第15小題 圓錐曲線問題-2024年高考《數(shù)學(xué)》復(fù)習(xí)題型分類與方法點撥（解析版）

第15小題園錐曲線問題

國"導(dǎo)發(fā)

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第15小題圓錐曲線問題.................................................................1

一、主干知識歸納與回顧.............................................................3

15.1橢圓........................................................................3

15.2雙曲線.....................................................................4

15.3拋物線.....................................................................5

（一）命題角度剖析.................................................................6

（二）考情分析......................................................................6

（三）高考預(yù)測......................................................................6

二、題型分類與預(yù)測.................................................................7

命題點一：圓錐曲線的定義.......................................................7

1.1母題精析（三年高考真題）..............................................7

一.橢圓的定義（共1小題）............................................7

二.拋物線的定義（共6小題）.........................................7

三.圓錐曲線的軌跡問題（共1小題）..................................10

1.2解題模型...............................................................11

1.3對點訓(xùn)練（四年省市?？迹?............................................13

一.橢圓的定義（共1小題）...........................................13

二.拋物線的性質(zhì)（共10小題）.......................................13

三.雙曲線的定義（共1小題）........................................19

四.圓與圓錐曲線的綜合（共1小題）..................................20

命題點二：求圓錐曲線的方程...................................................21

1.1母題精析（三年高考真題）.............................................21

一.橢圓的方程（共2小題）...........................................21

二.拋物線的方程（共1小題）........................................22

三.雙曲線的方程（共7小題）........................................22

第1頁共127頁

1.2解題模型...............................................................26

1.3對點訓(xùn)練（四年省市?？迹?............................................27

一.橢圓的方程（共3小題）...........................................27

二.拋物線的方程（共1小題）........................................29

三.雙曲線的標準方程（共1小題）....................................30

四.雙曲線的方程（共3小題）........................................30

命題點三：圓錐曲線的性質(zhì)......................................................33

1.1母題精析（三年高考真題）.............................................33

一.橢圓的性質(zhì)（共11小題）.........................................33

二.拋物線的性質(zhì)（共1小題）........................................40

三.直線與拋物線的綜合（共1小題）.................................41

四.雙曲線的性質(zhì)（共20小題）.......................................41

五.直線與雙面線的綜合（共1小題）.................................55

1.2解題模型...............................................................56

1.3對點訓(xùn)練（四年省市?？迹?............................................58

一.橢圓的性質(zhì)（共8小題）..........................................58

二.拋物線的性質(zhì)（共8小題）........................................64

三.直線與拋物線的綜合（共2小題）.................................73

四.雙曲線的性質(zhì)（共11小題）.......................................75

五.直線與雙曲線的綜合（共1小題）.................................84

三、類題狂刷（五年區(qū)模、校模）：.................................................86

一.橢圓的性質(zhì)（共9小題）..........................................86

二.拋物線的性質(zhì)（共17小題）.......................................95

三.直線與拋物線的綜合（共2小題）................................110

四.雙曲線的性質(zhì)（共16小題）......................................112

五.直線與雙曲線的綜合（共1小題）.................................124

六.圓錐曲線的綜合（共1小題）......................................125

七.圓與圓錐曲線的綜合（共2小題）.................................126

第2頁共127頁

一、主干知識歸納與回顧

嚼方依何觸

15.1橢圓

平面內(nèi)與兩個定點片、區(qū)的距離的和等于常數(shù)2〃（大于|耳巴|=2（?）的點的

定義

軌跡叫橢圓，兩個定點叫橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距.

焦點的位置焦點在X軸上焦點在y軸上

J

圖形k.

1

二+亡=

標準方程l(67>b>0)/+奈=（7＞八。）

a2b2

范圍一且一方一人Wx4b且一。WyWa

4（-。,0）、4（。，。）4(0,-a)、4(0,a)

頂點

耳（0,詢、員（0?。〣卜b,0)、層色,0)

軸長長軸的長=2。短軸的長=26

對稱性關(guān)于x軸、y軸對花，關(guān)于原點中心對稱

六隹、、，占門、仆0)、6(c,0)￡(0,-c)、6(0,c)

焦距陽同=2。

a、b,c關(guān)系c2=a2-b2

-a=E=Q/=J->(。<

離心率e<1)

10

焦點三角形面積2

S^F2=btan-(O=^MF2)

通徑過焦點且垂直于長軸的弦叫通徑：\HHr\=—

弦長公式4(4州),8(/)2),=J1+左［陽一芻=J1+/J(2XX

x}-x2)-4)2

第3頁共127頁

15.3拋物線

平面內(nèi)與一定點/和一條定直線/（/不經(jīng)過點歹）的距離相等的點的枕跡叫做拋物線.點尸叫

定義

拋物線的焦點，直線/叫拋物線的準線.

>

圖形1a

y2=2Pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py

標準方程

（P>°）（P>°）（P>°）（P>°）

頂點（0,0）

離心率e=\

對稱軸x軸y軸

范圍x>0x<0y>0y<0

/

河Fj—￡,o]小用尸D

焦點F

I2）

準線方程x=Ry=-f

2

通徑過拋物線的焦點且垂直于對稱軸的弦稱為通徑：=

焦點弦長

|JB|=%1+x+p

公式2

參數(shù)P的

參數(shù)表示焦點到準線的距離，越大，開口越闊

幾何意義pP

第5頁共127頁

炒顯學(xué)有莖記

4年短H點

（-）命題角度剖析

1.圓錐曲線的定義★★★★☆2.求圓錐曲線的方程★★★★☆

3.圓錐曲線的性質(zhì)★★★★★

k播考情今新

（二）考情分析

高考頻率：100%試題難度：中等較難呈現(xiàn)形式：以選擇題或填空題

小龍考我謝

（三）高考預(yù)測

圓錐曲線在高考中一般有一大二小的題型設(shè)計，小題側(cè)重圓錐曲線的定義、標準方程、幾

何性質(zhì)的考查，其中離心率是考查的重點，另外，小題多與平面幾何或平面向量結(jié)合，有一定

的難度。

第6頁共127頁

二、題型分類與預(yù)測

駕校方”

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命題點一：圓錐曲線的定義

1.1母題精析（三年高考真題）

一.橢圓的定義（共1小題）

I.（2021?上海）已知橢圓/+1=1（0<6<1）的左、右焦點為耳、F,,以。為頂點，尺為焦點作拋物線

卜

交橢圓于P，且NP￡&=45。，則拋物線的準線方程是_x=l-g_.

【分析】先設(shè)出橢圓的左右焦點坐標，進而可得拋物線的方程，設(shè)出直線的方程并與拋物淺方程聯(lián)立，

求出點尸的坐標，由此可得次1月工，進而可以求出尸石，尸工的長度，再由橢圓的定義即可求解.

【解答】解：設(shè)片（一0,0）,6（。,0）,則拋物線V=4u,

cx

直線P￡:y=x+c,聯(lián)立方程組~^f解得工=。，y=2c>

y=x+c

所以點尸的坐標為（c,2c）,所以尸名上4鳥，又PF?=咐=2c,所以PF、=2梃c

所以戶石+桃=（2+2收竺=2〃=2,

則c=&-1,

所以拋物線的準線方程為：x=-c=\-6,

故答案為：x=1-x/2.

【點評】本題考查了拋物線的定義以及橢圓的定義和性質(zhì)，考查了學(xué)牛.的運算推理能力，屬于中檔題.

二.拋物線的定義（共6小題）

2.（2023?北京）已知拋物線C:-8x的焦點為尸，點”在。上，若“到直線x--3的距離為5,貝U|MF|-（

）

A.7B.6C.5D.4

【分析】本題只需將點M到x=-3的距離，轉(zhuǎn)化為到準線x=-2的距離，再根據(jù)拋物線定義即可求得.

【解答】解：如圖所示，因為點M到直線x=-3的距離|MR|=5,

點M到直線x=-2的距離|MN=4.

第7頁共127頁

由方程/=8x可知，x=-2是拋物線的準線，

又拋物線上點M到準線x=-2的距離和到焦點少的距離相等,

故|MF|=|MN|=4.

3.（2022?乙卷）設(shè)廠為拋物線C:/=4x的焦點，點力在。上，點4（3,0）,若［4?|=|4歹|,則|44|=（）

A.2B.2y/2C.3D.3^2

【分析】利用己知條件，結(jié)合拋物線的定義，求解力的坐標，然后求解即可.

【解答】解：/為拋物線C:/=4x的焦點（1,0）,點力在C上，點3（3,0）,|力尸|=|8用=2,

由拋物線的定義可知力（1,2）（力不妨在笫一象限），所以|月例=，（3—?十（-2）?=m.

故選：B.

【點評】本題考查拋物線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，距離公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.

4.（2021?新高考II）若拋物線j，2=2px（p>0）的焦點到直線y=x+1的距離為正，則p=（）

A.1B.2C.272D.4

【分析】求出拋物線的焦點坐標，利用點到直線的距離公式求解即可.

【解答】解：拋物線產(chǎn)=2/似〃>0）的焦點或，0）到直線y=x+l的距離為

可得――尸---=V2,解得p=2.

V2

故選：B.

【點評】本題考查拋物線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，點到直線的距離公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.

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5.（2023?乙卷）已知點力（1,石）在拋物線C:/=2px上，則/到C的準線的距離為_2一

4

【分析】根據(jù)已知條件，先求出尸，再結(jié)合拋物線的定義，即可求解.

【解答】解：點/（I,右）在拋物線C：V=2px上，

則5=2p，解得png,

由拋物線的定義可知，4到。的準線的距離為+

故答案為：—.

4

【點評】本題主要考查拋物線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

6.（2021?新高考?I）已知。為坐標原點，拋物線C:y2=2px（p>0）的焦點為尸，尸為。上一點，PF與x

軸垂直，。為X軸上一點，且PQLOP.若|尸0|=6,則C的準線方程為_工=-；一

【分析】法一：求出點P的坐標，推出尸0方程，然后求解。的坐標，利用|產(chǎn)。|=6,求解”，然后求解準

線方程.

法二：利用射影定理，轉(zhuǎn)化求解p，然后求解準線方程.

【解答】解：法一：由題意，不妨設(shè)尸在第一象限，則尸（5,p）,kop=2,PQLOP.

所以所以PQ的方程為：y-p=-^（x-^）,

y=（）時，x=,|FQ|=6>所以=6?解得〃=3,

所以拋物線的準線方程為：x=-3.

2

法二：根據(jù)射影定理，可得|PF『=|尸01尸01，可得p2=5x6,解得p=3,

因此，拋物線的準線方程為：故答案為：x=--.

22

【點評】本題考查拋物線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，是中檔題.

7.（2021?北京）已知拋物線/=4x的焦點為尸，點M在拋物線上，MN垂直x軸于點N,若尸|=6,

則點M的橫坐標是5:戶的面積為.

【分析】由拋物線的標準方程，求出焦點和準線，過點M作垂足為E，設(shè)M（%,為），由拋物線

的定義求出不，從而得到A/N=2石，再利用三角形的面積公式求解即可.

【解答】解：拋物線C:./=4x,則焦點21.0）,準線方程/為X=-1,

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過點〃作MEJJ,垂足為E,設(shè)加（見，必），則M〃=M￡=6,所以/+1=6,則凡=5,

所以點"的橫坐標為5；點M在拋物線上，故%2=4x5=20,所以|典|=2萬，即MV=2x^,

所以SARMM=；x|PN|x|MN|=；x[5-l）x2石=4石?故答案為：5；4M.

【點評】本題考查了拋物線標準方程的應(yīng)用，拋物線定義的應(yīng)用以及幾何性質(zhì)的運用，考查了邏輯推理能

力與運算能力，屬于中檔題.

三.圓錐曲線的軌跡問題（共1小題）

8.（2020?上海）己知橢圓上+V=],作垂直于x軸的垂線交橢圓于4、8兩點，作垂直于u軸的垂線交

2-

橢圓于。、。兩點，且/8=C。，兩垂線相交于點尸，則點P的軌跡是（）

A.橢圓B.雙曲線C.圓D.拋物線

【分析】利用已知條件判斷軌跡是雙曲線，或利用求解軌跡方程，推出結(jié)果即可.

【解答】解：???/!&2,.?.CA.2，判斷軌跡為上下兩支，即選雙曲線,設(shè)力?！?）,￡>&〃），所以尸（叫〃）,

【點評】本題考查軌跡方程的求法與判斷，是基本知識的考查，基礎(chǔ)題.

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初履便支恢

?1???flMB?flUM????*■*?MBB????..—一

1.2解題模型

1.圓錐曲線的定義與拓展

(1)橢圓的定義

①第一定義:｛P||PFi|+|PF,|=2a(2a>|FiF?|=2c)淇中F.F,為兩個定點｝.

②第二定義：｛尸附=e,e〉l,其中F為定點，l為定直線，e為離心率，F(xiàn)《I,d為點P到直線1

的距離.

③第三定義：［P|kpA-kpR=e2?l,0<c<l,其中kPA.kpB分別表示點P與兩定點A,B連線的斜率，c為

離心率｝(注意：橢圓的第三定義中的定點在x軸上，且利用橢圓的第三定義得出的軌跡方程不

包吊這兩個定點).

(2)雙曲線的定義

①第一定義：｛P|||PB卜呼2||=2av|BF2|=2c,其中又，F(xiàn)2為兩個定點｝.

②第二定義：｛p|PF=e,e>l,其中F為定點，1為定直線，e為離心率，F(xiàn)《L為點P到直線1的距

離(注意：當(dāng)F為左焦點時，1為左準線工二-三；當(dāng)F為右焦點時，1為右準線工=土)

cc

③第三定義：(P|kpA.kpR=e2-l,e>l,其中kpA.kpB分別表示點P與兩定點A,B連線的斜率，e為離

心率｝(注意：此時確定的雙曲線不包含兩個頂點，且焦點在x軸上).

(3)拋物線的定義

拋物線的定義可歸結(jié)為“一動三定“一動”即一個動點，設(shè)為M;“三定”即一個定點F、一條定

直線1、一個定值(即動點M與定點F的距離和動點M到定直線I的距離的比值為常數(shù)1).

2.圓錐曲線定義的應(yīng)用

圓錐曲線定義的應(yīng)用主要有兩個方面：一是判斷平面內(nèi)與定點有關(guān)的軌跡是否為橢圓、雙

曲線、拋物線；二是利用橢圓、雙曲線、拋物線的定義解決與焦點有關(guān)的問題.

類題通法：

(1)解決橢圓焦半徑的最值問題的常見思路：①與焦耳徑乘積有關(guān)的最值問題，一般利用橢

圓的定義，根據(jù)基本不等式求解，注意等號成立的條件；②與焦半徑和、差有關(guān)的最值問題，

一般利用平面幾何知識，轉(zhuǎn)化為三點共線問題解決.

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(2)解決雙曲線焦半徑的最值問題的思路：利用雙曲線的定義及正、余弦定理得出焦半徑的

關(guān)系式，進而求出與之相關(guān)的最值.

(3)解決拋物線隹半徑的最值問題的思路：利用拋物線上某點到焦點的距離與該點到準線距

離相等進行轉(zhuǎn)化，再根據(jù)平面幾何的相關(guān)知識求解.

3.軌跡方程的求法

(1)直接法

直接法是將圓錐曲線中滿足的幾何關(guān)系或者等量關(guān)系的動點直接坐標化，列出等式后化簡即可

得到動點軌跡方程.當(dāng)所求動點要滿足的條件簡單明確時，直接按“建系設(shè)點、列出條件、代入

坐標、整理化簡、限制說明“五個基本步驟求軌跡方程.要注意用直接法求軌跡方程時，在化簡

的過程中，有時破壞了方程的同解性，此時就要補上遺漏的點或刪除多余的點，這是不能忽視

的.

(2)定義法

若從條件中能夠判斷出點的軌跡為學(xué)過的圖形，則可先判定軌跡形狀，再通過確定相關(guān)曲

線的要素，求出曲線方程.要注意在利用定義法求軌跡方程后，還要看軌跡是否是完整的圓、

橢圓、雙曲線或拋物線，如果不是完整的曲線，那么應(yīng)對其中的變量x或y進行限制.

(3)相關(guān)點法(代入法)

若所求點P(x,y)與某已知曲線F(x(),yo)=O上一點Q((x(),yo)存在某種關(guān)系，則可根據(jù)條件用

x,y表示出x。，yo,然后代入到點Q所在曲線的方程中，即可得到關(guān)于x,y的方程.

當(dāng)題目中的條件同時具有以下特征時，一般可以用相關(guān)點法求出點P的軌跡方程：

①某個動點Q在已知方程的曲線上移動：②另一個動點P隨點Q的變化而變化；③在變

化過程中點P和點Q滿足一定的規(guī)律，

(4)參數(shù)法

從條件中無法直接找到x,y的聯(lián)系，但可通過輔助變量k,分別找到x,y與k的關(guān)系，從而

x=f(k)

得到x,y,k的方程組即曲線的而得到x,y和k的方程組參數(shù)方程，消去參數(shù)k后即可

.尸g(%)

得到關(guān)于x,y的方程.在選擇參數(shù)時，要特別注意它的取值范圍對動點坐標取值范圍的影響.

第12頁共127頁

1.3對點訓(xùn)練(四年省市模考)

橢圓的定義(共1小題)

1.(2023?南平模擬)設(shè)P(x,y)是曲線C:后+柏=1上的點,6(-3,0),8(3,0),則|產(chǎn)幣+1Pg|的最

大值等于10.

【分析】根據(jù)題意可得：曲線。的方程可化為.+.-1,再作出曲線。的圖形，再數(shù)形結(jié)合，根據(jù)對稱

54

性及運動變化思想，即可求解.

【解答】解：?.?曲線C的方程可化為區(qū)+3=1,

作出曲線C的圖形，如圖所示，

當(dāng)戶為(0,4)時，|尸印+|尸瑪卜5+5=10,

當(dāng)尸為(5,0)時，1m|+|尸瑪|=2+8=10,

由對稱性及運動變化思想可得

|產(chǎn)耳|+|尸手|的最大值等于1(),

故答案為：10.

【點評】本題考查曲線上的點到兩定點的距離和的最值問題，數(shù)形結(jié)合思想，運動變化思想，屬中檔題.

拋物線的性質(zhì)(共10小題)

2.(2023?莆田模擬)已知廣為拋物線C:_/=4x的焦點，力為。上的一點，/尸中點的橫坐標為2,則|力/|=(

)

A.3B.4C.5D.6

【分析】根據(jù)4戶中點的橫坐標求出力點橫坐標，進而由焦半徑公式求出答案.

第13頁共127頁

【解答】解：由題意得：尸（1,0）,準線方程為x=-l,

設(shè),則AF中點的橫坐標為畫里,

2

故"+'=2,解得：???=3,

2

由拋物線的焦半徑可知：|JF|=3+1=4.

故選：B.

【點評】本題考查拋物線的性質(zhì)，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

3.（2023?三明三模）設(shè)拋物線焦點為產(chǎn)，準線與對稱軸交于點E,過尸的直線交拋物線于4,B兩點、,

對稱軸上一點C滿足9=3而，若&4C/的面積為為3,則尸到拋物線準線的距離為（）

4

A.V6B.如C.遞D.正

233

【分析】根據(jù)題意不妨以拋物線的對稱軸為x軸，頂點在原點，作出圖形，由已知可得團=3=也，

\BF\\EF\

設(shè)|8”|=機，則|力”|=3制，據(jù)此計算可求p.

【解答】解：根據(jù)題意不妨以拋物線的對稱軸為x軸，頂點在原點，

過4，8分別向準線作垂線，垂足為K,N,取48的中點”，過〃向準線作垂線，垂足為G,

由后=3詬，可得四11=3=0］，設(shè)|8叩=〃？，則|力"|=3/〃，

I8用|七尸1

過8作8W_L4K于M,可得|4M|=2/〃，\AB\=4m,「.NE4K=60。，ZAFC=60°,

?；H為AB的中點,GH=2m,

2

可得BH=2m,/為44的中點，/.2|EF|=2m+m,:.2p=3m,=,

.?.|//H=2p,又|C用=3p,

SMFC=；I?！翰?4尸|-sin600=—?2px3px~~=，解得P=?

故選：B.

第14頁共127頁

【點評】本題考查拋物線的性質(zhì)，考查運算求解能力，屬中檔題.

4.（2023?寧德模擬）已知拋物線C:『=4y的焦點為尸，尸為扼物線上一個動點，力（-1,3）,則|尸川+1戶用

的最小值為（）

A.3B.4C.5D.6

【分析】利用拋物線的定義，結(jié)合拋物線的性質(zhì)，求解即可得出答案.

【解答】解：由題意得拋物線/=4），的焦點坐標為尸（0,1）,準線/的方程為y=T,

過點尸作P0_L/于點。，如圖所示：

由拋物線定義得|P/”=|尸。|,

:\PF\+\PA\=\PQ\+\PA\,

則當(dāng)4,P,0共線時|P0|+|P.4|取得最小值,即|P用+|P川最小值為3-（-1）=4.

故選：B.

【點評】本題考查拋物線的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題.

5.（2023?泉州模擬）己知拋物線C的焦點為/，準線為/,點力在C上，點臺在/上.若|/|=|而|=4,

萬?（而+而）=0,則尸到/的距離等于（）

A.1B.2C.3D.4

【分析】由題意可得B與4點在準線上的投影/重合，可得&4防為等邊三角形，可得尸到準線的距離.

【解答】解：設(shè)焦點在x軸上的拋物線的方程為V=2px,

因為萬?（而+而）=0,設(shè)力廠的中點為。，則加+初=2而，

所以力尸_L8。，設(shè)力?J./交準線于4,準線交x軸于E,

可得/等腰三角形，即48=8"，而|力用=|8用=4,

所以MBF為等邊三角形，可得B點與力'點重合，

所以48〃x軸,

所以必=/產(chǎn)切=60°,

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所以|E產(chǎn)1=1BF\cos60°=4x-=2,

即焦點廠到準線的距離為2,

故選：B.

【點評】本題考查拋物線的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

6.（2022?泉州模擬）拋物線具有如下光學(xué)性質(zhì)：從焦點發(fā)出的光線經(jīng)過拋物線上的一點反射后，反射光

線平行于拋物線的對稱軸.生活中的探照燈就是利用這個原理設(shè)計的.已知產(chǎn)是拋物線C:/=4x的焦點，

從r發(fā)出的光線經(jīng)C上的點M反射后經(jīng)過點（4,2百），則|FM\=（）

A.2B.3C.4D.5

【分析】由題意可得反射光線過點（4,2石），可得〃的縱坐標，代入拋物線的方程可得”的橫坐標，由

拋物線的性質(zhì)可得的值.

【解答】解：拋物線C：V=4x的準線方程為x=-l,因為反射光線平行「拋物線的對?稱軸，再由從發(fā)出的

光線經(jīng)少C上的點M反射后經(jīng)過點（4,2方），

可得〃的縱坐標為，代入拋物線的方程可得（2百>=4x”,

可得33,由拋物線的性質(zhì)可得1f+1=3+1=4,

故選：C.

【點評】本題考查拋物線的性質(zhì)的應(yīng)用及反射光線的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題.

7.（2022?廈門模擬）已知拋物線C:_/=2px（p>0）的準線被圓/+爐=4所截得的弦長為2白，則p=（

）

A.1B.x/3C.2D.4

【分析】先求出拋物線的準線方程，再根據(jù)勾股定理列方程可解得“=2.

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【解答】解：因為拋物線『=2"（〃>0）的準線方程為工=-勺

/.（X/3）2+（^）2=4,解得p=2.

故選：C.

【點評】本題考查了直線與圓相交的性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題.

8.（2022?荔城區(qū)校級模擬）過拋物線產(chǎn)=4%焦點廠的直線與該拋物線及其準線都相交，交點從左到右依

次為A,B,C.若方=及礪，則線段8。的中點到準線的距離為（）

A.3B.4C.5D.6

【分析】由向量的關(guān)系可得線段|48|,|8產(chǎn)|的關(guān)系,由平行線分線段成比例可得|5用的值,進而可得|力用

的值，求出直線/出的傾斜角的大小，進而求出直線的斜率，設(shè)更線48的方程，與拋物線的方程聯(lián)立，求

出8,C橫坐標之和，進而求出線段8c的中點到準線的距離.

【解答】解：由拋物線的方程可得焦點戶（1,0）,準線方程為：x=-l,

由而=雙游，可得四=五,由題意如圖所示：作4"垂直于準線于*,

IS

而毆）=也，..NHB8，=45。，所以直線48的斜率為1,所以直線48的方程為工=卜+1,

1倜2

設(shè)8（玉，yJ,C（x2?y,）,聯(lián)立?'，整理可得：x?一6工+1=0,可得可=6,

x=y+1

所以線段4c的中點到準線的距離為土*+1=4,故選：B.

【點評】本題考查拋物線的性質(zhì)的應(yīng)用及直線與拋物線的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.

9.（2021?福州一模）若拋物線），=〃￡上一點0,2）到其焦點的距離等于3,則（）

A.m=?—B.m=?—C.m=2D.w=4

42

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【分析】利用拋物線方程求解準線方程，結(jié)合拋物線的定義，求解.加即可.

【解答】解：拋物線丁=加，上一點億2),所以加＞(),

拋物線的準線方程為：y=-—,

4m

拋物線y=心2上一點(/2)到其焦點的距離等于3,

可得12———3,為吊得"？一」.

4m4

故選：A.

【點評】本題考查拋物線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.

10.(2021?廈門二模)已知拋物線C:y2=2px(p＞0)的焦點為尸，P是C上一點,且|巴十4,以P尸為

直徑的圓截x軸所得的弦長為2,則p=()

A.2B.4C.2或4D.2或6

【分析】設(shè)以尸產(chǎn)為直徑的圓與x軸交點為力，則|4加=2,|尸"|=4,連接A4,則/0/叱=90。，由勾股

定理可得|尸川=2#，

解得力，小，由拋物線的定義可得|尸產(chǎn)|等于點尸到準線的距離，得$-(-4=|相即可解得

P2

【解答】解：設(shè)以月產(chǎn)為直徑的圓與x軸交點為

貝“力尸|=2,|PF|=4,

連接PA,則/PAF=90°,

所以|PA\=^PFf-\AF^="F?=2石，

所以乃＞=2\/i，

把y=2百，代入y2=2px,

得X」，

P

所以“J

P

所以自一(一與=|尸用,

P2

即且+旦=4,

P2

所以//-8/?+12=0

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解得〃=2或6,

【點評】本題考查拋物線的性質(zhì)，解題中需要?定的計算能力，屬于中檔題.

11.（2022?龍巖模擬）拋物線/=4），上一點4（2夜，2）到焦點的距離為二

【分析】利用拋物線的定義轉(zhuǎn)化求解即可.

【解答】解：拋物線f=外上一點4（2立，2）到焦點的距離就是4到準線的距離，準線方程為：y=-\,

所以拋物線上一點/（2及，2）到焦點的距離為2+1=3.

故答案為：3.

【點評】本題考查拋物線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.

三.雙曲線的定義（共1小題）

22

12.（2021?廈門模擬）雙曲線三-工=1的焦點到漸近線的距離是（）

54

A.2B.3C.V5D.6

【分析】先根據(jù)雙曲線方程求得焦點坐標和漸近線方程，進而利用點到直線的距離求得焦點到漸近線的距

離.

【解答】解：雙曲線工-匕=1的焦點為（3,0）或（-3,0）.

54

漸近線方程為y=土包x.

5

由雙曲線的對稱性可知，任一焦點到任一漸近線的距離相等，

|-2V5x3|

2.

20+25

故選：A.

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【點評】本題主要考查了雙曲線的標準方程，雙曲線的簡單性質(zhì)和點到直線的距離公式.考套了考生對雙

曲線標準方程的理解和靈活應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題.

四.圓與圓錐曲線的綜合（共1小題）

13.（2021?莆田二模）己知拋物線/二2期（2工0）的準線與圓/+（＞,一2）2=9相切，則p=（）

A.2B.6或-6C.-2或10D.2或-10

【分析】求得拋物線的準線方程，圓的圓心和半徑，山直線和圓相切的條件，可得p的方程，解方程可得

所求值.

【解答】解：拋物線/=2/少（〃工0）的準線方程為），=-勺

圓/+（歹一2）2=9的圓心為（0,2）,半徑為3,

由連線與圓相切，可得|2+5|=3,

解得〃=2或-1（）,

故選：D.

【點評】本題考查拋物線和圓的方程和性質(zhì)，以及直線和圓相切的條件，考查方程思想和運算能力，屬于

基礎(chǔ)題.

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命題點二：求圓錐曲線的方程

1.1母題精析（三年高考真題）

橢圓的方程（共2小題）

1.（2022?甲卷）已知橢圓C:二+4=1伍>6>0）的離心率為L4，4分別為。的左、右頂點，B為C

a-b-3

的二頂點.若可?西=7,則C的方程為()

A.—+^-=1B.—+^=1

181698

C.—+^-=1D.—+/=1

322

【分析】首先設(shè)出橢圓方程，然后結(jié)合平面向量的數(shù)量枳運算法則可.得橢圓方程.

v-22

【解答】解：由橢圓的離心率可設(shè)橢圓方程為J+」v1=l（〃?>0）,

9m8w

則4（-3%0），4（3，〃,0）,8（0,2萬〃）,由平面向量數(shù)量積的運算法則可得：

22

1232

BA-BA2=（-3m,-2\f2ni）?（3w,-272m）=-9m+8w=-l?m~=1,則橢圓方程為'+/■=1.故選：B.

【點評】本題主要考查橢圓方程的求解，平面向量數(shù)量積的坐標運算等知識，屬于中等題.

2.(2019?新課標【)已知橢圓C的焦點為￡(-1,0),5。,0),過點6的直線與橢圓。交于力：8兩點.若

|/巴|=2|下8|,|/用=|5葉則C的方程為()

x22x2y2,x2y2.—x2y2,

A.-----1-y'=1B.-----1--=1C.r--=1D.-----1=1

2324354

【分析】根據(jù)橢圓的定義以及余弦定理列方程可解得〃=百，b=垃,可得橢圓的方程.

【解答】解:v|AF\=2\BF\,/.|AB\=3\BF\,又|明=|明

222:\BFX\=3\BF2\,

又l+WE|=2a,:]BF2\=^,:\AF2\=a,\BF,\=^a,\'\AF,\+\AF21=2a,:]AF,\=af

.\|AF|=|AF^\,「.力在y軸上.在即△力工。中，cosZJF,(?=—,

1