備戰(zhàn)2025年高考二輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)專題突破練10　等差數(shù)列、等比數(shù)列(提升篇)

專題突破練(分值:100分)學(xué)生用書P161主干知識(shí)達(dá)標(biāo)練1.已知數(shù)列{an}滿足2an+1=an+an+2,其前n項(xiàng)和為Sn,若S9=18,則a5=()A.-2 B.0 C.2 D.4答案C解析根據(jù)題意2an+1=an+an+2,可得數(shù)列{an}為等差數(shù)列,所以S9=9(a1+a9)2=18,所以a1+a9=4,所以2a5=4,所以2.已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,若a2+a4+a6=5π,b2b4b6=33,則tana1+a71A.3 B.-3 C.33 D.-答案A解析因?yàn)閿?shù)列{an}是等差數(shù)列,所以a2+a4+a6=3a4=5π,故a4=5π3,所以a1+a7=2a4=10π3,因?yàn)閧bn}是等比數(shù)列,所以b2b4b6=b43=33,故b4=3,所以b2b6=3.所以tana1+a71-b3.已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)積為Tn,a1=16,公比q=12,則Tn取最大值時(shí)n的值為(A.3 B.6 C.4或5 D.6或7答案C解析an=a1qn-1=16×12n-1=24×21-n=(方法一)由題意知,an>0且數(shù)列{an}為遞減數(shù)列,a5=1,前4項(xiàng)大于1,從第6項(xiàng)起小于1,所以n=4或5時(shí),Tn取得最大值.(方法二)Tn=a1a2…an=24×23×…×25-n=24+3+…+(5-n)=2n(4+5-n)2=2-n2+9n2=2-(n-4.已知{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列,其公差d≠0,若lna1,lna3,lna6也是等差數(shù)列,則其公差為()A.lnd B.ln2d C.ln23 D.ln答案D解析因?yàn)閘na1,lna3,lna6是等差數(shù)列,所以2lna3=lna1+lna6,即lna32=lna1a所以a32=a1a6,即(a1+2d)2=a1(a1+5d又d≠0,所以a1=4d,所以公差為lna3-lna1=lna3a1=lna1+2da1=ln5.(2024山東濰坊一模)已知數(shù)列{an}滿足a1=0,a2=1.若數(shù)列{an+an+1}是公比為2的等比數(shù)列,則a2024=()A.22C.21012-1 D.21011-1答案A解析依題意,a1+a2=1,an+an+1=2n-1,當(dāng)n≥2時(shí),an-1+an=2n-2,則an+1-an-1=2n-2,所以a2024=a2+(a4-a2)+(a6-a4)+…+(a2024-a2022)=1+2+23+25+…+22021=1+2(1-46.(多選題)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足a5=-4,S5=-40,則()A.a10=6B.S10=-30C.當(dāng)且僅當(dāng)n=6時(shí),Sn取最小值D.a5+a6+a7+a8+a9+a10=0答案AB解析設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,由a5=-4,S5=-40,得a1+4d=-4,5a1+5×42d=-40.解得a1=-12,d=2,所以an=2n-14,Sn=(-12+2n-14)n2=n2-13n,則a10=6,S10=-30,A,B正確;令an=2n-14≤0,得n≤7,且a7=0,則當(dāng)n=6或n=7時(shí),Sn取最小值,C不正確;因?yàn)閍5+a6+a7+a8+a9=5a7.(多選題)一百零八塔始建于西夏時(shí)期,是中國現(xiàn)存最大且排列最整齊的塔群之一,塔群隨山勢鑿石分階而建,自上而下一共12層,第1層有1座塔,從第2層開始每層的塔數(shù)均不少于上一層的塔數(shù),總計(jì)108座塔.已知包括第1層在內(nèi)的其中十層的塔數(shù)可以構(gòu)成等差數(shù)列{an},剩下的兩層的塔數(shù)分別與上一層的塔數(shù)相等,第1層與第2層的塔數(shù)不同,則下列結(jié)論正確的有()A.第3層的塔數(shù)為3B.第4層與第5層的塔數(shù)相等C.第6層的塔數(shù)為9D.等差數(shù)列{an}的公差為2答案ABD解析設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,若d=1,則這10層的塔數(shù)之和為10×1+10×92=則最多有55+10+10=75座塔,不符合題意;若d≥3,則這10層的塔數(shù)之和不少于10×1+10×92×3>108,不符合題意所以d=2,這10層的塔數(shù)之和為10×1+10×92×2=塔數(shù)依次是1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,依題意剩下兩層的塔數(shù)為3和5,所以這12層塔的塔數(shù)分別為1,3,3,5,5,7,9,11,13,15,17,19,因此A,B,D正確,C錯(cuò)誤.故選ABD.8.我國古代數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》載有一道數(shù)學(xué)問題:“今有物不知其數(shù),三三數(shù)之剩二,五五數(shù)之剩二,七七數(shù)之剩二,問物幾何?”根據(jù)這一數(shù)學(xué)思想,所有被3除余2的自然數(shù)從小到大組成數(shù)列{an},所有被5除余2的自然數(shù)從小到大組成數(shù)列{bn},把{an}和{bn}的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列{cn},則下列結(jié)論正確的是()A.a3+b5=c3 B.b28=c10C.a5b2>c8 D.c9-b9=a26答案B解析根據(jù)題意數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2,公差為3的等差數(shù)列,則an=2+3(n-1)=3n-1,數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為2,公差為5的等差數(shù)列,則bn=2+5(n-1)=5n-3,數(shù)列{an}與{bn}的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列{cn},故數(shù)列{cn}是首項(xiàng)為2,公差為15的等差數(shù)列,則cn=2+15(n-1)=15n-13.對(duì)于A,a3+b5=(3×3-1)+(5×5-3)=30,c3=15×3-13=32,a3+b5≠c3,A錯(cuò)誤;對(duì)于B,b28=5×28-3=137,c10=15×10-13=137,b28=c10,B正確;對(duì)于C,a5=3×5-1=14,b2=5×2-3=7,c8=15×8-13=107,a5b2=14×7=98<107=c8,C錯(cuò)誤;對(duì)于D,c9=15×9-13=122,b9=5×9-3=42,a26=3×26-1=77,c9-b9=122-42=80≠77=a26,D錯(cuò)誤.故選B.9.(5分)設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,寫出一個(gè)滿足下列條件的{an}的公比q=.

①a1>0;②{an}是遞增數(shù)列;③S3<13a1.答案2(答案不唯一)解析由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得an=a1qn-1,則an-an-1=a1qn-2(q-1),因?yàn)閍1>0,且{an}是遞增數(shù)列,所以q>1.因?yàn)镾3<13a1,所以a1+a2+a3<13a1,即a1q2+a1q-12a1<0,因?yàn)閍1>0,所以q2+q-12<0,解得-4<q<3.綜上,1<q<3.故答案可以為2(答案不唯一).10.(5分)已知{an}是等差數(shù)列,{bn}是等比數(shù)列,Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,S11=11,b5b7=3,則log3a6b6答案-1解析因?yàn)閧an}是等差數(shù)列,且Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,所以S11=11(a1+a11解得a6=1,因?yàn)閧bn}是等比數(shù)列,所以b5b7=b62=3,則log3a6b62=11.(5分)對(duì)于數(shù)列{an},定義Hn=a1+2a2+…+2n-1ann為{an}的“優(yōu)值”,現(xiàn)已知某數(shù)列{an}的“優(yōu)值”Hn=2n,記數(shù)列1答案506解析因?yàn)镠n=a1+2a2+…+2n-1ann=2n,則a1+2a2當(dāng)n=1時(shí),a1=2;當(dāng)n≥2時(shí),a1+2a2+…+2n-2an-1=(n-1)·2n-1,②①②兩式相減可得2n-1an=n·2n-(n-1)·2n-1=(n+1)2n-1,即an=n+1,n≥2;a1=2也滿足上式,所以an=n+1,n∈N*.可得1a所以S2024=12-13+12.(5分)(2023北京,14)我國度量衡的發(fā)展有著悠久的歷史,戰(zhàn)國時(shí)期就已經(jīng)出現(xiàn)了類似于砝碼的、用來測量物體質(zhì)量的“環(huán)權(quán)”.已知9枚環(huán)權(quán)的質(zhì)量(單位:銖)從小到大構(gòu)成項(xiàng)數(shù)為9的數(shù)列{an},該數(shù)列的前3項(xiàng)成等差數(shù)列,后7項(xiàng)成等比數(shù)列,且a1=1,a5=12,a9=192,則a7=;數(shù)列{an}所有項(xiàng)的和為.

答案48384解析設(shè)前3項(xiàng)的公差為d,后7項(xiàng)的公比為q,q>0,則q4=a9a5=19212=16,又a3=a1+2d=a5q2,即1+2d=3,所以a3=3,a7=a3q4=48,a1+a2+…+a9=1+2+3+3×2+…+3×26=3+3×(1-關(guān)鍵能力提升練13.(多選題)(2024山東德州模擬)將n2個(gè)數(shù)排成n行n列的數(shù)陣,如圖所示,該數(shù)陣第一列的n個(gè)數(shù)從上到下構(gòu)成以m為公差的等差數(shù)列,每一行的n個(gè)數(shù)從左到右構(gòu)成以m為公比的等比數(shù)列(其中m>0).已知a11=3,a13=a51+1,記這n2個(gè)數(shù)的和為S,下面敘述正確的是()a11a12a13…a1na21a22a23…a2na31a32a33…a3n……an1an2an3…annA.m=2 B.a78=15×28C.aij=(2i+1)·2j-1 D.S=n(n+2)(2n-1)答案ACD解析由題意a13=a11·m2=3m2,a51=a11+4m=3+4m,由a13=a51+1,則3m2=3+4m+1,整理可得(3m+2)(m-2)=0,又m>0,所以m=2,故A正確;對(duì)于B,a71=a11+6×2=15,a78=a71·27=15×27≠15×28,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,ai1=a11+(i-1)×2=1+2i,aij=ai1·2j-1=(1+2i)·2j-1,故C正確;對(duì)于D,S=a111-2n1-2+a211-2n1-2+a311-2n1-2+…+an11-2n1-2=1-2n1-14.若數(shù)列{an}滿足anan+1+an+1-an+1=0,a1=λ(λ≠0,且λ≠±1),記Tn=a1a2…an,則T2023=()A.-1 B.1C.1-λ答案C解析由anan+1+an+1-an+1=0,得an+1=an-1an+1,所以an+2=an+1-1an+1+1=an-1an+1-1an-1an+1+1=-1an,則an+4=-1an+2=an,所以數(shù)列{an}是以4為周期的數(shù)列.因?yàn)閍1=λ,所以a215.(多選題)(2024山西呂梁三模)已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公差為d,前n項(xiàng)和為Sn,若S10<S8<S9,則下列說法正確的是()A.當(dāng)n=8時(shí),Sn最大B.使得Sn<0成立的最小自然數(shù)為n=18C.|a8+a9|>|a10+a11|D.Snan中最小項(xiàng)為答案BD解析由題得S8<即-兩式相加,得a由a9>0,a10<0,所以當(dāng)n=9時(shí),Sn最大,故A錯(cuò)誤;由S10<S8,可得到a9+a10<0,所以由等差數(shù)列性質(zhì)可得a8+a11<0,兩式相加,得a10+a11+a8+a9<0,所以|a8+a9|<|a10+a11|,故C錯(cuò)誤;由以上可得:a1>a2>a3>…>a9>0>a10>a11>…,S17=17(a1+a17)2=17a9>0,而S18=18(當(dāng)n≤17時(shí),Sn>0,當(dāng)n≥18時(shí),Sn<0,所以使得Sn<0成立的最小自然數(shù)為n=18,故B正確;當(dāng)n≤9,或n≥18時(shí),Snan>0,當(dāng)9<n<18時(shí),由0>a10>a11>…>a17,S10>S11>S12>…>S17>0,所以Snan中最小項(xiàng)為S10a10,故D正確16.(5分)設(shè)Tn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若T2nTn(n∈N*)是非零常數(shù),則稱該數(shù)列為“和等比數(shù)列”;若數(shù)列{cn}是首項(xiàng)為2,公差不為0的等差數(shù)列,且數(shù)列{cn}是“和等比數(shù)列”,則c2+c7+c答案78解析設(shè){cn}公差為d.因?yàn)閿?shù)列{cn}是等差數(shù)列,所以前n項(xiàng)和為Sn=n(前2n項(xiàng)和為S2n=2n所以S2nSn=2n(c因?yàn)閿?shù)列{cn}是“和等比數(shù)列”,即S2nSn為非零常數(shù),故c2+c7+c12=3c7=3(2+6d)=78.17.(5分)(2024江西南昌模擬)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若對(duì)任意的n∈N*,均有S8≤Sn成立,則a2a1答案67,解析由題意知S8是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和中的最小值,則必有a1<0,公差d>0,若a8=0,此時(shí)S7=S8,S7,S8是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和中的最小值,此時(shí)a8=a1+7d=0,即a1=-7d,則a2若a8<0,a9≥0,此時(shí)S8是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和中的最小值,此時(shí)a8=a1+7d<0,a9=a1+8d≥0,即-8≤a1d則a2a1=a1+da1=1+da1=1+1a18.(5分)設(shè)數(shù)列{an},{bn}滿足an=2n,bn=3n-8,則它們的公共項(xiàng)由小到大排列后組成新數(shù)列{cn}.在ck和ck+1(k∈N*)中插入k個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列{en}:c1,1,c2,3,5,c3,7,9,11,c4,…,插入的所有數(shù)構(gòu)成首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列,則數(shù)列{en}的前20項(xiàng)和T20=.

答案1589解析∵an=2n,∴數(shù)列{an}是以2為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,∴a1=2,a2=4,a3=8,a4=16.∵bn=3n-8,∴b1=-5,b2=-2,b3=1,b4=4,顯然a1不是數(shù)列{bn}中的項(xiàng).∵a2=4=b4,∴a2是數(shù)列{bn}中的第4項(xiàng),設(shè)ak=2k是數(shù)列{bn}中的第m項(xiàng),則2k=3m-8(k,m∈N*,k≥2).∵ak+1=2k+1=2×2k=2(3m-8)=6m-16,∴ak+1不是數(shù)列{bn}中的項(xiàng).∵ak+2=2k+2=4×2k=4(3m-8)=3(4m-8)-8,∴ak+2是數(shù)列{bn}中的項(xiàng).∴c1=a2,c2=a4,c3=a6,…,cn=a2n,∴數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式是cn=22n=4n.∵(1+2+3+4+5)+5=20,∴{en}的前20項(xiàng)包括{cn}的前5項(xiàng),以及{2n-1}的前15項(xiàng),∴T20=41+42+43+44+45+1+3+…+29=4×(1-45核心素養(yǎng)創(chuàng)新練19.(多選題)(2024湖南長沙一模)小華玩