專題11 二次函數(shù)【考點(diǎn)精講】（解析版）

專題11二次函數(shù)1．二次函數(shù)的定義形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù),a≠0)的函數(shù),叫做x的二次函數(shù).

2．二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象和性質(zhì)函數(shù)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0)圖象a>0a<0性質(zhì)①當(dāng)a>0時(shí),拋物線開(kāi)口向上,并向上無(wú)限延伸.②對(duì)稱軸是,頂點(diǎn)坐標(biāo)是.③在對(duì)稱軸的左側(cè),即當(dāng)x<時(shí),y隨x的增大而減小;在對(duì)稱軸的右側(cè),即當(dāng)x>時(shí),y隨x的增大而增大,簡(jiǎn)記為左減右增.④拋物線有最低點(diǎn),當(dāng)x=時(shí),y有最小值,y最小值=.①當(dāng)a<0時(shí),拋物線開(kāi)口向下,并向下無(wú)限延伸.②對(duì)稱軸是,頂點(diǎn)坐標(biāo)是.③在對(duì)稱軸的左側(cè),即當(dāng)x<時(shí),y隨x的增大而增大;在對(duì)稱軸的右側(cè),即當(dāng)x>時(shí),y隨x的增大而減小,簡(jiǎn)記為左增右減.④拋物線有最高點(diǎn),當(dāng)x=時(shí),y有最大值,y最大值=.3．拋物線y=a(x-h)2+k與y=ax2的關(guān)系（1）二者的形狀相同,位置不同,y=a(x-h)2+k是由y=ax2通過(guò)平移得來(lái)的,平移后的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(h,k).

右左（2）y=ax2的圖象右左上下y=a(x-h)2的圖象上下y=a(x-h)2+k的圖象.4．二次函數(shù)的解析式的確定要確定二次函數(shù)的解析式,就是要確定解析式中的待定系數(shù)(常數(shù)):（1）當(dāng)已知拋物線上任意三點(diǎn)時(shí)，通常將函數(shù)的解析式設(shè)為一般式：y=ax2+bx+c(a≠0);（2）當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)和拋物線上另一點(diǎn)時(shí)，通常將函數(shù)的解析式設(shè)為頂點(diǎn)式：y=a(x-h)2+k(a≠0).5．二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸的交點(diǎn)有三種情況：有兩個(gè)交點(diǎn)、有一個(gè)交點(diǎn)、沒(méi)有交點(diǎn).當(dāng)圖象與x軸有交點(diǎn)時(shí)，令y=0，解方程ax2+bx+c=0就可求出與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).Δ=b2-4acax2+bx+c=0的根拋物線y=ax2+bx+c與x軸的交點(diǎn)Δ>0兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根兩個(gè)交點(diǎn)Δ=0兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根一個(gè)交點(diǎn)Δ<0無(wú)實(shí)數(shù)根無(wú)交點(diǎn)6．二次函數(shù)與不等式的關(guān)系設(shè)拋物線y=ax2+bx+c(a>0)與x軸交于(x1,0),(x2,0)兩點(diǎn)，其中x1<x2,則不等式ax2+bx+c>0的解集為x>x2或x<x1，不等式ax2+bx+c<0的解集為x1<x<x2.

【考點(diǎn)1】二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)【例1】（函數(shù)圖像）（2022·湖北武漢）二次函數(shù)的圖象如圖所示，則一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)（

）A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限【答案】D【分析】根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)在第四象限，得出m＜0，n＜0，即可得出一次函數(shù)y=mx+n的圖象經(jīng)過(guò)二、三、四象限．【詳解】解：∵拋物線的頂點(diǎn)（-m，n）在第四象限，∴-m＞0，n＜0，∴m＜0，∴一次函數(shù)y=mx+n的圖象經(jīng)過(guò)二、三、四象限，故選：D．【例2】（函數(shù)性質(zhì)1）（2022·陜西）已知二次函數(shù)的自變量對(duì)應(yīng)的函數(shù)值分別為，，．當(dāng)，，時(shí)，，，三者之間的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先將拋物線配成頂點(diǎn)式，求出對(duì)稱軸為，再求出拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為和，根據(jù)開(kāi)口向上即可判斷．【詳解】解：拋物線，∴對(duì)稱軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，，解得或，∴拋物線與軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為：，，∴當(dāng)，，時(shí)，，故選：．【例3】（函數(shù)性質(zhì)2）（2022·湖南郴州）關(guān)于二次函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（

）A．函數(shù)圖象的開(kāi)口向下 B．函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是C．該函數(shù)有最大值，是大值是5 D．當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大【答案】D【分析】由拋物線的表達(dá)式和函數(shù)的性質(zhì)逐一求解即可．【詳解】解：對(duì)于y=（x-1）2+5，∵a=1>0，故拋物線開(kāi)口向上，故A錯(cuò)誤；頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，5），故B錯(cuò)誤；該函數(shù)有最小值，是小值是5，故C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，故D正確，故選：D．拋物線y=ax2+bx+c中a,b,c的作用（1）a決定開(kāi)口方向及開(kāi)口大小，這與y=ax2中的a完全一樣.a>0時(shí)，拋物線開(kāi)口向上；a<0時(shí)，拋物線開(kāi)口向下；a的絕對(duì)值越大，開(kāi)口越小.（2）b和a共同決定拋物線對(duì)稱軸的位置.由于拋物線y=ax2+bx+c的對(duì)稱軸是直線，故：①b=0時(shí)，對(duì)稱軸為y軸；②>0（即a,b同號(hào)）時(shí)，對(duì)稱軸在y軸左側(cè)；③<0（即a,b異號(hào)）時(shí)，對(duì)稱軸在y軸右側(cè).(口訣:“左同右異”）【注意問(wèn)題】（1）二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系;（2）會(huì)利用對(duì)稱軸的范圍求2a與b的關(guān)系，以及二次函數(shù)與方程之間的轉(zhuǎn)換.1．（2022·廣西）已知反比例函數(shù)的圖象如圖所示，則一次函數(shù)和二次函數(shù)在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】先由反比例函數(shù)圖象得出b>0，再分當(dāng)a>0，a<0時(shí)分別判定二次函數(shù)圖象符合的選項(xiàng)，在符合的選項(xiàng)中，再判定一次函數(shù)圖象符合的即可得出答案．【詳解】解：∵反比例函數(shù)的圖象在第一和第三象限內(nèi)，∴b>0，若a<0，則->0，所以二次函數(shù)開(kāi)口向下，對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，故A、B、C、D選項(xiàng)全不符合；當(dāng)a>0，則-<0時(shí)，所以二次函數(shù)開(kāi)口向上，對(duì)稱軸在y軸左側(cè)，故只有C、D兩選項(xiàng)可能符合題意，由C、D兩選圖象知，c<0，又∵a>0，則-a<0，當(dāng)c<0,a>0時(shí)，一次函數(shù)y=cx-a圖象經(jīng)過(guò)第二、第三、第四象限，故只有D選項(xiàng)符合題意．故選：D．2．（2022·江蘇泰州）已知點(diǎn)在下列某一函數(shù)圖像上，且那么這個(gè)函數(shù)是(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】先假設(shè)選取各函數(shù)，代入自變量求出y1、y2、y3的值，比較大小即可得出答案．【詳解】解：A．把點(diǎn)代入y=3x，解得y1=-9，y2=-3，y3=3，所以y1<y2<y3，這與已知條件不符，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B．把點(diǎn)代入y=3x2，解得y1=27，y2=3，y3=3，所以y1>y2=y3，這與已知條件不符，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；C．把點(diǎn)代入y=，解得y1=-1，y2=-3，y3=3，所以y2<y1<y3，這與已知條件不符，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；D．把點(diǎn)代入y=-，解得y1=1，y2=3，y3=-3，所以，這與已知條件相符，故選項(xiàng)正確，符合題意；故選：D．3．（2022·山東威海）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx（a≠0）的圖像過(guò)點(diǎn)（2，0），下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(

)A．b＞0B．a(chǎn)+b＞0C．x＝2是關(guān)于x的方程ax2+bx＝0（a≠0）的一個(gè)根D．點(diǎn)（x1，y1），（x2，y2）在二次函數(shù)的圖像上，當(dāng)x1＞x2＞2時(shí)，y2＜y1＜0【答案】D【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)作出判斷即可．【詳解】解：根據(jù)圖像知，當(dāng)時(shí)，，故B選項(xiàng)結(jié)論正確，不符合題意，，，故A選項(xiàng)結(jié)論正確，不符合題意；由題可知二次函數(shù)對(duì)稱軸為，，，故B選項(xiàng)結(jié)論正確，不符合題意；根據(jù)圖像可知是關(guān)于的方程的一個(gè)根，故選項(xiàng)結(jié)論正確，不符合題意，若點(diǎn)，在二次函數(shù)的圖像上，當(dāng)時(shí)，，故D選項(xiàng)結(jié)論不正確，符合題意，故選：D．4．（2022·四川自貢）已知A(?3，?2)，B(1，?2)，拋物線y=ax2+bx+c(a>0)頂點(diǎn)在線段AB上運(yùn)動(dòng)，形狀保持不變，與x軸交于C，D兩點(diǎn)（C在D的右側(cè)），下列結(jié)論：①c≥?2

；②當(dāng)x>0時(shí)，一定有y隨x的增大而增大；③若點(diǎn)D橫坐標(biāo)的最小值為?5，點(diǎn)C橫坐標(biāo)的最大值為3；④當(dāng)四邊形ABCD為平行四邊形時(shí)，a=．其中正確的是（

）A．①③ B．②③ C．①④ D．①③④【答案】D【分析】根據(jù)頂點(diǎn)在線段AB上拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，c）可以判斷出c的取值范圍，可判斷①；根據(jù)二次函數(shù)的增減性判斷②；先確定x=1時(shí)，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)取得最大值，然后根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性求出此時(shí)點(diǎn)C的橫坐標(biāo)，即可判斷③；令y=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系與頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)求出CD的長(zhǎng)度的表達(dá)式，然后根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行且相等可得AB=CD，然后列出方程求出a的值，判斷④．【詳解】解：∵點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(-3，-2)和(1，-2)，∴線段AB與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，-2)，又∵拋物線的頂點(diǎn)在線段AB上運(yùn)動(dòng)，拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，c)，∴C≥-2，(頂點(diǎn)在y軸上時(shí)取“=”)，故①正確；∵拋物線的頂點(diǎn)在線段AB上運(yùn)動(dòng)，開(kāi)口向上，∴當(dāng)x＞1時(shí)，一定有y隨x的增大而增大，故②錯(cuò)誤；若點(diǎn)D的橫坐標(biāo)最小值為-5，則此時(shí)對(duì)稱軸為直線x=-3，根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)最大值為1+2=3，故③正確；令y=0，則ax2+bx+c=0，設(shè)該方程的兩根為x1，x2，則x1+x2=-，x1x2=，∴CD2=(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2，根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式，，∴，即，∵四邊形ACDB為平行四邊形，∴CD=AB=1-（-3)=4，∴=42=16，解得a=，故④正確；綜上所述，正確的結(jié)論有①③④．故選：D．．

5．（2022·貴州黔東南）在平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線先繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，再向下平移5個(gè)單位，所得到的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是_______．【答案】【分析】先把拋物線配方為頂點(diǎn)式，求出定點(diǎn)坐標(biāo)，求出旋轉(zhuǎn)后的拋物線，再根據(jù)“上加下減，左加右減”的法則進(jìn)行解答即可．【詳解】解：∵，∴拋物線的頂點(diǎn)為（-1，-2），將拋物線先繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°拋物線頂點(diǎn)為（1，2），旋轉(zhuǎn)后的拋物線為，再向下平移5個(gè)單位，即．∴新拋物線的頂點(diǎn)（1，-3）故答案是：（1，-3）．【考點(diǎn)2】二次函數(shù)的平移【例4】（2022·廣西玉林）小嘉說(shuō)：將二次函數(shù)的圖象平移或翻折后經(jīng)過(guò)點(diǎn)有4種方法：①向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度

②向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度③向下平移4個(gè)單位長(zhǎng)度

④沿x軸翻折，再向上平移4個(gè)單位長(zhǎng)度你認(rèn)為小嘉說(shuō)的方法中正確的個(gè)數(shù)有(

)A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象的平移可依此進(jìn)行求解問(wèn)題．【詳解】解：①將二次函數(shù)向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到：，把點(diǎn)代入得：，所以該平移方式符合題意；②將二次函數(shù)向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到：，把點(diǎn)代入得：，所以該平移方式符合題意；③將二次函數(shù)向下平移4個(gè)單位長(zhǎng)度得到：，把點(diǎn)代入得：，所以該平移方式符合題意；④將二次函數(shù)沿x軸翻折，再向上平移4個(gè)單位長(zhǎng)度得到：，把點(diǎn)代入得：，所以該平移方式符合題意；綜上所述：正確的個(gè)數(shù)為4個(gè)；故選D．圖像平移規(guī)律：由函數(shù)y=ax2平移得到y(tǒng)=a(x-h)2+k滿足“h值正右移，負(fù)左移；k值正上移，負(fù)下移”，概括成八個(gè)字，即：“左加右減，上加下減”.1．（2022·內(nèi)蒙古通遼）在平面直角坐標(biāo)系中，將二次函數(shù)的圖象向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，所得函數(shù)的解析式為（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】根據(jù)拋物線的平移規(guī)律：上加下減，左加右減解答即可．【詳解】解：將二次函數(shù)的圖象向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，所得函數(shù)的解析式為故選D．2．（2021·上海中考真題）將拋物線向下平移兩個(gè)單位，以下說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．開(kāi)口方向不變 B．對(duì)稱軸不變 C．y隨x的變化情況不變 D．與y軸的交點(diǎn)不變【答案】D【分析】根據(jù)二次函數(shù)的平移特點(diǎn)即可求解．【詳解】將拋物線向下平移兩個(gè)單位，開(kāi)口方向不變、對(duì)稱軸不變、故y隨x的變化情況不變；與y軸的交點(diǎn)改變故選D．3．（2020?綏化）將拋物線y＝2（x﹣3）2+2向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，得到拋物線的解析式是（）A．y＝2（x﹣6）2 B．y＝2（x﹣6）2+4 C．y＝2x2 D．y＝2x2+4【答案】C【分析】根據(jù)“左加右減、上加下減”的原則進(jìn)行解答即可．【詳解】將將拋物線y＝2（x﹣3）2+2向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度所得拋物線解析式為：y＝2（x﹣3+3）2+2，即y＝2x2+2；再向下平移2個(gè)單位為：y＝2x2+2﹣2，即y＝2x2．故選：C．4．（2022·黑龍江牡丹江）把二次函數(shù)y=2x2的圖象向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，平移后拋物線的解析式為_(kāi)___________．【答案】或（答出這兩種形式中任意一種均得分）【分析】直接根據(jù)“上加下減，左加右減”的原則進(jìn)行解答．【詳解】由“左加右減”的原則可知，將二次函數(shù)y=2x2的圖象向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度所得拋物線的解析式為：y=2（x+1）2，即y=2（x+1）2；由“上加下減”的原則可知，將拋物線y=2（x+1）2向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度所得拋物線的解析式為：y=2（x+1）2﹣2，即y=2（x+1）2﹣2．故答案為y=2（x+1）2﹣2．【考點(diǎn)3】二次函數(shù)與方程、不等式的關(guān)系【例5】（2021·廣西中考真題）如圖，已知拋物線與直線交于，兩點(diǎn)，則關(guān)于的不等式的解集是（）A．或 B．或 C． D．【答案】D【分析】將要求的不等式抽象成兩個(gè)函數(shù)的函數(shù)關(guān)系問(wèn)題，根據(jù)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱性，以及兩一次函數(shù)圖象的關(guān)系，求出新的一次函數(shù)與二次函數(shù)的交點(diǎn)，從而寫出拋物線在直線上方部分的x的取值范圍即可．【詳解】與關(guān)于y軸對(duì)稱拋物線的對(duì)稱軸為y軸，因此拋物線與直線的交點(diǎn)和與直線的交點(diǎn)也關(guān)于y軸對(duì)稱設(shè)與交點(diǎn)為，則，即在點(diǎn)之間的函數(shù)圖像滿足題意的解集為：故選D．【例6】（2022·黑龍江大慶）已知函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的值為_(kāi)___________．【答案】1或【分析】函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，則分兩種情況：第一種情況，函數(shù)圖象過(guò)原點(diǎn)；第二種情況，函數(shù)圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，分別計(jì)算即可【詳解】當(dāng)函數(shù)圖象過(guò)原點(diǎn)時(shí)，函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)滿足，解得；當(dāng)函數(shù)圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)且與坐標(biāo)軸y軸也有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，此時(shí)滿足，解得或，當(dāng)是，函數(shù)變?yōu)榕cy軸只有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意；綜上可得，或時(shí)，函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn)．故答案為：1或一元二次方程和二次函數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系（1）求二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，令y=0，即ax2+bx+c=0，解關(guān)于x的一元二次方程即可求得交點(diǎn)橫坐標(biāo).（2）二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點(diǎn)和一元二次方程ax2+bx+c=0的根之間的關(guān)系:Δ=b2-4ac決定拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù).①Δ=b2-4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；②Δ=b2-4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；③Δ=b2-4ac＜0時(shí)，拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn).（3）二次函數(shù)的交點(diǎn)式：y=a(x-x1)(x-x2)（a，b，c是常數(shù)，a≠0），可直接得到拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)（x1，0），（x2，0）.1．（2021·貴州中考真題）已知直線過(guò)一、二、三象限，則直線與拋物線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)或2個(gè)【答案】C【分析】先由直線過(guò)一、二、三象限，求出，通過(guò)判斷方程實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)可判斷直線與拋物線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)．【詳解】解：∵直線過(guò)一、二、三象限，∴．

由題意得：，即，∵△，

∴此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解．

∴直線與拋物線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2個(gè)．故選：C．2．（2021·黑龍江中考真題）已知函數(shù)，則下列說(shuō)法不正確的個(gè)數(shù)是（）①若該函數(shù)圖像與軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則②方程至少有一個(gè)整數(shù)根③若，則的函數(shù)值都是負(fù)數(shù)④不存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意實(shí)數(shù)都成立A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】對(duì)于①：分情況討論一次函數(shù)和二次函數(shù)即可求解；對(duì)于②：分情況討論a＝0和a≠0時(shí)方程的根即可；對(duì)于③：已知條件中限定a≠0且a＞1或a＜0，分情況討論a＞1或a＜0時(shí)的函數(shù)值即可；對(duì)于④：分情況討論a＝0和a≠0時(shí)函數(shù)的最大值是否小于等于0即可．【詳解】解：對(duì)于①：當(dāng)a＝0時(shí)，函數(shù)變?yōu)?，與只有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)a≠0時(shí)，，∴，故圖像與軸只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，或，①錯(cuò)誤；對(duì)于②：當(dāng)a＝0時(shí)，方程變?yōu)?，有一個(gè)整數(shù)根為，當(dāng)a≠0時(shí)，方程因式分解得到：，其中有一個(gè)根為，故此時(shí)方程至少有一個(gè)整數(shù)根，故②正確；對(duì)于③：由已知條件得到a≠0，且a＞1或a＜0當(dāng)a＞1時(shí)，開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為，自變量離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)，其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值越大，∵，∴離對(duì)稱軸的距離一樣，將代入得到，此時(shí)函數(shù)最大值小于0；當(dāng)a＜0時(shí)，開(kāi)口向下，自變量離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)，其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值越小，∴時(shí)，函數(shù)取得最大值為，∵a＜0，∴最大值，即有一部分實(shí)數(shù)，其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④：a＝0時(shí)，原不等式變形為：對(duì)任意實(shí)數(shù)不一定成立，故a＝0不符合；a≠0時(shí)，對(duì)于函數(shù)，當(dāng)a＞0時(shí)開(kāi)口向上，總有對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，此時(shí)不存在a對(duì)對(duì)任意實(shí)數(shù)都成立；當(dāng)a＜0時(shí)開(kāi)口向下，此時(shí)函數(shù)的最大值為，∵a＜0，∴最大值，即有一部分實(shí)數(shù)，其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，此時(shí)不存在a對(duì)對(duì)任意實(shí)數(shù)都成立；故④正確；綜上所述，②④正確，故選：C．3．（2021·浙江中考真題）已知和均是以為自變量的函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)值分別為和，若存在實(shí)數(shù)，使得，則稱函數(shù)和具有性質(zhì)．以下函數(shù)和具有性質(zhì)的是（）A．和B．和C．和D．和【答案】A【分析】根據(jù)題中所給定義及一元二次方程根的判別式可直接進(jìn)行排除選項(xiàng)．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，函數(shù)值分別為和，若存在實(shí)數(shù)，使得，對(duì)于A選項(xiàng)則有，由一元二次方程根的判別式可得：，所以存在實(shí)數(shù)m，故符合題意；對(duì)于B選項(xiàng)則有，由一元二次方程根的判別式可得：，所以不存在實(shí)數(shù)m，故不符合題意；對(duì)于C選項(xiàng)則有，化簡(jiǎn)得：，由一元二次方程根的判別式可得：，所以不存在實(shí)數(shù)m，故不符合題意；對(duì)于D選項(xiàng)則有，化簡(jiǎn)得：，由一元二次方程根的判別式可得：，所以不存在實(shí)數(shù)m，故不符合題意；故選A．【考點(diǎn)4】求二次函數(shù)的解析式【例7】（2021·河南中考真題）請(qǐng)寫出一個(gè)圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的函數(shù)的解析式__________．【答案】y=x（答案不唯一）【分析】直接寫出一個(gè)已經(jīng)學(xué)過(guò)的經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的函數(shù)解析式即可．【詳解】解：因?yàn)橹本€y=x經(jīng)過(guò)原點(diǎn)（0,0），故答案為：y=x（本題答案不唯一，只要函數(shù)圖像經(jīng)過(guò)原點(diǎn)即可）．【例8】（2021·浙江中考真題）在“探索函數(shù)的系數(shù)，，與圖象的關(guān)系”活動(dòng)中，老師給出了直角坐標(biāo)系中的四個(gè)點(diǎn)：，，，，同學(xué)們探索了經(jīng)過(guò)這四個(gè)點(diǎn)中的三個(gè)點(diǎn)的二次函數(shù)的圖象，發(fā)現(xiàn)這些圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式各不相同，其中的值最大為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】分四種情況討論，利用待定系數(shù)法，求過(guò)，，，中的三個(gè)點(diǎn)的二次函數(shù)解析式，繼而解題．【詳解】解：設(shè)過(guò)三個(gè)點(diǎn)，，的拋物線解析式為：分別代入，，得解得；設(shè)過(guò)三個(gè)點(diǎn)，，的拋物線解析式為：分別代入，，得解得；設(shè)過(guò)三個(gè)點(diǎn)，，的拋物線解析式為：分別代入，，得解得；設(shè)過(guò)三個(gè)點(diǎn)，，的拋物線解析式為：分別代入，，得解得；最大為，故選：A．根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)的解析式，通常利用待定系數(shù)法.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式必須根據(jù)題目的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)男问?，才能使解題簡(jiǎn)便.一般來(lái)說(shuō)，有如下幾種情況：（1）已知拋物線上三點(diǎn)的坐標(biāo)，一般選用一般式（y=ax2+bx+c）.（2）已知拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸或最大（小）值，一般選用頂點(diǎn)式［y=a（x-h）2+k］.（3）已知拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，一般選用交點(diǎn)式［y=a(x-x1)(x-x2)］.（4）已知拋物線上縱坐標(biāo)相同的兩點(diǎn)，常選用頂點(diǎn)式：y=a(x-h)2+k(a≠0)【方法解說(shuō)】（1）若二次公數(shù)的圖家經(jīng)過(guò)三個(gè)已知點(diǎn)可沒(méi)函數(shù)解析式為一般式，即y=ax2+bx+c；（2）若知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，可出數(shù)解析式為頂點(diǎn)式，即y=a(x-h)2+k(a≠0)，再根據(jù)拋物線與y軸的交點(diǎn)求出a的值；（3）若拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為(x1,0)和(x2,0)，可沒(méi)函數(shù)解析式為交點(diǎn)式，即y=a(x-x1)(x-x2)，再根據(jù)拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)求出a的值1．（2021·廣東中考真題）把拋物線向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的拋物線的解析式為_(kāi)__．【答案】【分析】直接根據(jù)“上加下減，左加右減”進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：拋物線向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的拋物線的解析式為：，即：故答案為：．2．（2021·浙江寧波市·中考真題）如圖，二次函數(shù)（a為常數(shù)）的圖象的對(duì)稱軸為直線．（1）求a的值．（2）向下平移該二次函數(shù)的圖象，使其經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，求平移后圖象所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的表達(dá)式．【答案】（1）；（2）【分析】（1）把二次函數(shù)化為一般式，再利用對(duì)稱軸：，列方程解方程即可得到答案；（2）由（1）得：二次函數(shù)的解析式為：，再結(jié)合平移后拋物線過(guò)原點(diǎn)，則從而可得平移方式及平移后的解析式．【詳解】解：（1）．∵圖象的對(duì)稱軸為直線，∴，∴．（2）∵，∴二次函數(shù)的表達(dá)式為，∴拋物線向下平移3個(gè)單位后經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，∴平移后圖象所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的表達(dá)式為．【考點(diǎn)5】二次函數(shù)的最值【例9】拋物線y＝3（x﹣1）2+8的頂點(diǎn)坐標(biāo)為．【分析】已知拋物線頂點(diǎn)式y(tǒng)＝a（x﹣h）2+k，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（h，k）．【解析】∵拋物線y＝3（x﹣1）2+8是頂點(diǎn)式，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)是（1，8）．故答案為：（1，8）．【例10】（2022·四川遂寧）如圖，D、E、F分別是三邊上的點(diǎn)，其中，BC邊上的高為6，且DE//BC，則面積的最大值為（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】A【分析】過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BC于M，交DE于點(diǎn)N，則AN⊥DE，設(shè)，根據(jù)，證明，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比得到，列出面積的函數(shù)表達(dá)式，根據(jù)配方法求最值即可．【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BC于M，交DE于點(diǎn)N，則AN⊥DE，設(shè)，，，，，，∴,，當(dāng)時(shí)，S有最大值，最大值為6，故選：A．1．（2022·內(nèi)蒙古包頭）已知實(shí)數(shù)a，b滿足，則代數(shù)式的最小值等于（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】A【分析】由已知得b=a+1，代入代數(shù)式即得a2-4a+9變形為(a-2)2+5，再根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求解．【詳解】解：∵b-a=1，∴b=a+1，∴a2+2b-6a+7=a2+2(a+1)-6a+7=a2-4a+9=(a-2)2+5，∵(a-2)2≥0，∴當(dāng)a=2時(shí)，代數(shù)式a2+2b-6a+7有最小值，最小值為5，故選：A．2．（2022·廣西賀州）已知二次函數(shù)y=2x2?4x?1在0≤x≤a時(shí)，y取得的最大值為15，則a的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】先找到二次函數(shù)的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)，求出y=15時(shí)，x的值，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得出答案．【詳解】解：∵二次函數(shù)y=2x2-4x-1=2（x-1）2-3，∴拋物線的對(duì)稱軸為x=1，頂點(diǎn)（1，-3），∵1>0，開(kāi)口向上，∴在對(duì)稱軸x=1的右側(cè)，y隨x的增大而增大，∵當(dāng)0≤x≤a時(shí)，即在對(duì)稱軸右側(cè)，y取得最大值為15，∴當(dāng)x=a時(shí)，y=15，∴2（a-1）2-3=15，解得：a=4或a=-2（舍去），故a的值為4．故選：D．3．（2022·山東聊城）某食品零售店新上架一款冷飲產(chǎn)品，每個(gè)成本為8元，在銷售過(guò)程中，每天的銷售量y（個(gè)）與銷售價(jià)格x（元/個(gè)）的關(guān)系如圖所示，當(dāng)時(shí)，其圖象是線段AB，則該食品零售店每天銷售這款冷飲產(chǎn)品的最大利潤(rùn)為_(kāi)_____________元（利潤(rùn)=總銷售額-總成本）．【答案】121【分析】利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，然后根據(jù)“利潤(rùn)=單價(jià)商品利潤(rùn)×銷售量”列出二次函數(shù)關(guān)系式，從而根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)分析其最值．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，設(shè)，把（10，20），（20，10）代入可得：，解得，∴每天的銷售量y（個(gè)）與銷售價(jià)格x（元/個(gè)）的函數(shù)解析式為，設(shè)該食品零售店每天銷售這款冷飲產(chǎn)品的利潤(rùn)為w元，，∵1<0，∴當(dāng)時(shí)，w有最大值為121，4．（2022·吉林長(zhǎng)春）已知二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)值y的最小值為1，則a的值為_(kāi)______．【答案】##【分析】先把函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式可得當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小，然后分兩種情況討論：若；若，即可求解．【詳解】解：，∴當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小，若，當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小，此時(shí)當(dāng)時(shí)，函數(shù)值y最小，最小值為，不合題意，若，當(dāng)時(shí)，函數(shù)值y最小，最小值為1，∴，解得：或（舍去）；綜上所述，a的值為．故答案為：【考點(diǎn)6】二次函數(shù)的應(yīng)用【例11】（2022·四川廣安）如圖是拋物線形拱橋，當(dāng)拱頂離水面2米時(shí)，水面寬6米，水面下降________米，水面寬8米．【答案】##【分析】根據(jù)已知得出直角坐標(biāo)系，通過(guò)代入A點(diǎn)坐標(biāo)（3，0），求出二次函數(shù)解析式，再根據(jù)把x=4代入拋物線解析式得出下降高度，即可得出答案．【詳解】解：建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)橫軸x通過(guò)AB，縱軸y通過(guò)AB中點(diǎn)O且通過(guò)C點(diǎn)，則通過(guò)畫圖可得知O為原點(diǎn)，由題意可得：AO=OB=3米，C坐標(biāo)為（0，2），通過(guò)以上條件可設(shè)頂點(diǎn)式y(tǒng)=ax2+2，把點(diǎn)A點(diǎn)坐標(biāo)（3，0）代入得，∴，∴，∴拋物線解析式為：；當(dāng)水面下降，水面寬為8米時(shí)，有把代入解析式，得；∴水面下降米；故答案為：；【例12】（2022·山東濰坊）某市在鹽堿地種植海水稻獲得突破性進(jìn)展，小亮和小瑩到海水稻種植基地調(diào)研．小瑩根據(jù)水稻年產(chǎn)量數(shù)據(jù)，分別在直角坐標(biāo)系中描出表示2017-2021年①號(hào)田和②號(hào)田年產(chǎn)量情況的點(diǎn)（記2017年為第1年度，橫軸表示年度，縱軸表示年產(chǎn)量），如下圖．小亮認(rèn)為，可以從y=kx+b(k>0)，y=(m>0)，y=?0.1x2+ax+c中選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，模擬①號(hào)田和②號(hào)田的年產(chǎn)量變化趨勢(shì)．（1）小瑩認(rèn)為不能選．你認(rèn)同嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）請(qǐng)從小亮提供的函數(shù)模型中，選擇適當(dāng)?shù)哪Ｐ头謩e模擬①號(hào)田和②號(hào)田的年產(chǎn)量變化趨勢(shì)，并求出函數(shù)表達(dá)式；（3）根據(jù)（2）中你選擇的函數(shù)模型，請(qǐng)預(yù)測(cè)①號(hào)田和②號(hào)田總年產(chǎn)量在哪一年最大？最大是多少？【答案】(1)認(rèn)同，理由見(jiàn)解析(2)①號(hào)田的函數(shù)關(guān)系式為y=0.5x+1(k>0)；②號(hào)田的函數(shù)關(guān)系式為y=?0.1x2+x+1；(3)在2024年或2025年總年產(chǎn)量最大，最大是7.6噸．【分析】（1）根據(jù)年產(chǎn)量變化情況，以及反比例函數(shù)的性質(zhì)即可判斷；（2）利用待定系數(shù)法求解即可；（3）設(shè)總年產(chǎn)量為w，依題意得w=?0.1x2+x+1+0.5x+1，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【解析】(1)解：認(rèn)同，理由如下：觀察①號(hào)田的年產(chǎn)量變化：每年增加0.5噸，呈一次函數(shù)關(guān)系；觀察②號(hào)田的年產(chǎn)量變化：經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，1.9），（2，2.6），（3，3.1），∵1×1.9=1.9，2×2.6=5.2，1.9≠5.2，∴不是反比例函數(shù)關(guān)系，小瑩認(rèn)為不能選是正確的；(2)解：由（1）知①號(hào)田符合y=kx+b(k>0)，由題意得，解得：，∴①號(hào)田的函數(shù)關(guān)系式為y=0.5x+1(k>0)；檢驗(yàn)，當(dāng)x=4時(shí)，y=2+1=3，符合題意；②號(hào)田符合y=?0.1x2+ax+c，由題意得，解得：，∴②號(hào)田的函數(shù)關(guān)系式為y=?0.1x2+x+1；檢驗(yàn)，當(dāng)x=4時(shí)，y=-1.6+4+1=3.4，符合題意；(3)解：設(shè)總年產(chǎn)量為w，依題意得：w=?0.1x2+x+1+0.5x+1=?0.1x2+1.5x+2=?0.1(x2-15x+-)+2=?0.1(x-7.5)2+7.625，∵?0.1<0，∴當(dāng)x=7.5時(shí)，函數(shù)有最大值，∴在2024年或2025年總年產(chǎn)量最大，最大是7.6噸．1．（2022·河南）紅看到一處噴水景觀，噴出的水柱呈拋物線形狀，她對(duì)此展開(kāi)研究：測(cè)得噴水頭P距地面0.7m，水柱在距噴水頭P水平距離5m處達(dá)到最高，最高點(diǎn)距地面3.2m；建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，并設(shè)拋物線的表達(dá)式為，其中x（m）是水柱距噴水頭的水平距離，y（m）是水柱距地面的高度．（1）求拋物線的表達(dá)式．（2）爸爸站在水柱正下方，且距噴水頭P水平距離3m，身高1.6m的小紅在水柱下方走動(dòng)，當(dāng)她的頭頂恰好接觸到水柱時(shí)，求她與爸爸的水平距離．【答案】(1)(2)2或6m【分析】（1）根據(jù)頂點(diǎn)，設(shè)拋物線的表達(dá)式為，將點(diǎn)，代入即可求解；（2）將代入（1）的解析式，求得的值，進(jìn)而求與點(diǎn)的距離即可求解．【解析】(1)解：根據(jù)題意可知拋物線的頂點(diǎn)為，設(shè)拋物線的解析式為，將點(diǎn)代入，得，解得，拋物線的解析式為，(2)由，令，得，解得，爸爸站在水柱正下方，且距噴水頭P水平距離3m，當(dāng)她的頭頂恰好接觸到水柱時(shí)，她與爸爸的水平距離為(m)，或(m)．2．（2022·山東臨沂）第二十四屆冬奧會(huì)在北京成功舉辦，我國(guó)選手在跳臺(tái)滑雪項(xiàng)目中奪得金牌．在該項(xiàng)目中，首先沿著跳臺(tái)助滑道飛速下滑，然后在起跳點(diǎn)騰空，身體在空中飛行至著陸坡著陸，再滑行到停止區(qū)終止本項(xiàng)目．主要考核運(yùn)動(dòng)員的飛行距離和動(dòng)作姿態(tài)，某數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)該項(xiàng)目中的數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行了深入研究：下圖為該興趣小組繪制的賽道截面圖，以停止區(qū)CD所在水平線為x軸，過(guò)起跳點(diǎn)A與x軸垂直的直線為y軸，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系．著陸坡AC的坡角為30°，．某運(yùn)動(dòng)員在A處起跳騰空后，飛行至著陸坡的B處著陸，．在空中飛行過(guò)程中，運(yùn)動(dòng)員到x軸的距離與水平方向移動(dòng)的距離具備二次函數(shù)關(guān)系，其解析式為．（1）求b、c的值；（2）進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)運(yùn)動(dòng)員在飛行過(guò)程中，其水平方向移動(dòng)的距離與飛行時(shí)間具備一次函數(shù)關(guān)系，當(dāng)運(yùn)動(dòng)員在起跳點(diǎn)騰空