《電波與天線》課件第1章

項目一用模擬法描繪靜電場1.1探究靜電場基本規(guī)律1.2用模擬法描繪靜電場的分布1.3導體和介質對電場分布的影響 1.1探究靜電場基本規(guī)律

1.1.1電荷庫侖定律

大家知道，用絲綢摩擦過的玻璃棒或用毛皮摩擦過的橡膠棒等能吸引輕小物體，這表明它們在摩擦后進入一種特殊的狀態(tài)，我們把處于這種狀態(tài)的物體叫帶電體，并說它們帶有電荷。大量實驗表明，自然界中的電荷只有兩種，一種叫正電荷，一種叫負電荷，同種電荷間相互排斥，異種電荷間相互吸引。

真空中兩個靜止的點電荷之間的相互作用力，跟它們的電荷量的乘積成正比，跟它們的距離的平方成反比，作用力的方向在它們的連線上，這就是庫侖定律，即：(1－1)其中，k≈9×109Nm2/C2，稱為靜電力常量。為了研究非真空中兩電荷之間的作用力，常常將上式改寫成：(1－2)其中，ε0≈8.9×10－12C2/m2N是真空的介電常數(shù)。如果兩個點電荷處于其他介質中，只需將真空的介電常數(shù)ε0改為該介質的介電常數(shù)ε即可。庫侖定律對兩個點電荷間的靜電力的大小和方向都做了明確的描述，但式（1－1）和式（1－2）只反映了靜電力的大小，并未涉及靜電力的方向。要想反映出方向就需要把它改寫成矢量形式：(1－3)庫侖定律討論的是兩個點電荷間的作用力，當空間有兩個以上點電荷時，作用于每一個電荷上的總的靜電力等于其他點電荷單獨存在時作用于該電荷的靜電力的矢量和。當空間出現(xiàn)帶電體時，可利用數(shù)學的微分思想，將帶電體看成是由無數(shù)個點電荷疊加而成的，再用積分的方法求出其所受的庫侖力。1.1.2電場電場強度

對于電荷間作用力的性質，歷史上有過幾種不同的觀點。一種觀點認為靜電力是“超距作用”，它的傳遞不需要媒介，也不需要時間；另一觀點認為靜電力是物質間的相互作用，既然電荷q1處在q2周圍任意一點都要受力，說明q2周圍空間存在一種特殊物質，它雖然不像實物那樣由電子、質子和中子構成，但確是一種物質。這種特殊的、由電荷激發(fā)的物質叫電場。

兩個電荷之間的作用力，實際上是一個電荷的電場作用在另一個電荷上的電場力。相對于觀察者，靜止的電荷激發(fā)的電場叫靜電場，這也是本章內容研究的對象。為了研究電場，首先要描述電場，為此引入一個描述電場的物理量——電場強度（簡稱場強）：（1－4）

［例1－1］求真空中點電荷Q在其周圍產(chǎn)生的電場。

解：在Q周圍空間某點引入檢驗電荷q，由庫侖定律式（1－3）可知q受到的電場力為再由電場強度的定義式（1－4），可得點電荷Q在其周圍產(chǎn)生的電場強度的大小為這就是點電荷的電場在空間的分布函數(shù)。這個函數(shù)是在球坐標中的表達形式，其自變量為r。如果換在直角坐標系中（將自變量換為x，y，z），則上式可以寫成：

以后的學習過程中，我們會根據(jù)需要選擇不同的坐標系。常見的坐標系有直角坐標系、柱坐標系、球坐標系。若要求多個點電荷在空間激發(fā)的總場強，可求出每個點電荷單獨存在時所激發(fā)的電場場強在該點的矢量和，這叫做電場疊加原理。

對于電荷連續(xù)分布的帶電體，我們引入電荷密度的概念。電荷體密度ρ是一個標量點函數(shù)，如果某個區(qū)域中各點的ρ相等，則電荷在該區(qū)域內是均勻分布的。為了計算場強，可把帶電區(qū)域分為許多小體積元dτ，每個dτ可以看做電量為ρdτ的點電荷，它在空間某點P激發(fā)的場強為根據(jù)疊加原理，整個帶電區(qū)域在P點激發(fā)的總場強等于所有dE的矢量和，即：積分區(qū)域遍及整個帶電體。積分區(qū)域遍及整個帶電面。

當電荷分布在一條細棒上時，可以用線密度η來描述電荷的分布情況。我們把一個帶電細棒抽象為一個“帶電線”，計算帶電線激發(fā)的場強時，可以把每一個線元dl看做電量為ηdl的點電荷，場強的計算歸結為如下的積分：積分區(qū)域遍及整個帶電線。

用函數(shù)表達式來描述電場是最精確的方法，但這種描寫不夠直觀，有時求解函數(shù)表達式還比較困難。為了形象地描述電場，人們用曲線來大致描述電場，曲線上每點的切線方向與該點的場強方向相同，曲線的疏密程度表示場強的大小，我們把這種曲線叫做電場線。

電場線是為了直觀方便而引入的一種曲線，其實并不存在。電場線從正電荷（或無窮遠）出發(fā)，到負電荷（或無窮遠）結束，中間不間斷，也不相交。綜上所述，電場線的性質，我們可以用“三不”來概括，即：不存在，不閉合，不相交。(1－5)圖1-1如果把前面的速度場v改為電場E(x，y，z)，則電場中面元dS的電通量為電通量是標量，但有正負之分。一般情況下，一個面分為正面、反面，如果規(guī)定從正面穿過的電通量為正值，那么從反面穿過的電通量就是負值，反之亦然。計算總的電通量時，將通過該面的所有電通量的代數(shù)值相加即可?，F(xiàn)在討論一個點電荷的情況。設電場由點電荷q激發(fā)，以q為圓心做半徑為r的球，在球面上任取一面元dS，因dS和電場方向處處垂直，所以其電通量為則通過整個球面的電通量為(1-6)雖然這是一個特殊的例子，但很容易進一步擴展到任意閉合曲面：真空中，靜電場對任意一個閉合曲面的電通量等于該曲面內電荷的代數(shù)和除以ε0，即：(1－7)這就是高斯定理。我們把這種閉合的曲面叫高斯面。1.1.4靜電場環(huán)路定理

電荷在電場中運動時電場力會對其做功，研究電場力做功的規(guī)律，對于了解靜電場的性質具有重要的意義。

我們假設電荷q在電荷Q的電場中從P1點沿某一路徑運動到P2點（如圖1－2所示），任取一元位移dl，設q在運動dl前后與電荷Q的距離分別為r及r′（r′－r=dr），則電場力在這一元位移上所做的微功為圖1－2q從P1到P2的過程中，電場力所做的總功為所以

此式說明，當電荷q在點電荷Q的場中運動時，電場力所做的功只取決于運動電荷的始末位置而與路徑無關。下面證明，這個結論適合于任何靜電場。設點電荷q從靜電場中的一點沿某一曲線L運動至另一點，則電場力所做的功為：

把激發(fā)電場的電荷分為許多個點電荷，根據(jù)電場迭加原理可知：則

靜電場的有位性還可以用另一種形式來描述。如果點電荷q在靜電場中沿某一閉合曲線L移動一周，則根據(jù)上面的討論，電場力所做的功應為：因積分路徑是閉合的，所以上式常寫成：現(xiàn)在L上任取兩點A和B把L分成兩部分L1和L2如圖1－3所示），則圖1-3若取點電荷q為單位電荷（即令q=1），則上式可寫成：（L為閉合曲線）可見，靜電場沿任一閉合曲線的環(huán)路積分為零，這是靜電場中與高斯定理并列的一個重要定理，沒有通用的名稱，我們可稱之謂靜電場環(huán)路定理。利用環(huán)路定理，不難證明靜電場的電場線不能閉合這一性質。(1-8)利用環(huán)路定理，可以引入電勢（電位）的概念。在電場中任取一點P0（叫做參考點），設單位正電荷從場中一點P移到P0，無論路徑如何，場力所做的功都是同一個值，它只與P及P0兩點有關，所以這個功自然可以反映P點的性質。于是規(guī)定：單位正電荷從P點移動到參考點P0時電場力所做的功，叫做P點的電勢（電位），記作U。設點電荷q從P點到P0點時電場力所做的功為W，則P點的電勢為(1-9)上式也說明了電勢與場強之間的關系。

由場強的迭加原理，不難理解電勢的迭加原理。n個點電荷在某點產(chǎn)生的電勢等于每個點電荷單獨存在時在該點產(chǎn)生電勢的代數(shù)和。

電場中電勢相等的點組成的曲面叫等勢面，等勢面處處與電場線垂直。一般說來，過電場中任一點都可以作等勢面，為了使等勢面更直接地反映電場的性質，現(xiàn)對等勢面的畫法作一附加的規(guī)定：場中任兩相鄰的等勢面的電勢差為常數(shù)。容易證明，按照這個附加規(guī)定畫等勢面，場強較大處等勢面較密，反之較疏，因此，等勢面的疏密程度也可以反映場強的大小。1.2.1模擬法描繪電場

真正的靜電場不能直接用電表測量，因為靜電場中沒有運動的電荷，不能使電表的指針偏轉。如果將帶電體放在導電的介質里，維持帶電體間的電勢差不變，介質里便會有恒定不變的電流，這樣就可以用電壓表測量介質中各點的電勢值，找到等勢面，再根據(jù)等勢面和電場的關系求出電場強度。導電介質里由恒定電流建立的場稱為恒定電流場。1.2用模擬法描繪靜電場的分布

靜電場和穩(wěn)恒電流場雖是兩個截然不同的電場，但可以用穩(wěn)恒電流場中的電位分布來模擬靜電場的電位分布。對于均勻帶電的長直同軸柱面的靜電場可以用圓片形金屬電極A和圓環(huán)金屬電極B所形成的電流場來描繪。如圖1-4所示，同軸形電容器中，由于軸對稱性，場強和電位都與軸向坐標z無關，所以我們只研究與軸垂直的平面內的電場（即二維場）的規(guī)律。圖1－4根據(jù)上面的實驗裝置和歐姆定律可知，從中心極板經(jīng)過導電紙流到圓環(huán)上的電流強度為(1－10)式中，U是電源電壓，R是導電紙的電阻，它取決于導電紙的厚度、大小和電導率。鑒于導電紙的均勻性和電容器的對稱性，總電流可以寫成：(1－11)式中h為導電紙的厚度，r為離開中心軸的距離，j為r處的電流強度，它與該處的電場強度成正比，即：(1－12)(1－13)式中,c是一個常量，所以上式是恒定電流場的場強分布表示式，與圓柱形電容器中靜電場分布的關系式完全相同，所以用電流場模擬靜電場是完全可行的。項目1－1同軸圓柱形電容器中靜電場的模擬。

任務要求：描繪同軸圓柱形電容器中的電場分布。

所需設備：直流穩(wěn)壓電源、電壓表、微安計、滑線變阻器、導電紙、靜電描繪儀等。

測量過程：

（1）按圖1－5所示裝置連接好測量系統(tǒng)。將導電紙上內外兩電極分別與直流穩(wěn)壓電源的正負極相連接，電壓表正負極分別與同步探針及電源負極相連接。調節(jié)電源電壓到10.0V。

(2)移動同步探針測繪同軸電纜的等位線簇。相鄰兩個等位線間的電位差為1V，共測8條等位線，每條等位線測定出8個均勻分布的點。圖1－5

(3)以每條等位線上各點到原點的平均距離為半徑畫出等位線的同心圓簇。然后根據(jù)電力線與等位線正交原理，再畫出電力線，標明等位線的電壓大小，并指出電場強度方向，從而得到一張完整的電場分布圖。

(4)在坐標紙上做出相對電位Ur/U0和lnr的關系曲線，并與理論結果比較。注意事項：

測量時，探針每次應該從外向里或者從里向外沿一個方向移動，測量一個點時不要來回移動測量，因為探針會小幅轉動，向前或向后測量同一點會導致打孔出現(xiàn)偏差。

思考題：

（1）用電流場模擬靜電場的條件是什么？

（2）如果電源電壓增加一倍，等位線和電力線的形狀是否發(fā)生變化？電場強度和電位分布是否發(fā)生變化？為什么？

（3）測量電場產(chǎn)生畸變，試分析原因。1.2.2等勢線的探測

尋找等勢線最簡單的辦法是用電壓計測量，即測出對同一電極電壓相等的點。但在測量過程中電壓計還要流過微小電流，這給探測引入誤差，使用如圖1－6所示的補償電路，可以排除這種誤差。

圖1－6中G為檢流計，V為電壓計，C為探針，A為接收電極，E為補償電源，R為分壓器。當尋找電勢為V的等勢線時，懸空C端，調分壓器R使電壓計示值為V，先用萬用表找到V電勢的大概位置，再用探針C去該位置附近找，當G的指針不動時，該點電勢為V。圖1－6項目1－2兩根無限長平直導線間靜電場的模擬。

任務要求：描繪兩根無線長平直導線間的電場分布。

所需設備：直流穩(wěn)壓電源、電壓表、微安計、滑線變阻器、導電紙、電極等。

測量過程：

測量過程類似于項目1－1。1.3導體和介質對電場分布的影響

1.3.1靜電平衡金屬導體中有大量的自由電子，它們時刻做無規(guī)則的運動，當自由電子受到電場力（或其他力）時，還要在熱運動的基礎上附加一種有規(guī)則的宏觀運動，形成電流。當電子不做宏觀有規(guī)則的運動時，我們說導體處于靜電平衡狀態(tài)。導體處于靜電平衡狀態(tài)時，其內部各點的場強為零。這可以很容易地用反證法得到證明。處于靜電平衡狀態(tài)的導體是等勢體，其表面是等勢面，所以在導體外，緊靠導體表面的場強方向與導體表面垂直。這可以用電勢的定義和性質得證。

處于靜電平衡狀態(tài)的導體內部沒有電荷，電荷只能分布在導體表面。這可以用高斯定理得證，并可由高斯定理得出，導體表面的場強大小與導體表面的電荷面密度成正比。1.3.2孤立帶電導體表面的電場分布

對于孤立的帶電導體來說，一般情況下，導體向外突出的地方（曲率為正且較大）電荷較密，比較平坦的地方（曲率為正且較?。╇姾奢^疏，向里凹進的地方（曲率為負）電荷最疏。

如圖1－7是驗證尖端電荷密度大的一個演示實驗。令懸在絲線下的通草球和帶電導體A帶有同種電荷，將通草球靠近導體尖端a處，通草球因受到斥力而張開某一角度，再將通草球靠近曲率較小的b處，張開的角度會小些?？梢娂舛烁浇膱鰪娸^大，因而電荷密度較大。圖1－7由于尖端附近場強較大，該處的空氣可能被電離成導體而出現(xiàn)尖端放電現(xiàn)象，夜間看到的高壓電線周圍籠罩著的一層綠色光暈（電暈），就是一種微弱的尖端放電形式。尖端放電會導致高壓線及高壓電極上電荷的丟失，因此凡是對地有高壓的導體（或兩個相互間有高壓的導體），其表面都盡可能光滑。另一方面，在很多情況下尖端放電也可以利用，例如避雷針、靜電加速器、感應起電機的噴電針尖和集電針尖，都是尖端放電的應用。1.3.3封閉導體殼內外的電場分布

1．殼內空間的電場

（1）討論殼內空間沒有電荷的情況。用反證法可以證明，如圖1－8所示，不論殼外帶電體情況如何，殼內空間各點的電場必然為零。設殼內有一點P的場強不為零，就可以過它作一條電場線，這條電場線既不能在無電荷處中斷，又不能穿過導體，就只能起于殼內壁的某一點A而止于另一點B，而A、B兩點既然在同一條電場線上，電勢就不能相等，而這與導體是等勢體相矛盾，可見殼內空間各點場強為零。同時不難證明，空殼內壁各點的電荷密度為零。想一想，若殼外有一電荷q，是否由于殼的存在，q就不在殼內空間激發(fā)電場了呢？

當然不是，任何點電荷都要按照點電荷場強公式在空間任何點激發(fā)電場，而不論周圍空間存在的物質是什么。殼內空間場強之所以是零，只是因為由于q的作用，使殼的外壁感應出了電荷，它們與q在殼內空間任一點激發(fā)的合場強為零。圖1－8（2）討論殼內空間有電荷的情況。這時，殼內空間將因殼內帶電體的存在而出現(xiàn)電場，殼的內壁也會出現(xiàn)電荷分布。但可以證明，這一電場只由殼內帶電體及殼的內壁的形狀決定，而與殼外情況無關，也就是說，殼外電荷對殼內電場無影響。這一證明比較復雜，可以參考電動力學的相關書籍。

總之，金屬殼內的電場由殼內的電荷和金屬殼內壁的形狀決定，與外界電荷無關。2．殼外空間的電場

（1）殼外空間無電荷。

以圖1－9為例，設殼不帶電，殼內有一正電荷q，可以用高斯定理證明，殼內、外壁感應電荷分別為-q和+q，顯然，殼外的空間存在著電場，我們可以認為它是殼外壁電荷激發(fā)的。

殼內帶電體q當然在殼外激發(fā)電場，但同時殼內壁的電荷也在殼外激發(fā)電場，它們的合電場為零，這一點通過金屬外殼接地的現(xiàn)象便可看得更為清楚。用導線把金屬殼和大地相連，就可以消除殼外電場，以圖1－10為例，為了證明這一點，只需證明殼外空間不存在電場線。由于導體本身是等勢體，而地球也是個大導體，所以金屬殼和地球共同組成為一個等勢體，同一條電場線不可能起于等勢面而止于等勢面?？梢?，接地金屬殼外部不可能存在電場線，因此場強處處為零。圖1－9圖1－10對上述結論可以作一個直觀的解釋：殼外的感應電荷全部沿接地線流入大地，因此它們在殼外激發(fā)的電場不復存在。但應注意，接地線的存在只是提供了金屬殼與地交換電荷的可能性，并不保證殼外壁電荷密度在任何情況下都為零。下面就要看到，當殼外有帶電體時，接地殼外壁是可以有電荷分布的。（2）殼外空間有電荷。

以圖1－11為例，該圖所示為殼內有電荷時的電場分布。用反證法就可以證明接地金屬殼外壁電荷分布并不處處為零。因為假定外壁各點電荷面密度為零，則空間除點電荷q外別無電荷，金屬殼層內（直到金屬內部）場強就不會為零，而這就與靜電平衡的條件矛盾?？梢?，接地并不導致金屬殼外壁電荷密度為零。但理論和實驗均證明，接地的金屬殼可使殼外電場分布情況不受殼內電荷的影響，圖1－12所示為殼內無電荷時殼外的電場分布情況，即不管殼內帶電情況如何，殼外電場只由殼外電荷決定。應當注意，如果殼不接地，這個規(guī)律是不成立的。圖1－11圖1－12綜上可知，封閉導體殼（不論接地與否）內部電場不受殼外電荷的影響；接地封閉金屬殼外部電場不受殼內電荷的影響，這種現(xiàn)象叫做靜電屏蔽。靜電屏蔽在電工和電子技術中有廣泛的應用，比如高壓電力設備安裝接發(fā)金屬柵網(wǎng)，電子儀器的整體或部分用接電金屬外殼等都是靜電屏蔽應用的例子。1.3.4電偶極子

兩個相距很近且等值異號的點電荷的整體叫做偶極子。所謂很近，是指我們關心的場點與這兩個點電荷的距離比兩個點電荷之間的距離大得多?，F(xiàn)在討論偶極子激發(fā)的電場。

為了使問題簡化，我們只研究偶極子在l的延長線及中垂線上的場強的表達式。

（1）偶極子在l延長線上的場強。（2）偶極子在l中垂線上的場強。1.3.5電介質的極化

電介質是電的絕緣體，帶電量為零的電介質，實際上是體內正電荷和負電荷代數(shù)和為零。按照正負電荷的分布特點，電介質可以分為兩類。

一類電介質中每個分子的正負電荷“中心”彼此重合，所以它們對外不顯電性，這樣的分子叫做無極性分子，如氫氣、氧氣等。

另一類電介質中每個分子的正負電荷“中心”不重合，每一個分子就是一個偶極子，但由于分子不斷做無規(guī)則的熱運動，它們對外也不顯電性，這樣的分子叫做有極分子，如水、二氧化硫等。在外加電場的情況下，無論是無極分子還是有極分子都要發(fā)生變化，這種變化叫做電介質的極化。極化分為位移極化和取向極化兩種。

（1）無極分子的位移極化

在外加電場E的作用下，無極分子中正、負電荷的“中心”向相反的方向做一個微小的位移，兩個“中心”不再重合，原來中性的分子變成偶極子。分子在外電場的作用下的這種變化叫位移極化。極化產(chǎn)生的偶極子將產(chǎn)生電場。（2）有極分子的取向極化

沒有外加電場時，有極分子內部的偶極子的取向是雜亂無章的，當外界電場E存在時，偶極子由于受到力矩的作用，其取向變得趨于一致，這種極化叫做取向極化。這些取向趨于一致的偶極子將產(chǎn)生電場。

以無極性分子為例，在沒有外加電場的情況下，其分子分布情況如圖1－13（a）所示，加了外加電場以后，每個分子變成偶極子，如圖1－13（b）所示。此時相當于在介質的兩個表面，有電荷感覺出來了，這種在外加電場的作用下，在介質表面感覺出來的電荷叫極化電荷。為了區(qū)別起見，把不是由極化引起的電荷叫做自由電荷。從圖中可以看出，在介質內部正負電荷仍然等量，因此內部是沒有極化電荷的。圖1－13可見，極化程度越高，介質表面感應出的極化電荷越多。為了描述方便，我們用介質表面極化電荷的面密度σ表征介質在外加電場情況下的極化強度。顯然，外加的電場越大，介質的極化強度越大；在外加電場相同的情況下，不同介質的極化強度不一樣。

由于極化電荷也要激發(fā)電場，這就改變了原來的電場，反過來又使極化情況發(fā)生變化，如此互相影響，最后達到平衡。平衡時，空間每點的場強都由兩部分疊加而成：其中，E0是空間自由電荷激發(fā)的電場，E′是極化電荷激發(fā)的電場。但是極化電荷畢竟是由自由電荷激發(fā)的電場引起的，如果空間沒有自由電荷。也就不可能有極化電荷。因此，可以確定，根據(jù)空間自由電荷的分布及電介質的極化率，就能得到空間的場強，只不過直接計算比較困難。因為要想求出E，必須知道q和q′，而q′又取決于E，這似乎形成了計算上的循環(huán)。為解決這個問題，我們引入一個新的矢量D，得到一個便于求解的方程，下面介紹這個過程。當空間有電介質時，只要把自由電荷和極化電荷同時考慮在內，高斯定理仍然成立：(1－14)(1－15)令 ，我們把D稱為電位移矢量，則上式變?yōu)?1－16)這就是有介質存在時的高斯定理。如果把真空看作電介質的特例，因其極化電荷的面密度，，則上式變?yōu)?1－17)1.3.6有介質時的靜電場方程

由前面的討論可知，下面兩式為有介質時的靜電場方程。(1－18)(1－19)但上面兩式涉及兩個量D和E，因此還需附加下面的關系式(1－20)如果已知自由電荷在空間的分布、電介質在空間的分布以及每種電介質的介電常數(shù)ε，原則上可由上式求出空間的場分布。1.3.7兩介質邊界處的電場分布

由靜電場方程及電介質的性能方程可以推出在兩種不同介質交界面上的E和