備戰(zhàn)2025年高考二輪復習數(shù)學專題突破練9

專題突破練(分值:82分)學生用書P155一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.(2024·北京東城二模)在△ABC中,A=π4,C=7π12,b=2,則a=A.1 B.2 C.3 D.2答案D解析由題意可得B=π-A-C=π6由正弦定理可得,a=bsinAsin故選D.2.(2024·浙江金華三模)已知△ABC中,A=π6,a=13,b=2,則c=(A.2 B.3 C.32 D.33答案D解析由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,即13=4+c2-23c,解得c=33(c=-3舍去).故選D.3.(2024·山東濟南一模)已知a,b,c分別為△ABC三個內角A,B,C的對邊,且acosC+3asinC=b,則A=()A.π6 B.π4 C.π3答案A解析由正弦定理可得,sinAcosC+3sinAsinC=sinB.因為sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,代入整理得3sinAsinC-cosAsinC=0.因為0<C<π,sinC>0,則tanA=33又0<A<π,故A=π6故選A.4.(2024·吉林二模)如圖,位于某海域A處的甲船獲悉,在其北偏東60°方向C處有一艘漁船遇險后拋錨等待營救.甲船立即將救援消息告知位于甲船北偏東15°,且與甲船相距2nmile的B處的乙船,已知遇險漁船在乙船的正東方向,那么乙船前往營救遇險漁船時需要航行的距離為()A.2nmile B.2nmileC.22nmile D.32nmile答案B解析由題意知,AB=2,∠BAC=45°,∠BCA=30°,由正弦定理得,ABsin∠BCA=BCsin∠BAC,所以BC=ABsin∠BACsin∠5.(2024·陜西西安模擬)在△ABC中,cosA=-12,b=6,a-c=4,則△ABC的面積為(A.153 B.303 C.15 D.30答案A解析因為cosA=-12,b=6,a-c=4,所以由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得(c+4)2=36+c2+6c,解得c=10.因為A∈(0,π),所以sinA=32,所以S=12bcsinA=153.6.(2024·陜西渭南三模)已知△ABC中,角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,若bcosC+ccosB=b,且a=ccosB,則△ABC是()A.銳角三角形 B.鈍角三角形C.等邊三角形 D.等腰直角三角形答案D解析由正弦定理,得sinBcosC+sinCcosB=sinB,則sin(B+C)=sinB,即sinA=sinB,故a=b.因為a=ccosB,則sinA=sinCcosB,故sin(B+C)=sinCcosB,sinBcosC+cosBsinC=sinCcosB,得sinBcosC=0.因為B∈(0,π),所以sinB≠0,故cosC=0.因為C∈(0,π),所以C=π2故△ABC為等腰直角三角形.故選D.7.(2024·安徽皖南五校聯(lián)考)在△ABC中,內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若a=c,且sin2Bsin2A=2(1+3sinA.π3 B.2π3 C.3答案D解析由正弦定理得,b2a2=2(1+3sin即b2=2a2(1+3sinB).由a=c及余弦定理可得,b2=a2+c2-2accosB=2a2(1-cosB),∴2a2(1+3sinB)=2a2(1-cosB),∴3sinB=-cosB,∴tanB=-33又0<B<π,∴B=5π6.故選8.在△ABC中,∠ACB=120°,BC=2AC,D為△ABC內一點,AD⊥CD,∠BDC=120°,則tan∠ACD=()A.22 B.332 C.6 D答案B解析在Rt△ADC中,設∠ACD=θ(0<θ<π2),令AC=x(x>0),則BC=2x,CD=xcosθ在△BCD中,可得∠BCD=120°-θ,∠CBD=θ-60°,由正弦定理BCsin∠BDC=所以43=112tanθ-即tan∠ACD=332.故選二、選擇題:本題共2小題,每小題6分,共12分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求,全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.9.(2024·山東濟南三模)已知△ABC內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,外接圓半徑為R.若a=1,且sinA-bsinB=(c+b)sinC,則()A.sinA=3B.△ABC面積的最大值為3C.R=2D.BC邊上的高的最大值為3答案AD解析在△ABC中,由正弦定理,得a-b2=c2+bc.因為a=1,則a=b2+c2+bc=1.由余弦定理得,cosA=b2+c又0<A<π,解得A=2π對于A,sinA=32,故A正確對于B,顯然1=b2+c2+bc≥3bc,當且僅當b=c時,等號成立,S△ABC=12bcsinA≤312,故B對于C,R=12·asinA對于D,令BC邊上的高為h,則12ah=S△ABC≤312,解得h≤36,D正確.10.(2024·湖北荊州三模)設△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,恒成立條件a=3cosC,b=1.附加條件①△ABC的面積取到最大值34;附加條件②c=102.下列結論正確的是(A.sinAsinBB.tanC=2tanBC.若恒成立條件和附加條件①成立,則cos2B=3D.若恒成立條件和附加條件②成立,則cos2B=4答案ABC解析因為a=3cosC,b=1,所以a=3bcosC.由正弦定理得sinA=3sinBcosC.又B∈(0,π),所以sinB>0,則sinAsinB=3cosC,故又A+B+C=π,所以3sinBcosC=sin(π-B-C)=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,所以2sinBcosC=cosBsinC.因為cosB≠0,cosC≠0,所以tanC=2tanB,故B正確.若△ABC的面積取到最大值34,即S△ABC=12absinC=32cosCsinC=34sin所以當C=π4時,S△ABC取得最大值34,此時tanC=1,由B可知tanB=12tan所以cos2B=cos2B-sin2B=cos2B-si若c=102,由正弦定理bsinB=csinC,得sin所以sin2C=52sin2B,由B知tanC=2tanB即sin所以52sin2Bcos2C所以sin2C+cos2C=52sin2B+58cos2即1=158sin2B+58,所以sin2B=所以cos2B=1-2sin2B=1-2×15=35,故選ABC.三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.11.在△ABC中,內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知2ccosB=2a-b,則C=.

答案π解析根據(jù)題意,在△ABC中,2ccosB=2a-b,則由正弦定理,得2sinCcosB=2sinA-sinB,變形可得2sinCcosB=2sin(B+C)-sinB,則有2sinBcosC=sinB.因為sinB>0,所以cosC=12因為C∈(0,π),則C=π312.(2024·浙江臺州一模)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.若角A為銳角,b=3,c=4,則△ABC的周長可能為.(寫出一個符合題意的答案即可)

答案9(答案不唯一,(8,12)內的任何一個值均可)解析由余弦定理可得a=b2因為角A為銳角,則cosA∈(0,1),可得a=25-24cosA∈(1,5),所以△ABC的周長a+b+c=a+7∈(8,12).故△ABC的周長可以為9.(答案不唯一,(8,1213.(2024·山東威海二模)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知a=6,b+c=4,cosC=-66,則sinA=.答案5解析在△ABC中,由余弦定理可得c2=a2+b2-2abcosC,所以c2-b2=6-26b×-6所以(c-b)(c+b)=6+2b.因為c+b=4,所以4(c-b)=6+2b,所以4c-6b=6.又b+c=4,解得b=1,c=3.由cosC=-66,可得sinC=30在△ABC中,由正弦定理可得csin所以sinA=asin四、解答題:本題共1小題,共15分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟14.(15分)(2024·山東濟寧三模)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知(1-cos2C)(sinA+1)-cosAsin2C=0.(1)求證:B=C+π2(2)若a=4,C∈π8,π6,求(1)證明(1-cos2C)(sinA+1)-cosAsin2C=0,sinA+1-cos2CsinA-cos2C-cosAsin2C=0,sinA-cos2C+1-sin(A+2C)=0.又A+C=π-B,則sin(B+C)-cos2C+1-sin(B-C)=0,sinBcosC+sinCcosB-1+2sin2C+1-sinBcosC+sinCcosB=0,2sin2C+2sinCcosB=0,即2sinC(sinC+cosB)=0.又sinC>0,所以sinC+cosB=0,即cosB=-sinC=cosπ2又0<B<π,0<C<π