備戰(zhàn)2025年高考二輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)專題突破練23　圓錐曲線中的最值、范圍問(wèn)題(提升篇)

專題突破練(分值:68分)學(xué)生用書P205主干知識(shí)達(dá)標(biāo)練1.(17分)(2024安徽黃山一模)如圖,設(shè)點(diǎn)F1(-c,0),F2(c,0)分別是橢圓E:x2a2+y2=1的左、右焦點(diǎn),P為橢圓E上任意一點(diǎn),且PF(1)求橢圓E的方程;(2)求橢圓E的外切矩形ABCD的面積S的最大值.解(1)設(shè)點(diǎn)P(x,y),則y2=1-x2a2,其中a2>1,則PF1=(-c-x,-y),PF2=(c-x,-y),所以PF1·PF2=(-c-x)(c-x)+y2=x2-c2+y2=x2-(a2-1)+1-x2a2=a2-1a2x2-a2+2,故當(dāng)x=0時(shí),PF(2)設(shè)點(diǎn)A(x0,y0),當(dāng)直線AB,AD的斜率都存在時(shí),設(shè)直線AB,AD的斜率分別為k1,k2,設(shè)過(guò)點(diǎn)A且斜率存在的直線的方程為y-y0=k(x-x0),即y=kx+(y0-kx0),聯(lián)立y=kx+(y0-kx0),x2+4y2=4,消去y可得(4k2+1)x2+8k(y0-kx0)x+4(y0-kx0)2-4=0,則Δ=64k2(y0-kx0)2-16(4k2+1)[(y0-kx0)2-1]=0,整理可得(y0-kx0)2-4k2-1=0,即(x02-4)k2-2x0y0k+y02-1=0,則k1,k2是關(guān)于因?yàn)锳B⊥AD,則k1k2=y02-1x02-當(dāng)AB,AD分別與兩坐標(biāo)軸垂直時(shí),則A(±2,±1),滿足x02+所以點(diǎn)A的軌跡方程為x2+y2=5,由對(duì)稱性可知,矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在圓x2+y2=5上,該圓的半徑為5,由勾股定理可得|AB|2+|AD|2=(25)2=20,由基本不等式可得20=|AB|2+|AD|2≥2|AB|·|AD|,即|AB|·|AD|≤10,當(dāng)且僅當(dāng)|AB|=|AD|,|AB|2+|AD|2=20時(shí),即當(dāng)2.(17分)(2024湖南長(zhǎng)沙一模)已知拋物線C:y2=2x的焦點(diǎn)為F,其準(zhǔn)線l與x軸交于點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P的直線與C交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)).(1)若點(diǎn)A是線段PB的中點(diǎn),求點(diǎn)A的坐標(biāo);(2)若直線AF與C交于點(diǎn)D,記△BDP內(nèi)切圓的半徑為r,求r的取值范圍.解(1)由題意知P-12,0,設(shè)點(diǎn)A(x0,y0),因?yàn)辄c(diǎn)A是線段PB的中點(diǎn),所以B2x0+12,2y0,又點(diǎn)A,B都在拋物線C上,所以y02=2x0,4y02=2(2x0+12),解得x0=14,y(2)如圖,由題意可知直線AB的斜率存在且不為0,F12,0,設(shè)直線AB的方程為y=kx+12,k≠0,A(x1,y1),B(x2,y2),由點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè),則0<x1<x2,設(shè)D(x3,y3),直線BD與x軸交于點(diǎn)E,聯(lián)立y=k(x+12),y2=2x得k2x2+(k2-2)x+k24=0,易知Δ=(k2-2)2-k4=4-4k2>0,解得-1<k<1,k≠0,x1+x2=2-k2k2,x1x2=14,所以0<x1<12<x2,而F12,0,所以直線AF的斜率存在,所以直線AF的方程為y=y1x1-12x-12,與y2=2x聯(lián)立消去y得,y12x2-y12+2x12-2x1+12x+14y因?yàn)橹本€AF的斜率存在,所以x3=14x1=x2,所以BD⊥所以S△BDP=12x2+12·2|y2|,△BDP的周長(zhǎng)為2(x2+12)

2+y22+2|y2|,所以122(x2+12)

2+y22+2令t=x2+12,t>1,則r=112t-1+1t2+1t,因?yàn)楹瘮?shù)y=1x2=x-2,y=12x-所以關(guān)于t的函數(shù)r=112t-1+1t2+1所以r的取值范圍為(2-1,+∞).關(guān)鍵能力提升練3.(17分)(2024湖北省八市一模)已知雙曲線C1:x2-y2b2=1經(jīng)過(guò)橢圓C2:x2a2+y2=1的左、右焦點(diǎn)F1,F2,設(shè)C1,C2的離心率分別為e1,e2,且e(1)求C1,C2的方程;(2)設(shè)P為C1上一點(diǎn),且在第一象限內(nèi),若直線PF1與C2交于A,B兩點(diǎn),直線PF2與C2交于C,D兩點(diǎn),設(shè)AB,CD的中點(diǎn)分別為M,N,記直線MN的斜率為k,當(dāng)k取最小值時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo).解(1)依題意可得a2-1=1,得a2=2,由e1e2=62,得e12e22=1+b21·a2-1a2=32,解得b2(2)如圖,易知F1(-1,0),F2(1,0),設(shè)P(x0,y0),直線PF1,PF2的斜率分別為k1,k2,則k1=y0x0+1,k2=y0x0-1,k1k2=y02x02-1,因?yàn)辄c(diǎn)P在C1:x2-y22=設(shè)直線PF1的方程為y=k1(x+1),與橢圓方程x22+y2=1聯(lián)立,消去y可得(2k12+1)x2+4k12x+2(k12-1)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則有x1+x2=-4k122k12+1,可得M-2k122k12+1,k12k12+1,直線同理可得N2k222k22+1=-(=-(2由k1k2=2可得k=-5(又點(diǎn)P在第一象限內(nèi),故k2>k1>0,k=-524k1+k2+2(k1+k2)≥-5224k1+k2×2(k1+k2)=-5324,當(dāng)且僅當(dāng)24即當(dāng)k取最小值時(shí),k1+k2=23,與k1k2=2聯(lián)立,可解得k1=3-1,k2=3+1,故PF1的方程為y=(3-1)(x+1),PF2的方程為y=(3+1)(x-1),聯(lián)立可解得x=3,y=2,核心素養(yǎng)創(chuàng)新練4.(17分)(2024江蘇南通二模)已知雙曲線E的漸近線為y=±33x,左頂點(diǎn)為A(-3,0)(1)求雙曲線E的方程;(2)直線l:x=t交x軸于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)D的直線交雙曲線E于B,C,直線AB,AC分別交l于G,H,若O,A,G,H均在圓P上,①求點(diǎn)D的橫坐標(biāo);②求圓P面積的取值范圍.解(1)因?yàn)殡p曲線的漸近線關(guān)于坐標(biāo)軸及原點(diǎn)對(duì)稱,又頂點(diǎn)在x軸上,可設(shè)雙曲線的方程為x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),從而漸近線方程為因?yàn)殡p曲線的左頂點(diǎn)為A(-3,0),所以a=3,b=1,所以雙曲線E的方程為x23-y2=(2)如圖,①由題知,直線BC斜率存在,設(shè)D(t,0),B(x1,y1),C(x2,y2),直線BC的方程為my=x-t,將x=my+t代入雙曲線方程,消去x整理得(m2-3)y2+2mty+t2-3=0,易知該方程有兩解,所以m2-3≠0且Δ=12(t2+m2-3)>0,則y1+y2=-2mtm2-3,y1設(shè)直線AG的傾斜角為α,不妨設(shè)0<α<π2,則∠AGH=π2-α,由O,A,G,H四點(diǎn)共圓知∠HOD=∠AGH,所以直線OH的傾斜角為π2-α,kAG·kOH=tanα·tanπ2-α=sinα又A(-3,0),直線AC的方程為y=y2x2+3(x+3),令x=t,則y=y2(t+3)x2+3又kAG=kAB=y1所以kAG·kOH=y1x1+3×y2(t+3)t(x2+3)=1?將x1=my1+t,x2=my2+t代入上式,得(t+3)y1y2=t(my1+t+3)(my2+t+3),所以(t+3)y1y2=t[m2y1y2+m(t+3)(y1+y2)+(t+3)2],所以(t+3)·t2-3m2-3=tm2·t2-3m2-3+m(t+3)·-2mtm2-3+(t+3)2,化簡(jiǎn)得4t2+故點(diǎn)D的坐標(biāo)為34,0.②直線AG的方程為y=tanα·(x+3),由①知t=34,所以G34,534直線OH的方程為y=1tanαx,所以H34,34tanα,若G,H在x軸上方時(shí),G在H的上方,即tanα>0時(shí),53若G,H在x軸下方時(shí),即tanα<0時(shí),534tanα<34tanα,所以tanα>55或tan又直線AG與雙曲線的漸近線不平行,所以tanα≠±33所以0<α<π,tanα>55或tanα<55且tanα≠±因?yàn)镺G=(34