廣東詩莞市2023-2024學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期10月月考試題含解析

一、單項選擇題：1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先化簡集合B，再利用交集定義去求【詳解】由，解得，則，所以.故選：C.2.已知，是實數(shù)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】由充分條件和必要條件的定義求解即可.【詳解】由可得：，對兩邊同時平方可得，所以，所以”是“”的充要條件.故選：C.3.下列函數(shù)既是偶函數(shù)，又在上單調(diào)遞增的是（）A. B.C D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)偶函數(shù)定義，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性逐一判斷即可.【詳解】對于A，定義域為，故是非奇非偶函數(shù)，A錯，對于B，當(dāng)時，在上為減函數(shù)，∴B不對，對于C，∵定義域為，且為偶函數(shù)，設(shè)，∵在上為增函數(shù)，在上為增函數(shù)，∴在上為增函數(shù)，∴C對.對于D，∵為奇函數(shù)，∴D不對.故選：C.4.在的展開式中，的系數(shù)是（）A. B.8 C. D.4【答案】A【解析】【分析】直接利用二項式定理計算即可.【詳解】的展開式通項為，取，則，系數(shù)為.故選：A5.《九章算術(shù)》“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第5節(jié)的容積為（）A.升 B.升 C.升 D.升【答案】C【解析】【分析】設(shè)此等差數(shù)列為，公差為，由題意列方程求出，進而得解.【詳解】設(shè)此等差數(shù)列為，公差為，由題意可得：則，聯(lián)立解得故選：C．6.函數(shù)的大致圖象為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】結(jié)合函數(shù)的奇偶性及函數(shù)特殊值，逐項判斷，即可得到本題答案.【詳解】因為，所以函數(shù)為奇函數(shù)，排除A，B選項，因為，排除C選項，故選：D7.已知,,，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由得，，由得，從而可得.【詳解】因為，，，所以，，又因為，，所以，即.故.故選：D8.已知函數(shù)圖像關(guān)于原點對稱，其中，，而且在區(qū)間上有且只有一個最大值和一個最小值，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)計算即可.【詳解】因為函數(shù)圖像關(guān)于原點對稱，且，即函數(shù)為奇函數(shù)，所以，故，當(dāng)時，，有且只有一個最大值和一個最小值，由正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得.故選：B.二、多項選擇題：9.已知函數(shù)，則（）A.的最小正周期為B.點是圖象的一個對稱中心C.在上單調(diào)遞增D.將的圖象上所有的點向右平移個單位長度，可得到的圖象【答案】BC【解析】【分析】求正弦型函數(shù)最小正周期判斷A；代入法驗證是否為對稱中心判斷B；由函數(shù)在上遞增求自變量x的對應(yīng)區(qū)間判斷C；根據(jù)平移寫出平移后的解析式判斷D.【詳解】的最小正周期為，故A錯誤．，所以是圖象的一個對稱中心，故B正確．由，所以在上單調(diào)遞增，C正確．的圖象上所有的點向右平移個單位長度得到，故D錯誤．故選：BC10.一袋中有大小相同的4個紅球和2個白球，則下列說法正確的是（）A.從中任取3球，恰有2個白球的概率是；B.從中有放回的取球6次，每次任取一球，設(shè)取到紅球次數(shù)為X，則；C.現(xiàn)從中不放回的取球2次，每次任取1球，則在第一次取到紅球后，第二次再次取到紅球的概率為；D.從中有放回的取球3次，每次任取一球，則至少有一次取到白球的概率為.【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)古典概型的概率公式可判斷A，根據(jù)二項分布的期望公式可判斷C，根據(jù)條件概率的計算可判斷C，根據(jù)對立重復(fù)事件的概率可求D.【詳解】對于A，從中任取3球，恰有2個白球的概率是,故A正確，對于B,從中有放回取球6次，每次任取一球，設(shè)取到紅球次數(shù)為X服從二項分布，即，故B錯誤，對于C,第一次取到紅球后，第二次取球時，袋子中還有3個紅球和2個白球，再次取到紅球的概率為，故C錯誤，對于D，有放回的取球，每次取到白球的概率為，沒有取到白球的概率為，所以取球3次沒有取到白球的概率為，.所以至少有一次取到白球的概率為，故D正確，故選：AD11.已知函數(shù)存在極值點，則實數(shù)a的值可以是（）A.0 B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】由題意可知，令，換元后可得，即，則實數(shù)的取值范圍為函數(shù)在上的值域且滿足，由此可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】函數(shù)的定義域為，且，由題意可知，函數(shù)在定義域上存在極值點，得在有兩個解，由可得，令，則，則實數(shù)的取值范圍為函數(shù)在上的值域且滿足，對于二次函數(shù)，當(dāng)時，，對于二次方程，即，，解得.因此，實數(shù)的取值范圍是.故選：ABD.12.生態(tài)學(xué)研究發(fā)現(xiàn)：當(dāng)種群數(shù)量較少時，種群近似呈指數(shù)增長，而當(dāng)種群增加到一定數(shù)量后，增長率就會隨種群數(shù)量的增加而逐漸減小，為了刻畫這種現(xiàn)象，生態(tài)學(xué)上提出了著名的邏輯斯諦模型：，其中，，是正數(shù)，表示初始時刻種群數(shù)量，叫做種群的內(nèi)秉增長率，是環(huán)境容納量.可以近似刻畫時刻的種群數(shù)量.下面給出四條關(guān)于函數(shù)的判斷正確的有（）A.如果，那么存在，；B.如果，那么對任意，；C.如果，那么存在，在點處的導(dǎo)數(shù)；D.如果，那么的導(dǎo)函數(shù)在上存在最大值.【答案】ABD【解析】【分析】解方程得到A正確，計算得到B正確，求導(dǎo)得到恒成立，C錯誤，構(gòu)造，求導(dǎo)得到導(dǎo)函數(shù)，計算函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，計算最值得到答案.【詳解】對選項A：，解得，，正確；對選項B：，，故，，故，即，正確；對選項C：，，故任意的，在處的導(dǎo)數(shù)，錯誤；對選項D：令，則，，令得，解得，令得，解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，那么的導(dǎo)函數(shù)在上存在極大值，也是最大值，正確；故選：ABD.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，函數(shù)的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的計算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中構(gòu)造新函數(shù)，求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間進而求最值是解題的關(guān)鍵.三、填空題：13.在中，，，，則______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦定理計算作答.【詳解】在中，，，，由正弦定理，得.故答案為：14.某中學(xué)為慶祝建校130周年，高二年級派出甲?乙?丙?丁?戊5名老師參加“130周年辦學(xué)成果展”活動，活動結(jié)束后5名老師排成一排合影留念，要求甲、乙兩人不相鄰且丙、丁兩人必須相鄰，則排法共有__________種(用數(shù)字作答)．【答案】24【解析】【分析】應(yīng)用捆綁、插空法，結(jié)合分步計數(shù)及排列數(shù)求不同的排法數(shù).【詳解】將丙、丁捆綁排列有種，再把他們作為整體與戊排成一排有種，排完后其中有3個空，最后將甲、乙插入其中的兩個空有種，綜上，共有種排法.故答案為：15.已知角的大小如圖所示，則的值為________【答案】【解析】【分析】先根據(jù)圖像求出正切值，然后分子分母同除構(gòu)造正切結(jié)構(gòu)，最后代入即可.【詳解】由圖可知，所以，故答案為：16.古希臘畢達哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家用沙粒和小石子來研究數(shù)，他們根據(jù)沙?；蛐∈铀帕械男螤?，把數(shù)分成許多類，如圖，第一行圖形中黑色小點個數(shù)：1，3，6，10，…稱為三角形數(shù)，第二行圖形中黑色小點個數(shù)：1，4，9，16，…稱為正方形數(shù)，記三角形數(shù)構(gòu)成數(shù)列，正方形數(shù)構(gòu)成數(shù)列，則______；______.【答案】①.55②.【解析】【分析】依題意可得，利用累計法求出，即可求出，根據(jù)正方形數(shù)可知，即可得到當(dāng)時，，利用裂項相消法求和即可.【詳解】根據(jù)三角形數(shù)可知，，則，，…，，累加得，所以，經(jīng)檢驗也滿足上式，故，則；根據(jù)正方形數(shù)可知，當(dāng)時，，則.故答案為：；四、解答題：17.在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，，，．（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由余弦定理計算可得；（2）由正弦定理計算可得；（3）由余弦定理求出，即可求出、，再由兩角差的正弦公式計算可得.【小問1詳解】由余弦定理知，，所以，即，解得或（舍負），所以．【小問2詳解】由正弦定理知，，所以，所以．【小問3詳解】由余弦定理知，，所以，，所以.18.已知等差數(shù)列的前項和為，，.（1）求的通項公式；（2）證明：.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）利用等差數(shù)列通項和求和公式可構(gòu)造方程組求得，由此可得；（2）利用裂項相消法可求得，由可證得結(jié)論.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得：，.【小問2詳解】由（1）得：，，，.19.小家電指除大功率，大體積家用電器（如冰箱、洗衣機、空調(diào)等）以外的家用電器，運用場景廣泛，近年來隨著科技發(fā)展，智能小家電市場規(guī)模呈持續(xù)發(fā)展趨勢，下表為連續(xù)5年中國智能小家電市場規(guī)模（單位：千億元），其中年份對應(yīng)的代碼依次為1~5.年份代碼12345市場規(guī)模（單位：千億元）1.301.401.621.681.80（1）由上表數(shù)據(jù)可知，可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系，請用樣本相關(guān)系數(shù)加以說明（若，則線性相關(guān)程度較高，精確到0.01）；（2）建立關(guān)于的經(jīng)驗回歸方程.參考公式和數(shù)據(jù)：樣本相關(guān)系數(shù)，，，，，.【答案】（1）答案見解析（2）【解析】【分析】（1）由題中數(shù)據(jù)求出樣本相關(guān)系數(shù)，可得答案；（2）由題中數(shù)據(jù)求出，，可得關(guān)于的經(jīng)驗回歸方程.【小問1詳解】由表知的平均數(shù)為，所以，，因為與的相關(guān)系數(shù)近似為0.98，說明與的線性相關(guān)程度較高，從而可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系.【小問2詳解】，，，，所以，所以關(guān)于的經(jīng)驗回歸方程為.20.設(shè)正項數(shù)列的前項和為，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記的前項和為，求證：.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）利用、的關(guān)系，結(jié)合已知條件以及等差數(shù)列的通項公式即可求得結(jié)果；（2）根據(jù)（1）中所求，利用錯位相減法求得，即可證明.【小問1詳解】因為，當(dāng)時，，又，則；當(dāng)時，，，兩式相減，整理可得，又為正項數(shù)列，即，所以，所以數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，所以.【小問2詳解】由（1）可得，所以，所以，所以，所以.21.哈六中舉行數(shù)學(xué)競賽，競賽分為初賽和決賽兩階段進行.初賽采用“兩輪制”方式進行，要求每個學(xué)年派出兩名同學(xué)，且每名同學(xué)都要參加兩輪比賽，兩輪比賽都通過的同學(xué)才具備參與決賽的資格.高三學(xué)年派出甲和乙參賽.在初賽中，若甲通過第一輪與第二輪比賽的概率分別是，，乙通過第一輪與第二輪比賽的概率分別是，，且每名同學(xué)所有輪次比賽的結(jié)果互不影響.（1）若高三學(xué)年獲得決賽資格的同學(xué)個數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.（2）已知甲和乙都獲得了決賽資格.決賽的規(guī)則如下：將問題放入兩個紙箱中，箱中有3道選擇題和2道填空題，箱中有3道選擇題和3道填空題.決賽中要求每位參賽同學(xué)在兩個紙箱中隨機抽取兩題作答.甲先從箱中依次抽取2道題目，答題結(jié)束后將題目一起放入箱中，然后乙再抽取題目.已知乙從箱中抽取的第一題是選擇題，求甲從箱中抽出的是2道選擇題的概率.【答案】（1）分布列見解析，（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)求分布列的步驟求出分布列，根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式求出數(shù)學(xué)期望；（2）根據(jù)貝葉斯公式可求出結(jié)果.【小問1詳解】依題意得甲獲得決賽資格概率為，乙獲得決賽資格的概率為，的所有可能取值為，，，，所以的分布列為：012所以.【小問2詳解】記“甲從箱中抽出的是道選擇題”，“乙從箱中抽取的第一題是選擇題”，則，，，，，，所以.甲從箱中抽出的是2道選擇題的概率為.22.已知函數(shù)，其中為常數(shù)．（1）當(dāng)時，判斷在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性；（2）若對任意，都有，求的取值范圍．【答案】（1）判斷見解析（2）【解析】【分析】小問1：當(dāng)時，求出導(dǎo)數(shù)，判斷導(dǎo)數(shù)在上正負，即可確定在上的單調(diào)性；小問2：由得，令，將參數(shù)