北師大版八年級數(shù)學(上)教案

北師大版八年級第一學期教學方案

一、學情分析

八年級是皿階段最為關鍵的一年，如果學生在八年級學習抓得比擬緊，到九年

級時相對就會變得輕松，反之，到了九年級后就會完全放棄，數(shù)學尤其如此。事實上

在七年級時，學生對學習數(shù)學的興趣深厚，也會很努力，但如果效果不是很好時，相

當局部學生就會放棄。因此在制定八年級數(shù)學教學方案時要充分考慮到這一點。

二、教材分析

本冊是八年級上冊，全書共分為七章。本學期教學內容包括第一章《勾股定理》、

第二章《實數(shù)》，第三章《位置與坐標》，第四章《一次函數(shù)》，第五章《二元一次方

程組》，第六章《數(shù)據(jù)的分析》，第七章《平行線的證明》。

第一章《勾股定理》的主要內容是勾股定理的探索和應用。

第二章《實數(shù)》主要內容是平方根、立方根的概念和求法，實數(shù)的概念和運算。

本章的內容雖然不多，但在初中數(shù)學中占有十分重要的地位C

第三章《位置與坐標》主要講述平面直角坐標系中點確實定，會找出一些點的

坐標。

第四章《一次函數(shù)》的主要內容是介紹函數(shù)的概念，以及一次函數(shù)的圖象和表

達式，學會用一次函數(shù)解決一些實際問題。

第五章《二元一次方程組》要求學會解二元一次方程組，并用二元一次方程組

來解一些實際的問題。

第六章《數(shù)據(jù)的分析》主要講述平均數(shù)和中位數(shù)、眾數(shù)的概念，會求平均數(shù)和能

找出中位數(shù)及眾數(shù)。

第七章《平行線的證明》0主要講述證明的根本要求和方法，學會推理論證；探

索證明的思路和方法，提倡證明的多樣性以及平行線的性質卻判定等。

本章的難點是：

1、引導學生探索、猜測、證明，體會證明的必要性；

2、在教學中滲透如歸納、類比、轉化等數(shù)學思想。

三、教學目標與任務

掌握勾股定理、平方根與立方根、實數(shù)、平面坐標系、一次函數(shù)、平行線性質、

判定、數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)等知識并形成相應數(shù)學技能。在情感與價值觀上認識圖形

中的數(shù)量關系，培養(yǎng)學生的實事求是認真嚴肅的學習態(tài)度，在民主和諧合作的學習過

程中養(yǎng)成獨立探究勤與思考大膽創(chuàng)新，開展學生的非智力因素提高學生的數(shù)學素質與

素養(yǎng)。

具體教學目標如下：

1.培養(yǎng)正確的觀察事物分析事物能力，理解并掌握勾股定理及其證明。在學生經(jīng)

歷“觀察一猜測一歸納一驗證”勾股定理的過程中，開展合情推理能力，體會數(shù)形結合

和從特殊到一般的思想。

2.正確理解二次根式的概念，掌握二次根式的根本運算，并能熟練地進行二次根

式的化簡。

3.掌握二次根式加、減、乘、除的運算法那么，能夠進行二次根式的運算。掌握

二次根式的化簡，進一步提高學生的運算能力。

4.理解一次函數(shù)的概念，掌握一次函數(shù)的圖象和表達式，學會用一次函數(shù)解決一

些實際問題。

5.理解消元的思想，知道消元是一種重要的思想方法會用代入消元法、加減消元

法解二元一次方程組并能說已代入消元法、加減消元法解二元一次方程組的根本步

驟。

四、措施與方法

1、認真做好教學工作。把認真教學作為提高成績的主要方法，認真研讀新課程

標準，鉆研新教材，根據(jù)新課程標準，力、充教材內容，認真上課，批改作業(yè)，認真輔

導，認真制作測試試卷，也讓學生學會認真學習。

2、興趣是最好的老師，愛因斯坦如是說。激發(fā)學生的興趣，給學生介紹數(shù)學家,

數(shù)學史，介紹相應的數(shù)學趣題，給出數(shù)學課外思考題，激發(fā)學生的興趣。

3、引導學生積極參加知識的構建，營造民主、和諧、平等、自主、探索、交流、

分享發(fā)現(xiàn)快樂的高效的學習課堂，讓學生體會學習的快樂，享受學習。引導學生寫小

論文，寫復習提綱，使知識來源于學生的創(chuàng)造。

4、引導學生積極歸納解題規(guī)律，引導學生一題多解，多解歸一，培養(yǎng)學生透過

現(xiàn)象看本質，提高學生舉一反三的能力，這是提高學生素質的根本途徑之一，培養(yǎng)學

生的發(fā)散思維，讓學生處于一種思如泉涌的狀態(tài)。同時，引導和幫助學生建立“錯題

集”，以起到“前事不忘，后事之師”的效果。

5、運用新課程標準的理念指導教學，積極更新自己腦海中固有的教育理念，不

同的教育理念將帶來不同的教育效果。

6、培養(yǎng)學生良好的學習習慣，陶行知說：教育就是培養(yǎng)習慣，有助于學生穩(wěn)步

提高學習成績，開展學生的非智力因素，彌補智力上的缺乏C

7、開展分層教學，布置作業(yè)設置A、B、C三類分層布置分別適合于差、中、

好三類學生，課堂上的提問照顧好好、中、差三類學生，讓每個學生盡可能獲得最大

開展。

附：本期教學進度安排

八年級（上）學期教學進度表

周

日期教學內容節(jié)次備注

次

1.1探索勾股定理（2課時）1.2一定是直角三角形嗎？

15

1.3勾定理的應用第一章回憶與思考

第一章測試及講解2.1認識無理數(shù)（2課時）

25

2.2平方根（2課時）

2.3立方根2.4估算2.5用計算器開方

35

2.6實數(shù)2.7二次根式（1課時）

2.7二次根式（2課時）第二章回憶與思考（2課時）

45

第二章測試與講解

5國慶放假

3.1位置確定3.2平面直角坐標系（3課時）

65

3.3軸對稱與坐標變化

第三章回憶與思考第三章測試與講解（2課時）

75

4.1一次函數(shù)4.2一次函數(shù)與正比例函數(shù)

84.3一次函數(shù)的圖象（2課時）4.4一次函數(shù)的應用（3課時）5

第四章回憶與思考第四章測試與講解

95

5.1認識二元一次方程組5.2求解二元一次方程組（2課時〕

5.3雞兔同籠5.4增收節(jié)支

105

期中質量監(jiān)測

5.5里程碑上的數(shù)5.6二元一次方程與一次函數(shù)

115.7用二元一次方程組確定一次函數(shù)表達式5

5.8三元一次方程組5.9第五章回憶與思考

第五章測試與講解（2課時）6.1平均數(shù)（2課時）

125

6.2中位數(shù)與眾數(shù)

6.3從統(tǒng)計圖分析數(shù)據(jù)的集中趨勢6.4數(shù)據(jù)的離散程度（2課時）

135

第六章回憶與思考第六章測試與講解

7.1為什么要證明7.2定義與命題（2課時）

145

7.3平行線的判定7.4平行線的性質

7.5三角形內角和定理（2課時）

155

第七章回憶與思考第七章測試與講解（2課時）

16期末復習5

17期末復習5

-1.518期末復習5

19期末復習5

205

第一章勾股定理

§1.1探索勾股定理（一）

教學目標：

經(jīng)歷用數(shù)格子的方法探索勾股定理的過程，進一步開展學生的合情推力意識，主動探

究的習慣，進一步體會數(shù)學與現(xiàn)實生活的緊密聯(lián)系。

探索并理解直角三角形的三邊之間的數(shù)量關系，進一步開展學生的說理和簡單的推理

的意識及能力。

重點：了解勾股定理的由來，并能用它來解決一些簡單的問題。

難點：勾股定理的發(fā)現(xiàn)

教學方法：實驗一猜測一歸納一論證

教學過程

一、創(chuàng)設問題的情境，激發(fā)學生的學習熱情，導入課題

出示投影1（章前的圖文）

教師：介紹我國古代在勾股定理研究方面的奉獻，并結合課本談一談，講述我國是最

早了解勾股定理的國家之一，介紹商高（三千多年前周期的數(shù)學家）在勾股定理方面的

奉獻。

出示投影2（書中的圖1—2）并答復：

觀察圖1-2,正方形A中有個小方格，即A的面積為個單位。

正方形B中有個小方格，即A的面積為個單位。

正方形C中有個小方格，即A的面積為個單位。

你是怎樣得出上面的結果的？在學生交流答復的根底上教師直接發(fā)問：

圖1一2中，A,B,C之間的面積之間有什么關系？

學生交流后形成共識，教師板書，A+B=C,接著提出圖1—1中的A.B,C的關系呢？

二、探索發(fā)現(xiàn)勾股定理

做一做：出示投影3（書中圖1一）提問：

1、圖1—3中，A,B,C之間有什么關系？

2、圖1—4中，A,B,C之間有什么關系？

從圖1一1,1—2,1—3,1—4中你發(fā)現(xiàn)什么？

學生討論、交流形成共識后，教師總結：

以三角形兩直角邊為邊的正方形的面積和，等于以斜邊的正方形面積。

議一議：

圖1一1、1一2、1—3、1一中，你能用三角形的邊長表示正方形的面積嗎？

你能發(fā)現(xiàn)直角三角形三邊長度之間的關系嗎？

在同學的交流根底上，老師板書：

直角三角形邊的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。這就是著名的“勾股定理”

也就是說：如果直角三角形的兩直角邊為a,b,斜邊為c

那么/+。2=,.2

我國古代稱直角三角形的較短的直角邊為勾，較長的為股，斜邊為弦，這就是勾股定

理的由來。

分別以5厘米和12厘米為直角邊做出一個直角三角形，并測量斜邊的長度（學生測

量后答復斜邊長為13）請大家想一想（2）中的規(guī)律，對這個三角形仍然成立嗎？（答

復是肯定的：成立）

三、勾股定理的簡單應用

1、如下圖，一棵大樹在一次強烈臺風中于離地面10m處折斷倒下，樹頂落在離樹根

24m處.大樹在折斷之前高多少？

（教師板演解題過程）

2、這里的29英寸（74厘米）的電視機，指的是

屏幕的長嗎？只的是屏幕的款嗎？那他指什么

呢？

3、錯例辨析：

△ABC的兩邊為3和4,求第三邊

解：由于三角形的兩邊為3、4

所以它的第三邊的c應滿足c?=32+42=25

即：c=5

辨析：

（1）要用勾股定理解題，首先應具備直角三角形這個必不可少的條件，可此題

ABC并未說明它是否是直角三角形，所以用勾股定理就沒有依據(jù)。

（2）假設告訴△ABC是直角三角形，第三邊C也不一定是滿足/+82=。2,題目中

并為交待C是斜邊

綜上所述這個題目條件缺乏，第三邊無法求得。

四、課堂練習

五、小結：教師提問：

1.這一節(jié)課我們一起學習了哪些知識和思想方法？

2.對這些內容你有什么體會？與同伴進行交流.

在學生自由發(fā)言的根底上，師生共同總結：

1.知識：勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.如果用a,b,c

分別表示直角三角形的兩直角邊和斜邊，那么/+/=/.

2.方法：（1）觀察—探索—猜測—驗證—歸納—應用；

⑵、'割、補、拼、接”法.

3.思想：（1）特殊—一般—特殊；

（2）數(shù)形結合思想.

六、課后作業(yè)

習題1.1

§1.1探索勾股定理（二）

教學目標：

經(jīng)歷運用拼圖的方法說明勾股定理是正確的過程，在數(shù)學活動中開展學生的探窕意識

和合作交流的習慣。

掌握勾股定理和他的簡單應用

重點：能熟練運用拼圖的方法證明勾股定理

難點：用面積證勾股定理

教學方法：實驗一猜測一歸納一論證

教學過程

一、創(chuàng)設問題的情境，激發(fā)學生的學習熱情，導入課題

我們已經(jīng)通過數(shù)格子的方法發(fā)現(xiàn)了直角三角形三邊的關系，究竟是幾個實例，是否具

有普遍的意義，還需加以論證，下面就是今天所要研究的內容，下邊請大家畫四個全

等的直角三角形，并把它剪下來，用這四個直角三角形，拼一拼、擺一擺，看看能否

得到一個含有以斜邊c為邊長的正方形，并與同學交流。在同學操作的過程中，教師

展示投影1（書中圖1—7）

接著提問：大正方形的面積可表示為什么？

（同學們答復有這幾種可能：（1）（合+從）（2）-^.4+c2）

2

在同學交流形成共識之后，教師把這兩種表示大正方形面積的式子用等號連接起來。

二!外?4+。2請同學們對上面的式子進行化簡，得到：

2

a~-4-2ab+b~=2a。+c2即/+Z?2=c2

這就可以從理論上說明勾股定理存在。請同學們去用別的拼圖方法說明勾股定理。

二、例題講解初步應用

1、一個直角三角形的斜邊為20cm,且兩直角邊長度比為3：4,求兩直角邊的長。

2、飛機在空中水平飛行，某一時刻剛好飛機飛到一個男孩頭頂正上方4000多米處，

過20秒，飛機距離這個男孩頭頂5000米，飛機每時飛行多少千米？

分析：根據(jù)題意：可以先畫出符合題意的圖形。如右圖，圖中4ABC的

Nc=9（）o,AC=4000米，AB=5000米，欲求飛機每小時飛行多少千米，就要知道飛機

在20秒的時間里的飛行路程，即圖中的CB的長，由于直角△ABC的斜邊AB二5000

米，AC=4000米，這樣的CB就可以通過勾股定理得出。這里一定要注意單位的換算。

解：由勾股定理得BC2=AB2-AC2=52-42=9（千米）

即BC=3千米飛機20秒飛行3千米，那么它1小時飛行的距離為：

答：飛機每個小時飛行540千米。

三、延伸拓展能力提升

展示投影2（書中的圖1—9）

觀察卜圖，應用數(shù)格子的方法判斷圖中的二角形的二邊長是否滿足〃2+方2=，

同學在議論交流形成共識之后，老師總結。

勾股定理存在于直角三角形中，不是直角三角形就不能使用勾股定理。

四、回憶反思提煉升華

教師提問：通過這節(jié)課的學習，你有什么樣的收獲？師生共同暢談收獲.

五、課后作業(yè)

習題1.2

§1.2一定是直角三角形嗎

教學目標：

知識與技能

1.掌握直角三角形的判別條件，并能進行簡單應用；

2.進一步開展數(shù)感，增加對勾股數(shù)的直觀體驗，培養(yǎng)從實際問題抽象出數(shù)學問題的能

力，建立數(shù)學模型.

3.會通過邊長判斷一個三角形是否是直角三角形，并會辨析哪些問題應用哪個結論.

情感態(tài)度與價值觀

敢于面對數(shù)學學習中的困難，并有獨立克服困難和運用知識解決問題的成功經(jīng)驗，進

一步體會數(shù)學的應用價值，開展運用數(shù)學的信心和能力，初步形成積極參與數(shù)學活動

的意識.

教學重點

運用身蘇熟悉的事物，從多種角度開展數(shù)感，會通過邊長判斷一個三角形是否是直角

三角形.

教學難點

會辨析哪些問題應用哪個結論.

課前準備

標有單位長度的細繩、三角板、量角器

教學方法：實驗一猜測一歸納一論證

教學過程：

.復習引入：

請學生復述勾股定理；使用勾股定理的前提條件是什么？

△人8（2的兩邊人8=5,AC=12,那么BC=13對嗎？

創(chuàng)設問題情景：由課前準備好的一組學生以小品的形式演示教材：古埃及造直角的方

法.

這樣做得到的是一個直角三角形嗎？

提出課題：能得到直角三角形嗎

二.合作探究

1、用直角三角板檢驗，這個三角形的三邊分別是多少？（一份視為1）它們之間存在

著怎樣的關系？

就是說，如果三角形的三邊為a,b,c,請猜測在什么條件下，以這三邊組成的三

角形是直角三角形？（當滿足較小兩邊的平方和等于較大邊的平方時）

2、繼續(xù)嘗試：下面的三組數(shù)分別是一個三角形的三邊長a,b,c：

5,12,13；6,8,10；8,15,17.

（1）這二組數(shù)都滿足a2+b2=c2嗎？

(2)分別以每組數(shù)為三邊長作出三角形，用量角器量一量，它們都是直角三角形嗎？

直角三角形判定定理：如果三角形的三邊長a,b,c滿足a?+b2=c2,那么這個三角形

是直角三角形.

滿足a2+b2=c2的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù).

三.反思總結

提問：

1.同學們還能找出哪些勾股數(shù)呢？

2.今天的結論與前面學習勾股定理有哪些異同呢？

3.到今天為止，你能用哪些方法判斷一個三角形是直角三隹形呢？

4.通過今天同學們合作探究，你能體驗出一個數(shù)學結論的發(fā)現(xiàn)要經(jīng)歷哪些過程呢？

四.穩(wěn)固提高

例1一個零件的形狀如左圖所示，按規(guī)定這個零件中NA和NDBC都應為直角.工

人師傅量得這個零件各邊尺寸如右圖所示，這個零件符合要求嗎？

五.隨堂練習：

1.以下幾組數(shù)能否作為直角三角形的三邊長？說說你的理由.

(1)9,12,15；(2)15,36,39；(3)12,35,36；⑷12,18,22.

2.AABC中BC=41,AC=40,AB=9,那么此三角形為三角形，

是最大角.

3.四邊形ABCD中AB=3,BC=4,CD=12,DA=13,且NABC=90°,求這個四邊形的

面積.

六.交流小結：

師生相互交流總結出：

1.今天所學內容

①會利用三角形三邊數(shù)量關系"+從=。2判斷一個三角形是直角三角形；

②滿足/+/=/的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)；

2.從今天所學內容及所作練習中總結出的經(jīng)驗與方法：

①數(shù)學是源于生活又效勞于生活的；

②數(shù)學結論的發(fā)現(xiàn)總是要經(jīng)歷觀察、歸納、猜測和驗證的過程，同時遵循由“特殊一

一般一特殊的開展規(guī)律；

③利用三角形三邊數(shù)量關系"+力2判斷一個三角形是直角三角形時;當遇見數(shù)據(jù)較

大時，要懂得將作適當變形，/"'a?便于計算。

七.作業(yè)

習題1.3

§1.3勾股定理的應用

教學目標

教學知識點：能運用勾股定理及直角三角形的判別條件(即勾股定理的逆定理)解決簡

單的實際問題.

能力訓練要求：

1.學會觀察圖形，勇于探索圖形間的關系，培養(yǎng)學生的空間觀念.

2.在將實際問題抽象成幾何圖形過程中，提高分析問題、解決問題的能力及滲透數(shù)學

建模的思想.

情感與價值觀要求：

1.通過有趣的問題提高學習數(shù)學的興趣.

2.在解決實際問題的過程中，體驗數(shù)學學習的實用性，表達人人都學有用的數(shù)學.

重點：

探索、發(fā)現(xiàn)給定事物中隱含的勾股定理及其逆及理，并用它們解決生活實際問題.

難點：

利用數(shù)學中的建模思想構造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解決實際問題.

教學力法：引導一探究一歸納

教學過程

一、創(chuàng)設問題情境，引入新課：

前幾節(jié)課我們學習了勾股定理，你還記得它有什么作用嗎？

例如：欲登12米高的建筑物，為平安需要，需使梯子底端離建筑物5米，至少需多

長的梯子？

根據(jù)題意，(如圖)AC是建筑物，那么AC=12米，BC=5米，AB是梯子的長度.所以在

R3ABC中，AB2=AC2+BC2=122+52=132；AB=13米.

所以至少需13米長的梯子.

二、合作探究：

①、螞蟻怎么走最近

出示問題：有一個圓柱，它的高等于12厘米，底面半徑等于3厘米.在圓行柱的底

面A點有一只螞蟻，它想吃到上底面上與A點相對的B點處的食物，需要爬行的的

最短路程是多少？(兀的值取3).

(1)同學們可自己做一個圓柱，嘗試從A點到B點沿圓柱的側面畫出幾條路線，你

覺得哪條路線最短呢？［小組討論)

(2)如圖，將圓柱側面剪開展開成一個長方形，從A點到B點的最短路線是什么?

你畫對了嗎？

(3)螞蟻從A點出發(fā)，想吃到B點上的食物，它沿圓柱側面爬行的最短路程是多少？

(學生分組討論，公布結果)

我們知道，圓柱的側面展開圖是一長方形.好了，現(xiàn)在咱們就用剪刀沿母線AA，將圓柱

的側面展開(如以下圖).

我們不難發(fā)現(xiàn)，剛剛幾位同學的走法：

(1)A-A，-B；(2)A—B，-B；(3)A-D-B；(4)A―>B.

哪條路線是最短呢？你畫對了嗎？

第(4)條路線最短.因為“兩點之間的連線中線段最短”.

②、做一做:李叔叔隨身只帶卷尺檢測AD,BC是否與底邊AB垂直，也就是要檢測

NDAB=90。，NCBA=90。.連結BD或AC,也就是要檢測△DAB和^CBA是否為直

角三角形.很顯然，這是個需用勾股定理的逆定理來解決的實際問題.

三、隨堂練習

出示投影片

1.甲、乙兩位探險者，到沙漠進行探險.某日早晨8：00甲先出發(fā)，他以6千米/

時的速度向東行走.1時后乙出發(fā)，他以5千米/時的速度向北行進.上午10:00,

甲、乙兩人相距多遠？

2.如圖，有一個高1.5米，半徑是1米的圓柱形油桶，在靠近邊的地方有一小孔，

從孔中插入一鐵棒，鐵棒在油桶外的局部是0.5米，問這根鐵棒應有多長？

1.分析：首先我們需要根據(jù)題意將實際問題轉化成數(shù)學模型.

解：根據(jù)題意,可知A是甲、乙的出發(fā)點,10：00時甲到達B點，那么AB=2x6=12(千

米)；乙到達C點，那么AC=lx5=5(千米).

在RtAABC中,BC2=AC2+AB2=52+122=169=132,所以BC=13千米.即甲、乙兩人相

距13千米.

2.分析：從題意可知，沒有告訴鐵棒是如何插入油桶中，因而鐵棒的長是一個取值范

圍而不是固定的長度，所以鐵棒最長時，是插入至底部的A點處，鐵棒最短時是垂直

于底面時.

解：設伸入油桶中的長度為X米，那么應求最長時和最短時的值.

（1）X2=1.52+22,X2=6.25>X=2.5

所以最長是2.5+0.5=3（米）.

（2）x=1.5,最短是1.5+0.5=2侏）.

答：這根鐵棒的長應在2?3米之間（包含2米、3米）.

3.試一試

在我國古代數(shù)學著作《九章算術》中記載了一道有趣的問題，這個問題的意思是：有

一個水池，水面是一個邊長為10尺的正方形.在水池正中央有一根新生的蘆葦，它高

出水面1尺.如果把這根蘆葦垂直拉向岸邊，它的頂端恰好到達岸邊的水面.請問這個

水池的深度和這根蘆葦?shù)拈L度各為多少？

我們可以將這個實際問題轉化成數(shù)學模型.產(chǎn)7

解：如圖，設水深為X尺，那么蘆葦長為（X+D尺，「/

由勾股定理可求得A/

（X+1）2=X2+52,X2+2X+1=X2+25

解得x=12/

那么水池的深度為12尺，蘆葦長13尺.Y

四、交流小結

這節(jié)課我們利用勾股定理和它的逆定理解決了生活中的兒個實際問題.

1.我們從中可以發(fā)現(xiàn)用數(shù)學知識解決這些實際問題，更為重要的是將它們轉化成數(shù)

學模型.

2.在尋求最短路徑時，往往把空間問題平面化，利用勾股定理及其逆定理解決實際

問題.

五、課后作業(yè)

習題1.4第1,2,3題.

第一章《勾股定理》回憶與思考

教學目標是：

①讓學生回憶本章的知識，同時重溫這些知識尤其是勾股定理的獲得和驗證的過程，

體會勾股定理及其逆定理的廣泛應用.

②在回憶與思考的過程中，提高解決問題，反思問題的能力.

③在反思和交流的過程中，體驗學習帶來的無盡的樂趣.通過對勾股定理歷史的再認

識，培養(yǎng)愛國主義精神，體驗科學給人來帶來的力量.

教學重點：讓學生經(jīng)歷數(shù)學知識的形成與應用過程，強化應用意識。

教學難點：培養(yǎng)學生多方面的能力.

教學方法：引導一探究一歸納

教學過程：

一、知識結構梳理

本章知識要點及結構：

（教師引導，小組討論、總結）

從邊的關系來說，當然就是勾股定理；從角度的關系來說，日于直角三角形中有一個

特殊的角即直角，所以直角三角形的兩個銳角互余.

直角三角形作為一個特殊的三角形.如果又有一個銳角是30。，那么30。的角所對的

直角邊時斜邊的一半.

通過回憶與思考中的問題的交流，由同學們自己建立本章的知識結構圖.

三邊的關系-勾股定理―歷史、應用

直角三角形］

直角三角形需判別一應用

二、合作探究

內容：

探究一：利用勾股定理求邊長

直角三角形的兩邊長分別為3、4,求第三邊長的平方.

解：（1）當兩直角邊為3和4時，第三邊長的平方為25；

（2）當斜邊為4,一直角邊為3時，第三邊長的平方為7.

探究二：利用勾股定理求圖形面積：

1.求出以下各圖中陰影局部的面積.

圖（1）陰影局部的面積為；（答案：1）

圖（2）陰影局部的面積為;（答案：81）

圖（3）陰影局部的面積為；（答案：5）

2.RtZiABC中，ZC=90°,假設a+b=14c機，c=10o??,求RsABC的面積.

探究三：利用勾股定理逆定理判定△ABC的形狀或求角度

1.在△ABC中，ZA,NBNC的對邊分別為ab,c,且（〃+/?）（〃-份=/,那么（）.

（A）NA為直角（B）NC為直角（C）4為直角（D）不是直角三角形

解：va2-b2=c2,Aa2=b2-^-c2.應選（A）.

探究四：勾股定理及逆定理的綜合應用：

B港有甲、乙兩艘漁船，假設甲船沿北偏東60。方向以每小時8nmile的速度前進，乙

船沿南偏東某個角度以每小時15nmile的速度前進，2小時后，甲船到M島，乙船到

P島，兩島相距34nmile,你知道乙船是沿哪個方向航行的嗎？

解：甲船航行的距離為BM=8x2=16（nmile）,

乙船航行的距離為BP=15x2=30（nmile）.

V162+302=1156,342=1156,BM2+BP2=MP2,

???△MBP為直角三角形，，乙WBP=90。，，乙船是沿著南偏東30。方向航行的.

三、拓展提升

內容：

我國漢代數(shù)學家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一副“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”

（如圖1）.圖2由“弦圖”變化得到，它是由八個全等的直角三角形拼接而成.記圖中

正方形ABCD,正方形EFGH,正方形MNKT的面積分別為SI,S2,S3,假設

Sl+S2+S3=10,那么S2的值是.

（答案為W）

3

四、交流小結

師生相互交流總結：

1.本章知識要點及在學習中用到了哪些數(shù)學思想方法？

2.你在學習過程中是否積極參與？是否與同伴進行了有效的合作交流？

五、布置作業(yè)

《復習題》

第二章實數(shù)

§2.1認識無理數(shù)（一）

教學目標

知識目標：

1.通過拼圖活動，讓學生感受無理數(shù)產(chǎn)生的實際背景和引入的必要性.

2.能判斷給出的數(shù)是否為有理數(shù)；并能說出理由.

能力訓練目標：

1.讓學生親自動手做拼圖活動，感受無理數(shù)存在的必要性和合理性，培養(yǎng)大家的動手

能力和合作精神.

2.通過回憶有理數(shù)的有關知識，能正確地進行推理和判斷，識別某些數(shù)是否為有理數(shù),

訓練他們的思維判斷能力.

情感與價值觀目標：

1.鼓勵學生積極參與教學活動，提高大家學習數(shù)學的熱情.

2.引導學生充分進行交流，討論與探索等教學活動，培養(yǎng)他們的合作與鉆研精神.

3.了解有關無理數(shù)發(fā)現(xiàn)的知識，鼓勵學生大膽質疑，培養(yǎng)他們?yōu)檎胬矶鴬^斗的精神.

教學重點

1.讓學生經(jīng)歷無理數(shù)發(fā)現(xiàn)的過程.感知生活中確實存在著不同于有理數(shù)的數(shù).

2.會判斷一個數(shù)是否為有理數(shù).

教學難點

1.把兩個邊長為1的正方形拼成一個大正方形的動手操作過程.

2.判斷一個數(shù)是否為有理數(shù).

教學方法：引導—探究—歸納

教學過程

一、創(chuàng)設問題情境，引入新課

【想一想】

⑴一個整數(shù)的平方一定是整數(shù)嗎？

⑵一個分數(shù)的平方一定是分數(shù)嗎？

【算一算】

一個直角三角形的兩條直角邊長分別為1和2,算一算斜邊長上的平方，并提出問題:

*是整數(shù)（或分數(shù)）嗎？

【剪剪拼拼】

把邊長為1的兩個小正方形通過剪、拼，設法拼成一個大正方形，你會嗎？

目的：選取客觀存在的“無理數(shù)”實例，讓學生深刻感受“數(shù)不夠用了

二、獲取新知

【議一議】/=2,請問：①。可能是整數(shù)嗎？②。可能是分數(shù)嗎？

【釋一釋】釋1.滿足。2=2的。為什么不是整數(shù)?

釋2.滿足。2=2的。為什么不是分數(shù)？

【憶一憶】讓學生回憶“有理數(shù)”概念，既然。不是整數(shù)也不是分數(shù)，那么〃一定不是

有理數(shù)，這說明：有理數(shù)不夠用了，為“新數(shù)”（無理數(shù)）的學習奠定了根底

【找一找】在以下正方形網(wǎng)格中，先找出長度為有理數(shù)的線段，再找出長度不是有理

（無理數(shù)）的存在，從

1.長度是有理數(shù)的線段2.長度不是有理數(shù)的線段

【畫一畫2】在右2的正方形網(wǎng)格中畫出四個三角形（右1）

1.三邊長都是有理數(shù)2.只有兩邊長是有理數(shù)

3.只有一邊長是有理數(shù)4.三邊長都不是有理數(shù)

【仿一仿】例：在數(shù)軸上表示滿足亡=2（工＞0）的x

解：（右2）CB

仿：在數(shù)軸上百OAP

【賽一賽】右3是由五個單位正方形組成的紙片，請你把

它剪成三塊，然后拼成一個正方形，你會嗎？試試看！（右3）

目的：進一步感受“新數(shù)”的存在，而且能把“新數(shù)”表示在數(shù)軸上，加深了對“新知”的

理解，穩(wěn)固了本課所學知識.

四、課堂小結

1.通過本課學習，感受有理數(shù)又不夠用了，請問你有什么收獲與體會？2.客觀世界

中，確實存在不是有理數(shù)的數(shù)，你能列舉幾個嗎？

3.除了本課所認識的非有理數(shù)的數(shù)以外，你還能找到嗎？

五、布置作業(yè)

習題2.1

§2.1認識無理數(shù)（二）

教學目標

知識目標：

1.借助計算器探索無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，并從中體會無限逼近的思想.

2.會判斷一個數(shù)是有理數(shù)還是無理數(shù).

能力訓練目標：

1.借助計算器進行估算，培養(yǎng)學生的估算能力，開展學生的抽象概括能力，并在活動

中進一步開展學生獨立思考、合作交流的意識和能力.

2.探索無理數(shù)的定義，以及無理數(shù)與有理數(shù)的區(qū)別，并能區(qū)分出一個數(shù)是無理數(shù)還是

有理數(shù)，訓練學生的思維判斷能力.

情感與價值觀目標：

1.讓學生理解估算的意義，掌握估算的方法，開展學生的數(shù)感和估算能力.

2.充分調動學生的積極性，培養(yǎng)他們的合作精神，提高他們的辨識能力.

教學重點

1.無理數(shù)概念的探索過程.

2.用計算器進行無理數(shù)的估算.

3.了解無理數(shù)與有理數(shù)的區(qū)別，并能正確地進行判斷.

教學難點

1.無理數(shù)概念的建立及估算.

2.用所學定義正確判斷所給數(shù)的屬性.

教學方法：引導一探究一歸納

教學過程

第一環(huán)節(jié)：創(chuàng)設問題情境，引入新課

內容：想一想：

1.有理數(shù)是如何分類的？

整數(shù)（叫0,2,3,…）

有理數(shù)＜

分數(shù)（如一|,0.5,...）

2.除上面的數(shù)以外，我們還學習過哪些不同的數(shù)?如圓周率兀，0.020020002…上節(jié)課又

了解到一些數(shù)，如〃2=2,從=5中的a,b不是整數(shù)，能穴能轉化成分數(shù)呢？那么

它們究竟是什么數(shù)呢？本節(jié)課我們就來揭示它們的真面目.

意圖：通過這些問題讓學生發(fā)現(xiàn)有理數(shù)不夠用了，存在既不是整數(shù)，也不是分數(shù)的數(shù),

激發(fā)學生的求知欲，去揭示它的真面目.激發(fā)學生的好奇心和求知欲，引出本節(jié)課題“數(shù)

不夠用了⑵

第二個環(huán)節(jié)：活動與探究

1.探索無理數(shù)的小數(shù)表示

內容：借助計算器以小組討論的形式對面積為2的正方形的邊長a和面積為5的正方

形的邊長b進行估計.

請看圖，判斷下面3個正方形的邊長之間有怎樣的大小關系？邊長a的取值范圍大致

是多少?如何估算的？是否存在一個小數(shù)的平方等于2?說說你的理由.

邊長〃面積s

l<a<2l<s<4

1.431.51.96<s<2.25

1.41<々<1.421.9881Vs<2.0164

1.41431.4151.999396<s<2.002225

1.4142<a<1.41431.99996164<s<2.00024449

歸納總結：a是介于1和2之間的一個數(shù)，既不是整數(shù)，也大是分數(shù)，那么a一定不

是有理數(shù).如果寫成小數(shù)形式，它們是無限不循環(huán)小數(shù).

請大家用上面的方法估計面積為5的正方形的邊長b的值.

目的：讓學生有充分的時間進行思考和交流，逐漸地縮小范圍，借助計算器探索出

a=1.41421356...,42.2360679...,是無限不循環(huán)小數(shù)的過程，體會無限逼近的思想.

效果：學生感受到無理數(shù)確實是無限不循環(huán)的，為后續(xù)定義無理數(shù)打下根底.

2.探索有理數(shù)的小數(shù)表示，明確無理數(shù)的概念

內容：請同學們以學習小組的形式活動：一同學舉出任意一分數(shù)，另一同學將此分數(shù)

表示成小數(shù)，并總結此小數(shù)的形式.

議一議：分數(shù)化成小數(shù)，最終此小數(shù)的形式有哪幾種情況？

探究結論：分數(shù)只能化成有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù).

即任何有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)都是有理數(shù).

強調：像0.585885888588885...,1.41421356...,一2.2360679…等這些數(shù)的小數(shù)位數(shù)

都是無限的，并且不是循環(huán)的，它們都是無限不循環(huán)小數(shù).

我們把無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù).（圓周率兀=3.14159265…也是一個無限不循環(huán)小

數(shù)，故兀是無理數(shù)）.

目的：通過學生的活動與探究，得出無理數(shù)的概念.

第三個環(huán)節(jié)：知識分類整理

內容：到目前為止我們所學過的數(shù)可以分為幾類？（按小數(shù)的形式來分）.

「整數(shù)

r有理數(shù)：有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)＜

數(shù)」一

I分數(shù)

I無理數(shù)：無限不循環(huán)小數(shù)

強調“無限不循環(huán)小數(shù)”與“無限循環(huán)小數(shù)”的聯(lián)系和區(qū)別.無理數(shù)還可以進行怎樣的分

類？

目的：培養(yǎng)學生總結歸納的能力，把新學知識納入己有的知識體系，進一步開展學生

的思維判斷能力，加強學生對分類思想的理解.

第四個環(huán)節(jié)：知識運用與穩(wěn)固

隨堂練習.

第五個環(huán)節(jié)：課堂小結

內容：本節(jié)課你有哪些收獲？

1.無理數(shù)的定義.

2.你是怎樣判斷一個數(shù)是無理數(shù)還是有理數(shù)的？

3.請把已學過的數(shù)怎樣分類？

第六個環(huán)節(jié)：布置作業(yè)

習題2.2

附：板書設計

2?1數(shù)不夠用了⑵

一、導入§2.2

二、新課平方

1.有理數(shù)的定義：有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù).

根

2.無理數(shù)的定義：無限不循環(huán)小數(shù).

(一)

3.數(shù)的分類：

教學目

r整數(shù)

標：

有理數(shù)：有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)i

1、了解

算術平

I分數(shù)

方根的

無理數(shù)：無限不循環(huán)小數(shù)概念，

三、例題講述會用根

號表示

四、小結

一個數(shù)

的算術

平方根；了解求一個正數(shù)的算術平方根與平方是互逆的運算，會利用這個互逆運算關

系求非負數(shù)的算術平方根；了解算術平方根的性質.

2、在概念形成過程中，讓學生體會知識的來源與開展，提高學生的思維能力；在合作

交流等活動中，培養(yǎng)他們的合作精神和創(chuàng)新意識.

3、讓學生積極參與教學活動，培養(yǎng)他們對數(shù)學的好奇心和求知欲.

教學重點：算術平方根的概念、性質，會用根號表示一個正數(shù)的算術平方根。

教學難點：算術平方根的概念、性質。

教學方法：引導一探究一歸納

教學過程:

一、創(chuàng)設問題情境，導入新課

1.教師活動：回憶上節(jié)課的拼組活動及探索無理數(shù)的過程，提出問題：面積為13的正

方形的邊長究竟是多少？

學生活動：

(1)完成課本填空：

a2=,b2=,

c2=,d2=

e2=,f2=

(2)a,b,c,d,e,f中哪些是有理數(shù)，哪些是無理數(shù)？

你能表示它們嗎？

2.師生互動

集體交流后，說明無理數(shù)也需要一種表示方法。

二、初步探究

內容1：情境引出新概念

V=2,/=3,Z2=4,步=5,幕和指數(shù)，求底數(shù)3你能求出來嗎?

目的：讓學生體驗概念形成過程，感受到概念引入的必要性.

內容2：在上面思考的根底上，明晰概念：

一般地，如果一個正數(shù)X的平方等于。，即k=a,那么這個正數(shù)X就叫做。的算術平

方根，記為“八”，讀作“根號特別地，我們規(guī)定0的算大平方根是0,即而二°.

內容3：簡單運用，穩(wěn)固概念

例1求以下各數(shù)的算術平方根：

49

（1）900；（2）1；（3）64；（4）14.

解：（1）因為302=900,所以900的算術平方根是30,即標'=30；

⑵因為〃=1,所以1的算術平方根是1,即加=1；

72_49497但「

（3）因為G-64,所以歹的算術平方根是即丫64一W；

（4）14的算術平方根是

內容4：回解課堂引入問題

2

%=2,）/=3,卬2=5,那么彳=拒，丫=舊,W=下.

三、深入探究

內容1：例2自由下落物體的高度利米）與下落時間，（秒）的關

系為人=4.9『.有一鐵球從19.6米高的建筑物上自由下落，到

達地面需要多長時間？

目的：用算術平方根的知識解決實際問題.

效果：學生多能利用等式的性質將%=4.9產(chǎn)進行變形，再用求

算術平方根的方法求得題目的解.

解：將力=19.6代入公式/?=4.9/，得產(chǎn)=4,所以正數(shù)

f="=2（秒）.

即鐵球到達地面需要2秒.

內容2：觀察我們剛剛求出的算術平方根有什么特點.

目的：讓學生認識到算術平方根定義中的兩層含義：人中的。是一個非負數(shù)，。的算

術平方根〃■也是一個非負數(shù)，負數(shù)沒有算術平方根.這也是算術平方根的性質一

雙重非負性.

四、反響練習：隨堂練習

五、課堂小結：

1、這節(jié)課學習的算術平方根是本章的根本概念，是為以后的學習做鋪墊的.通過這

節(jié)課的學習，我們要掌握以下的內容：

⑴算術平方根的概念，式子標中的雙重非負性：一是心0,二是〃^0.

(2)算術平方根的性質：一個正數(shù)的算術平方根是一個正數(shù)；0的算術平方根是0;負

數(shù)沒有算術平方根.

(3)求一個正數(shù)的算術平方根的運算與平方運算是互逆的運算，利用這個互逆運算關系

求非負數(shù)的算術平方根.

2、方法歸納：轉化的數(shù)學方法：即將陌生的問題轉化為熟悉的問題解決。

六、布置作業(yè)：

習題2.3

§2.2平方根(二)

教學目標：

1.了解平方根、開平方的概念，明確算術平方根與平方根的區(qū)別和聯(lián)系.

2.進一步明確平方與開平方是互逆的運算關系.

3.經(jīng)歷平方根概念的形成過程，讓學生不僅掌握概念，而且提高和穩(wěn)固所學知識的應

用能力.

教學重點：了解平方根和開平方的概念、性質，會用根號表示一個正數(shù)的算術平方根

和平方根。

教學難點：平方根和算術平方根的區(qū)別。負數(shù)沒有平方根，即負數(shù)不能進行開平方運

算。

教學方法：引導一探究一歸納

教學過程：

一、復習提問，導入新課

1、算術平方根的概念，任何一個有理數(shù)都有算術平方根嗎？算術平方根有什么性質。

2、9的算術平方根是，3的平方是，

還有其他的數(shù)的平方是9嗎？

二、探究新知：

1.想一想

4

平方等于3的數(shù)有幾個？平方等于0.64的數(shù)呢？

25

學生活動：學生思考，然后交流，得出平方根的定義。

2.教師活動：形成概念

一般地，如果一個數(shù)x的平方等于a,BPx2=a,那么，這個數(shù)x就叫做a的平方根。

也叫做二次方根。而把正的平方根叫做a的算術平方根.

表達式為：假設x2=a,那么x叫做a的平方根.記作土石.

3和一3的平方都是9,即9的平方根有兩個3和一3；9的算術平方根只有一個，是3。

3.學生活動：

求出以下各數(shù)的平方根。

4

16,0,—25,

9

4.概念辨析

平方根與算術平方根的聯(lián)系與區(qū)別

聯(lián)系

1.包含關系平方根包含算術平方根，算術平方根是平方根的一種.

2.只有非負數(shù)才有平方根和算術平方根.

3.0的平方根是0,算術平方根也是0.

區(qū)別

1.個數(shù)不同：一個正數(shù)有兩個平方根，但只有一個算術平方根.

2.表示法不同：平方根表示為士4，而算術平方根表示為右.

三、議一議：

(1)一個正數(shù)的有幾個平方根？

(2)0有幾個平方根？

(3)負數(shù)呢?

★教師活動：

一個正數(shù)有兩個平方根，0只有一個平方根，它是0本身；負數(shù)沒有平方根。

☆學生活動：

正數(shù)的兩個平方根有什么關系嗎？

討論，交流得出：

一個正數(shù)a有兩個平方根，一個是a的算術平方根，“右”，另一個是“-5”，它們

互為相反數(shù)。這兩個平方根合起來，可以記做“土O"，讀作“正、負根號葭。

開平方：求一個數(shù)a的平方根的運算，叫做開平方。其中a叫做被開方數(shù)。(指數(shù)和

暴，求底數(shù)的運算是開方運算)

★教師活動

開平方和平方互為逆運算，我們可以利用平方運算來求平方根。

四、例題和新知穩(wěn)固：

例1求以下各數(shù)的平方根：

49

(1)64,(2)——,(3)0.0004,(4)(-25)2,(5)11

五、隨堂練習：

★教師活動：

耍學生進步明白平方根與算術平方根在應用上的區(qū)別。

等于多少f［等于多少9

(2)(N/7.2)2等于多少p

(3)無I一于正數(shù)等于多少?

師生互動，討論交流得出：=a(a>0)

六、課堂小結：

引導學生總結本課時的知識、方法.讓學生對所學的知識進行梳理，使之思路清晰，

既穩(wěn)固了有關知識，又培養(yǎng)了學生良好的學習習慣.如：

1.平方根的定義、表示方法、求法、性質。及平方根和算術平方根的區(qū)別和聯(lián)系。

2.使學生學到由特殊到一般的歸納法。

七、課后作業(yè)：習題2.4

§2.3立方根

教學目標

1.了解立方根的概念，會用根號表示一個數(shù)的立方根；會用立力運算求一個數(shù)的立方

根，了解開立方與立方互為逆運算，了解立方根的性質；區(qū)分立方根與平方根的不同；

2.經(jīng)歷對立方根的探究過程，在探究中學會解決立方根的一些根本方法和策略，培養(yǎng)

逆向思維能力和分類討論的意識.學生在經(jīng)歷用類比的方法學習立方根的有關知識過

程中，領會類比思想；

3.立方根概念、符號、運算及性質的探究過程中，培養(yǎng)學生聯(lián)系實際、善于觀察、勇

于探索和勤于思考的精神；

重點：立方根的概念及求法.

難點：立方根與平方根的區(qū)別.

教學方法：引導一探究一歸納

教學過程設計

第一環(huán)節(jié)：創(chuàng)設問題情境

內容：某化工廠使用一種球形儲氣罐儲藏氣體，現(xiàn)在要造一個新的球形儲氣罐，如果

它的體積是原來的8倍，那么它的半徑是原儲氣罐的多少倍？如果儲氣罐的體積是原

來的4倍呢？

v=_TIRJ

(球的體積公式為3,R為球的半徑)

提問：怎樣求出半徑R?學完本節(jié)知識后，相信你會有一個滿意的答案.有關體積的

運算和面積的運算有類似之處，讓我們用上節(jié)課解決問題的方法來學習新知識.

目的：通過實際情境引入，讓學生感受新知學習的必要性，激發(fā)學生的求知欲望，從

而順利引入新課.

第二環(huán)節(jié)：復習引入、類比學習

提問：

(1)什么叫一個數(shù)a的平方根？如何用符號表示數(shù)a(a>0)的平方根？

(2)正數(shù)的平方根有幾個？它們之間的關系是什么？負數(shù)有沒有平方根？0的平方根

是什么？

(3)平方和開平方運算有何關系？

(4)算術平方根和平方根有何區(qū)別與聯(lián)系？

強調：一個正數(shù)的平方根有兩個，且互為相反數(shù)；一個負數(shù)沒有平方根；0的平方根

是0.

(5)為了解決前面情景中的問題，需要引入一個新的運算，你將如何定義這個新運

算？

1.一般地，如果一個數(shù)x的平方等于a,即x2=a,那么這個數(shù)x就叫做a的平方根(也

叫做二次方根).

2.一般地，如果一個數(shù)x的立方等于a,即x3=a,那么這個數(shù)x就叫做a的立方根

(cuberoot,也叫做三次方根］.如：2是8的立方根，一3是一27的立方根，0是0

的立方根.

目的：學生通過回憶上節(jié)課的學習內容，為進一步研究立方根的概念及性質做好鋪墊，

同時突出平方根與立方根的比照，以利于弄清兩者的區(qū)別和聯(lián)系.

第三環(huán)節(jié)：初步探究

1、做一做：怎樣求以下括號內的數(shù)？各題中什么數(shù)？求什么數(shù)？

(1)()3:0.001；(2)03=-—；(3)()3=0.

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目的：通過計算練習，使學生進一步了解求一個數(shù)的立方，與求一個數(shù)的立方根是互

為逆運算，感受一個數(shù)的立方根的唯一性，計算中對a的取值分別選為正數(shù)、負數(shù)、

0,這樣設計，在此過程中滲透分類討論的思想方法.

2、議一議：

(1)正數(shù)有幾個立方根？

(2)0有幾個立方根

(3)負數(shù)呢？

意圖：提問，是為了指出平方根與立方根的比照，以利于弄清兩者的區(qū)別和聯(lián)系.

3、在上面的根底上明晰以下內容，對知識進行梳理

(1)每個數(shù)a都只有一個立方根，記為“我”，讀作“三次根號a”.例如x3=7時，x

是7的立方根，即5=乂；與數(shù)的平方根的表示比擬，數(shù)的立方根中根號前沒有“土”符

號，但根指數(shù)3不能省略.

(2)正數(shù)的立方根是正數(shù)；0