ax+by+ci=0與拋物線y2=2px(p>0)均相交,所成弦的中點(diǎn)為Mi(xi,yi),則下列說法錯(cuò)誤的是()A.數(shù)列{xi}可能是等比數(shù)列B.數(shù)列{yi}是常數(shù)列C.數(shù)列{xi}可能是等差數(shù)列D.數(shù)列{xi+yi}可能是等比數(shù)列答案C解析由直線ax+by+ci=0,當(dāng)a=0,b≠0時(shí),直線by+ci=0與拋物線y2=2px(p>0)僅有一個(gè)交點(diǎn),不合題意.當(dāng)a≠0,b=0時(shí),直線ax+ci=0,化為x=cia,則xi=cia,yi=0,xi由{ci}(i∈N*)是公比不為1的等比數(shù)列,可得{xi}是等比數(shù)列,{xi+yi}是等比數(shù)列,不是等差數(shù)列.當(dāng)a≠0,b≠0時(shí),直線ax+by+ci=0化為x=baycia,代入拋物線y2=2px(p>0),可得y2+2pba根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得Mi:pb2a2-綜上可得:A,B,D都有可能,只有C不可能.故選C.14.如圖,在等腰直角三角形ABC中,斜邊BC=22,過點(diǎn)A作BC的垂線,垂足為A1;過點(diǎn)A1作AC的垂線,垂足為A2;過點(diǎn)A2作A1C的垂線,垂足為A3;…,依此類推,設(shè)BA=a1,AA1=a2,A1A2=a3,…,A5A6=a7,則a7=.

答案1解析由題意知數(shù)列{an}是以首項(xiàng)a1=2,公比q=22的等比數(shù)列,∴a7=a1·q6=215.已知數(shù)列{an}的前m(m≥4)項(xiàng)是公差為2的等差數(shù)列,從第m1項(xiàng)起,am1,am,am+1,…成公比為2的等比數(shù)列.若a1=2,則m=,{an}的前6項(xiàng)和S6=.

答案428解析因?yàn)閍m1=a1+(m2)d=2m6,am=2m4,而2m-42m-6=2,解得m=4,所以數(shù)列{an}的前6項(xiàng)依次為2,0,2,4,8,1616.(2018浙江溫嶺模擬)已知數(shù)列{an},a1=1,an+1=2ann2+3n(n∈N*),若新數(shù)列{an+λn2+μn}是等比數(shù)列,則λ=,μ=.

答案11解析∵an+1=2ann2+3n可化為an+1+λ(n+1)2+μ(n+1)=2(an+λn2+μn),即an+1=2an+λn2+(μ2λ)nλμ,∴λ=∴an+1=2ann2+3n可化為an+1(n+1)2+(n+1)=2(ann2+n).又a112+1≠0,故λ=1,μ=1時(shí)可使得數(shù)列{an+λn2+μn}是等比數(shù)列.17.已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)a1,a3,a5,…,a2k-1,…構(gòu)成首項(xiàng)a1=1的等差數(shù)列,偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成公比q=2的等比數(shù)列,且a1,a2,a3成等比數(shù)列,a4,a5,(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)bn=a2n+1a2n,Tn=b1b2…bn,求正整數(shù)k,使得對(duì)任意n∈N*,均有解(1)由題意得a22=a1a3,2a5=a4+a7,設(shè)a1,a3,a5,…,a2k1,…的公差為d,則a3=1+d,a5=1+2d,a7=1故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=3(2)bn=3n+12n,顯然bn>∴數(shù)列{bn}單調(diào)遞減.又b1=2,b2=74,b3=108,b4=∴b1>b2>b3>1>b4>b5>….∴當(dāng)k=3時(shí),對(duì)任意n∈N*,均有T3≥Tn.18.(2014浙江高考)已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1a2a3…an=(2)bn(n∈N*).若{an}為等比數(shù)列,且a1=2,b3=6(1)求an與bn;(2)設(shè)cn=1an-1bn(n∈N*).記數(shù)列{cn①求Sn;②求正整數(shù)k,使得對(duì)任意n∈N*均有Sk≥Sn.解(1)由題意a1a2a3…an=(2)bn,b3b知a3=(2)b又