信息論與編碼習題課

第五章5-10設有離散無記憶信源。（1）求該信源符號熵H(X)。（2）用哈夫曼編碼編成二元變長碼，計算其編碼效率。

（3）要求譯碼錯誤小于，采用定長二元碼達到（2）中的哈夫曼編碼效率，問需要多少個信源符號連在一起編？解：（1）信源符號熵為（2）該哈夫曼碼的平均碼長為編碼效率為(3)信源序列的自信息方差為

所以，至少需要1.62×105個信源符號一起編碼才能滿足要求。5-12已知一信源包含8個消息符號，其出現(xiàn)的概率，則求：（1）該信源在每秒內發(fā)出1個符號，求該信源的熵及信息傳輸速率。（2）對這8個符號作哈夫曼編碼，寫出相應碼字，并求出編碼效率。（3）采用香農(nóng)編碼，寫出相應碼字，求出編碼效率。（4）進行費諾編碼，寫出相應碼字，求出編碼效率。解：（1）信源熵信息傳輸速率為（2）哈夫曼編碼：信源各符號的對應哈夫曼曼碼字如下：

0.1

0.180.4

0.050.06

0.10.07

0.04

011

001

10001001010000010000011平均碼長為編碼效率為(3)香農(nóng)編碼如下：信源符號符號概率碼字長度

累加概率

二進制

碼字

0.4

1.32

2

00

00

0.18

2.47

3

0.40.011001...

011

0.1

3.32

4

0.580.100101...

1001

0.1

3.32

4

0.680.101011...

1010

0.07

3.84

4

0.780.110001...

1100

0.06

4.06

5

0.850.110110...

11011

0.05

4.32

5

0.910.111010...

11101

0.04

4.64

5

0.960.111101...

11110平均碼長為編碼效率為(4)費諾編碼消息符號符號概率第一次

分組第二次分組第三次分組第四次分組碼字

0.4

0

0

00

0.18

1

01

0.1

1

0

0

100

0.1

1

101

0.07

1

0

0

1100

0.06

1

1101

0.05

1

0

1110

0.04

1

1111平均碼長為編碼效率為第六章6-1寫出構成二元域上四維4重矢量空間的全部矢量元素，并找出其中一個兩維子空間及其相應的對偶子空間。解：構成四維4重矢量空間的四個基底為（0001),(0010),(0100),(1000),所以張成的四維4重矢量空間為V={(0000),(0001),(0010),(0011),(0100),(0101),(0110),(0111),(1000),(1001),(1010),(1011),(1100),(1101),(1110),(1111)}以（1000），（0100）為基底的兩維4重子空間為的一個兩維4重對偶子空間為6-3某系統(tǒng)（8,4）碼，其四位校驗位與四位信息位的關系是求該碼的生成矩陣、校驗矩陣及該碼的最小距離，并畫出該編碼器硬件邏輯連接圖。解:由（8,4）系統(tǒng)碼，得n=8,k=4。由已知條件得，從H看出，不相關的列數(shù)為3，即所以編碼器邏輯連接圖如下：6-5列出本章例6-4的（7,4）漢明碼的標準陣列譯碼表。若收碼R=(0010100，0111000,1110010),由標準陣列譯碼表判斷發(fā)碼是什么？解：由題意，可知信息組m={（0000），（0001），（0010），（0011），（0100），（0101），（0110），（0111）（10000），（1001），（1010），（1011），（1100）（1101），（1110），（1111）}將m及G代入C=mG中求得16個對應的碼字：伴隨式有代表1個差錯的差錯圖案有種組合，除了全零圖案外，種。由可得,

S

E

0000000000

0010000001

0100000010

0110001000

1000000100

1011000000

1100010000

1110100000根據(jù)構造標準陣列譯碼表的步驟，列出如下表：S

E00000000001011001011000111010100111010110001100010111010000000000000000000001011001011000111010100111010110001100010111010001000000100000010001010001011100111000100110010110101100000111011010000001000000100001001001010000111110100101010111001100110111000011000100000010000000011001111000101010101111010010001110010110010100000010000001000001111001001000110010100011010100001101010111110101100000010000001001011101011010111011100111110110011100011111010110001000000100000011011000011000011010110111011110001000010101010111010000001000000101011011011001111010000111000110000100010011010S

E10001011001110101001110110001100010110100111101001111111000000000010001011001110101001110110001100010110100111101001111111001000000110001001001111101001010110011100011110100011101011111110010000001010001111001100101000110110101100000110101111101101111101011000100010011011000110101101110100001101010110000111111001110111100000010010000011001010101011110111001100110110110111100001111011101100000000001010001110001001100110000100010010100101101000111111110001000010101011011110100001110010001110010111100111001001101111111010000011001011101110111001111110001000010100100110101001011111從標準陣列表可以判斷，對應關系如下：收碼R=（0010100，0111000，1110010）發(fā)碼C=（0010110，0111010，1100010）6-6某線性二進碼的生成矩陣為,求(1)用系統(tǒng)碼[I┆P]的形式表示G;(2)計算該碼的校驗矩陣H;(3)列出該碼的伴隨式表；(4)計算該碼的最小距離；(5)證明：與信息序列101相對應的碼字正交于H。解：（1)由題意，知生成矩陣為（2）校驗矩陣H為（3）伴隨式有種組合，為S={（0000），（0001），（0010），（0011），（0100），（0101），（0110），（0111），（1000），（1001）（1010），（1011），（1100），（1101），（1110），（1111）}（4）校驗矩陣不相關的列數(shù)為3。即（5）證明：由信息序列101對應的碼字為1010011?？傻?，因為所以，信息序列101對應的碼字與H正交。[(n,k)線性分組碼的任意碼字一定正交于校驗矩陣H.]解：如圖題8－1所示，，，所以電臺的位置偏離正南方。1、設元天線的軸線沿東西方向放置，在遠方有一移動接收臺停在正南方而接收到最大電場強度。當電臺沿以元天線為中心的圓周在地面上移動時，電場強度漸漸減小。問當電場強度減小到最大值的時，電臺的位置偏離正南方多少角度？圖題8－1

3、一電基本振子的輻射功率，試求處，和方向的場強，為射線與振子軸之間的夾角。解：由和可以解出

6、天線的歸一化方向函數(shù)為試求其方向性系數(shù)D。解：

9、求半波對稱振子的方向系數(shù)。解：半波振子的方向圖函數(shù)為

其方向系數(shù)為

29、四個電基本振子排列如題8－14圖所示，各振子的電流復振幅按圖中所標序號依次為（1）、（2）、（3）、（4），試繪出E面和H面極坐標方向圖。圖題8－14解：E面（包含陣軸和陣子軸的面）：陣因子為陣元方向函數(shù)為

天線陣方向函數(shù)為由方向圖乘積定理可得E面方向圖為題8－14(a)E面方向圖陣元方向圖E面方向圖陣因子圖H面（包含陣軸和垂直于陣子軸的面）：同E面求法，可求得H面陣因子為陣元方向函數(shù)為

天線陣方向函數(shù)為由方向圖乘積定理可得H面方向圖為

陣元方向圖

陣因子圖

H面方向圖題8－14(b)H面方向圖

式中，為單元天線的歸一化方向函數(shù)，為歸一化陣因子。（1）

單元天線的方向圖對于半波天線，歸一化方向函數(shù)為27、兩半波天線平行放置，相距，它們的電流振幅相等，同相激勵。試用方向圖乘法繪出三個主平面上的方向圖。解：二元天線陣的歸一化方向性函數(shù)為圖題8－17a其方向圖，在包括天線軸的兩個主平面和

內是‘8’字形，見圖題8－17b；而在垂直于天線軸的xy（）平面內為圓形‘’，見圖題8－17c圖。（2）

陣因子圖陣因子歸一化陣因子在三個主平面內歸一化陣因子方向性函數(shù)為

平面：，陣因子圖如圖題8－17d，為‘8’字形；

xz平面：，陣因子圖如圖題8－17e，為‘8’字形；平面：；陣因子圖如圖題8－17f，為圓形。

（1）

三個主平面上的方向圖由此，利用方向圖乘法，可草繪出三個主平面上的方向圖，見題8－17g、h、j圖。題8－17b平面陣元

題8－17e平面陣因子

題8－17g