湖南省頂級名校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題含答案

數(shù)學(xué)時量：120分鐘滿分：150分得分：__________一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知雙曲線的一條漸近線方程為，則（）A.1 B.2 C.8 D.16【答案】A解析：依題意，得m>0，令，即的漸近線方程為，所以.故選：A2.已知直線l1：mx－2y＋1＝0，l2：x－(m－1)y－1＝0，則“m＝2”是“l(fā)1平行于l2”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】C解析：由直線l1平行于l2得－m(m－1)＝1×(－2)，得m＝2或m＝－1，經(jīng)驗證，當(dāng)m＝－1時，直線l1與l2重合，舍去，所以“m＝2”是“l(fā)1平行于l2”的充要條件，故選C.3.記等差數(shù)列的前項和為，則（）A.120 B.140 C.160 D.180【答案】C解析：因為，所以，所以，所以，故選：C.4.已知數(shù)列的通項，若是遞增數(shù)列，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B解析：解：由已知得，即，解得.故選：B.5.已知直線，從點射出的光線經(jīng)直線反射后經(jīng)過點，則光線從到的路程為（）A.2 B.3 C.5 D.6【答案】C解析：設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，則有解得，因為光線從到的路程即的長，而.所以光線從到的路程為5.故選：C．6.已知兩圓C1：（x-4）2+y2=169，C2：（x+4）2+y2=9.動圓M在圓C1內(nèi)部且和圓C1相內(nèi)切，和圓C2相外切，則動圓圓心M的軌跡方程是（）A. B.C. D.【答案】D解析：設(shè)動圓的圓心，半徑為圓與圓:內(nèi)切，與C2：外切.所以.由橢圓的定義，的軌跡是以為焦點，長軸為16的橢圓.則，所以動圓的圓心的軌跡方程為：故選：D7.設(shè)直線與圓相交于兩點，且的面積為8，則（）A. B. C.1 D.【答案】C解析：由三角形的面積公式可得，得，由，得，所以為等腰直角三角形，所以圓心到直線的距離為，由點到直線的距離公式得，解得.故選：C8.設(shè)，是雙曲線的左，右焦點，是坐標(biāo)原點，過點作的一條漸近線的垂線，垂足為．若，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B解析：解：不妨設(shè)過點作的垂線，其方程為，由解得，，即，由，所以有，化簡得，所以離心率．故選：B.二?多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.數(shù)列0，1，0，，0，1，0，，…的一個通項公式是（）A. B. C. D.【答案】AD解析：當(dāng)時，，故C不正確；當(dāng)時，，排除B；當(dāng)，時，經(jīng)驗算，AD均正確，由周期性可知AD正確，故選：AD.10.已知拋物線y2=2pxp>0上三點Ax1,y1，A.拋物線的準(zhǔn)線方程為B.若，則C.若三點共線，則D.若，則的中點到軸距離的最小值為2【答案】ABD解析：對A，把點代入拋物線，得，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為，故A正確；對B，因為Ax1,y1，，所以，，，又由，得，所以，故B正確；對C，因為三點共線，所以線段是焦點弦，設(shè)直線：，聯(lián)立得，所以，故C不正確；對D，設(shè)中點為，因為，，所以，得，即的中點到軸距離的最小值為，故D正確.故選：ABD11.曲線，下列結(jié)論正確的是（）A.曲線關(guān)于原點對稱B.曲線關(guān)于直線對稱C.當(dāng)時，曲線上點的橫坐標(biāo)的取值范圍為D.若曲線在第一象限內(nèi)存在位于直線左側(cè)的點，則【答案】BCD解析：對選項A：設(shè)曲線上有一點，則①，而點關(guān)于原點對稱的點為，若曲線關(guān)于原點對稱，則也應(yīng)在曲線上，則有②；聯(lián)立①②，得，此時無解，故A錯誤；對選項B：設(shè)曲線上有一點，則③，而點關(guān)于對稱的點為，若曲線關(guān)于對稱，則也應(yīng)在曲線上，則有④；聯(lián)立③④，得，即，該式恒成立，則和是在曲線上且關(guān)于對稱的點，即是該曲線的對稱軸，故B正確；對選項C：由原方程得，解得，所以C正確；對選項D：由原方程得，由題意知，當(dāng)時有點在曲線上，因為，所以在上有解，即在上有解，又因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，所以D正確.故選：BCD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知橢圓的左、右焦點分別為，上頂點為，若，則的短軸長為______.【答案】解析：設(shè)，易知，結(jié)合，可知為等腰直角三角形，所以，故，所以，所以的短軸長為.故答案為：.13.已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，且滿足，則__________.【答案】2024解析：由于數(shù)列的各項均為正數(shù)，即，當(dāng)時，，即，當(dāng)時，由，可得，兩式相減得，又，為一個以2為首項，2為公差的等差數(shù)列，.故答案為：2024.14.已知雙曲線，其左右焦點分別為，，點P是雙曲線右支上的一點，點I為的內(nèi)心（內(nèi)切圓的圓心），，若，，則的內(nèi)切圓的半徑為______.【答案】解析：解：由，結(jié)合點I是的內(nèi)切圓的圓心可知，又有，所以，再結(jié)合雙曲線的定義可得，，再根據(jù)，由余弦定理可得，即，解得，則，可得內(nèi)切圓的半徑角.故答案為：.四?解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知圓過點和，且圓心在直線上.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）經(jīng)過點的直線與圓相切，求的方程.【答案】（1）（2）或（1）解析：解：設(shè)圓的方程為，根據(jù)題意，可得，解得，所以圓的方程為.（2）解析：解：當(dāng)直線的斜率不存在時，直線的方程為，符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，由圓心到直線的距離等于圓的半徑，可得，解得，則直線的方程為，即.故直線的方程為或.16.已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，．（1）求的通項公式；（2）設(shè)，，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）；（2）．解析：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，由題可得，因為，所以，所以．（2）因為，所以，所以，所以，，兩式相減得故．17.如圖，已知四棱錐中，平面，，，是邊長為的正三角形，點在平面內(nèi)的投影恰好是的中心.（1）求證：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）（1）解析：證明：因為平面，平面，所以，，因為，所以，因為，、平面，所以平面，因為平面，所以，平面平面.（2）解析：解：如圖，連接、、，因為點在平面內(nèi)的投影恰好是的中心，且是邊長為的正三角形，所以，三棱錐為正三棱錐，因為為等腰直角三角形，則，取的中點，連接，則，因為，，，所以，，所以，四邊形是矩形，則，又因為，則，因為平面，，以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A0,0,0、B1,0,0、C1,1,0、、、，所以，，設(shè)平面的法向量為，BC=0,1,0，，則，取，則，又，設(shè)直線與平面所成角為，則.故直線與平面所成角正弦值為.18.已知橢圓的離心率為，點在橢圓上，分別為的左，右焦點，拋物線的頂點在原點，焦點與的右焦點重合.（1）求橢圓與拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過焦點的直線交橢圓于點，交拋物線于點，為過點且垂直于軸的直線上異于的一點.（i）若，求直線的方程；（ii）設(shè)的斜率分別為，求的值.【答案】（1），（2）（i）或；（ii）2（1）解析：根據(jù)題意可知，解得概圓的方程為.，拋物線的方程為.（2）解析：如圖，（i）設(shè)的方程為，聯(lián)立化簡得，顯然，設(shè)Ax1,所以，聯(lián)立化簡得，顯然，設(shè)，則，所以因為，所以，即，即，所以直線的方程為或.（ii）設(shè)，則，，.19.已知集合，若對于任意與至少有一個屬于，則稱為開心集.（1）分別判斷集合與集合是否為開心集，并說明理由；（2）當(dāng)時，若，求開心集；（3）若集合為開心集，且中存在元素，使得中所有元素均為的整數(shù)倍，求的最小值.【答案】（1）不是開心集，是開心集，理由見解析；（2）或；（3）2023.（1）解析：解：對于集合，因為，故不是開心集；對于集合，因為，故集合是開心集.（2）解析：解：當(dāng)時，，因為，由題意得，故，①若，由于，故，故