高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專(zhuān)題三數(shù)列第2講數(shù)列求和及其綜合應(yīng)用含答案及解析

第2講數(shù)列求和及其綜合應(yīng)用（新高考專(zhuān)用）目錄目錄【真題自測(cè)】 2【考點(diǎn)突破】 3【考點(diǎn)一】數(shù)列求和 3【考點(diǎn)二】數(shù)列的綜合問(wèn)題 5【專(zhuān)題精練】 7考情分析：1.數(shù)列求和重點(diǎn)考查分組轉(zhuǎn)化、錯(cuò)位相減、裂項(xiàng)相消三種求和方法.2.數(shù)列的綜合問(wèn)題，一般以等差數(shù)列、等比數(shù)列為背景，與函數(shù)、不等式相結(jié)合，考查最值、范圍以及證明不等式等.3.主要以選擇題、填空題及解答題的形式出現(xiàn)，難度中等．真題自測(cè)真題自測(cè)一、解答題1．（2024·全國(guó)·高考真題）記為數(shù)列an的前項(xiàng)和，已知．(1)求an(2)設(shè)，求數(shù)列bn的前項(xiàng)和．2．（2024·天津·高考真題）已知數(shù)列an是公比大于0的等比數(shù)列．其前項(xiàng)和為．若．(1)求數(shù)列an前項(xiàng)和；(2)設(shè)，．（?。┊?dāng)時(shí)，求證：；（ⅱ）求．3．（2024·廣東江蘇·高考真題）設(shè)m為正整數(shù)，數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，若從中刪去兩項(xiàng)和后剩余的項(xiàng)可被平均分為組，且每組的4個(gè)數(shù)都能構(gòu)成等差數(shù)列，則稱(chēng)數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列．(1)寫(xiě)出所有的，，使數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列；(2)當(dāng)時(shí)，證明：數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列；(3)從中任取兩個(gè)數(shù)和，記數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列的概率為，證明：．4．（2023·全國(guó)·高考真題）已知為等差數(shù)列，，記，分別為數(shù)列，的前n項(xiàng)和，，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：當(dāng)時(shí)，．5．（2023·全國(guó)·高考真題）設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．6．（2022·全國(guó)·高考真題）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知是公差為的等差數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：．7．（2022·天津·高考真題）設(shè)是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且．(1)求與的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)的前n項(xiàng)和為，求證：；(3)求．8．（2022·北京·高考真題）已知為有窮整數(shù)數(shù)列．給定正整數(shù)m，若對(duì)任意的，在Q中存在，使得，則稱(chēng)Q為連續(xù)可表數(shù)列．(1)判斷是否為連續(xù)可表數(shù)列？是否為連續(xù)可表數(shù)列？說(shuō)明理由；(2)若為連續(xù)可表數(shù)列，求證：k的最小值為4；(3)若為連續(xù)可表數(shù)列，且，求證：．考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破【考點(diǎn)一】數(shù)列求和核心梳理：1．裂項(xiàng)相消法就是把數(shù)列的每一項(xiàng)分解，使得相加后項(xiàng)與項(xiàng)之間能夠相互抵消，但在抵消的過(guò)程中，有的是相鄰項(xiàng)抵消，有的是間隔項(xiàng)抵消．常見(jiàn)的裂項(xiàng)方式有：eq\f(1,nn＋k)＝eq\f(1,k)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋k)))；eq\f(1,4n2－1)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1))).2．錯(cuò)位相減法求和，主要用于求{anbn}的前n項(xiàng)和，其中{an}，{bn}分別為等差數(shù)列和等比數(shù)列．一、解答題1．（2024·天津·二模）已知為等差數(shù)列，是公比為2的等比數(shù)列．，且．(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)若①當(dāng)為奇數(shù)，求；②求．2．（2024·河北邯鄲·二模）已知正項(xiàng)數(shù)列an的前項(xiàng)和為，，且．(1)求an(2)若，求數(shù)列bn的前項(xiàng)和．3．（2024·重慶·一模）已知首項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列的公差為2，前項(xiàng)和為，滿(mǎn)足．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，求數(shù)列的前項(xiàng)和．4．（23-24高三上·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）在數(shù)列中，且滿(mǎn)足（且）．(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．5．（2024·浙江寧波·二模）已知等差數(shù)列的公差為2，記數(shù)列的前項(xiàng)和為且滿(mǎn)足.(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.6．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．7．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．8．（23-24高三上·安徽合肥·期末）同余定理是數(shù)論中的重要內(nèi)容．同余的定義為：設(shè)a，，且．若則稱(chēng)a與b關(guān)于模m同余，記作（modm）（“|”為整除符號(hào)）．(1)解同余方程（mod3）；(2)設(shè)（1）中方程的所有正根構(gòu)成數(shù)列，其中．①若（），數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求；②若（），求數(shù)列的前n項(xiàng)和．規(guī)律方法：(1)分組轉(zhuǎn)化法求和的關(guān)鍵是將數(shù)列通項(xiàng)轉(zhuǎn)化為若干個(gè)可求和的數(shù)列通項(xiàng)的和或差．(2)裂項(xiàng)相消法的基本思路是將通項(xiàng)拆分，可以產(chǎn)生相互抵消的項(xiàng)．(3)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，應(yīng)注意：①等比數(shù)列的公比為負(fù)數(shù)的情形；②在寫(xiě)出“Sn”和“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”，以便準(zhǔn)確寫(xiě)出“Sn－qSn”的表達(dá)式．【考點(diǎn)二】數(shù)列的綜合問(wèn)題核心梳理：數(shù)列與函數(shù)、不等式，以及數(shù)列新定義的綜合問(wèn)題，是高考命題的一個(gè)方向，考查邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)．解決此類(lèi)問(wèn)題，一是把數(shù)列看成特殊的函數(shù)，利用函數(shù)的圖象、性質(zhì)求解；二是將新數(shù)列問(wèn)題轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列，利用特殊數(shù)列的概念、公式、性質(zhì)，結(jié)合不等式的相關(guān)知識(shí)求解．一、解答題1．（2024·遼寧遼陽(yáng)·一模）已知數(shù)列滿(mǎn)足.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，證明：.2．（2024·廣東廣州·二模）已知數(shù)列中，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，記為的前項(xiàng)和，證明：時(shí)，.3．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知實(shí)數(shù)，定義數(shù)列如下：如果，，則．(1)求和（用表示）；(2)令，證明：；(3)若，證明：對(duì)于任意正整數(shù)，存在正整數(shù)，使得．4．（2024·甘肅定西·一模）在個(gè)數(shù)碼構(gòu)成的一個(gè)排列中，若一個(gè)較大的數(shù)碼排在一個(gè)較小的數(shù)碼的前面，則稱(chēng)它們構(gòu)成逆序（例如，則與構(gòu)成逆序），這個(gè)排列的所有逆序的總個(gè)數(shù)稱(chēng)為這個(gè)排列的逆序數(shù)，記為，例如，，(1)計(jì)算；(2)設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足，求的通項(xiàng)公式；(3)設(shè)排列滿(mǎn)足，求，5．（2024·河南·三模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若存在常數(shù)，使得對(duì)任意都成立，則稱(chēng)數(shù)列具有性質(zhì)．(1)若數(shù)列為等差數(shù)列，且，求證：數(shù)列具有性質(zhì)；(2)設(shè)數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且具有性質(zhì)．①若數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，且，求的值；②求的最小值．6．（2024·廣東深圳·二模）無(wú)窮數(shù)列，，…，，…的定義如下：如果n是偶數(shù)，就對(duì)n盡可能多次地除以2，直到得出一個(gè)奇數(shù)，這個(gè)奇數(shù)就是﹔如果n是奇數(shù)，就對(duì)盡可能多次地除以2，直到得出一個(gè)奇數(shù)，這個(gè)奇數(shù)就是．(1)寫(xiě)出這個(gè)數(shù)列的前7項(xiàng)；(2)如果且，求m，n的值；(3)記，，求一個(gè)正整數(shù)n，滿(mǎn)足．規(guī)律方法：數(shù)列的“新定義問(wèn)題”，主要是指定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運(yùn)算等，關(guān)鍵是將新數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列，或者找到新數(shù)列的遞推關(guān)系，主要考查的還是數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)．專(zhuān)題精練專(zhuān)題精練一、單選題1．（23-24高二下·山西晉城·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿(mǎn)足，，，則（

）A． B． C． D．2．（23-24高二上·江蘇·期末）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，，則數(shù)列的前項(xiàng)和為（

）A． B． C． D．3．（23-24高三下·江蘇南京·開(kāi)學(xué)考試）在數(shù)列中，已知，，則的前11項(xiàng)的和為（

）A．2045 B．2046 C．4093 D．40944．（2024·四川南充·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示的一系列正方形圖案稱(chēng)為“謝爾賓斯基地毯”，在4個(gè)大正方形中，著色的小正方形的個(gè)數(shù)依次構(gòu)成一個(gè)數(shù)列an的前4項(xiàng).記，則下列結(jié)論正確的為（

）A． B．C． D．與的大小關(guān)系不能確定5．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知是等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，，，若關(guān)于n的不等式對(duì)任意的恒成立，則實(shí)數(shù)t的最大值為（

）A．12 B．16 C．24 D．366．（2023·湖北武漢·三模）將按照某種順序排成一列得到數(shù)列，對(duì)任意，如果，那么稱(chēng)數(shù)對(duì)構(gòu)成數(shù)列的一個(gè)逆序?qū)?若，則恰有2個(gè)逆序?qū)Φ臄?shù)列的個(gè)數(shù)為（

）A．4 B．5 C．6 D．77．（2024·江蘇徐州·一模）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，．若，則正整數(shù)k的最小值為（

）A．11 B．12 C．13 D．148．（2024·云南·模擬預(yù)測(cè)）當(dāng)前，全球新一輪科技革命和產(chǎn)業(yè)變革蓬勃發(fā)展，汽車(chē)與能源?交通?信息通信等領(lǐng)域有關(guān)技術(shù)加速融合，電動(dòng)化?網(wǎng)聯(lián)化?智能化成為汽車(chē)產(chǎn)業(yè)的發(fā)展潮流和趨勢(shì).某車(chē)企為轉(zhuǎn)型升級(jí)，從2024年起大力發(fā)展新能源汽車(chē)，2024年全年預(yù)計(jì)生產(chǎn)新能源汽車(chē)10萬(wàn)輛，每輛車(chē)的利潤(rùn)為2萬(wàn)元.假設(shè)后續(xù)的幾年中，經(jīng)過(guò)車(chē)企關(guān)鍵核心技術(shù)的不斷突破和受眾購(gòu)買(mǎi)力的提升，每年新能源汽車(chē)的產(chǎn)量都比前一年增加（假設(shè)每年生產(chǎn)的新能源汽車(chē)都能銷(xiāo)售出去），每輛車(chē)的利潤(rùn)都比前一年增加2000元，則至2030年年底，該汽車(chē)集團(tuán)銷(xiāo)售新能源汽車(chē)的總利潤(rùn)約為（

）參考數(shù)據(jù)：，結(jié)果精確到0.1）A．320.5億元 B．353.8億元 C．363.2億元 D．283.8億元二、多選題9．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)函數(shù)給出如下新定義：若在區(qū)間上為定值（其中表示不超過(guò)的最大整數(shù)，如），則稱(chēng)為的一個(gè)“整元”，將區(qū)間上從左到右所有“整元”的和稱(chēng)為在上的“整積分”，下列說(shuō)法正確的是（

）A．在區(qū)間上的“整積分”為B．在區(qū)間上的“整積分”為4950C．在區(qū)間上的“整積分”為D．在區(qū)間上的“整積分”為10．（2024·山東濟(jì)寧·三模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿(mǎn)足，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿(mǎn)足，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A． B．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列C．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列 D．若，則11．（23-24高三下·江西·開(kāi)學(xué)考試）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，數(shù)列與數(shù)列的前項(xiàng)和分別為，則（

）A． B．C． D．三、填空題12．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿(mǎn)足，，，數(shù)列，滿(mǎn)足，則數(shù)列的前2024項(xiàng)的和為．13．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則滿(mǎn)足的正整數(shù)的最小值為.14．（2024·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）定義：x表示不大于的最大整數(shù)，表示不小于的最小整數(shù)，如，.設(shè)函數(shù)在定義域上的值域?yàn)?，記中元素的個(gè)數(shù)為，則，四、解答題15．（23-24高二上·江蘇南京·期末）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿(mǎn)足．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)已知，求數(shù)列的前n項(xiàng)和為．16．（2024·寧夏·一模）已知公差不為零的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且，，成等比數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，證明：．17．（2024·山東菏澤·一模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，，求證：．18．（23-24高三下·湖北武漢·階段練習(xí)）已知常數(shù)，在成功的概率為的伯努利試驗(yàn)中，記為首次成功時(shí)所需的試驗(yàn)次數(shù)，的取值為所有正整數(shù)，此時(shí)稱(chēng)離散型隨機(jī)變量的概率分布為幾何分布.(1)對(duì)于正整數(shù)，求，并根據(jù)，求；(2)對(duì)于幾何分布的拓展問(wèn)題，在成功的概率為的伯努利試驗(yàn)中，記首次出現(xiàn)連續(xù)兩次成功時(shí)所需的試驗(yàn)次數(shù)的期望為，現(xiàn)提供一種求的方式：先進(jìn)行第一次試驗(yàn)，若第一次試驗(yàn)失敗，因?yàn)槌霈F(xiàn)試驗(yàn)失敗對(duì)出現(xiàn)連續(xù)兩次成功毫無(wú)幫助，可以認(rèn)為后續(xù)期望仍是，即總的試驗(yàn)次數(shù)為；若第一次試驗(yàn)成功，則進(jìn)行第二次試驗(yàn)，當(dāng)?shù)诙卧囼?yàn)成功時(shí)，試驗(yàn)停止，此時(shí)試驗(yàn)次數(shù)為2，若第二次試驗(yàn)失敗，相當(dāng)于重新試驗(yàn)，此時(shí)總的試驗(yàn)次數(shù)為.（i）求；（ii）記首次出現(xiàn)連續(xù)次成功時(shí)所需的試驗(yàn)次數(shù)的期望為，求.19．（2023·北京東城·一模）已知數(shù)表中的項(xiàng)互不相同，且滿(mǎn)足下列條件：①；②.則稱(chēng)這樣的數(shù)表具有性質(zhì).(1)若數(shù)表具有性質(zhì)，且，寫(xiě)出所有滿(mǎn)足條件的數(shù)表，并求出的值；(2)對(duì)于具有性質(zhì)的數(shù)表，當(dāng)取最大值時(shí)，求證：存在正整數(shù)，使得；(3)對(duì)于具有性質(zhì)的數(shù)表，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，求的最大值.

第2講數(shù)列求和及其綜合應(yīng)用（新高考專(zhuān)用）目錄目錄【真題自測(cè)】 2【考點(diǎn)突破】 14【考點(diǎn)一】數(shù)列求和 14【考點(diǎn)二】數(shù)列的綜合問(wèn)題 22【專(zhuān)題精練】 29考情分析：1.數(shù)列求和重點(diǎn)考查分組轉(zhuǎn)化、錯(cuò)位相減、裂項(xiàng)相消三種求和方法.2.數(shù)列的綜合問(wèn)題，一般以等差數(shù)列、等比數(shù)列為背景，與函數(shù)、不等式相結(jié)合，考查最值、范圍以及證明不等式等.3.主要以選擇題、填空題及解答題的形式出現(xiàn)，難度中等．真題自測(cè)真題自測(cè)一、解答題1．（2024·全國(guó)·高考真題）記為數(shù)列an的前項(xiàng)和，已知．(1)求an(2)設(shè)，求數(shù)列bn的前項(xiàng)和．2．（2024·天津·高考真題）已知數(shù)列an是公比大于0的等比數(shù)列．其前項(xiàng)和為．若．(1)求數(shù)列an前項(xiàng)和；(2)設(shè)，．（ⅰ）當(dāng)時(shí)，求證：；（ⅱ）求．3．（2024·廣東江蘇·高考真題）設(shè)m為正整數(shù)，數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，若從中刪去兩項(xiàng)和后剩余的項(xiàng)可被平均分為組，且每組的4個(gè)數(shù)都能構(gòu)成等差數(shù)列，則稱(chēng)數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列．(1)寫(xiě)出所有的，，使數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列；(2)當(dāng)時(shí)，證明：數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列；(3)從中任取兩個(gè)數(shù)和，記數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列的概率為，證明：．4．（2023·全國(guó)·高考真題）已知為等差數(shù)列，，記，分別為數(shù)列，的前n項(xiàng)和，，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：當(dāng)時(shí)，．5．（2023·全國(guó)·高考真題）設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．6．（2022·全國(guó)·高考真題）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知是公差為的等差數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：．7．（2022·天津·高考真題）設(shè)是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且．(1)求與的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)的前n項(xiàng)和為，求證：；(3)求．8．（2022·北京·高考真題）已知為有窮整數(shù)數(shù)列．給定正整數(shù)m，若對(duì)任意的，在Q中存在，使得，則稱(chēng)Q為連續(xù)可表數(shù)列．(1)判斷是否為連續(xù)可表數(shù)列？是否為連續(xù)可表數(shù)列？說(shuō)明理由；(2)若為連續(xù)可表數(shù)列，求證：k的最小值為4；(3)若為連續(xù)可表數(shù)列，且，求證：．參考答案：1．(1)(2)【分析】（1）利用退位法可求an（2）利用錯(cuò)位相減法可求.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，解得．當(dāng)時(shí)，，所以即，而，故，故，∴數(shù)列an是以4為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以.（2）,所以故所以，.2．(1)(2)①證明見(jiàn)詳解；②【分析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)題意結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式求，再結(jié)合等比數(shù)列求和公式分析求解；（2）①根據(jù)題意分析可知，，利用作差法分析證明；②根據(jù)題意結(jié)合等差數(shù)列求和公式可得，再結(jié)合裂項(xiàng)相消法分析求解.【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)椋?，可得，整理得，解得或（舍去），所?（2）（i）由（1）可知，且，當(dāng)時(shí)，則，即可知，，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以；（ii）由（1）可知：，若，則；若，則，當(dāng)時(shí)，，可知為等差數(shù)列，可得，所以，且，符合上式，綜上所述：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：1.分析可知當(dāng)時(shí)，，可知為等差數(shù)列；2.根據(jù)等差數(shù)列求和分析可得.3．(1)(2)證明見(jiàn)解析(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）直接根據(jù)可分?jǐn)?shù)列的定義即可；（2）根據(jù)可分?jǐn)?shù)列的定義即可驗(yàn)證結(jié)論；（3）證明使得原數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列的至少有個(gè)，再使用概率的定義.【詳解】（1）首先，我們?cè)O(shè)數(shù)列的公差為，則.由于一個(gè)數(shù)列同時(shí)加上一個(gè)數(shù)或者乘以一個(gè)非零數(shù)后是等差數(shù)列，當(dāng)且僅當(dāng)該數(shù)列是等差數(shù)列，故我們可以對(duì)該數(shù)列進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃危玫叫聰?shù)列，然后對(duì)進(jìn)行相應(yīng)的討論即可.換言之，我們可以不妨設(shè)，此后的討論均建立在該假設(shè)下進(jìn)行.回到原題，第1小問(wèn)相當(dāng)于從中取出兩個(gè)數(shù)和，使得剩下四個(gè)數(shù)是等差數(shù)列.那么剩下四個(gè)數(shù)只可能是，或，或.所以所有可能的就是.（2）由于從數(shù)列中取出和后，剩余的個(gè)數(shù)可以分為以下兩個(gè)部分，共組，使得每組成等差數(shù)列：①，共組；②，共組.（如果，則忽略②）故數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列.（3）定義集合，.下面證明，對(duì)，如果下面兩個(gè)命題同時(shí)成立，則數(shù)列一定是可分?jǐn)?shù)列：命題1：或；命題2：.我們分兩種情況證明這個(gè)結(jié)論.第一種情況：如果，且.此時(shí)設(shè)，，.則由可知，即，故.此時(shí)，由于從數(shù)列中取出和后，剩余的個(gè)數(shù)可以分為以下三個(gè)部分，共組，使得每組成等差數(shù)列：①，共組；②，共組；③，共組.（如果某一部分的組數(shù)為，則忽略之）故此時(shí)數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列.第二種情況：如果，且.此時(shí)設(shè)，，.則由可知，即，故.由于，故，從而，這就意味著.此時(shí)，由于從數(shù)列中取出和后，剩余的個(gè)數(shù)可以分為以下四個(gè)部分，共組，使得每組成等差數(shù)列：①，共組；②，，共組；③全體，其中，共組；④，共組.（如果某一部分的組數(shù)為，則忽略之）這里對(duì)②和③進(jìn)行一下解釋?zhuān)簩ⅱ壑械拿恳唤M作為一個(gè)橫排，排成一個(gè)包含個(gè)行，個(gè)列的數(shù)表以后，個(gè)列分別是下面這些數(shù)：，，，.可以看出每列都是連續(xù)的若干個(gè)整數(shù)，它們?cè)偃〔⒁院螅瑢⑷”橹谐_(kāi)五個(gè)集合，，，，中的十個(gè)元素以外的所有數(shù).而這十個(gè)數(shù)中，除開(kāi)已經(jīng)去掉的和以外，剩余的八個(gè)數(shù)恰好就是②中出現(xiàn)的八個(gè)數(shù).這就說(shuō)明我們給出的分組方式滿(mǎn)足要求，故此時(shí)數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列.至此，我們證明了：對(duì)，如果前述命題1和命題2同時(shí)成立，則數(shù)列一定是可分?jǐn)?shù)列.然后我們來(lái)考慮這樣的的個(gè)數(shù).首先，由于，和各有個(gè)元素，故滿(mǎn)足命題1的總共有個(gè)；而如果，假設(shè)，則可設(shè)，，代入得.但這導(dǎo)致，矛盾，所以.設(shè)，，，則，即.所以可能的恰好就是，對(duì)應(yīng)的分別是，總共個(gè).所以這個(gè)滿(mǎn)足命題1的中，不滿(mǎn)足命題2的恰好有個(gè).這就得到同時(shí)滿(mǎn)足命題1和命題2的的個(gè)數(shù)為.當(dāng)我們從中一次任取兩個(gè)數(shù)和時(shí)，總的選取方式的個(gè)數(shù)等于.而根據(jù)之前的結(jié)論，使得數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列的至少有個(gè).所以數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列的概率一定滿(mǎn)足.這就證明了結(jié)論.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于對(duì)新定義數(shù)列的理解，只有理解了定義，方可使用定義驗(yàn)證或探究結(jié)論.4．(1)；(2)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，用表示及，即可求解作答.（2）方法1，利用（1）的結(jié)論求出，，再分奇偶結(jié)合分組求和法求出，并與作差比較作答；方法2，利用（1）的結(jié)論求出，，再分奇偶借助等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求出，并與作差比較作答.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，而，則，于是，解得，，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是.（2）方法1：由（1）知，，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，因此，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此，所以當(dāng)時(shí)，.方法2：由（1）知，，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，若，則，顯然滿(mǎn)足上式，因此當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此，所以當(dāng)時(shí)，.5．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)即可求出；（2）根據(jù)錯(cuò)位相減法即可解出．【詳解】（1）因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，所以，化簡(jiǎn)得：，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)都滿(mǎn)足上式，所以．（2）因?yàn)椋?，，兩式相減得，，，即，．6．(1)(2)見(jiàn)解析【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得，得到，利用和與項(xiàng)的關(guān)系得到當(dāng)時(shí)，,進(jìn)而得：，利用累乘法求得，檢驗(yàn)對(duì)于也成立，得到的通項(xiàng)公式；（2）由（1）的結(jié)論，利用裂項(xiàng)求和法得到，進(jìn)而證得.【詳解】（1）∵，∴,∴,又∵是公差為的等差數(shù)列，∴,∴,∴當(dāng)時(shí)，，∴,整理得：,即,∴，顯然對(duì)于也成立，∴的通項(xiàng)公式；（2）∴7．(1)(2)證明見(jiàn)解析(3)【分析】（1）利用等差等比數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行基本量運(yùn)算即可得解；（2）由等比數(shù)列的性質(zhì)及通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系結(jié)合分析法即可得證；（3）先求得，進(jìn)而由并項(xiàng)求和可得，再結(jié)合錯(cuò)位相減法可得解.【詳解】（1）設(shè){an}公差為d，{bn由可得（舍去），所以；（2）證明：因?yàn)樗砸C，即證，即證，即證，而顯然成立，所以；（3）因?yàn)?，所以，設(shè)所以，則，作差得，所以，所以.8．(1)是連續(xù)可表數(shù)列；不是連續(xù)可表數(shù)列．(2)證明見(jiàn)解析．(3)證明見(jiàn)解析．【分析】（1）直接利用定義驗(yàn)證即可；（2）先考慮不符合，再列舉一個(gè)合題即可；（3）時(shí)，根據(jù)和的個(gè)數(shù)易得顯然不行，再討論時(shí)，由可知里面必然有負(fù)數(shù)，再確定負(fù)數(shù)只能是，然后分類(lèi)討論驗(yàn)證不行即可．【詳解】（1），，，，，所以是連續(xù)可表數(shù)列；易知，不存在使得，所以不是連續(xù)可表數(shù)列．（2）若,設(shè)為,則至多，6個(gè)數(shù)字，沒(méi)有個(gè)，矛盾；當(dāng)時(shí),數(shù)列，滿(mǎn)足，，，，，，，，．（3），若最多有種，若，最多有種，所以最多有種，若，則至多可表個(gè)數(shù)，矛盾,從而若,則，至多可表個(gè)數(shù)，而，所以其中有負(fù)的，從而可表1~20及那個(gè)負(fù)數(shù)（恰21個(gè)），這表明中僅一個(gè)負(fù)的，沒(méi)有0，且這個(gè)負(fù)的在中絕對(duì)值最小，同時(shí)中沒(méi)有兩數(shù)相同,設(shè)那個(gè)負(fù)數(shù)為，則所有數(shù)之和，，，再考慮排序，排序中不能有和相同，否則不足個(gè)，（僅一種方式），與2相鄰，若不在兩端,則形式，若，則（有2種結(jié)果相同，方式矛盾），，同理，故在一端，不妨為形式，若,則（有2種結(jié)果相同，矛盾），同理不行，，則（有2種結(jié)果相同，矛盾），從而，由于,由表法唯一知3,4不相鄰,、故只能，①或，②這2種情形，對(duì)①：，矛盾，對(duì)②：，也矛盾，綜上，當(dāng)時(shí)，數(shù)列滿(mǎn)足題意，．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛，先理解題意，是否為可表數(shù)列核心就是是否存在連續(xù)的幾項(xiàng)（可以是一項(xiàng)）之和能表示從到中間的任意一個(gè)值．本題第二問(wèn)時(shí)，通過(guò)和值可能個(gè)數(shù)否定；第三問(wèn)先通過(guò)和值的可能個(gè)數(shù)否定，再驗(yàn)證時(shí)，數(shù)列中的幾項(xiàng)如果符合必然是的一個(gè)排序，可驗(yàn)證這組數(shù)不合題．考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破【考點(diǎn)一】數(shù)列求和核心梳理：1．裂項(xiàng)相消法就是把數(shù)列的每一項(xiàng)分解，使得相加后項(xiàng)與項(xiàng)之間能夠相互抵消，但在抵消的過(guò)程中，有的是相鄰項(xiàng)抵消，有的是間隔項(xiàng)抵消．常見(jiàn)的裂項(xiàng)方式有：eq\f(1,nn＋k)＝eq\f(1,k)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋k)))；eq\f(1,4n2－1)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1))).2．錯(cuò)位相減法求和，主要用于求{anbn}的前n項(xiàng)和，其中{an}，{bn}分別為等差數(shù)列和等比數(shù)列．一、解答題1．（2024·天津·二模）已知為等差數(shù)列，是公比為2的等比數(shù)列．，且．(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)若①當(dāng)為奇數(shù)，求；②求．2．（2024·河北邯鄲·二模）已知正項(xiàng)數(shù)列an的前項(xiàng)和為，，且．(1)求an(2)若，求數(shù)列bn的前項(xiàng)和．3．（2024·重慶·一模）已知首項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列的公差為2，前項(xiàng)和為，滿(mǎn)足．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，求數(shù)列的前項(xiàng)和．4．（23-24高三上·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）在數(shù)列中，且滿(mǎn)足（且）．(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．5．（2024·浙江寧波·二模）已知等差數(shù)列的公差為2，記數(shù)列的前項(xiàng)和為且滿(mǎn)足.(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.6．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．7．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．8．（23-24高三上·安徽合肥·期末）同余定理是數(shù)論中的重要內(nèi)容．同余的定義為：設(shè)a，，且．若則稱(chēng)a與b關(guān)于模m同余，記作（modm）（“|”為整除符號(hào)）．(1)解同余方程（mod3）；(2)設(shè)（1）中方程的所有正根構(gòu)成數(shù)列，其中．①若（），數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求；②若（），求數(shù)列的前n項(xiàng)和．參考答案：1．(1)(2)①；②【分析】（1）利用等差等比數(shù)列的通項(xiàng)公式列方程求解；（2）①利用條件直接求解；②求出當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，然后利用倒序相加以及錯(cuò)位相減法求和即可.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為的公比為，由已知可得，得，；（2）①為奇數(shù)，為偶數(shù)．

；②當(dāng)為偶數(shù)，為奇數(shù)，令，，即，，所以所以所以所以.2．(1)(2)【分析】（1）首先求出，可證明數(shù)列為首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，得到，利用得到an的通項(xiàng)公式；（2）由（1）知，，化簡(jiǎn)可得，利用分組求和以及裂項(xiàng)相消即可求出數(shù)列bn的前項(xiàng)和.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，由，即，解得：，所以，則數(shù)列為首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列；所以，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，滿(mǎn)足條件，所以an的通項(xiàng)公式為（2）由（1）知，，所以，故，即3．(1)(2)當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，.【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列前和公式即可求出，則得到其通項(xiàng)公式；（2）分為奇數(shù)和偶數(shù)討論并結(jié)合裂項(xiàng)求和即可.【詳解】（1）由題意得是公差為2的等差數(shù)列，且，即，又因?yàn)?，所以，所以?shù)列的通項(xiàng)公式.（2）由（1）知，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，經(jīng)檢驗(yàn)，時(shí)，滿(mǎn)足，綜上，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，.4．(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）變形得到，得到結(jié)論；（2）在（1）的基礎(chǔ)上得到，進(jìn)而利用分組求和可得.【詳解】（1）（且），（且），，所以是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列．（2）是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，，故，.5．(1)證明見(jiàn)解析；(2).【分析】（1）根據(jù)通項(xiàng)與前項(xiàng)和之間的關(guān)系，作差可得，即可利用等比數(shù)列的定義求解，（2）根據(jù)錯(cuò)位相減法求和以及分組求解，結(jié)合等差等比數(shù)列求和求解.【詳解】（1）時(shí)，，即.又，也符合，所以時(shí)，，即.又，所以，所以，所以數(shù)列成等比數(shù)列.（2）由（1）易得.由可得，所以.所以，所以.令，則，所以，所以.6．(1)；(2)．【分析】（1）當(dāng)時(shí)，求得，當(dāng)時(shí)，得到，兩式相減化簡(jiǎn)得到，結(jié)合疊加法，即可求得數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（2）由（1）得到，求得，解法1：根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為，結(jié)合，結(jié)合基本不等式，即可求解；解法2：根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，兩式相減可得，，則，疊加可得，，則，而時(shí)也符合題意，所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為．（2）解：由（1）知，可得，故；解法1：由，可得，即，即則，又由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故實(shí)數(shù)的取值范圍為．解法2：由，可得，當(dāng)，即時(shí)，，則，故實(shí)數(shù)的取值范圍為．7．(1)(2)【分析】（1）先利用題給條件求得數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列，再求得其首項(xiàng)的值，進(jìn)而求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）利用錯(cuò)位相減法即可求得數(shù)列的前項(xiàng)和．【詳解】（1），．，，，數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列．，，．（2）由（1）知，，，①，②①②得，．8．(1)或（）．(2)①3036；②【分析】（1）根據(jù)帶除的定義求解，（mod3），即能被3整除，從而得出或能被3整除；（2）①首先求出（分奇偶項(xiàng)），確定出，用并項(xiàng)求和法求和；②求出，利用兩角差的正切公式變形通項(xiàng)，結(jié)合裂項(xiàng)相消法求和．【詳解】（1）由題意（mod3），所以或（），即或（）．（2）由（1）可得為，所以．①因?yàn)椋ǎ?，所以．．②（）．因?yàn)椋裕军c(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查學(xué)生的閱讀理解能力，創(chuàng)新意識(shí)，解題關(guān)鍵是正確理解新概念并能應(yīng)用解題，本題中同余問(wèn)題，實(shí)質(zhì)就是除以一個(gè)質(zhì)數(shù)后的余數(shù)相等，問(wèn)題轉(zhuǎn)化后可結(jié)合數(shù)列的求和方法，兩角差的正切公式等等知識(shí)才能順利求解．規(guī)律方法：(1)分組轉(zhuǎn)化法求和的關(guān)鍵是將數(shù)列通項(xiàng)轉(zhuǎn)化為若干個(gè)可求和的數(shù)列通項(xiàng)的和或差．(2)裂項(xiàng)相消法的基本思路是將通項(xiàng)拆分，可以產(chǎn)生相互抵消的項(xiàng)．(3)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，應(yīng)注意：①等比數(shù)列的公比為負(fù)數(shù)的情形；②在寫(xiě)出“Sn”和“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”，以便準(zhǔn)確寫(xiě)出“Sn－qSn”的表達(dá)式．【考點(diǎn)二】數(shù)列的綜合問(wèn)題核心梳理：數(shù)列與函數(shù)、不等式，以及數(shù)列新定義的綜合問(wèn)題，是高考命題的一個(gè)方向，考查邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)．解決此類(lèi)問(wèn)題，一是把數(shù)列看成特殊的函數(shù)，利用函數(shù)的圖象、性質(zhì)求解；二是將新數(shù)列問(wèn)題轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列，利用特殊數(shù)列的概念、公式、性質(zhì)，結(jié)合不等式的相關(guān)知識(shí)求解．一、解答題1．（2024·遼寧遼陽(yáng)·一模）已知數(shù)列滿(mǎn)足.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，證明：.2．（2024·廣東廣州·二模）已知數(shù)列中，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，記為的前項(xiàng)和，證明：時(shí)，.3．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知實(shí)數(shù)，定義數(shù)列如下：如果，，則．(1)求和（用表示）；(2)令，證明：；(3)若，證明：對(duì)于任意正整數(shù)，存在正整數(shù)，使得．4．（2024·甘肅定西·一模）在個(gè)數(shù)碼構(gòu)成的一個(gè)排列中，若一個(gè)較大的數(shù)碼排在一個(gè)較小的數(shù)碼的前面，則稱(chēng)它們構(gòu)成逆序（例如，則與構(gòu)成逆序），這個(gè)排列的所有逆序的總個(gè)數(shù)稱(chēng)為這個(gè)排列的逆序數(shù)，記為，例如，，(1)計(jì)算；(2)設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足，求的通項(xiàng)公式；(3)設(shè)排列滿(mǎn)足，求，5．（2024·河南·三模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若存在常數(shù)，使得對(duì)任意都成立，則稱(chēng)數(shù)列具有性質(zhì)．(1)若數(shù)列為等差數(shù)列，且，求證：數(shù)列具有性質(zhì)；(2)設(shè)數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且具有性質(zhì)．①若數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，且，求的值；②求的最小值．6．（2024·廣東深圳·二模）無(wú)窮數(shù)列，，…，，…的定義如下：如果n是偶數(shù)，就對(duì)n盡可能多次地除以2，直到得出一個(gè)奇數(shù)，這個(gè)奇數(shù)就是﹔如果n是奇數(shù)，就對(duì)盡可能多次地除以2，直到得出一個(gè)奇數(shù)，這個(gè)奇數(shù)就是．(1)寫(xiě)出這個(gè)數(shù)列的前7項(xiàng)；(2)如果且，求m，n的值；(3)記，，求一個(gè)正整數(shù)n，滿(mǎn)足．參考答案：1．(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)數(shù)列遞推式，采用兩式相減的方法，即可求得答案；（2）由（1）的結(jié)果可得的表達(dá)式，利用分組求和法，即可證明結(jié)論.【詳解】（1）由題意可知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，由得，，兩式作差可得，，也適合該式，故；（2）證明：由題意知，故，由于，則，故，即.2．(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）利用遞推關(guān)系，把換成，得到兩式相減，得到，再累乘后可得到通項(xiàng)；（2）用錯(cuò)位相減法求出，再將證明不等式作差，之后利用導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性證明即可.【詳解】（1）因?yàn)椋裕鞑羁傻?，變形為，即，即，化?jiǎn)為，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以?shù)列an的通項(xiàng)公式為.（2）因?yàn)?，所以，，作差可得，所以，，設(shè)，則在給定區(qū)間上遞減，又故在是減函數(shù)，，所以當(dāng)時(shí)，.3．(1)(2)證明見(jiàn)解析(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）觀察題目條件等式中的系數(shù)可得答案；（2），分別計(jì)算和可證明結(jié)論；（3）先根據(jù)無(wú)上界說(shuō)明存在正整數(shù)，使得，分是偶數(shù)和是奇數(shù)分別說(shuō)明.【詳解】（1）因?yàn)?，所以；因?yàn)?，所以；?）由數(shù)列定義得：；所以．而，所以；（3）當(dāng)，由（2）可知，無(wú)上界，故對(duì)任意，存在，使得．設(shè)是滿(mǎn)足的最小正整數(shù)．下面證明．①若是偶數(shù)，設(shè)，則，于是．因?yàn)?，所以．②若是奇?shù)，設(shè)，則．所以．綜上所述，對(duì)于任意正整數(shù)，存在正整數(shù)，使得．4．(1)(2)(3)【分析】（1）利用逆序數(shù)的定義，依次分析排列中的逆序個(gè)數(shù)，從而得解；（2）利用逆序數(shù)的定義得到，從而利用構(gòu)造法推得是等比數(shù)列，從而得解；（3）利用逆序數(shù)的定義，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式得到，再利用裂項(xiàng)相消法即可得解.【詳解】（1）在排列中，與5構(gòu)成逆序的有4個(gè)，與1構(gòu)成逆序的有0個(gè)，與2構(gòu)成逆序的有0個(gè)，與4構(gòu)成逆序的有1個(gè)，與3構(gòu)成逆序的有0個(gè)，所以.（2）由（1）中的方法，同理可得，又，所以，設(shè)，得，所以，解得，則，因?yàn)?，所以?shù)列是首項(xiàng)為1，公比為5的等比數(shù)列，所以，則.（3）因?yàn)?，所以，所以，所?5．(1)證明見(jiàn)解析；(2)①；②的最小值為4.【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出等差數(shù)列的公差，進(jìn)而求出通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和，再利用定義判斷即得.（2）①根據(jù)給定條件，可得，再按，探討，當(dāng)時(shí)，，又按且討論得解；②由定義，消去結(jié)合基本不等式得，再迭代得，借助正項(xiàng)數(shù)列建立不等式求解即可.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，得，解得，則，于是，即，所以數(shù)列具有性質(zhì)．（2）①由數(shù)列具有性質(zhì)，得，又等比數(shù)列的公比為，若，則，解得，與為任意正整數(shù)相矛盾；當(dāng)時(shí)，，而，整理得，若，則，解得，與為任意正整數(shù)相矛盾；若，則，當(dāng)時(shí)，恒成立，滿(mǎn)足題意；當(dāng)且時(shí)，，解得，與為任意正整數(shù)相矛盾；所以.②由，得，即，因此，即，則有，由數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，得，從而，即，若，則，與為任意正整數(shù)相矛盾，因此當(dāng)時(shí)，恒成立，符合題意，所以的最小值為4．【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：等比數(shù)列公比q不確定，其前n項(xiàng)和直接用公式處理問(wèn)題，漏掉對(duì)的討論.6．(1)，，，，，，；(2)；(3)（答案不唯一，滿(mǎn)足即可）【分析】（1）根據(jù)數(shù)列an（2）根據(jù)數(shù)列an的定義，分和分別求解；（3）根據(jù)數(shù)列an的定義，寫(xiě)出的值，即可求解.【詳解】（1）根據(jù)題意，，，，，，，．（2）由已知，m，n均為奇數(shù)，不妨設(shè)．當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，故；?dāng)時(shí)，因?yàn)椋鴑為奇數(shù)，，所以．又m為奇數(shù)，，所以存在，使得為奇數(shù)．所以．而，所以，即，，無(wú)解．所以．（3）顯然，n不能為偶數(shù)，否則，不滿(mǎn)足．所以，n為正奇數(shù)．又，所以．設(shè)或，．當(dāng)時(shí)，，不滿(mǎn)足；當(dāng)時(shí)，，即．所以，取，時(shí)，即．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第（3）問(wèn)中，發(fā)現(xiàn)當(dāng)時(shí)，滿(mǎn)足，從而設(shè)，，驗(yàn)證滿(mǎn)足條件.規(guī)律方法：數(shù)列的“新定義問(wèn)題”，主要是指定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運(yùn)算等，關(guān)鍵是將新數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列，或者找到新數(shù)列的遞推關(guān)系，主要考查的還是數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)．專(zhuān)題精練專(zhuān)題精練一、單選題1．（23-24高二下·山西晉城·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿(mǎn)足，，，則（

）A． B． C． D．2．（23-24高二上·江蘇·期末）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，，則數(shù)列的前項(xiàng)和為（

）A． B． C． D．3．（23-24高三下·江蘇南京·開(kāi)學(xué)考試）在數(shù)列中，已知，，則的前11項(xiàng)的和為（

）A．2045 B．2046 C．4093 D．40944．（2024·四川南充·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示的一系列正方形圖案稱(chēng)為“謝爾賓斯基地毯”，在4個(gè)大正方形中，著色的小正方形的個(gè)數(shù)依次構(gòu)成一個(gè)數(shù)列an的前4項(xiàng).記，則下列結(jié)論正確的為（

）A． B．C． D．與的大小關(guān)系不能確定5．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知是等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，，，若關(guān)于n的不等式對(duì)任意的恒成立，則實(shí)數(shù)t的最大值為（

）A．12 B．16 C．24 D．366．（2023·湖北武漢·三模）將按照某種順序排成一列得到數(shù)列，對(duì)任意，如果，那么稱(chēng)數(shù)對(duì)構(gòu)成數(shù)列的一個(gè)逆序?qū)?若，則恰有2個(gè)逆序?qū)Φ臄?shù)列的個(gè)數(shù)為（

）A．4 B．5 C．6 D．77．（2024·江蘇徐州·一模）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，．若，則正整數(shù)k的最小值為（

）A．11 B．12 C．13 D．148．（2024·云南·模擬預(yù)測(cè)）當(dāng)前，全球新一輪科技革命和產(chǎn)業(yè)變革蓬勃發(fā)展，汽車(chē)與能源?交通?信息通信等領(lǐng)域有關(guān)技術(shù)加速融合，電動(dòng)化?網(wǎng)聯(lián)化?智能化成為汽車(chē)產(chǎn)業(yè)的發(fā)展潮流和趨勢(shì).某車(chē)企為轉(zhuǎn)型升級(jí)，從2024年起大力發(fā)展新能源汽車(chē)，2024年全年預(yù)計(jì)生產(chǎn)新能源汽車(chē)10萬(wàn)輛，每輛車(chē)的利潤(rùn)為2萬(wàn)元.假設(shè)后續(xù)的幾年中，經(jīng)過(guò)車(chē)企關(guān)鍵核心技術(shù)的不斷突破和受眾購(gòu)買(mǎi)力的提升，每年新能源汽車(chē)的產(chǎn)量都比前一年增加（假設(shè)每年生產(chǎn)的新能源汽車(chē)都能銷(xiāo)售出去），每輛車(chē)的利潤(rùn)都比前一年增加2000元，則至2030年年底，該汽車(chē)集團(tuán)銷(xiāo)售新能源汽車(chē)的總利潤(rùn)約為（

）參考數(shù)據(jù)：，結(jié)果精確到0.1）A．320.5億元 B．353.8億元 C．363.2億元 D．283.8億元二、多選題9．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)函數(shù)給出如下新定義：若在區(qū)間上為定值（其中表示不超過(guò)的最大整數(shù)，如），則稱(chēng)為的一個(gè)“整元”，將區(qū)間上從左到右所有“整元”的和稱(chēng)為在上的“整積分”，下列說(shuō)法正確的是（

）A．在區(qū)間上的“整積分”為B．在區(qū)間上的“整積分”為4950C．在區(qū)間上的“整積分”為D．在區(qū)間上的“整積分”為10．（2024·山東濟(jì)寧·三模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿(mǎn)足，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿(mǎn)足，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A． B．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列C．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列 D．若，則11．（23-24高三下·江西·開(kāi)學(xué)考試）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，數(shù)列與數(shù)列的前項(xiàng)和分別為，則（

）A． B．C． D．三、填空題12．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿(mǎn)足，，，數(shù)列，滿(mǎn)足，則數(shù)列的前2024項(xiàng)的和為．13．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則滿(mǎn)足的正整數(shù)的最小值為.14．（2024·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）定義：x表示不大于的最大整數(shù)，表示不小于的最小整數(shù)，如，.設(shè)函數(shù)在定義域上的值域?yàn)?，記中元素的個(gè)數(shù)為，則，四、解答題15．（23-24高二上·江蘇南京·期末）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿(mǎn)足．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)已知，求數(shù)列的前n項(xiàng)和為．16．（2024·寧夏·一模）已知公差不為零的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且，，成等比數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，證明：．17．（2024·山東菏澤·一模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，，求證：．18．（23-24高三下·湖北武漢·階段練習(xí)）已知常數(shù)，在成功的概率為的伯努利試驗(yàn)中，記為首次成功時(shí)所需的試驗(yàn)次數(shù)，的取值為所有正整數(shù)，此時(shí)稱(chēng)離散型隨機(jī)變量的概率分布為幾何分布.(1)對(duì)于正整數(shù)，求，并根據(jù)，求；(2)對(duì)于幾何分布的拓展問(wèn)題，在成功的概率為的伯努利試驗(yàn)中，記首次出現(xiàn)連續(xù)兩次成功時(shí)所需的試驗(yàn)次數(shù)的期望為，現(xiàn)提供一種求的方式：先進(jìn)行第一次試驗(yàn)，若第一次試驗(yàn)失敗，因?yàn)槌霈F(xiàn)試驗(yàn)失敗對(duì)出現(xiàn)連續(xù)兩次成功毫無(wú)幫助，可以認(rèn)為后續(xù)期望仍是，即總的試驗(yàn)次數(shù)為；若第一次試驗(yàn)成功，則進(jìn)行第二次試驗(yàn)，當(dāng)?shù)诙卧囼?yàn)成功時(shí)，試驗(yàn)停止，此時(shí)試驗(yàn)次數(shù)為2，若第二次試驗(yàn)失敗，相當(dāng)于重新試驗(yàn)，此時(shí)總的試驗(yàn)次數(shù)為.（i）求；（ii）記首次出現(xiàn)連續(xù)次成功時(shí)所需的試驗(yàn)次數(shù)的期望為，求.19．（2023·北京東城·一模）已知數(shù)表中的項(xiàng)互不相同，且滿(mǎn)足下列條件：①；②.則稱(chēng)這樣的數(shù)表具有性質(zhì).(1)若數(shù)表具有性質(zhì)，且，寫(xiě)出所有滿(mǎn)足條件的數(shù)表，并求出的值；(2)對(duì)于具有性質(zhì)的數(shù)表，當(dāng)取最大值時(shí)，求證：存在正整數(shù)，使得；(3)對(duì)于具有性質(zhì)的數(shù)表，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，求的最大值.參考答案：題號(hào)12345678910答案CDCCCBCBBCDBC題號(hào)11答案BCD1．C【分析】根據(jù)遞推關(guān)系利用累乘法求出通項(xiàng)，利用錯(cuò)位相減法求出的前100項(xiàng)和得解.【詳解】由，得，所以，，，，（，），累乘可得，又，得.設(shè)①，則②，①-②得，，，.故選：C.2．D【分析】根據(jù)已知條件構(gòu)造為常數(shù)列，求出，再利用裂項(xiàng)相消法求和即可.【詳解】，且，，即，，故數(shù)列為常數(shù)列，且，，則，故數(shù)列的前項(xiàng)和.故選：D.3．C【分析】根據(jù)給定條件，求出，再利用并項(xiàng)求和法，即可計(jì)算得解.【詳解】由，得，而，解得，所以an的前11項(xiàng)的和.故選：C4．C【分析】根據(jù)圖象的規(guī)律，歸納各項(xiàng)，通過(guò)放縮結(jié)合等比數(shù)列的求和公式即可求解.【詳解】由圖分析可知，，，，依次類(lèi)推，，所以.故選：.5．C【分析】由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式列出關(guān)于和公比q的方程，解出，q，即可寫(xiě)出與，再將不等式化簡(jiǎn)，參變分離得對(duì)任意的恒成立，可構(gòu)造函數(shù)，利用作差法判斷函數(shù)的最小值，求得t的最大值，也可利用基本不等式進(jìn)行求解．【詳解】設(shè)等比數(shù)列an的公比為，則，解得，∴．∴關(guān)于n的不等式，即，即對(duì)任意的恒成立．解法一

設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，又，∴當(dāng)或時(shí)，，∴．故選:C．解法二

由，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，又，∴當(dāng)或時(shí)，取得最小值24，故．故選:C．6．B【分析】根據(jù)逆序?qū)Φ亩x，分?jǐn)?shù)列的第一個(gè)數(shù)為，數(shù)列的第二個(gè)數(shù)為，數(shù)列的第三個(gè)數(shù)為，數(shù)列的第四個(gè)數(shù)為，四種情況討論即可.【詳解】若，則，由構(gòu)成的逆序?qū)τ校魯?shù)列的第一個(gè)數(shù)為，則至少有個(gè)逆序?qū)?，若?shù)列的第二個(gè)數(shù)為，則恰有2個(gè)逆序?qū)Φ臄?shù)列為，若數(shù)列的第三個(gè)數(shù)為，則恰有2個(gè)逆序?qū)Φ臄?shù)列為或，若數(shù)列的第四個(gè)數(shù)為，則恰有2個(gè)逆序?qū)Φ臄?shù)列為，綜上恰有2個(gè)逆序?qū)Φ臄?shù)列的個(gè)數(shù)為個(gè).故選：B.7．C【分析】根據(jù)給定的遞推公式，構(gòu)造等比數(shù)列求出，再求解不等式即得.【詳解】數(shù)列中，，當(dāng)時(shí)，，則，整理得，即，而，即，因此數(shù)列是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，，則，由，知為奇數(shù)，此時(shí)是遞增的，而，，所以正整數(shù)k的最小值為13.故選：C8．B【分析】先求得每輛車(chē)的利潤(rùn)an和該汽車(chē)的銷(xiāo)量bn的表達(dá)式，故可得【詳解】設(shè)第年每輛車(chē)的利潤(rùn)為萬(wàn)元，則每輛車(chē)的利潤(rùn)an是以2為首項(xiàng)，0.2為公差的等差數(shù)列，所以，設(shè)第年新能源汽車(chē)的銷(xiāo)量為輛，則該汽車(chē)的銷(xiāo)量bn是以100000為首項(xiàng)，1.2為公比的等比數(shù)列，所以，設(shè)該車(chē)企銷(xiāo)售新能源汽車(chē)的總利潤(rùn)為，①，，②①-②得：，所以萬(wàn)元，即億元，故選：B.9．BCD【分析】根據(jù)新定義對(duì)各選項(xiàng)逐項(xiàng)分析即可得解.【詳解】A選項(xiàng)，，所以區(qū)間上的“整積分”為，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，以此類(lèi)推，當(dāng)時(shí)，，所以區(qū)間上的“整積分”為，故B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，以此類(lèi)推，當(dāng)時(shí)，，故區(qū)間上的“整積分”為，故C選項(xiàng)正確；選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，“整元”為；當(dāng)時(shí)，，“整元”為；當(dāng)時(shí)，，“整元”為，以此類(lèi)推，當(dāng)時(shí)，，“整元”為．設(shè)在區(qū)間上的“整積分”為，則①，所以②，②①得，故D選項(xiàng)正確，故選：BCD．10．BC【分析】由數(shù)列的前項(xiàng)和為求出判斷B；由遞推公式探討數(shù)列的特性判斷C；求出判斷A；由求出，再利用裂求和法求解即得.【詳解】由，得，，當(dāng)時(shí)，，滿(mǎn)足上式，因此，數(shù)列是等比數(shù)列，B正確；由，得，，解得，，A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，于是，兩式相加得，整理得，因此數(shù)列是等差數(shù)列，C正確；當(dāng)時(shí)，等差數(shù)列的公差為1，通項(xiàng)，，所以，D錯(cuò)誤.故選：BC11．BCD【分析】由，化簡(jiǎn)得到，得出是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，求得，結(jié)合數(shù)列的性質(zhì)，以及數(shù)列的求和方法，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】由兩邊同時(shí)除以，可得，所以，，故數(shù)列是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，所以，即，對(duì)于A中，因?yàn)?/p>