電磁場與電磁波(第三版)課后答案-謝處方

第一章習(xí)題解答

1.1給定三個(gè)矢量A、8和C如下：

求：（1）*；（2）|A-B|;（3）A?〃；口）4s；（5）A在B上的分量；①）AxC；

⑺A.（BxC）^（AxB）.C;⑻（Ax〃）xC和Ax（BxC）。

口，、A0、.+%2-e:3123

阜⑴a=--j=[———=e]—+I——C-[-

A同心22+(_3)2Vi4yV14，加

(2)同一四=|(ev+ev2-e.3)-(-ev4+^-)|=,+八6-生4|=>/53

e+e2e-H

⑶A?B=(xy~z^?(-ev4+^)=

(4)由cos^.?=Ih1=—f=—/==—i---，得/8=cos-1(—7==^)=135.5

AB\A\\B\714x717V238初

,v—.A*B11

(5)A在〃上的分量，二|川8$48=西=一而

e、%ez

⑹AxC=12-3=-e**4-ey13-e.?lO

50-2

〃4e二

(7)由于3xC=0-41=e,8+e、,5+e：20

50-2

所以A?(BxC)=(ev4-ey2-e.3)?(ev8+ey5+ez20)=-42

〃e、e:

(8)(AxB)xC=-10-1-4=e、2—e、40+e5

50-2

1.2三角形的三個(gè)頂點(diǎn)為[((1,1,一2)、P2(4,1,-3)和A(6,2,5).

11)判斷AqaR是否為一直角三角形；

(2)求三角形M面積。

解(1)三個(gè)頂點(diǎn)4(0,1,-2)、R(4,1,-3)和6(6,2,5)的位置矢量分別為

r=ev-e,2,r,=e,4+e-e.3，r,=e,6+ev2+e,5

那么Ri2=r2-rx=%4—。=，R2y=ry-r2=ex2+ev+e.S，

由此可見

故△[鳥A為一直角三角形。

⑵三角形的面積S=3幾乂&3|=,國2卜|%|=，/^刷=17.13

1.3求產(chǎn)(一3,1,4)點(diǎn)到P(2,-2,3)點(diǎn)的距離矢量R及R的方向。

解=一%3+外+e：4,r?=ev2-ey2+e,3,

那么Rpp=rp-rP.=e{5-ev3-e

且與x、V、z軸的夾角分別為

1.4給定兩矢量A=e,2+c、,3—e,4和8=e、4—e、5+e:6,求它們之間的夾角和其在3上的分

量。

解A與3之間的夾角為cos-1(，；')=cos-1(,——3I——)=131

|A||B|729x77/7

B-31

A在3上的分量為AR=A.-=-^==-3.532

1.5給定兩矢量A=e<2+e.3-生4和B=-%6-ev4+e=，求Ax5在C=e、-ev+e二上的分量。

%4%

解AX〃=23-4=-ex13+ey22+e.10

-6-4I

(AxB)-C25

所以Ax3在C上的分量為(AxB)=十二-14.43

cKI6

1.6證明：如果A.5=A?。和4x6=AxC，那么5=C；

解由Ax〃=AxC，那么有Ax(4x〃)=Ax(AxC),即

由于A.5=A?C，于是得到(44)b=(A?A)C

故b=C

1.7如果給定一未知矢量與一矢量的標(biāo)量積和矢量積，那么便可以確定該未知矢量。設(shè)A為一矢

量，〃=A?X而p=AxX，〃和尸，試求X。

解由尸=AxX，有

故得萬二送二9

A>A

1.8在圓柱坐標(biāo)中，一點(diǎn)的位置由(4,至,3)定出，求該點(diǎn)在：(1)直角坐標(biāo)中的坐標(biāo)；(2)球坐

標(biāo)中的坐標(biāo)。

解(1)在直角坐標(biāo)系中x=4cos(2%/3)=—2、y=4sin(2%/3)=26、z=3

故該點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(一2,2百,3)。

⑵在球坐標(biāo)系中,.=’4?+32=5、6>=tan-1(4/3)=53.1'。=2萬/3=120

故該點(diǎn)的球坐標(biāo)為(5,53.1,120)

1.9用球坐標(biāo)表示的場￡二%三，

rr~

⑴求在直角坐標(biāo)中點(diǎn)(-3,4,-5)處的忸|和Ex;

(2)求在直角坐標(biāo)中點(diǎn)(—3,4,-5)處￡與矢量〃=%2-e、,2+e：構(gòu)成的夾角。

解(1)在直角坐標(biāo)中點(diǎn)(一3,4,-5)處，產(chǎn)=(-3)2+4?+(—5)2=50，故

(2)在直角坐標(biāo)中點(diǎn)(一3,4,-5)處，r=-ex3+ey4-e:5,所以

-1-

故E與3構(gòu)成的夾角為0ER=cos(W)=cos'(」9。0@)3.6

同以3/2=15

i.io球坐標(biāo)中兩個(gè)點(diǎn)(小巧,咐和5，%人)定出兩個(gè)位置矢量.和凡。證明凡和凡間夾角的

余弦為

解由R]=ejjsin"cos。1+eyi\sin"sin必+ej\cos0x

z-.1R/R,

得QZ到8"二間兩"

1.11一球面s的半徑為5,球心在原點(diǎn)上，計(jì)算：J(e，3sinO)?dS的值。

，夕）?，。）?2

解J（e3sindS=J（e3sin4dS=jd^j3sin8x5sin8d0=75/

S$00

LI2在由r=5、z=0和z=4圍成的圓柱形區(qū)域，對(duì)矢量A=or，+生2z驗(yàn)證散度定理。

解在圓柱坐標(biāo)系中▽?A=」W("2)+0(2z)=3r+2

rdrdz

42K5

所以Jv?4d「=jdzJd°J(3r+2)〃dr=]200;r

rooo

2

又jA?dS=j(err+e_2z)<erdSr+e0dJ+e二dS：)=

ss

故有JAd。=1200)=JA?dS

TS

1.13求(1)矢量A=ej2+qx2)，2+約24x2)，z3的散度；(2)求\7?A對(duì)中心在原點(diǎn)的一個(gè)單位

立方體的積分；⑶求a對(duì).立方標(biāo)外表的面分，驗(yàn)證散度定理。

解⑴▽.人辿+5+/f=2/+2。+72心星

dxdydz

(2)▽?A對(duì)中心在原點(diǎn)的一個(gè)單位立方體的枳分為

13)A對(duì)此立方體外表的積分

故有/▽?Adr=*=gA?dS

；14計(jì)算矢量,對(duì)一個(gè)球心在原點(diǎn)、半徑為。的球外表的積分，并求對(duì)球體積的枳分。

2行穴

解Jr?dS=jrqdS=jdaa2sin6d0=^7ia

ssoo

又在球坐標(biāo)系中，▽?=272(/r)=3,所以

r"dr

1.15求矢量A=eH+e/+e：y2z沿口平面上的一個(gè)邊長為2的正方形回路的線積分，此正方

形的兩邊分別與x軸和;軸相,重合。由求▽xA對(duì)此回路所包圍的曲面積分，驗(yàn)證斯托克斯定理。

2222

解JA-d/=Jxdx-Jxdx+pdy-Jody=8

exrey,ez

_a_a_a

又Vx4==eX,2yz+ez.2x

dxdydz

xx2y2z

22

所以J▽xA?dS=JJ（。\2yz+。.2x）?e：dxdy=8

soo

故有,A?dZ=8=jVxA?dS

cs

1.16求矢量A=qx+e、,J9J沿圓周x2+y2=a2的線積分：再計(jì)算VxA對(duì)此圓面積的積分。

解JA?dZ=Jxdx+?~dy=J（-t/2cos^sin+cos2^sin2°）d°=^-

1.17證明：11〕▽?K=3；（2）▽xK=0；（3）V（A?K）=A。其中A=e“+e、.y+e：z,-為

一常矢量。'

解⑴V./?=—+^-+—=3

dxdydz

1.22方程〃=￡+￡+W給出一橢球族。求橢球外表上任意點(diǎn)的單位法向矢量。

a2b2c2

解由于▽〃="4+%斗+已與

a'b-'e

故橢球外表上任意點(diǎn)的單位法向矢最為

1.23現(xiàn)有三個(gè)矢量A、B、C為

(1)哪些矢量可以由一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度表示？哪些矢量可以由一個(gè)矢量函數(shù)的旋度表示？

(2)求出這些矢量的源分布。

解(1)在球坐標(biāo)系中

故欠量A既可以由一個(gè)標(biāo)審函數(shù)的梯度表示，也可以由一個(gè)矢量函數(shù)的旋度表示；

在圓柱坐標(biāo)系中

也矢量B可以由一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度表示；

直角在坐標(biāo)系中

故矢量C可以由一個(gè)矢量函數(shù)的旋度表示。

(2)這些矢量的源分布為

▽?A=0，Vx4=0；

V?B=2rsin^?VxB=0;

▽?C=0，VxC=e,(2x-6y)

1.24利用直角坐標(biāo)，證明

解在直角坐標(biāo)中

1.25證明

解根據(jù)▽算子的微分運(yùn)算性質(zhì)，有

式中▽八表示只對(duì)矢量A作微分運(yùn)算，V”表示只對(duì)矢量H作微分運(yùn)算。

由。?(”。)=。?(〃乂》)，可得

同理

Vw.(AxH)=-A.(VHXH)=-A.(VxH)

故有▽?(Ax")=HA7xA-AA7xH

1.26利用直角坐標(biāo)，證明

解在直角坐標(biāo)中

所以

1.27利用散度定理及斯托克斯定理可以在更普遍的意義下證明▽x(V〃)=0及▽?(▽xA)=0,試

證明之。

解(1)對(duì)于任意閉合曲線。為邊界的任意曲面S，由斯托克

斯定理有

a

j(VxVw).dS=([Vw.d/=^d/=pi/=O

由于曲面S是任意嬴故有°0,

(2)對(duì)于任意閉合曲面s為邊界的體積了，由散度定理有

其中岳和邑如題L27圖所示。由斯托克斯定理，有

J(VxA).dS={A<iZ,題1.27圖

S\G

j(Vx4)?dS=JA-dZ

由題1.27圖可知G和G是方向相反的同一回路，那么有J4d/=-[A?dI

Gc2

所以得到]▽?(▽xA)dr二jA.dZ+jA.dZ=-jA<1/+jA<l/=0

GgGc2

由于體積z■是任意的，故有V?(VxA)=0

第二章習(xí)題解答

2.1一個(gè)平行板真空二極管內(nèi)的電荷體密度為廠N3,式中陰極板位于工=(),陽極板位

2

于x=d,極間電壓為Uo。如果Ub=40V、d=loin'橫截而s=10cm，求：(1)x=0和x=d區(qū)

域內(nèi)的總電荷量Q；(2)工=力2和x=d區(qū)域內(nèi)的總電荷量。。

解(1)2=jpdr=f(--dx=-A=-4.72x1O^11C

ro93d

dAA?

(2)Qr=^pdr=j/3)sdx=」(l_")￡oUoS=_0.97x](T"C

%J/293dyj2

2.2一個(gè)體密度為0=2.32x10-7c/nf的質(zhì)子束，通過1(XX)V的電壓加速后形成等速的質(zhì)子束，質(zhì)子

束內(nèi)的電荷均勻分布，束直徑為2mm，束外沒有電荷分布，試求電流密度和電流。

解質(zhì)子的質(zhì)量〃=1.7x10-27j^、電量q=1.6xl()T9c。由

得u=]2mqU=1.37xl06m/s

故J=pv=0.318A/m2

2.31個(gè)半徑為。的球體內(nèi)均勻分布總電荷量為Q的電荷，球體以勻角速度“繞一個(gè)直徑旋轉(zhuǎn)，求

球內(nèi)的電流密度。

解以球心為坐標(biāo)原點(diǎn)，轉(zhuǎn)軸[一直徑)為z軸。設(shè)球內(nèi)任一點(diǎn)尸的位置矢量為r,且r與z軸的夾

角為0,那么0點(diǎn)的線速度為

球內(nèi)的電荷體密度為

..rQ.A3Qco.八

故J=G-----69/*sin0=e.----7rsin0

2.4一個(gè)半徑為。的導(dǎo)體球帶總電荷量為Q,同樣以勻角速度。繞一個(gè)直徑旋轉(zhuǎn)，求球外表的面電

流密度。

解以球心為坐標(biāo)原點(diǎn)，轉(zhuǎn)軸(一直徑)為z軸。設(shè)球面上任一點(diǎn)0的位置矢量為r,且r與z軸的

夾角為e，那么尸點(diǎn)的線速度為

球面的上電荷面密度為

故J、=av=e0斗。、(ixisinO=e0sin0

2.5兩點(diǎn)電荷q=8C位于z軸上z=4處，%=-4C位于y軸上y=4處，求(4,0,0)處的電場強(qiáng)

度。

解電荷/在(4,0,0)處產(chǎn)生的電場為

電荷%在(4,0,0)處產(chǎn)生的電場為

故(4,0,0)處的電場為

2.6一個(gè)半圓環(huán)上均勻分布線電荷求垂直于圓平面的軸線上z=〃處的電場強(qiáng)度E(0,0M),設(shè)

半圓環(huán)的半徑也為。，如題2.6圖所示。

解半圓環(huán)上的電荷元gd/'=Plad"在軸線上z=。處的電場強(qiáng)度為

par-r

dE=-t----j=-6(p=

4乃%(42a)

在半圓環(huán)上對(duì)上式積分，得到軸線上z=a處的電場強(qiáng)度為

2.7三根長度均為L,均勻帶電荷密度分別為P心Pm和P/3地線電荷構(gòu)

成等邊三角形。設(shè)4=2%=2自3,計(jì)算三角形中心處的電場強(qiáng)度。

解建立題2.7圖所示的坐標(biāo)系°三角形中心到各邊的距離為

題2.6圖

d=—tan30=—L

|那么26

故等邊三角形中心處的電場強(qiáng)度為

2.8一點(diǎn)電荷位于(_〃,(),())處，另一點(diǎn)電荷一2q位于(a,0,())處，

/\空間有沒有電場強(qiáng)度￡=0的點(diǎn)？

A><A解電荷+4在(x,y,z)處產(chǎn)生的電場為

1/\二電荷—2q在(x,)，,z)處產(chǎn)生的電場為

(工,丁;)處的電場那么為￡=￡I+￡2。令￡=0，那么有

題2.7圖由上式兩端對(duì)應(yīng)分量相等，可得到

(x+a)[(x-a)2+)?+z?產(chǎn)=2(x-fz)[(x+fl)2+y2+z2J32?

y[(x-a)2+y2+z2.=2y[(x+a)2+y2+z2]-2②

z[(x-a)2-y2+z2]3/2=2z[(x+a)24-y2+z?產(chǎn)③

當(dāng))，w0或zwO時(shí)，將式②或式③代入式①，得。=0。所以，當(dāng)y工0或z/0時(shí)無解；

當(dāng)y=0且z=0時(shí)，由式①，有

解得

但X=—3a+2缶不合題意，戰(zhàn)僅在(—3a-2&a,0,0)處電場強(qiáng)度E=。。

2.9一個(gè)很薄的無限大導(dǎo)電帶電面，電荷面密度為。。證明：垂直于平面的z軸上z=z0處的電場

強(qiáng)度E中，有一半是有平面上半徑為后Z。的圓內(nèi)的電荷產(chǎn)生的。

解半徑為r、電荷線密度為自=<rdr的帶電細(xì)圓環(huán)在z軸上z=Z。處的電場強(qiáng)度為

故整個(gè)導(dǎo)電帶電面在z軸上z=z0處的電場強(qiáng)度為

’而半徑為、Gz0的圓內(nèi)的電荷產(chǎn)生在z軸上z=z0處的電場強(qiáng)度為

2.10一個(gè)半徑為〃的導(dǎo)體球帶電荷量為Q,當(dāng)球體以均勻角速度①繞一個(gè)直

?徑旋轉(zhuǎn)，如題2.10圖所示。求球心處的磁感應(yīng)強(qiáng)度3。

解球面上的電荷面密度為

當(dāng)球體以均勻角速度e繞一個(gè)直徑旋轉(zhuǎn)時(shí),球面上位置矢量,=%.點(diǎn)處的電流面

密度為

將球面劃分為無數(shù)個(gè)寬度為d/=ad。的細(xì)圓環(huán)，那么球面上任一個(gè)寬度為

(1/=6^。細(xì)圓環(huán)的電流為~/=4€1/=也5也。€1。

題2.10圖4乃

細(xì)圓環(huán)的當(dāng)徑為/?=asin夕,圓環(huán)平面到球心的距離d=acos。,利用電流圓環(huán)

的軸線上的磁場公式，那么該細(xì)圓環(huán)電流在球心處產(chǎn)生的磁場為

故整個(gè)球面電流在球心處產(chǎn)生的磁場為B=e「從。曲0=e.

3兀a~6/ra

2.U兩個(gè)半徑為力、同軸的相同線圈，各有N匝，相互隔開距離為d，如題2.11圖所示。電流/以

相同的方向流過這兩個(gè)線圈。

(I)求這兩個(gè)線圈中心點(diǎn)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度B=eR；

(2)證明：在中點(diǎn)處d8、/dx等于零；

(3)求出〃與"之間的關(guān)系，使中點(diǎn)處cP紇./d,也等于零。

解(1)由細(xì)圓環(huán)電流在其軸線上的磁感應(yīng)強(qiáng)度3

2，2?！?3一/2

2(a+z)

得到兩個(gè)線圈中心點(diǎn)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B=eN。'行

*x(b~+?/4產(chǎn)

(9.)兩線圈的電流在其軸建上x(Ovxvd)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度為

jNlb?

x[2(b2+V產(chǎn)22[b2+(d-工尸產(chǎn)

所以也.=3從oNIb%?3〃oNB“d-x)

"?7--2(一+_?產(chǎn)22[b2+(J-x)2]5/2

故在中點(diǎn)x=d/2處，有

222

⑶d_\5jLiuNIbx3〃°M〃2

r=221/2225/2+

1x2(b+x)~2(b^x)

令=o,有5"4___________1______

題2.11圖d/11"廳+j2/4]7/2[h2+"2/4產(chǎn)

即5d2/4=〃+//4

故解得(/=b

2.12一條扁平的直導(dǎo)體帶，寬為2〃，中心線與z軸重合，

通過的電流為/。證明在第一象限內(nèi)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為

B、二-"a，及二叢￡皿殳式中a、乙和心如題2.12

4萬。4萬a7;12

圖所示。

解將導(dǎo)體帶劃分為無數(shù)個(gè)寬度為d￡的細(xì)條帶，每一細(xì)條帶

的電流d/=4-ck'。由安培環(huán)路定理，可得位于/處的細(xì)條帶的

2a

電流d/在點(diǎn)P(x,y)處的磁場為

題2.12圖

,..〃0八'dx'

那么dBD、=一dBDsin0n=---------——；-----

*4MU-/)2+y2]

所以

2.13如題2.13圖所示，有一個(gè)電矩為A的電偶極子，位于坐標(biāo)原點(diǎn)上，另一個(gè)電矩為P?的電偶

極子，位于矢徑為/?的某一點(diǎn)上。試證明兩偶極子之間相互作用力為

式中a=<r,Pi〉，02=<r,p2>,"是兩個(gè)平面(r,pj和(r,P2)間的夾角。并問兩

個(gè)偶極子在怎樣的相對(duì)取向下這個(gè)力值最大？

解電偶極子Pi在矢徑為「的點(diǎn)上產(chǎn)生的電場為

所以Pi與P?之間的相互作用能為

因?yàn)?=<r,P[〉，ft=<r,p2>,那么

乂因?yàn)?。是兩個(gè)平面(r,pj和(r.pj間的夾角，所以有

另一方面，利用矢量恒等式可得

因

(Pi?02)=《[(rxn)?(rx小)一(廠?0)(r+P2)]=

r~

P]P?COSacosa

于是得至iJ叱=，"3(sin^sinftcos2cos&cos0)

￡0r2

故兩偶極子之間的相互作用力為

…=一翳(sinasin02cos^-2cos&cosft)Jg)=

--(sinqsin0.cos-2cos9、cosft)

?/*GQ/

由上式可見，當(dāng)a=%=。時(shí)，即兩個(gè)偶極子共線時(shí)，相互作用力值最大。

2.14兩平行無限長直線電流人和。，相距為△，求每根導(dǎo)線單位長度受到的安培力居,。

解無限長直線電流(產(chǎn)生的磁場為男=畤絲

271r

直線電流入每單位長度受到的安培力為耳m=j八七x4dz=-e12

i-21d

式中々2是由電流乙指向電流I2的單位矢量。

同理可得，直線電流(每單位長度受到的安培力為《必=-尸，小=勺2”4

“27rd

2.15一根通電流乙的無限長直導(dǎo)線和一個(gè)通電流"的圓環(huán)在同一平面上，圓心與導(dǎo)線的距離為d，

如題2.15圖所示。證明：兩電沆間相互作用的安培力為

這里a是圓環(huán)在直線最接近圓環(huán)的點(diǎn)所張的角。

解無限長直線電流人產(chǎn)生的磁場為

圓環(huán)上的電流元Ad/2受到的安培力為

由題2.15圖可知di?=(-evsin^4-e.cos0)ad0

所以居,=]夕一

(~e:sinexcos0)60=

02)(d+acos〃)

2.16證明在不均勻的電場中，某一電偶極子P繞坐標(biāo)原點(diǎn)所受到的力矩為

rx(p-V)E+pxE。

解如題2.16圖所示，設(shè)p=qd/(d/<vl),那么電偶極子P繞坐標(biāo)原點(diǎn)所受

到的力矩為

當(dāng)山《1時(shí),有

故得到

第三章習(xí)題解答

3.1真空中半徑為。的一個(gè)球面，球的兩極點(diǎn)處分別設(shè)置點(diǎn)電荷。和一試

計(jì)算球赤道平面上電通密度的通量。(如題3.1圖所示)。

解由點(diǎn)電荷^和一與共同產(chǎn)生的電通密度為

那么球赤道平面上電通密度的通量

3.21911年盧瑟福在實(shí)驗(yàn)中使用的是半徑為

G的球體原子模型，其球體內(nèi)均勻分布有總電荷量

為一Ze的電子云，在球心有一正電荷Ze(Z是原子序數(shù),e足質(zhì)子電荷

量J,通過實(shí)臉得到球體內(nèi)的電通量密度表達(dá)式為A=e,鄉(xiāng)43

4人廣<

7

試證明之。

7P

解位于球心的正電荷Ze球體內(nèi)產(chǎn)生的電通量密度為〃=e,一7

4萬廣

Ze3Ze

原子內(nèi)電子云的電荷體密度

電子云在原子內(nèi)產(chǎn)生的電通

題3.3圖(a)

1___r_

故原子內(nèi)總的電通量密度為。=〃+。2/藐

3.3電荷均勻分布于兩圓柱面間的區(qū)域中，體密度為AC/n?,兩圓柱面半徑分別為。和八軸線

相距為C（cv〃-。），如題3.3駕3）所示。求空間各局部的電場。

解由于兩圓柱面間的電荷不是釉對(duì)稱分布，不能直接用高斯定律求解。但可把半徑為。的小圓柱面

內(nèi)看作同時(shí)具有體密度分別為±P。的兩種電荷分布，這樣在半徑為〃的整個(gè)圓柱體內(nèi)具有體需度為

的均勻電荷分布，而在半徑為〃的整個(gè)圓柱體內(nèi)那么具有體密度為-R）的均勻電荷分布，如題3.3圖（歷

所示?？臻g任一點(diǎn)的電場是這兩種電荷所產(chǎn)生的電場的疊加。

在，?>〃區(qū)域中，由高斯定律1后旬5=幺，可求得大、小圓柱中的正、負(fù)電荷在點(diǎn)尸產(chǎn)生的電場

題3.3圖S）

分別為用士警二裂4』：盧二-誓

2兀2%r2兀?￡（/

.229

點(diǎn)P處總的電場為E=g+E：=0（空一室）

2forr

在rvb且區(qū)域中，同理可求得大、小圓柱中的正、負(fù)電荷在點(diǎn)。產(chǎn)生的電場分別為

2,

點(diǎn)P處總的電場為E=E。+E；=-色:）

2%r

在，的空腔區(qū)域中，大、小圓柱中的正、負(fù)電荷在點(diǎn)P產(chǎn)生的電場分別為

點(diǎn)P處總的電場為E=紇+司=爭（廠-，）=爭c

242%

3.4半徑為。的球中充滿密度「⑴）的體電荷，電位移分布為

r3+Ar2（r<a）

D54

r=\a+Aa其中A為常數(shù)，試求電荷密度夕（「）。

---s-{r>a）

r-

解:由▽?0二△，有夕

rdr

2

故在r<a區(qū)域p（r）=J二?且［，（，+Ar）］=外）（5,+4Ar）

rdr

4

在空。區(qū)域夕⑺=￡0-^—［rm'+A"）］=0

rdr廣

3.5一個(gè)半徑為。薄導(dǎo)體球殼內(nèi)外表涂覆了一薄層絕緣膜，球內(nèi)充滿總電荷量為。為的體電荷，球

殼上又另充有電荷量。。球內(nèi)部的電場為E=er（〃a）4,設(shè)球內(nèi)介質(zhì)為真空。計(jì)算：（I）球內(nèi)的電荷分

布；⑵球殼外外表的電荷面密度。

解（I）由高斯定律的微分形式可求得球內(nèi)的電荷體密度為

(2)球體內(nèi)的總電量0為。=J/xir=J6%^?4萬/dr=4fq?

r0a

球內(nèi)電荷不僅在球殼內(nèi)外表上感應(yīng)電荷-Q,而且在球殼外外表上還要感應(yīng)電荷Q,所以球殼外外

表上的總電荷為2Q,故球殼外外表上的電荷面密度為a==2j

4不。~

3.6兩個(gè)無限長的同軸圓柱半徑分別為一=。和廠二〃S>。)，圓柱外表分別帶有密度為0和內(nèi)的

面電荷。(1)計(jì)算各處的電位移。0；(2)欲使廠>6區(qū)域內(nèi)4=0,那么?和巴應(yīng)具有什么關(guān)系？

解(1)由高斯定理JOo?dS=4,當(dāng)，Y4時(shí)，有。01=。

s

當(dāng)a<r<b時(shí)，有2/rrD=2乃。5,那么￡>()，=，—L

O2r

當(dāng)〃<廠<co時(shí)，有2仃Do?=2,7。。1+2幾be、,那么O()3=er町””

/?

12)令〃=e也上史i二0,那么得到6=-2

r%a

3.7計(jì)算在電場強(qiáng)度￡=《)+斗工的電場中把帶電量為-2〃C的點(diǎn)電荷從點(diǎn)4(2,1,-1)移到點(diǎn)

旦(8,2,-1)時(shí)電場所做的功：(|)沿曲線工=2)九(2)沿連接該兩點(diǎn)的直線。

解(])W=JjF?d/=qJ=E\dx+Evdy=

ccc

(2)連接點(diǎn)^(2,1,-1)到點(diǎn)7^(8,2,-1)直線方程為

x—2.x—8

----=-----即工-6y+4=0

y-iy-2

故

2

W=qjydx+xdy=gjyd(6v-4)+(6y-4)dy=qj(12)，-4)d)，=14q=-28xICT6(J)

3.8長度為L的細(xì)導(dǎo)線帶有均勻電荷，其電荷線密度為go。(1)計(jì)算線電荷平分面上任意點(diǎn)的電位

0；(2)利用直接積分法計(jì)算線電荷平分面上任意點(diǎn)的電場E,并用E=核對(duì)。

解(1)建立如題3.8圖所示坐標(biāo)系。根據(jù)電位的積分表達(dá)式，線電荷平分面上任意點(diǎn)尸的電位為

“21,

刖°)=\4八二

-L/2a-+Z-

(2)根據(jù)時(shí)稱性，可得兩個(gè)勸稱線電荷元q°dz'在點(diǎn)。的電場

為

故長為L的線電荷在點(diǎn)P的電場為

由E=求E,有

3.9無限長均勻線電荷化的電場￡=e,?婚：，試用定義式

rp

9&)=j*E?d/求其電位函數(shù)。其中小為電位參考點(diǎn)。

E?d/=\-^—6r=Alnr”Al也

72吟r21%r21jr

由于是無限長的線電荷，不能將〃選為無窮遠(yuǎn)點(diǎn)。

3.10一點(diǎn)電荷+4位于(-〃,0,0),另一點(diǎn)電荷-2q位于(〃,0,0),求空間的零電位面。

解兩個(gè)點(diǎn)電荷+q和-2q在空間產(chǎn)生的電位

12八

令以QZ)=O,那么有J-+y2+z2r(…)2+八工2

即4Kx+a)2+y2+z2]=(x-a)2+j2+z2

故得*+g4)2+y2+z2

54

由此可見，零電位面是一個(gè)以點(diǎn)(一一。,0,0)為球心、一。為半徑的球面。

33

Ze1r3

3.11證明習(xí)題3.2的電位表達(dá)式為°(7*)=:；-(―+-—一二二)

r

4吟2〃2r(l

Ze

解位于球心的正電荷Ze在京子外產(chǎn)生的電通量密度為D,=e,—

44尸

電子云在原子外產(chǎn)生的電通量密度那么為O,=e,四磔=-。,一絲

所以原子外的電場為零。故原子內(nèi)電位為

3.12電場中有一半徑為。的圓柱體，柱內(nèi)外的電位函數(shù)分別為

(0求圓柱內(nèi)、外的電場強(qiáng)度；

12)這個(gè)圓柱是什么材料制成的？外表有電荷分布嗎？試求之。

解[1)由￡=-V。，可得到時(shí)，E=-V=0

a2a2

r>a時(shí)，E=7(p=~er—[A(r--)cos(/>]-e.-^—[A(r--)cos(f>]=

drrrd(jfr

(2)該圓柱體為等位體，所以是由導(dǎo)體制成的，其外表有電荷分布，電荷面密度為

3.13驗(yàn)證以下標(biāo)量函數(shù)在它們各自的坐標(biāo)系中滿足▽/=()

(1)si-sin(8)"及其中〃2=，+/2；

(2)r”[cos(〃0)+Asin(〃。)]圓柱坐標(biāo)；

(3)r"cos(〃。)圓柱坐標(biāo)；

(4)rcos。球坐標(biāo)；

(5)r*cos。球坐標(biāo)。

解(1)在直角坐標(biāo)系中V2°=詈+詈+答

dx-dy-dz-

而一-=—7[sm(履)sm(2)e']=-ksin(fcr)sin(fy)e'

dx'dx'

故▽/=(一/一/+h2)sin(履)sin(/y)e*=0

d2(pd2(p

⑵

?a^(D?aa2/,-2

而；加。言)=Tartar叫cos(〃。)+Asin(W)]}=nr[cos(^)4-AsinQz。)]

故▽》=()

⑶野10doo

---{r—[廠“cos(〃。)]}=n~r~"~cos(〃。)

rdrrdrdr

故▽》=()

,1(}__^Z?n8%+〈一空

(4)在球坐標(biāo)系中▽~0==—(r

rdrr~sin0d0d0r~sin_0d(/)~

ia2a中1a2a/.2

而一r—(廣—)=——[廣一(rcos〃)[=—cos”

r~drdrr~drdrr

故▽》=()

,?、。/，(、?「，

(5)—1—(r-7d^p-)=—1—[r—3(,r-2-cos6>)]=-2cos<9

廠ororrororr

故力仁。

3.14.y>0的空間中沒有電荷，以下幾個(gè)函數(shù)中哪些是可能的電位的解?

⑴e'coshx;

⑵e~ycosx：

⑶e~^ycosxsinx

(4)sin.rsinysinzo

解⑴—7(e~ycoshx)+—(e~ycoshx)+—(e~ycoshx)=2e~ycosh"0

ex"3)廣7dz~7

所以函數(shù)e-，coshx不是y>0空間中的電位的解；

^202

⑵—(e-ycosx)+—(e-ycosx)+—(eycosx)=--ycosx+e'ycosx=0

oxdy"dze

所以函數(shù)e-cosx是y>0空向中可能的電位的解；

(3)(e心cosxsinx)+-^-rcosxsinx)+乂(e~^ycossinx)=

a■dy1dz2

所以函數(shù)6-叵、,cosxsinA>不是)'>0空間中的電位的解；

(4)—(sinxsinysinz)+—(sinxsinysinz)+—(sinxsinysinz)=

dx-7dy~7dz"7

所以函數(shù)sinxsinysinz不是y>0空間中的電位的解。

3.15中心位于原點(diǎn)，邊長為￡的電介質(zhì)立方體的極化強(qiáng)度矢量為尸=4(%大+外)，+幺2)。(1)計(jì)

算面束縛電荷密度和體束縛電荷密度：(2)證明總的束縛電荷為零。

解⑴PP=7?P=-3P?、

同理o>(y=馬=o>(y=―寺)=aP(z=^)=o>(z=_q)=q4

2

(2)<7F=jp/?dr+j0-pdS=-36Z?+6Lx—=0

-rc2

3.16一半徑為R0的介質(zhì)球，介電常數(shù)為J跖，其內(nèi)均勻分布自由電荷P,證明中心點(diǎn)的電位為

竽代

2%3%

解由jO?dS=q,可得到

5

Arr-

"凡時(shí)，4萬，2=------p

3

即聯(lián)給&=旦=乎

3J島3與島

r>R()時(shí)，4兀產(chǎn)。,=4萬凡

-3

即D=嗎，E2=PL=A

■3r-3跖廠

故中心點(diǎn)的電位為

3.17一個(gè)半徑為R的介質(zhì)球，介電常數(shù)為￡,球內(nèi)的極化強(qiáng)度尸=orK",其中K為一常數(shù)。（1）

計(jì)算束縛電荷體密度和面密度；[2）計(jì)算自由電荷密度；（3）計(jì)算球內(nèi)、外的電場和電位分布。

解（1）介質(zhì)球內(nèi)的束縛電荷體密度為p〃=-V?P=—」rg（，4）二—。

rdrrr~

在r=R的球面上，束縛電荷面密度為%=n.P\r_R=er.P[__R=4

R

（2）由于O=/E+P,所以▽?D=￡（y?E+▽?尸=&V?O+V?P

即（I一包）▽?D=\7?P

￡

由此可得到介質(zhì)球內(nèi)的自由電荷體密度為2='?0=-^-5P=-----P?=（"

r.cKf1,14的RK

總的自由電荷量<7=pdr=---------4^-rdr=-----------

；￡—苑;廠￡一￡。

（3）介質(zhì)球內(nèi)、外的電場強(qiáng)度分別為

介質(zhì)球內(nèi)、外的電位分別為

3.18m證明不均勻電介質(zhì)在沒有自由電荷密度時(shí)可能存在束縛電荷體密度；（2）導(dǎo)出束縛電荷密

度分的表達(dá)式。

解（1）由。=￡（）￡+2，野束縛電荷體密度為0>=-V?〃=-V?O+￡OV?E

在介質(zhì)內(nèi)沒有自由電荷密度時(shí)，▽?。