寧夏回族自治區(qū)銀川市興慶區(qū)寧夏回族自治區(qū)重點中學(xué)2025屆高三第五次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

寧夏回族自治區(qū)銀川市興慶區(qū)寧夏回族自治區(qū)重點中學(xué)2025屆高三第五次模擬考試數(shù)學(xué)試卷注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．2019年末，武漢出現(xiàn)新型冠狀病毒肺炎（）疫情，并快速席卷我國其他地區(qū)，傳播速度很快.因這種病毒是以前從未在人體中發(fā)現(xiàn)的冠狀病毒新毒株，所以目前沒有特異治療方法，防控難度很大.武漢市出現(xiàn)疫情最早，感染人員最多，防控壓力最大，武漢市從2月7日起舉全市之力入戶上門排查確診的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、無法明確排除新冠肺炎的發(fā)熱患者和與確診患者的密切接觸者等“四類”人員，強化網(wǎng)格化管理，不落一戶、不漏一人.在排查期間，一戶6口之家被確認為“與確診患者的密切接觸者”，這種情況下醫(yī)護人員要對其家庭成員隨機地逐一進行“核糖核酸”檢測，若出現(xiàn)陽性，則該家庭為“感染高危戶”.設(shè)該家庭每個成員檢測呈陽性的概率均為（）且相互獨立，該家庭至少檢測了5個人才能確定為“感染高危戶”的概率為，當(dāng)時，最大，則（）A． B． C． D．2．已知是的共軛復(fù)數(shù),則（）A． B． C． D．3．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的最長棱的長為（）A． B． C． D．4．某中學(xué)有高中生人，初中生人為了解該校學(xué)生自主鍛煉的時間，采用分層抽樣的方法從高生和初中生中抽取一個容量為的樣本.若樣本中高中生恰有人，則的值為（）A． B． C． D．5．已知函數(shù)若對區(qū)間內(nèi)的任意實數(shù)，都有，則實數(shù)的取值范圍是(）A． B． C． D．6．已知函數(shù)的圖像上有且僅有四個不同的關(guān)于直線對稱的點在的圖像上，則的取值范圍是()A． B． C． D．7．已知m為實數(shù)，直線：，：，則“”是“”的（）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件8．已知函數(shù)的圖像上有且僅有四個不同的點關(guān)于直線的對稱點在的圖像上，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．9．設(shè)點是橢圓上的一點，是橢圓的兩個焦點，若，則（）A． B． C． D．10．在中，角所對的邊分別為，已知，則（）A．或 B． C． D．或11．若為過橢圓中心的弦，為橢圓的焦點，則△面積的最大值為（）A．20 B．30 C．50 D．6012．某校在高一年級進行了數(shù)學(xué)競賽（總分100分），下表為高一·一班40名同學(xué)的數(shù)學(xué)競賽成績：555759616864625980889895607388748677799497100999789818060796082959093908580779968如圖的算法框圖中輸入的為上表中的學(xué)生的數(shù)學(xué)競賽成績，運行相應(yīng)的程序，輸出，的值，則（）A．6 B．8 C．10 D．12二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，則的值為______.14．已知，，，，則______.15．已知數(shù)列滿足，則________．16．記為數(shù)列的前項和.若，則______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知等差數(shù)列的前n項和為，，公差，、、成等比數(shù)列，數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）已知，求數(shù)列的前n項和.18．（12分）已知拋物線和圓，傾斜角為45°的直線過拋物線的焦點，且與圓相切．（1）求的值；（2）動點在拋物線的準線上，動點在上，若在點處的切線交軸于點，設(shè)．求證點在定直線上，并求該定直線的方程．19．（12分）如圖，三棱臺中，側(cè)面與側(cè)面是全等的梯形，若，且.（Ⅰ）若，，證明：∥平面；（Ⅱ）若二面角為，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.20．（12分）已知變換將平面上的點，分別變換為點，．設(shè)變換對應(yīng)的矩陣為．（1）求矩陣；（2）求矩陣的特征值．21．（12分）已知離心率為的橢圓經(jīng)過點.(1)求橢圓的方程；(2)薦橢圓的右焦點為，過點的直線與橢圓分別交于，若直線、、的斜率成等差數(shù)列，請問的面積是否為定值？若是，求出此定值；若不是，請說明理由.22．（10分）從拋物線C：（）外一點作該拋物線的兩條切線PA、PB（切點分別為A、B），分別與x軸相交于C、D，若AB與y軸相交于點Q，點在拋物線C上，且（F為拋物線的焦點）.（1）求拋物線C的方程；（2）①求證：四邊形是平行四邊形.②四邊形能否為矩形？若能，求出點Q的坐標；若不能，請說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

根據(jù)題意分別求出事件A：檢測5個人確定為“感染高危戶”發(fā)生的概率和事件B：檢測6個人確定為“感染高危戶”發(fā)生的概率,即可得出的表達式,再根據(jù)基本不等式即可求出.【詳解】設(shè)事件A：檢測5個人確定為“感染高危戶”,事件B：檢測6個人確定為“感染高危戶”,∴,.即設(shè),則∴當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號,即.故選：A．【點睛】本題主要考查概率的計算,涉及相互獨立事件同時發(fā)生的概率公式的應(yīng)用,互斥事件概率加法公式的應(yīng)用,以及基本不等式的應(yīng)用,解題關(guān)鍵是對題意的理解和事件的分解,意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力和數(shù)學(xué)建模能力,屬于較難題.2、A【解析】

先利用復(fù)數(shù)的除法運算法則求出的值，再利用共軛復(fù)數(shù)的定義求出a+bi，從而確定a，b的值，求出a+b．【詳解】i，∴a+bi＝﹣i，∴a＝0，b＝﹣1，∴a+b＝﹣1，故選：A．【點睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查了共軛復(fù)數(shù)的概念，是基礎(chǔ)題．3、D【解析】

先根據(jù)三視圖還原幾何體是一個四棱錐，根據(jù)三視圖的數(shù)據(jù)，計算各棱的長度.【詳解】根據(jù)三視圖可知，幾何體是一個四棱錐，如圖所示：由三視圖知：，所以，所以，所以該幾何體的最長棱的長為故選：D【點睛】本題主要考查三視圖的應(yīng)用，還考查了空間想象和運算求解的能力，屬于中檔題.4、B【解析】

利用某一層樣本數(shù)等于某一層的總體個數(shù)乘以抽樣比計算即可.【詳解】由題意，，解得.故選：B.【點睛】本題考查簡單隨機抽樣中的分層抽樣，某一層樣本數(shù)等于某一層的總體個數(shù)乘以抽樣比，本題是一道基礎(chǔ)題.5、C【解析】分析：先求導(dǎo),再對a分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再畫圖分析轉(zhuǎn)化對區(qū)間內(nèi)的任意實數(shù)，都有，得到關(guān)于a的不等式組，再解不等式組得到實數(shù)a的取值范圍.詳解：由題得.當(dāng)a＜1時，，所以函數(shù)f（x）在單調(diào)遞減，因為對區(qū)間內(nèi)的任意實數(shù)，都有，所以，所以故a≥1，與a＜1矛盾，故a＜1矛盾.當(dāng)1≤a<e時，函數(shù)f(x)在[0,lna]單調(diào)遞增，在(lna,1]單調(diào)遞減.所以因為對區(qū)間內(nèi)的任意實數(shù)，都有，所以，所以即令，所以所以函數(shù)g(a)在（1，e）上單調(diào)遞減，所以，所以當(dāng)1≤a<e時，滿足題意.當(dāng)a時，函數(shù)f(x)在(0,1)單調(diào)遞增,因為對區(qū)間內(nèi)的任意實數(shù)，都有，所以,故1+1，所以故綜上所述，a∈.故選C.點睛：本題的難點在于“對區(qū)間內(nèi)的任意實數(shù)，都有”的轉(zhuǎn)化.由于是函數(shù)的問題，所以我們要聯(lián)想到利用函數(shù)的性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性、最值、極值等）來分析解答問題.本題就是把這個條件和函數(shù)的單調(diào)性和最值聯(lián)系起來，完成了數(shù)學(xué)問題的等價轉(zhuǎn)化，找到了問題的突破口.6、D【解析】

根據(jù)對稱關(guān)系可將問題轉(zhuǎn)化為與有且僅有四個不同的交點；利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性從而得到的圖象；由直線恒過定點，通過數(shù)形結(jié)合的方式可確定；利用過某一點曲線切線斜率的求解方法可求得和，進而得到結(jié)果.【詳解】關(guān)于直線對稱的直線方程為：原題等價于與有且僅有四個不同的交點由可知，直線恒過點當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增由此可得圖象如下圖所示：其中、為過點的曲線的兩條切線，切點分別為由圖象可知，當(dāng)時，與有且僅有四個不同的交點設(shè)，，則，解得：設(shè)，，則，解得：，則本題正確選項：【點睛】本題考查根據(jù)直線與曲線交點個數(shù)確定參數(shù)范圍的問題；涉及到過某一點的曲線切線斜率的求解問題；解題關(guān)鍵是能夠通過對稱性將問題轉(zhuǎn)化為直線與曲線交點個數(shù)的問題，通過確定直線恒過的定點，采用數(shù)形結(jié)合的方式來進行求解.7、A【解析】

根據(jù)直線平行的等價條件，求出m的值，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進行判斷即可．【詳解】當(dāng)m=1時，兩直線方程分別為直線l1：x+y﹣1=0，l2：x+y﹣2=0滿足l1∥l2，即充分性成立，當(dāng)m=0時，兩直線方程分別為y﹣1=0，和﹣2x﹣2=0，不滿足條件．當(dāng)m≠0時，則l1∥l2?，由得m2﹣3m+2=0得m=1或m=2，由得m≠2，則m=1，即“m=1”是“l(fā)1∥l2”的充要條件，故答案為：A【點睛】（1）本題主要考查充要條件的判斷，考查兩直線平行的等價條件，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)本題也可以利用下面的結(jié)論解答，直線和直線平行，則且兩直線不重合,求出參數(shù)的值后要代入檢驗看兩直線是否重合.8、A【解析】

可將問題轉(zhuǎn)化，求直線關(guān)于直線的對稱直線，再分別討論兩函數(shù)的增減性，結(jié)合函數(shù)圖像，分析臨界點，進一步確定的取值范圍即可【詳解】可求得直線關(guān)于直線的對稱直線為，當(dāng)時，，，當(dāng)時，，則當(dāng)時，，單減，當(dāng)時，，單增；當(dāng)時，，，當(dāng)，,當(dāng)時，單減，當(dāng)時，單增；根據(jù)題意畫出函數(shù)大致圖像，如圖：當(dāng)與（）相切時，得，解得；當(dāng)與（）相切時，滿足，解得，結(jié)合圖像可知，即，故選：A【點睛】本題考查數(shù)形結(jié)合思想求解函數(shù)交點問題，導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)增減性，找準臨界是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題9、B【解析】∵∵∴∵，∴∴故選B點睛：本題主要考查利用橢圓的簡單性質(zhì)及橢圓的定義.求解與橢圓性質(zhì)有關(guān)的問題時要結(jié)合圖形進行分析，既使不畫出圖形，思考時也要聯(lián)想到圖形，當(dāng)涉及頂點、焦點、長軸、短軸等橢圓的基本量時，要理清它們之間的關(guān)系，挖掘出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系.10、D【解析】

根據(jù)正弦定理得到，化簡得到答案.【詳解】由，得，∴，∴或，∴或．故選：【點睛】本題考查了正弦定理解三角形，意在考查學(xué)生的計算能力.11、D【解析】

先設(shè)A點的坐標為，根據(jù)對稱性可得，在表示出面積，由圖象遏制，當(dāng)點A在橢圓的頂點時，此時面積最大，再結(jié)合橢圓的標準方程，即可求解.【詳解】由題意，設(shè)A點的坐標為，根據(jù)對稱性可得，則的面積為，當(dāng)最大時，的面積最大，由圖象可知，當(dāng)點A在橢圓的上下頂點時，此時的面積最大，又由，可得橢圓的上下頂點坐標為，所以的面積的最大值為.故選：D.【點睛】本題主要考查了橢圓的標準方程及簡單的幾何性質(zhì)，以及三角形面積公式的應(yīng)用，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，以及化歸與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.12、D【解析】

根據(jù)程序框圖判斷出的意義，由此求得的值，進而求得的值.【詳解】由題意可得的取值為成績大于等于90的人數(shù)，的取值為成績大于等于60且小于90的人數(shù)，故，，所以.故選：D【點睛】本小題考查利用程序框圖計算統(tǒng)計量等基礎(chǔ)知識；考查運算求解能力，邏輯推理能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用意識.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

先求，再根據(jù)的范圍求出即可.【詳解】由題可知，故.故答案為：.【點睛】本題考查分段函數(shù)函數(shù)值的求解，涉及對數(shù)的運算，屬基礎(chǔ)題.14、【解析】

由已知利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式可求得，的值，由兩角差的正弦公式即可計算得的值.【詳解】，，，，，，，，.故答案為：【點睛】本題主要考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角差的正弦公式，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

項和轉(zhuǎn)化可得，討論是否滿足，分段表示即得解【詳解】當(dāng)時，由已知，可得，∵，①故，②由①-②得，∴．顯然當(dāng)時不滿足上式，∴故答案為：【點睛】本題考查了利用求，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運算，分類討論的能力，屬于中檔題.16、1【解析】

由已知數(shù)列遞推式可得數(shù)列是以16為首項，以為公比的等比數(shù)列，再由等比數(shù)列的前項和公式求解．【詳解】由，得，．且，則，即．?dāng)?shù)列是以16為首項，以為公比的等比數(shù)列，則．故答案為：1．【點睛】本題主要考查數(shù)列遞推式，考查等比數(shù)列的前項和，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），（）；（2）.【解析】

（1）根據(jù)是等差數(shù)列，，、、成等比數(shù)列，列兩個方程即可求出，從而求得，代入化簡即可求得；（2）化簡后求和為裂項相消求和，分組求和即可，注意討論公比是否為1.【詳解】（1）由題意知，，，由得，解得.又，得，解得或（舍）.，.又（），（）.（2），①當(dāng)時，.②當(dāng)時，.【點睛】此題等差數(shù)列的通項公式的求解，裂項相消求和等知識點，考查了化歸和轉(zhuǎn)化思想，屬于一般性題目.18、（1）；（2）點在定直線上．【解析】

（1）設(shè)出直線的方程為，由直線和圓相切的條件：，解得；（2）設(shè)出，運用導(dǎo)數(shù)求得切線的斜率，求得為切點的切線方程，再由向量的坐標表示，可得在定直線上；【詳解】解：（1）依題意設(shè)直線的方程為，由已知得：圓的圓心，半徑，因為直線與圓相切，所以圓心到直線的距離，即，解得或（舍去）．所以；（2）依題意設(shè)，由（1）知拋物線方程為，所以，所以，設(shè)，則以為切點的切線的斜率為，所以切線的方程為．令，，即交軸于點坐標為，所以，，，．設(shè)點坐標為，則，所以點在定直線上．【點睛】本題考查拋物線的方程和性質(zhì)，直線與圓的位置關(guān)系的判斷，考查直線方程和圓方程的運用，以及切線方程的求法，考查化簡整理的運算能力，屬于綜合題．19、(Ⅰ)見解析；(Ⅱ).【解析】試題分析：(Ⅰ)連接，由比例可得∥，進而得線面平行；（Ⅱ）過點作的垂線，建立空間直角坐標系，不妨設(shè)，則求得平面的法向量為，設(shè)平面的法向量為，由求二面角余弦即可.試題解析：（Ⅰ）證明：連接，梯形，,易知：；又，則∥；平面，平面，可得：∥平面；（Ⅱ）側(cè)面是梯形，，,,則為二面角的平面角，；均為正三角形，在平面內(nèi)，過點作的垂線，如圖建立空間直角坐標系，不妨設(shè)，則,故點，；設(shè)平面的法向量為，則有：；設(shè)平面的法向量為，則有：；，故平面與平面所成的銳二面角的余弦值為.20、（1）（2）1或6【解析】

（1）設(shè)，根據(jù)變換可得關(guān)于的方程，解方程即可得到答案；（2）求出特征多項式，再解方程，即可得答案；【詳解】（1）設(shè)，則，，即，解得，則．（2）設(shè)矩陣的特征多項式為，可得，令，可得或．【點睛】本題考查矩陣的求解、矩陣的特征值，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查運算求解能力.21、(1)；(2)是，【解析】

(1)根據(jù)及可得，再將點代入橢圓的方程與聯(lián)立解出，即可求出橢圓的方程；(2)可設(shè)所在直線的方程為，，，，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，用根與系數(shù)的關(guān)系求出，然后將直線、、的斜率、、分別用表示，利用