高考數(shù)學二輪復習專題三數(shù)列第1講等差數(shù)列、等比數(shù)列含答案及解析

第1講等差數(shù)列、等比數(shù)列（新高考專用）目錄目錄【真題自測】 2【考點突破】 3【考點一】等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本運算 3【考點二】等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì) 4【考點三】等差數(shù)列、等比數(shù)列的判斷與證明 6【專題精練】 7考情分析：1.等差、等比數(shù)列基本量和性質(zhì)的考查是高考熱點，經(jīng)常以小題形式出現(xiàn).2.等差、等比數(shù)列求和及綜合應用是高考考查的重點．真題自測真題自測一、單選題1．（2024·全國·高考真題）已知等差數(shù)列an的前項和為，若，則（

）A． B． C．1 D．2．（2024·全國·高考真題）已知b是的等差中項，直線與圓交于兩點，則AB的最小值為（

）A．1 B．2 C．4 D．3．（2024·全國·高考真題）記為等差數(shù)列an的前項和，已知，，則（

）A． B． C． D．4．（2023·全國·高考真題）記為等差數(shù)列的前項和．若，則（

）A．25 B．22 C．20 D．155．（2023·全國·高考真題）已知等差數(shù)列的公差為，集合，若，則（

）A．－1 B． C．0 D．6．（2023·全國·高考真題）記為數(shù)列的前項和，設甲：為等差數(shù)列；乙：為等差數(shù)列，則（

）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件7．（2023·全國·高考真題）設等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，前n項和，若，，則（

）A． B． C．15 D．408．（2023·全國·高考真題）記為等比數(shù)列的前n項和，若，，則（

）．A．120 B．85 C． D．二、填空題9．（2024·全國·高考真題）記為等差數(shù)列的前n項和，若，，則.10．（2023·全國·高考真題）已知為等比數(shù)列，，，則.考點突破考點突破【考點一】等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本運算核心梳理：等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本公式(n∈N*)(1)等差數(shù)列的通項公式：an＝a1＋(n－1)d，an＝am＋(n－m)d.(2)等比數(shù)列的通項公式：an＝a1qn－1，an＝am·qn－m.(3)等差數(shù)列的求和公式：Sn＝eq\f(na1＋an,2)＝na1＋eq\f(nn－1,2)d.(4)等比數(shù)列的求和公式：Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a11－qn,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)，q≠1，,na1，q＝1.))一、單選題1．（2024·湖南長沙·一模）古印度數(shù)學家婆什迦羅在《莉拉沃蒂》一書中提出如下問題：某人給一個人布施，初日4德拉瑪（古印度貨幣單位），其后日增5德拉瑪.朋友啊，請馬上告訴我，半個月中，他總共布施多少德拉瑪？在這個問題中，這人15天的最后7天布施的德拉瑪總數(shù)為（

）A．413 B．427 C．308 D．1332．（23-24高三下·湖北武漢·階段練習）記等比數(shù)列的前項和為，若，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、多選題3．（22-23高二下·河南信陽·階段練習）等差數(shù)列的前項和記為，若，則成立的是（

）A．B．的最大值是C．D．當時，最大值為4．（23-24高三上·河南·期末）設等比數(shù)列的前項和為，且(為常數(shù))，則（

）A． B．的公比為2 C． D．三、填空題5．（23-24高二上·天津·期末）已知等差數(shù)列，的前項和分別為，，若，則.6．（2023·全國·高考真題）已知為等比數(shù)列，，，則.規(guī)律方法：等差數(shù)列、等比數(shù)列問題的求解策略(1)抓住基本量，首項a1、公差d或公比q.(2)熟悉一些結構特征，如前n項和為Sn＝an2＋bn(a，b是常數(shù))的形式的數(shù)列為等差數(shù)列，通項公式為an＝p·qn－1(p，q≠0)的形式的數(shù)列為等比數(shù)列．(3)由于等比數(shù)列的通項公式、前n項和公式中變量n在指數(shù)位置，所以常用兩式相除(即比值的方式)進行相關計算．【考點二】等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)核心梳理：1．通項性質(zhì)：若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，則對于等差數(shù)列，有am＋an＝ap＋aq＝2ak；對于等比數(shù)列，有aman＝apaq＝aeq\o\al(2,k).2．前n項和的性質(zhì)：(1)對于等差數(shù)列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等差數(shù)列；對于等比數(shù)列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比數(shù)列(q＝－1且m為偶數(shù)時除外)．(2)對于等差數(shù)列有S2n－1＝(2n－1)an.一、單選題1．（2024·北京朝陽·一模）已知等比數(shù)列的前項和為，且，，則（

）A．9 B．16 C．21 D．252．（2024·湖北武漢·模擬預測）法布里-貝羅研究多光束干涉在薄膜理論中的應用時，用光波依次透過層薄膜，記光波的初始功率為，記為光波經(jīng)過第層薄膜后的功率，假設在經(jīng)過第層薄膜時光波的透過率，其中，2，3…，為使得，則的最大值為（

）A．31 B．32 C．63 D．64二、多選題3．（23-24高三上·廣東廣州·階段練習）已知是等比數(shù)列的前n項和，若存在，，，使得，則（

）A．B．是數(shù)列的公比C．數(shù)列可能為等比數(shù)列D．數(shù)列不可能為常數(shù)列4．（2024·山西呂梁·三模）已知等差數(shù)列an的首項為，公差為，前項和為，若，則下列說法正確的是（

）A．當最大B．使得成立的最小自然數(shù)C．D．中最小項為三、填空題5．（2024·上海閔行·三模）設是等比數(shù)列的前項和，若，，則.6．（23-24高三上·福建莆田·期中）在等差數(shù)列中，為前項和，，則.規(guī)律方法：等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)問題的求解策略(1)抓關系，抓住項與項之間的關系及項的序號之間的關系，從這些特點入手，選擇恰當?shù)男再|(zhì)進行求解．(2)用性質(zhì)，數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，具有函數(shù)的一些性質(zhì)，如單調(diào)性、周期性等，可利用函數(shù)的性質(zhì)解題．【考點三】等差數(shù)列、等比數(shù)列的判斷與證明核心梳理：等差數(shù)列等比數(shù)列定義法an＋1－an＝deq\f(an＋1,an)＝q(q≠0)通項法an＝a1＋(n－1)dan＝a1qn－1中項法2an＝an－1＋an＋1(n≥2)aeq\o\al(2,n)＝an－1an＋1(n≥2，an≠0)前n項和法Sn＝an2＋bn(a，b為常數(shù))Sn＝kqn－k(k≠0，q≠0,1)證明數(shù)列為等差(比)數(shù)列一般使用定義法．一、解答題1．（23-24高三上·河南焦作·期末）已知數(shù)列中，，．(1)求的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前n項和．2．（22-23高二下·河南周口·階段練習）已知數(shù)列滿足:.(1)證明:是等比數(shù)列;(2)求數(shù)列的前項和.3．（2023·河南·模擬預測）已知為數(shù)列的前項和，且為正項等比數(shù)列，，.(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項公式；(3)設，且數(shù)列的前項和為，若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.4．（2023·陜西安康·模擬預測）在數(shù)列中，已知．(1)求的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和．5．（23-24高三下·四川綿陽·階段練習）設為數(shù)列的前項和，已知，且為等差數(shù)列．(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)若數(shù)列滿足，且，求數(shù)列的前項和．6．（23-24高三上·山西太原·期末）為了避免就餐聚集和減少排隊時間，某校食堂從開學第1天起，每餐只推出即點即取的米飯?zhí)撞秃兔媸程撞?某同學每天中午都會在食堂提供的兩種套餐中選擇一種套餐，如果他第1天選擇了米飯?zhí)撞停敲吹?天選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿?；如果他?天選擇了面食套餐，那么第2天選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿?已知他開學第1天中午選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿?(1)求該同學開學第2天中午選擇米飯?zhí)撞偷母怕剩?2)記該同學第天選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿?，（i）證明：為等比數(shù)列；（ii）證明：當時，.規(guī)律方法：(1)aeq\o\al(2,n)＝an－1an＋1(n≥2，n∈N*)是{an}為等比數(shù)列的必要不充分條件，也就是判斷一個數(shù)列是等比數(shù)列時，要注意各項不為0.(2){an}為等比數(shù)列，可推出a1，a2，a3成等比數(shù)列，但a1，a2，a3成等比數(shù)列并不能說明{an}為等比數(shù)列．(3)證明{an}不是等比數(shù)列可用特值法．專題精練專題精練一、單選題1．（2024·廣東佛山·二模）設數(shù)列an的前項之積為，滿足（），則（

）A． B． C． D．2．（2023·四川成都·三模）設為正項等差數(shù)列的前項和．若，則的最小值為（

）A． B． C． D．3．（23-24高二上·浙江舟山·期末）記為等差數(shù)列的前項和，若，則（

）A．20 B．16 C．14 D．124．（2023·北京海淀·三模）已知等差數(shù)列的公差為，數(shù)列滿足，則“”是“為遞減數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件5．（2024·江蘇南通·二模）若，，成等比數(shù)列，則（）A． B． C． D．6．（2024·廣東廣州·一模）記為等比數(shù)列的前項和，若，則（

）A． B． C． D．7．（23-24高二上·廣西南寧·期末）在正項等比數(shù)列中，為其前n項和，若，則的值為（

）A．10 B．18 C．36 D．408．（23-24高二上·江蘇徐州·期末）已知數(shù)列滿足.記數(shù)列的前n項和為.若對任意的，都有，則實數(shù)k的取值范圍為（

）A． B．C． D．二、多選題9．（22-23高二上·甘肅金昌·期中）若為等差數(shù)列，，則下列說法正確的是（

）A．B．是數(shù)列中的項C．數(shù)列單調(diào)遞減D．數(shù)列前7項和最大10．（2023·山東德州·模擬預測）設等差數(shù)列的前項和為，公差為，，，，下列結論正確的是（

）A．B．當時，的最大值為C．數(shù)列為等差數(shù)列，且和數(shù)列的首項、公差均相同D．數(shù)列前項和為，最大11．（2024·福建泉州·模擬預測）等差數(shù)列中，，，若，，則（

）A．有最小值，無最小值 B．有最小值，無最大值C．無最小值，有最小值 D．無最大值，有最大值三、填空題12．（23-24高二上·山東濟寧·期末）已知等比數(shù)列的前n項和為，且，，則．13．（2024·安徽淮北·一模）正項等差數(shù)列的前項和為，若，，成等比數(shù)列，則的最小值為.14．（23-24高二上·廣東潮州·期末）設等比數(shù)列的前項和為，若，則實數(shù)．四、解答題15．（2023·四川南充·一模）已知數(shù)列an是首項為2的等比數(shù)列,且是和的等差中項．(1)求an(2)若數(shù)列的公比,設數(shù)列bn滿足,求bn的前2023項和．16．（23-24高三上·全國·階段練習）已知數(shù)列an的前項和為，，等比數(shù)列bn的公比為，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)令，求數(shù)列的前10項和．17．（2024·湖北武漢·模擬預測）各項均不為0的數(shù)列對任意正整數(shù)滿足：．(1)若為等差數(shù)列，求；(2)若，求的前項和．18．（2024·山東·二模）已知an是公差不為0的等差數(shù)列，其前4項和為16，且成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列an(2)設，求數(shù)列bn的前項和.19．（2023·湖南常德·一模）已知數(shù)列滿足（）.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若數(shù)列滿足，求的前n項和.第1講等差數(shù)列、等比數(shù)列（新高考專用）目錄目錄【真題自測】 2【考點突破】 8【考點一】等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本運算 8【考點二】等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì) 11【考點三】等差數(shù)列、等比數(shù)列的判斷與證明 15【專題精練】 21考情分析：1.等差、等比數(shù)列基本量和性質(zhì)的考查是高考熱點，經(jīng)常以小題形式出現(xiàn).2.等差、等比數(shù)列求和及綜合應用是高考考查的重點．真題自測真題自測一、單選題1．（2024·全國·高考真題）已知等差數(shù)列an的前項和為，若，則（

）A． B． C．1 D．2．（2024·全國·高考真題）已知b是的等差中項，直線與圓交于兩點，則AB的最小值為（

）A．1 B．2 C．4 D．3．（2024·全國·高考真題）記為等差數(shù)列an的前項和，已知，，則（

）A． B． C． D．4．（2023·全國·高考真題）記為等差數(shù)列的前項和．若，則（

）A．25 B．22 C．20 D．155．（2023·全國·高考真題）已知等差數(shù)列的公差為，集合，若，則（

）A．－1 B． C．0 D．6．（2023·全國·高考真題）記為數(shù)列的前項和，設甲：為等差數(shù)列；乙：為等差數(shù)列，則（

）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件7．（2023·全國·高考真題）設等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，前n項和，若，，則（

）A． B． C．15 D．408．（2023·全國·高考真題）記為等比數(shù)列的前n項和，若，，則（

）．A．120 B．85 C． D．二、填空題9．（2024·全國·高考真題）記為等差數(shù)列的前n項和，若，，則.10．（2023·全國·高考真題）已知為等比數(shù)列，，，則.參考答案：題號12345678答案DCBCBCCC1．D【分析】可以根據(jù)等差數(shù)列的基本量，即將題目條件全轉(zhuǎn)化成和來處理，亦可用等差數(shù)列的性質(zhì)進行處理，或者特殊值法處理.【詳解】方法一：利用等差數(shù)列的基本量由，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，，又.故選：D方法二：利用等差數(shù)列的性質(zhì)根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，，由，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，，故.故選：D方法三：特殊值法不妨取等差數(shù)列公差，則，則.故選：D2．C【分析】結合等差數(shù)列性質(zhì)將代換，求出直線恒過的定點，采用數(shù)形結合法即可求解.【詳解】因為成等差數(shù)列，所以，，代入直線方程得，即，令得，故直線恒過，設，圓化為標準方程得：，設圓心為，畫出直線與圓的圖形，由圖可知，當時，AB最小，，此時.

故選：C3．B【分析】由結合等差中項的性質(zhì)可得，即可計算出公差，即可得的值.【詳解】由，則，則等差數(shù)列的公差，故.故選：B.4．C【分析】方法一：根據(jù)題意直接求出等差數(shù)列的公差和首項，再根據(jù)前項和公式即可解出；方法二：根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求出等差數(shù)列的公差，再根據(jù)前項和公式的性質(zhì)即可解出．【詳解】方法一：設等差數(shù)列的公差為，首項為，依題意可得，，即,又，解得：，所以．故選：C.方法二：，，所以，，從而，于是，所以．故選：C.5．B【分析】根據(jù)給定的等差數(shù)列，寫出通項公式，再結合余弦型函數(shù)的周期及集合只有兩個元素分析、推理作答.【詳解】依題意，等差數(shù)列中，，顯然函數(shù)的周期為3，而，即最多3個不同取值，又，則在中，或或于是有或，即有，解得；或者，解得；所以，或.故選：B6．C【分析】利用充分條件、必要條件的定義及等差數(shù)列的定義，再結合數(shù)列前n項和與第n項的關系推理判斷作答.，【詳解】方法1，甲：為等差數(shù)列，設其首項為，公差為，則Sn因此為等差數(shù)列，則甲是乙的充分條件；反之，乙：為等差數(shù)列，即Sn+1n+1?S即nan+1?Sn兩式相減得：an=nan+1?(n?1)因此為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，所以甲是乙的充要條件，C正確.方法2，甲：為等差數(shù)列，設數(shù)列的首項，公差為，即，則Snn=反之，乙：為等差數(shù)列，即Sn+1n+1即，，當時，上兩式相減得：Sn?Sn?1于是，又為常數(shù)，因此為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，所以甲是乙的充要條件.故選：C7．C【分析】根據(jù)題意列出關于的方程,計算出,即可求出.【詳解】由題知,即,即,即.由題知,所以.所以.故選:C.8．C【分析】方法一：根據(jù)等比數(shù)列的前n項和公式求出公比，再根據(jù)的關系即可解出；方法二：根據(jù)等比數(shù)列的前n項和的性質(zhì)求解．【詳解】方法一：設等比數(shù)列的公比為，首項為，若，則，與題意不符，所以；若，則，與題意不符，所以；由，可得，，①，由①可得，，解得：，所以．故選：C．方法二：設等比數(shù)列的公比為，因為，，所以，否則，從而，成等比數(shù)列，所以有，，解得：或，當時，，即為，易知，，即；當時，，與矛盾，舍去．故選：C．【點睛】本題主要考查等比數(shù)列的前n項和公式的應用，以及整體思想的應用，解題關鍵是把握的關系，從而減少相關量的求解，簡化運算．9．95【分析】利用等差數(shù)列通項公式得到方程組，解出，再利用等差數(shù)列的求和公式節(jié)即可得到答案.【詳解】因為數(shù)列為等差數(shù)列，則由題意得，解得，則.故答案為：.10．【分析】根據(jù)等比數(shù)列公式對化簡得，聯(lián)立求出，最后得.【詳解】設an的公比為，則，顯然，則，即，則，因為，則，則，則，則，故答案為：.考點突破考點突破【考點一】等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本運算核心梳理：等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本公式(n∈N*)(1)等差數(shù)列的通項公式：an＝a1＋(n－1)d，an＝am＋(n－m)d.(2)等比數(shù)列的通項公式：an＝a1qn－1，an＝am·qn－m.(3)等差數(shù)列的求和公式：Sn＝eq\f(na1＋an,2)＝na1＋eq\f(nn－1,2)d.(4)等比數(shù)列的求和公式：Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a11－qn,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)，q≠1，,na1，q＝1.))一、單選題1．（2024·湖南長沙·一模）古印度數(shù)學家婆什迦羅在《莉拉沃蒂》一書中提出如下問題：某人給一個人布施，初日4德拉瑪（古印度貨幣單位），其后日增5德拉瑪.朋友啊，請馬上告訴我，半個月中，他總共布施多少德拉瑪？在這個問題中，這人15天的最后7天布施的德拉瑪總數(shù)為（

）A．413 B．427 C．308 D．1332．（23-24高三下·湖北武漢·階段練習）記等比數(shù)列的前項和為，若，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、多選題3．（22-23高二下·河南信陽·階段練習）等差數(shù)列的前項和記為，若，則成立的是（

）A．B．的最大值是C．D．當時，最大值為4．（23-24高三上·河南·期末）設等比數(shù)列的前項和為，且(為常數(shù))，則（

）A． B．的公比為2 C． D．三、填空題5．（23-24高二上·天津·期末）已知等差數(shù)列，的前項和分別為，，若，則.6．（2023·全國·高考真題）已知為等比數(shù)列，，，則.參考答案：題號1234答案ABBCBC1．A【分析】根據(jù)題意，初日4德拉瑪，以后每日等量增加5德拉瑪，故每日德拉瑪數(shù)依次構成等差數(shù)列an，利用等差的通項公式和前項和公式求解.【詳解】由題知，每日德拉瑪數(shù)依次構成等差數(shù)列，設數(shù)列首項為，公差為，則，.則通項公式，，，則這人15天的最后7天布施的德拉瑪總數(shù)為：.故選：A2．B【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)，成等比數(shù)列，可解出.【詳解】因為數(shù)列為等比數(shù)列，且等比數(shù)列的前項和為，所以成等比數(shù)列，則，即，解得或.設等比數(shù)列公比為，則，，則，得.故選：B3．BC【分析】根據(jù)已知條件求得的關系式，再根據(jù)等差數(shù)列的知識對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】設等差數(shù)列的公差為，，A選項錯誤.所以，C選項正確.所以的最大值是，B選項正確.由于時，，是單調(diào)遞減數(shù)列，所以當時，沒有最大值，D選項錯誤.故選：BC4．BC【分析】令求出，由分別求出，由等比性質(zhì)求出，進而求出和，結合等比通項公式可求.【詳解】因為，所以．因為an是等比數(shù)列，所以，即，解得，則錯誤；an的公比，則B正確；因為，所以，則C正確；因為，所以，所以，則D錯誤．故選：BC5．【分析】由已知關系，結合等差數(shù)列前n項和公式、等差中項性質(zhì)即可求結果.【詳解】由，即.故答案為：6．【分析】根據(jù)等比數(shù)列公式對化簡得，聯(lián)立求出，最后得.【詳解】設an的公比為，則，顯然，則，即，則，因為，則，則，則，則，故答案為：.規(guī)律方法：等差數(shù)列、等比數(shù)列問題的求解策略(1)抓住基本量，首項a1、公差d或公比q.(2)熟悉一些結構特征，如前n項和為Sn＝an2＋bn(a，b是常數(shù))的形式的數(shù)列為等差數(shù)列，通項公式為an＝p·qn－1(p，q≠0)的形式的數(shù)列為等比數(shù)列．(3)由于等比數(shù)列的通項公式、前n項和公式中變量n在指數(shù)位置，所以常用兩式相除(即比值的方式)進行相關計算．【考點二】等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)核心梳理：1．通項性質(zhì)：若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，則對于等差數(shù)列，有am＋an＝ap＋aq＝2ak；對于等比數(shù)列，有aman＝apaq＝aeq\o\al(2,k).2．前n項和的性質(zhì)：(1)對于等差數(shù)列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等差數(shù)列；對于等比數(shù)列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比數(shù)列(q＝－1且m為偶數(shù)時除外)．(2)對于等差數(shù)列有S2n－1＝(2n－1)an.一、單選題1．（2024·北京朝陽·一模）已知等比數(shù)列的前項和為，且，，則（

）A．9 B．16 C．21 D．252．（2024·湖北武漢·模擬預測）法布里-貝羅研究多光束干涉在薄膜理論中的應用時，用光波依次透過層薄膜，記光波的初始功率為，記為光波經(jīng)過第層薄膜后的功率，假設在經(jīng)過第層薄膜時光波的透過率，其中，2，3…，為使得，則的最大值為（

）A．31 B．32 C．63 D．64二、多選題3．（23-24高三上·廣東廣州·階段練習）已知是等比數(shù)列的前n項和，若存在，，，使得，則（

）A．B．是數(shù)列的公比C．數(shù)列可能為等比數(shù)列D．數(shù)列不可能為常數(shù)列4．（2024·山西呂梁·三模）已知等差數(shù)列an的首項為，公差為，前項和為，若，則下列說法正確的是（

）A．當最大B．使得成立的最小自然數(shù)C．D．中最小項為三、填空題5．（2024·上海閔行·三模）設是等比數(shù)列的前項和，若，，則.6．（23-24高三上·福建莆田·期中）在等差數(shù)列中，為前項和，，則.參考答案：題號1234答案CCABDBD1．C【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)求，即可求解.【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，，即，得，.故選：C2．C【分析】通過累乘法以及等差數(shù)列求和公式得，進一步得

，結合數(shù)列單調(diào)性即可得解.【詳解】由題意，所以，所以，即，顯然關于單調(diào)遞增，其中，又，所以的最大值為63.故選：C.3．ABD【分析】設出等比數(shù)列的公比為，分和兩種情形，分別表示出，并與比較對照，分別用和表示出，然后逐一分析判斷各選項即可.【詳解】設等比數(shù)列的公比為，若，則，此時是關于的一次函數(shù)，數(shù)列為常數(shù)列，而不是關于的一次函數(shù)，所以，數(shù)列不可能為常數(shù)列，故D正確；因為，所以，又，所以，故B正確；，故A正確；因為，也均不為0，所以不可能為一常數(shù)，即數(shù)列不可能為等比數(shù)列，故C錯誤.故選：ABD4．BD【分析】根據(jù)題意，結合條件即可得到，即可判斷AC，結合等差數(shù)列的求和公式即可判斷B，再由，或時，；時，即可判斷D,【詳解】根據(jù)題意：，即，兩式相加，解得：，當時，最大，故A錯誤由，可得到，所以，，所以，故C錯誤；由以上可得：，，而，當時，；當時，；所以使得成立的最小自然數(shù)，故B正確.當，或時，；當時，；由，所以中最小項為，故D正確.故選：BD.5．5【分析】根據(jù)題意，由等比數(shù)列前項和的片段和性質(zhì)，代入計算，即可得到結果.【詳解】由題意得，，因為，，，，成等比數(shù)列，故，即，解得，則，所以，，故.故答案為：6．【分析】根據(jù)下標和性質(zhì)求出，再根據(jù)等差數(shù)列前項和公式及下標和性質(zhì)計算可得.【詳解】在等差數(shù)列中，又，所以，所以.故答案為：規(guī)律方法：等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)問題的求解策略(1)抓關系，抓住項與項之間的關系及項的序號之間的關系，從這些特點入手，選擇恰當?shù)男再|(zhì)進行求解．(2)用性質(zhì)，數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，具有函數(shù)的一些性質(zhì)，如單調(diào)性、周期性等，可利用函數(shù)的性質(zhì)解題．【考點三】等差數(shù)列、等比數(shù)列的判斷與證明核心梳理：等差數(shù)列等比數(shù)列定義法an＋1－an＝deq\f(an＋1,an)＝q(q≠0)通項法an＝a1＋(n－1)dan＝a1qn－1中項法2an＝an－1＋an＋1(n≥2)aeq\o\al(2,n)＝an－1an＋1(n≥2，an≠0)前n項和法Sn＝an2＋bn(a，b為常數(shù))Sn＝kqn－k(k≠0，q≠0,1)證明數(shù)列為等差(比)數(shù)列一般使用定義法．一、解答題1．（23-24高三上·河南焦作·期末）已知數(shù)列中，，．(1)求的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前n項和．2．（22-23高二下·河南周口·階段練習）已知數(shù)列滿足:.(1)證明:是等比數(shù)列;(2)求數(shù)列的前項和.3．（2023·河南·模擬預測）已知為數(shù)列的前項和，且為正項等比數(shù)列，，.(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項公式；(3)設，且數(shù)列的前項和為，若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.4．（2023·陜西安康·模擬預測）在數(shù)列中，已知．(1)求的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和．5．（23-24高三下·四川綿陽·階段練習）設為數(shù)列的前項和，已知，且為等差數(shù)列．(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)若數(shù)列滿足，且，求數(shù)列的前項和．6．（23-24高三上·山西太原·期末）為了避免就餐聚集和減少排隊時間，某校食堂從開學第1天起，每餐只推出即點即取的米飯?zhí)撞秃兔媸程撞?某同學每天中午都會在食堂提供的兩種套餐中選擇一種套餐，如果他第1天選擇了米飯?zhí)撞停敲吹?天選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿?；如果他?天選擇了面食套餐，那么第2天選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿?已知他開學第1天中午選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿?(1)求該同學開學第2天中午選擇米飯?zhí)撞偷母怕剩?2)記該同學第天選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿?，（i）證明：為等比數(shù)列；（ii）證明：當時，.參考答案：1．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)條件可得數(shù)列是以1為首項，為公差的等差數(shù)列，即可求出結果；（2）由（1）可得，再利用裂項相消法即可求出結果.【詳解】（1）由，可得，又，故數(shù)列是以1為首項，為公差的等差數(shù)列，所以，得到．（2）由（1）可知，故．2．(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的定義證明即可;（2）先根據(jù)第（1）問的求出數(shù)列的通項公式,再利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的前項和公式分組求和即可.【詳解】（1）由得,,又,故是以為首項,為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）知,,則,故.3．(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）利用整理化簡可得，再結合得到數(shù)列an為等差數(shù)列，即可求出數(shù)列an的通項公式，將數(shù)列an的通項公式代入，計算即可得結論；（2）利用數(shù)列an的通項公式即可得數(shù)列b（3）先利用錯位相減法求出，再將恒成立轉(zhuǎn)化為，構造，計算的正負確定其單調(diào)性，進而可得最值.【詳解】（1）當時，，解得；當時，，所以，整理得，①所以，②由①-②得，所以數(shù)列an為等差數(shù)列，因為，所以數(shù)列an的公差為，所以.設，則，因為（常數(shù)），所以數(shù)列是等差數(shù)列；（2）設數(shù)列bn的公比為，結合（1）及已知得，解得，所以；（3）由（1）（2）得，，所以，①又②①-②，得，所以，由，解得.設，則，故，因為，故恒成立，知單調(diào)遞減，故的最大值為，則，即的取值范圍為.4．(1)(2)【分析】（1）由可得，由等比數(shù)列定義可得是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，即可得的通項公式，即可得；（2）由錯位相減法求和即可得.【詳解】（1）因為，所以，又，所以是首項為2，公比為2的等比數(shù)列．所以，即；（2）由（1）知．設前項和為，則，，兩式相減可得，所以.5．(1)證明見解析(2)【分析】（1）借助等差數(shù)列的性質(zhì)與與的關系計算即可得；（2）借助累乘法可計算出數(shù)列，借助裂項相消法可得.【詳解】（1）設等差數(shù)列的公差為，則，即，①因為，所以由，得．②由①、②解得，所以，即，當時，，當時，，上式也成立，所以，所以數(shù)列是等差數(shù)列；（2）由（1）可知，當時，，因為滿足上式，所以．．6．(1)(2)（i）證明見解析；（ii）證明見解析【分析】（1）由對立事件概率、條件概率公式以及全概率公式即可得解.（2）由對立事件概率、條件概率公式以及全概率公式首先得遞推公式，（i）由等比數(shù)列定義證明即可；（ii）當時，結合單調(diào)性分奇偶討論即可證明.【詳解】（1）設“第天選擇米飯?zhí)撞汀?，則“第天選擇面食套餐”，根據(jù)題意，，，，由全概率公式，得；（2）（i）設“第天選擇米飯?zhí)撞汀?，則，，，，由全概率公式，得，即，，，是以為首項，為公比的等比數(shù)列；（ii）由（i）可得，當為大于1的奇數(shù)時，；當為正偶數(shù)時，.規(guī)律方法：(1)aeq\o\al(2,n)＝an－1an＋1(n≥2，n∈N*)是{an}為等比數(shù)列的必要不充分條件，也就是判斷一個數(shù)列是等比數(shù)列時，要注意各項不為0.(2){an}為等比數(shù)列，可推出a1，a2，a3成等比數(shù)列，但a1，a2，a3成等比數(shù)列并不能說明{an}為等比數(shù)列．(3)證明{an}不是等比數(shù)列可用特值法．專題精練專題精練一、單選題1．（2024·廣東佛山·二模）設數(shù)列an的前項之積為，滿足（），則（

）A． B． C． D．2．（2023·四川成都·三模）設為正項等差數(shù)列的前項和．若，則的最小值為（

）A． B． C． D．3．（23-24高二上·浙江舟山·期末）記為等差數(shù)列的前項和，若，則（

）A．20 B．16 C．14 D．124．（2023·北京海淀·三模）已知等差數(shù)列的公差為，數(shù)列滿足，則“”是“為遞減數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件5．（2024·江蘇南通·二模）若，，成等比數(shù)列，則（）A． B． C． D．6．（2024·廣東廣州·一模）記為等比數(shù)列的前項和，若，則（

）A． B． C． D．7．（23-24高二上·廣西南寧·期末）在正項等比數(shù)列中，為其前n項和，若，則的值為（

）A．10 B．18 C．36 D．408．（23-24高二上·江蘇徐州·期末）已知數(shù)列滿足.記數(shù)列的前n項和為.若對任意的，都有，則實數(shù)k的取值范圍為（

）A． B．C． D．二、多選題9．（22-23高二上·甘肅金昌·期中）若為等差數(shù)列，，則下列說法正確的是（

）A．B．是數(shù)列中的項C．數(shù)列單調(diào)遞減D．數(shù)列前7項和最大10．（2023·山東德州·模擬預測）設等差數(shù)列的前項和為，公差為，，，，下列結論正確的是（

）A．B．當時，的最大值為C．數(shù)列為等差數(shù)列，且和數(shù)列的首項、公差均相同D．數(shù)列前項和為，最大11．（2024·福建泉州·模擬預測）等差數(shù)列中，，，若，，則（

）A．有最小值，無最小值 B．有最小值，無最大值C．無最小值，有最小值 D．無最大值，有最大值三、填空題12．（23-24高二上·山東濟寧·期末）已知等比數(shù)列的前n項和為，且，，則．13．（2024·安徽淮北·一模）正項等差數(shù)列的前項和為，若，，成等比數(shù)列，則的最小值為.14．（23-24高二上·廣東潮州·期末）設等比數(shù)列的前項和為，若，則實數(shù)．四、解答題15．（2023·四川南充·一模）已知數(shù)列an是首項為2的等比數(shù)列,且是和的等差中項．(1)求an(2)若數(shù)列的公比,設數(shù)列bn滿足,求bn的前2023項和．16．（23-24高三上·全國·階段練習）已知數(shù)列an的前項和為，，等比數(shù)列bn的公比為，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)令，求數(shù)列的前10項和．17．（2024·湖北武漢·模擬預測）各項均不為0的數(shù)列對任意正整數(shù)滿足：．(1)若為等差數(shù)列，求；(2)若，求的前項和．18．（2024·山東·二模）已知an是公差不為0的等差數(shù)列，其前4項和為16，且成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列an(2)設，求數(shù)列bn的前項和.19．（2023·湖南常德·一模）已知數(shù)列滿足（）.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若數(shù)列滿足，求的前n項和.參考答案：題號12345678910答案CDDBBCDAACDAD題號11答案AD1．C【分析】由已知遞推式可得數(shù)列是等差數(shù)列，從而可得，進而可得的值．【詳解】因為，所以，即，所以，所以，顯然，所以，所以數(shù)列是首項為，公差為2的等差數(shù)列，所以，即，所以．故選：C．2．D【分析】由等差數(shù)列的求和公式和等差中項公式，求得且，化簡，結合基本不等式，即可求解.【詳解】由等差數(shù)列的前項和公式，可得，可得，又由且，所以，當且僅當時，即時，等號成立，所以的最小值為.故選：D.3．D【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)求得，然后依次求得，公差，最后求得．【詳解】∵是等差數(shù)列，∴，，所以，∴公差，∴，∴，故選：D．4．B【分析】利用反例說明充分性不成立，再根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)判斷必要性.【詳解】因為，所以且，則，若，不妨令，則，，，，，，顯然不單調(diào)，故充分性不成立，若為遞減數(shù)列，則不是常數(shù)數(shù)列，所以單調(diào)，若單調(diào)遞減，又在，上單調(diào)遞減，則為遞增數(shù)列，矛盾；所以單調(diào)遞增，則，且，其中當，時也不能滿足為遞減數(shù)列，故必要性成立，故“”是“為遞減數(shù)列”的必要不充分條件.故選：B5．B【分析】利用等比中項，結合三角恒等變換求解即得.【詳解】由，，成等比數(shù)列，得，即，，所以.故選：B【點睛】思路點睛：三角函數(shù)是以角為自變量的函數(shù)，因此解三角函數(shù)題，首先從角進行分析，善于用已知角表示所求角，即注重角的變換.角的變換涉及誘導公式、同角三角函數(shù)基本關系、兩角和與差的公式、二倍角公式、配角公式等，選用恰當?shù)墓绞墙鉀Q三角問題的關鍵，明確角的范圍，對開方時正負取舍是解題正確的保證.6．C【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得，進而根據(jù)求和公式即可化簡求解.【詳解】根據(jù)題意，設等比數(shù)列的公比為，若，即，故．故選：C．7．D【分析】由已知可得，再由等比數(shù)列片段和的性質(zhì)和等比中項的性質(zhì)求出即可.【詳解】易知，為等比數(shù)列，，代入數(shù)據(jù)可得，解得或（舍）所以.故選：D.8．A【分析】由遞推關系式結合等比數(shù)列通項公式可得，再由裂項相消求和可得，利用數(shù)列