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文檔簡介
2024-2025學年呂梁市高三年級階段性測試數(shù)學試題(本試題滿分150分,考試時間120分鐘.答案一律寫在答題卡上)注意事項:1答卷前,考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上,認真核對條形碼上的姓名、準考證號,并將條形碼粘貼在答題卡的指定位置上.2.答題時使用0.5毫米的黑色中性(簽字)筆或碳素筆書寫,字體工整、筆跡清楚.3.請按照題號在各題的答題區(qū)域(黑色線框)內作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效.4.保持卡面清潔,不折疊,不破損.一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.已知集合,,則()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先解二次不等式化簡集合,再利用集合的交集運算即可得解.【詳解】因為,又,所以.故選:D.2.已知復數(shù),則()A.2 B. C.1 D.【答案】A【解析】【分析】利用復數(shù)的乘方運算求出,再利用復模的運算即可得解.【詳解】復數(shù),所以.故選:A.3.下列函數(shù)中,既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是()A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)奇偶性、單調性的定義判斷.【詳解】選項A中是偶函數(shù),BCD三選項中函數(shù)都是奇函數(shù);在和上都是減函數(shù),但在定義域內不是減函數(shù),B錯;結合冪函數(shù)性質知是減函數(shù),C正確;中,設,則,而,因此,即,是增函數(shù),D錯.故選:C.4.已知數(shù)列的各項均不為0,設甲:;乙:數(shù)列是等比數(shù)列,則甲是乙的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】先驗證甲是否能推出乙,再驗證乙是否能推出甲求解.【詳解】驗證甲是否能推出乙,甲的意思是該數(shù)列隔項成等比數(shù)列,甲可構造數(shù)列,顯然甲推不出乙,驗證乙是否能推出甲,因為數(shù)列是等比數(shù)列,所以,,所以,所以乙能推出甲,所以甲是乙的必要不充分條件.故選:B.5.已知滿足,,且向量在向量上的投影向量為,則()A. B. C. D.2【答案】C【解析】【分析】令,過作于,利用投影向量的意義求出,再利用垂直關系的向量表示,結合數(shù)量積的運算律求出,由給定向量等式確定點的位置即可求解.【詳解】在中,令,過作于,,由向量在向量上的投影向量為,得,解得,則,由,得,解得,由,得,即,因此,在中,.故選:C6.如圖,設矩形的周長為,把沿向折疊,折過去后交于點,記的周長為,面積為,則的最大值為()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意設,利用三角形全等得到的周長為4,再利用勾股定理得出關于的表達式,進而得到關于的表達式,利用換元法與基本不等式即可得解.【詳解】因為矩形的周長為,設,則,故,得,因為,,,所以,設,則,所以的周長為,在直角中,由勾股定理得,解得,則,所以,令,則,,所以,當且僅當,即,時,等號成立,所以的最大值為.故選:A.7.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),且為偶函數(shù),當時,,則下列結論中正確的是()A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先根據(jù)條件得到的周期和對稱軸,對A,根據(jù)周期可得到,再根據(jù)對稱軸得到,結合解析式即可求解;對B,根據(jù)周期可得到,再根據(jù)對稱軸得到,結合解析式即可求解;對C,D,結合函數(shù)在上的單調性和的對稱性即可判斷.【詳解】偶函數(shù),,即,即函數(shù)關于對稱,又為奇函數(shù),,故,即的最小正周期為4,對A,的最小正周期為4,,又關于對稱,,當時,,則,即,故A錯;對B,的最小正周期為4,,又關于對稱,,當時,,即,故,故B錯;對C,當時,,易知在上單調遞增,又關于對稱,,,,即,故,故C錯誤;對D,,且,故,故D對.故選:D.8.當時,曲線與的交點個數(shù)為4個,則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意分別作出與的圖象,可得,從而可求解.【詳解】由,如圖所示,畫出在時的圖象,對于,,,令,得,,得,,由與的圖象有個交點,由圖知,解得,故B正確.故選:B.二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.9.下列命題正確的是()A.B.C.在等差數(shù)列中,,,,則D.在等差數(shù)列中,為其前項和,若,,則【答案】AC【解析】【分析】對于AB,由弦切互化結合三角恒等變換公式即可計算求解;對于CD,由等差數(shù)列通項公式和前n項和公式即可計算求解.【詳解】A選項,,A選項正確.B選項,,所以B選項錯誤.C選項,在等差數(shù)列an中,,,,設等差數(shù)列的公差為,則,兩式相減得,所以,則,所以,C選項正確.D選項,設等差數(shù)列an的公差為,則,即,兩式相減得,所以,所以D選項錯誤.故選:AC10.若實數(shù)滿足,則()A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】將等式變形為,利用可得選項A正確;通過配方得,利用可得選項B錯誤;等式可變形為,利用可得選項C正確;通過配方可得,利用可得選項D正確.【詳解】對于A,可化為,,∵(當且僅當時取等號),∴,∴,∴,選項A正確.對于B,由得,∴,∴,選項B錯誤.對于C,由得,∴,∵(當且僅當時取等號),∴,∴,∴,選項C正確.D.由得,∴,∴.由得,∴,∴,選項D正確.故選:ACD.11.已知函數(shù),則下列結論正確的是()A.若,則B.有兩個零點C.D.若,,,則【答案】BCD【解析】【分析】A選項,求出定義域,求導,得到函數(shù)在上單調遞減,舉出反例得到A錯誤;B選項,在A選項基礎上,結合零點存在性定理進行求解;C選項,計算出,C正確;D選項,計算得到,在C選項基礎上求出D正確.【詳解】A選項,定義域為,,故在上單調遞減,不妨取,此時滿足,但,,,A錯誤;B選項,由A選項知,上單調遞減,其中,,,,由零點存在性定理可知,存在,使得,故有兩個零點,B正確;C選項,,而,故,C正確;D選項,,又,,且,,,結合C選項知,,則,D正確.故選:BCD【點睛】關鍵點點睛:互為倒數(shù)關系,從而研究得到,并由此得出D選項的思路,由求出.三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.已知向量,,且,則______.【答案】【解析】【分析】利用向量共線的坐標表示即可求解.【詳解】由向量,,則,又,則,解得,故答案為:13.對于數(shù)列,定義數(shù)列為數(shù)列的“和數(shù)列”,若,數(shù)列的“和數(shù)列”的通項公式為,則數(shù)列的前21項和______.(結果保留指數(shù)形式)【答案】.【解析】【分析】利用等比數(shù)列求和公式求解即可.【詳解】因為,數(shù)列an的“和數(shù)列”的通項公式為,所以數(shù)列,,故答案為:.14.在銳角中,角,,的對邊分別為,,,若,則的取值范圍為______.【答案】【解析】【分析】本題根據(jù)余弦定理與正弦定理進行化簡,得到為,求出的范圍,結合對勾函數(shù)的特點,即可求得.【詳解】由題意,因為,即由正弦定理可得,,所以或,,又,,,,,解得,,又因為,令,則,,根據(jù)對勾函數(shù)的性質,函數(shù)在上單調遞增,所以,所以則的取值范圍為,故答案為:.【點睛】關鍵點睛:本題綜合考查了余弦定理、正弦定理以及對勾函數(shù)性質,較為綜合.四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù),且的最小正周期為.(1)將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度,得到函數(shù)的圖象,若是偶函數(shù),求的最小值;(2)若,,求的值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)化簡的解析式,根據(jù)的最小正周期求得,利用三角函數(shù)圖象變換的知識求得,再根據(jù)是偶函數(shù)來求得的最小值.(2)根據(jù)三角恒等變換的知識求得.【小問1詳解】,由于的最小正周期為,所以,所以,將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度,得到函數(shù),由于是偶函數(shù),所以,由于,所以時,取得最小值為.【小問2詳解】,由于,所以,所以.16.已知函數(shù).(1)證明:曲線是軸對稱圖形;(2)若函數(shù)在上有三個零點,求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】(1)證明,即可說明曲線y=fx是軸對稱圖形;(2)首先求出,然后將問題轉化為與的圖象在上有三個交點,結合hx的圖象即可求出實數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】由函數(shù),定義域為,則,因此可得,故函數(shù)y=fx的圖象關于,即曲線y=fx【小問2詳解】由,若函數(shù)在上有三個零點,則方程在上有三個實根,即在上有三個實根,令,則與hx的圖象在上有三個交點,又,當或時,h'x<0則hx在和上單調遞減,當時,h'x>0,則hx又,,,,因此可得hx結合圖象,要使與hx的圖象在上有三個交點,則實數(shù)的取值范圍為.17.民族要復興,鄉(xiāng)村需振興.為響應國家號召,我市城市規(guī)劃管理局擬將某鄉(xiāng)村一三角形區(qū)域規(guī)劃成休閑度假區(qū),通過文旅賦能鄉(xiāng)村經濟發(fā)展.度假區(qū)按如圖所示規(guī)劃為三個功能區(qū):區(qū)域規(guī)劃為露營區(qū),區(qū)域規(guī)劃為休閑垂釣區(qū),區(qū)域規(guī)劃為自由活動區(qū).為安全起見,預在魚塘四周圍筑護欄.已知,,,為內一點,.(1)當時,求護欄的長度(的周長);(2)若,求;(3)為了容納更多游客,露營區(qū)的面積要盡可能大,求露營區(qū)面積的最大值.【答案】(1);(2);(3).【解析】【分析】(1)在中,利用正弦定理求出,在中,利用余弦定理即可求解得答案.(2)設銳角,在與中,利用正弦定理建立關系,再利用差角的正弦公式計算即得.(3)設,利用正弦定理求出,利用三角形面積公式建立關系,借助三角恒等變換及正弦函數(shù)的性質求出最大值.【小問1詳解】在中,由正弦定理得,即,解得,而為銳角,則,在中,由余弦定理得,即,所以的周長,即護欄的長度為.【小問2詳解】令銳角,則,在中,由正弦定理得,則,在中,由正弦定理得,則,于是,即,整理得,因此,所以.【小問3詳解】設,則,在中,由正弦定理得,則,于是的面積,而,則當,即時,,所以露營區(qū)面積的最大值為.18.已知函數(shù).(1)令,求的單調區(qū)間;(2)若存在使得,求證:.【答案】(1)當時,在上單調遞增;當時,在上單調遞增,在上單調遞減(2)證明見詳解【解析】【分析】(1)求出,分、和三種情況討論;(2)求出的極值點,求出,令,求出,求出,求出,求出,求出,說明只需證明,只需證明,令,利用導數(shù)即可證明.【小問1詳解】,,當時,恒成立,所以在單調遞增;當時,恒成立,所以在上單調遞增;當時,,存在兩根,,因為,所以,所以時,,所以單調遞增,時,,單調遞減,所以當時,在上單調遞增;當時,在上單調遞增,在上單調遞減【小問2詳解】,解得,解得,則在上單調遞減,在上單調遞增,所以,因,令,,所以,所以,所以,所以,所以,所以,所以只需證明即可,所以只需證明,令,,令,函數(shù)定義域為,,當時,,當時,在上單調遞增,在上單調遞減,所以,所以,所以,所以,所以在上單調遞增,所以,得證.【點睛】關鍵點點睛:本題(2)關鍵在于令,求出,說明只需證明.19.對于無窮數(shù)列,“若存在,必有”,則稱數(shù)列具有性質.(1)若數(shù)列滿足判斷數(shù)列是否具有性質?是否具有性質?(2)把(1)中滿足性質的從小到大一一列出,構成新的數(shù)列,若,求證:;(3)對于無窮數(shù)列,設,若數(shù)列具有性質,求集合中元素個數(shù)的最大值.(寫出表達式即可,結論不需要證明)【答案】(1)數(shù)列不具有性質,具有性質;(2)證明見解析;(3)集合中元素個數(shù)的最大值為.【解析】【分析】(1)結合an的通項公式,利用定義分別判斷an是否具有性質和性質;(2)先證明不可能為奇數(shù),由此可得,由此證明,結合等比數(shù)列求和公式證明結論;(3)根據(jù)數(shù)列具有性質,得到數(shù)列的元素個數(shù),從而證得結果;【小問1詳解】因為,當時,均為奇數(shù),故若存在,由題意可得,與為偶數(shù)矛盾,所以數(shù)列an不具有性質;因為,,且,,故數(shù)列an具有性質;【小問2詳解】因為,,為偶數(shù),時,均為奇數(shù),故由題設條件知不可能為奇數(shù),又,,令,則;【小問3詳解】因為數(shù)列an具有性質,所以一定存在一組最小的,且,滿足,即,由性質的定義可得,,,,,所以數(shù)列an中,從第項開始的各項呈現(xiàn)周期性規(guī)律為一個周期中的各項,所以數(shù)列an中最多有個不同的項
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