廣東省藍精靈中學2025屆高三第五次模擬考試數學試卷含解析

廣東省藍精靈中學2025屆高三第五次模擬考試數學試卷注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知單位向量，的夾角為，若向量，，且，則（）A．2 B．2 C．4 D．62．已知函數，則在上不單調的一個充分不必要條件可以是（）A． B． C．或 D．3．對于函數，定義滿足的實數為的不動點，設，其中且，若有且僅有一個不動點，則的取值范圍是（）A．或 B．C．或 D．4．已知，其中是虛數單位，則對應的點的坐標為（）A． B． C． D．5．如圖所示的程序框圖，當其運行結果為31時，則圖中判斷框①處應填入的是（）A． B． C． D．6．已知函數有兩個不同的極值點，，若不等式有解，則的取值范圍是（）A． B．C． D．7．已知非零向量，滿足，，則與的夾角為（）A． B． C． D．8．“且”是“”的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件9．已知等比數列滿足，，則（）A． B． C． D．10．已知等比數列的前項和為，且滿足，則的值是()A． B． C． D．11．，則與位置關系是()A．平行 B．異面C．相交 D．平行或異面或相交12．執(zhí)行程序框圖，則輸出的數值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在中，，點是邊的中點，則__________，________.14．設數列為等差數列，其前項和為，已知，，若對任意都有成立，則的值為__________．15．已知，滿足約束條件，則的最小值為______．16．在平面直角坐標系xOy中，A，B為x軸正半軸上的兩個動點，P（異于原點O）為y軸上的一個定點．若以AB為直徑的圓與圓x2＋(y－2)2＝1相外切，且∠APB的大小恒為定值，則線段OP的長為_____．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知是各項都為正數的數列，其前項和為，且為與的等差中項．（1）求證：數列為等差數列；（2）設，求的前100項和．18．（12分）已知函數.（1）求證：當時，；（2）若對任意存在和使成立，求實數的最小值.19．（12分）已知分別是橢圓的左、右焦點，直線與交于兩點，，且．（1）求的方程；（2）已知點是上的任意一點，不經過原點的直線與交于兩點，直線的斜率都存在，且，求的值．20．（12分）某公司為了鼓勵運動提高所有用戶的身體素質，特推出一款運動計步數的軟件，所有用戶都可以通過每天累計的步數瓜分紅包，大大增加了用戶走步的積極性，所以該軟件深受廣大用戶的歡迎.該公司為了研究“日平均走步數和性別是否有關”，統計了2019年1月份所有用戶的日平均步數，規(guī)定日平均步數不少于8000的為“運動達人”，步數在8000以下的為“非運動達人”，采用按性別分層抽樣的方式抽取了100個用戶，得到如下列聯表：運動達人非運動達人總計男3560女26總計100（1）（i）將列聯表補充完整；（ii）據此列聯表判斷，能否有的把握認為“日平均走步數和性別是否有關”？（2）將頻率視作概率，從該公司的所有人“運動達人”中任意抽取3個用戶，求抽取的用戶中女用戶人數的分布列及期望.附：21．（12分）在直角坐標系中，橢圓的左、右焦點分別為，點在橢圓上且軸，直線交軸于點，，橢圓的離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）過的直線交橢圓于兩點，且滿足，求的面積.22．（10分）已知函數，曲線在點處的切線方程為求a，b的值；證明：．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

根據列方程，由此求得的值，進而求得.【詳解】由于，所以，即，解得.所以所以.故選：C【點睛】本小題主要考查向量垂直的表示，考查向量數量積的運算，考查向量模的求法，屬于基礎題.2、D【解析】

先求函數在上不單調的充要條件，即在上有解，即可得出結論.【詳解】，若在上不單調，令，則函數對稱軸方程為在區(qū)間上有零點（可以用二分法求得）.當時，顯然不成立；當時，只需或，解得或.故選:D.【點睛】本題考查含參數的函數的單調性及充分不必要條件，要注意二次函數零點的求法，屬于中檔題.3、C【解析】

根據不動點的定義，利用換底公式分離參數可得；構造函數，并討論的單調性與最值，畫出函數圖象，即可確定的取值范圍.【詳解】由得，.令，則，令，解得，所以當時，，則在內單調遞增；當時，，則在內單調遞減；所以在處取得極大值，即最大值為，則的圖象如下圖所示：由有且僅有一個不動點，可得得或，解得或.故選：C【點睛】本題考查了函數新定義的應用，由導數確定函數的單調性與最值，分離參數法與構造函數方法的應用，屬于中檔題.4、C【解析】

利用復數相等的條件求得，，則答案可求．【詳解】由，得，．對應的點的坐標為，，．故選：．【點睛】本題考查復數的代數表示法及其幾何意義，考查復數相等的條件，是基礎題．5、C【解析】

根據程序框圖的運行，循環(huán)算出當時，結束運行，總結分析即可得出答案.【詳解】由題可知，程序框圖的運行結果為31，當時，；當時，；當時，；當時，；當時，.此時輸出.故選：C.【點睛】本題考查根據程序框圖的循環(huán)結構，已知輸出結果求條件框，屬于基礎題.6、C【解析】

先求導得（），由于函數有兩個不同的極值點，，轉化為方程有兩個不相等的正實數根，根據，，，求出的取值范圍，而有解，通過分裂參數法和構造新函數，通過利用導數研究單調性、最值，即可得出的取值范圍.【詳解】由題可得：（），因為函數有兩個不同的極值點，，所以方程有兩個不相等的正實數根，于是有解得.若不等式有解，所以因為.設，，故在上單調遞增，故，所以，所以的取值范圍是.故選：C.【點睛】本題考查利用導數研究函數單調性、最值來求參數取值范圍，以及運用分離參數法和構造函數法，還考查分析和計算能力，有一定的難度.7、B【解析】

由平面向量垂直的數量積關系化簡，即可由平面向量數量積定義求得與的夾角.【詳解】根據平面向量數量積的垂直關系可得，，所以，即，由平面向量數量積定義可得，所以，而，即與的夾角為.故選：B【點睛】本題考查了平面向量數量積的運算，平面向量夾角的求法，屬于基礎題.8、A【解析】

畫出“,,,所表示的平面區(qū)域,即可進行判斷.【詳解】如圖，“且”表示的區(qū)域是如圖所示的正方形，記為集合P，“”表示的區(qū)域是單位圓及其內部，記為集合Q，顯然是的真子集,所以答案是充分非必要條件，故選:.【點睛】本題考查了不等式表示的平面區(qū)域問題,考查命題的充分條件和必要條件的判斷,難度較易.9、B【解析】由a1+a3+a5=21得a3+a5+a7=，選B.10、C【解析】

利用先求出，然后計算出結果.【詳解】根據題意，當時，,,故當時，,數列是等比數列,則，故,解得,故選.【點睛】本題主要考查了等比數列前項和的表達形式，只要求出數列中的項即可得到結果，較為基礎.11、D【解析】結合圖(1)，(2)，(3)所示的情況，可得a與b的關系分別是平行、異面或相交．選D．12、C【解析】

由題知：該程序框圖是利用循環(huán)結構計算并輸出變量的值，計算程序框圖的運行結果即可得到答案.【詳解】，，，，，滿足條件，，，，，滿足條件，，，，，滿足條件，，，，，滿足條件，，，，，不滿足條件，輸出.故選：C【點睛】本題主要考查程序框圖中的循環(huán)結構，屬于簡單題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】

根據正弦定理直接求出，利用三角形的邊表示向量,然后利用向量的數量積求解即可.【詳解】中，，，可得因為點是邊的中點，所以故答案為：；.【點睛】本題主要考查了三角形的解法，向量的數量積的應用，考查計算能力，屬于中檔題.14、【解析】

由已知條件得出關于首項和公差的方程組，解出這兩個量，計算出，利用二次函數的基本性質求出的最大值及其對應的值，即可得解.【詳解】設等差數列的公差為，由，解得，.所以，當時，取得最大值，對任意都有成立，則為數列的最大值，因此，.故答案為：.【點睛】本題考查等差數列前項和最值的計算，一般利用二次函數的基本性質求解，考查計算能力，屬于中等題.15、2【解析】

作出可行域，平移基準直線到處，求得的最小值.【詳解】畫出可行域如下圖所示，由圖可知平移基準直線到處時，取得最小值為.故答案為：【點睛】本小題主要考查線性規(guī)劃求最值，考查數形結合的數學思想方法，屬于基礎題.16、【解析】分析：設O2（a，0），圓O2的半徑為r（變量），OP=t（常數），利用差角的正切公式，結合以AB為直徑的圓與圓x2+（y-2）2=1相外切．且∠APB的大小恒為定值，即可求出線段OP的長．詳解：設O2（a，0），圓O2的半徑為r（變量），OP=t（常數），則∵∠APB的大小恒為定值，

∴t＝，∴|OP|=．故答案為點睛：本題考查圓與圓的位置關系，考查差角的正切公式，考查學生的計算能力，屬于中檔題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）.【解析】

（1）利用已知條件化簡出，當時，，當時，再利用進行化簡，得出，即可證明出為等差數列；（2）根據（1）中，求出數列的通項公式，再化簡出，可直接求出的前100項和．【詳解】解：（1）由題意知，即，①當時，由①式可得；又時，有，代入①式得，整理得，∴是首項為1，公差為1的等差數列．（2）由（1）可得，∵是各項都為正數，∴，∴，又，∴，則，，即：.∴的前100項和．【點睛】本題考查數列遞推關系的應用，通項公式的求法以及裂項相消法求和，考查分析解題能力和計算能力.18、（1）見解析；（2）【解析】

（1）不等式等價于，設，利用導數可證恒成立，從而原不等式成立.（2）由題設條件可得在上有兩個不同零點，且，利用導數討論的單調性后可得其最小值，結合前述的集合的包含關系可得的取值范圍.【詳解】（1）設，則，當時，由，所以在上是減函數，所以，故.因為，所以，所以當時，.（2）由（1）當時，；任意，存在和使成立，所以在上有兩個不同零點，且，（1）當時，在上為減函數，不合題意；（2）當時，，由題意知在上不單調，所以，即，當時，，時，，所以在上遞減，在上遞增，所以，解得，因為，所以成立，下面證明存在，使得，取，先證明，即證，令，則在時恒成立，所以成立，因為，所以時命題成立.因為，所以.故實數的最小值為.【點睛】本題考查導數在不等式恒成立、等式能成立中的應用，前者注意將欲證不等式合理變形，轉化為容易證明的新不等式，后者需根據等式能成立的特點確定出函數應該具有的性質，再利用導數研究該性質，本題屬于難題.19、（1）（2）【解析】

（1）不妨設，，計算得到，根據面積得到，計算得到答案.（2）設，，，聯立方程利用韋達定理得到，，代入化簡計算得到答案.【詳解】（1）由題意不妨設，，則，．∵，∴，∴．又，∴，∴，，故的方程為．（2）設，，，則．∵，∴，設直線的方程為，聯立整理得．∵在上，∴，∴上式可化為．∴，，，∴，，∴．∴．【點睛】本題考查了橢圓方程，定值問題，意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.20、（1）（i）填表見解析（ii）沒有的把握認為“日平均走步數和性別是否有關”（2）詳見解析【解析】

（1）(i)由已給數據可完成列聯表，(ii)計算出后可得；（2）由列聯表知從運動達人中抽取1個用戶為女用戶的概率為，的取值為，，由二項分布概率公式計算出各概率得分布列，由期望公式計算期望．【詳解】解（1）（i）運動達人非運動達人總計男352560女142640總計4951100（ii）由列聯表得所以沒有的把握認為“日平均走步數和性別是否有關”（2）由列聯表知從運動達人中抽取1個用戶為女用戶的概率為，.易知所以的分布列為0123．【點睛】本題考查列聯表，考查獨立性檢驗，考查隨機變量的概率分布列和期望．屬于中檔題．本題難點在于認識到．21、（1）；（2）.【解析】

（1）根據離心率以及，即可列方程求得，則問題得解；（2）設直線方程為，聯立橢圓方程，結合韋達定理，根據題意中轉化出的，即可求得參數，則三角形面積得解.【詳解】（1）設，由題意可得.因為是的中位線，且，所以，即，因為進而得，所以橢圓方程為（2）由已知得兩邊平方整理可得.當直線斜率為時，顯然不成立.直線斜率不為時，設直線的方程為，聯立消去，得，所以，由得將代入整理得，展開得，整理得，所以.即為所求.【點睛】本題考查由離心率求橢圓的方程，以及橢圓三角形面積的求解，屬綜合中檔題.22、（1）；（2）見解析【解析】分析：第一問結合導數的幾何意義以及切點在切線上也在函數圖像上，從而建立關于的等量關系式，從而求得結果；第二問可以有兩種方法，一是將不等式轉化，構造新函數，利用導數研究函數的最值，從而求得結果，二是利用中間量來完成，這樣利用不等式的傳遞性來完成，再者這種方法可以簡化運算.詳解：（1）解：，由題意有，