2024年廣東省深圳市第二高級(jí)中學(xué)高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題及答案

試題PAGE1試題2023-2024學(xué)年深圳市第二高級(jí)中學(xué)第一學(xué)段考試高一數(shù)學(xué)一、選擇題：共8小題，每小題5分.共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合則（）A. B. C. D.2.已知，則“”是“點(diǎn)在第一象限內(nèi)”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.已知正數(shù)，滿足，則的最小值為（）A.6 B.8 C.16 D.204.下列選項(xiàng)分別是四種生意預(yù)期的獲益y關(guān)于時(shí)間x的函數(shù)模型，從足夠長(zhǎng)遠(yuǎn)的角度看，使得公司獲益最大的函數(shù)模型是（）A B. C. D.5.要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（）A.向右平移 B.向右平移 C.向左平移 D.向右平移6.已知為定義在上的奇函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)，有，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.7.已知，則有（）A. B.C. D.8.已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程有6個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分.共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分.部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列等式成立的是（）A. B.C. D.10.已知函數(shù)，則（）A.為偶函數(shù) B.最小正周期為，在區(qū)間單調(diào)遞減C.最大值為2 D.圖象關(guān)于直線對(duì)稱11.下列選項(xiàng)正確的有（）A.“，”假命題，則B.函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心是C.若存在反函數(shù)，且，則的圖象必過點(diǎn)D.已知表示不超過x的最大整數(shù)，則函數(shù)值域?yàn)?2.函數(shù)，以下正確的是（）A.若的最小正周期為，則B.若，且，則C.當(dāng)時(shí)，在單調(diào)且在不單調(diào)，則.D.當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意的有成立，則的最小值為三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分13.已知，，則______________．14.已知角的終邊上有一點(diǎn)P的坐標(biāo)是，，則______________________．15.函數(shù)在上單調(diào)遞增，則k的取值范圍為______________．16.已知，，則______________．四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，銳角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，射線OA繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后交單位圓于點(diǎn)B，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為．（1）求的表達(dá)式，并求的值；（2）若，，求值.18.已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．（1）求函數(shù)的解析式；（2）求不等式的解集．19已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的最大值與最小值，并分別寫出取最大值與最小值時(shí)相應(yīng)的值．（2）求函數(shù)，的單調(diào)遞減區(qū)間．20.已知函數(shù)，不等式解集為M，（1）設(shè)函數(shù)在上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)（其中）的最小值為，求實(shí)數(shù)a的值．21.已知奇函數(shù)．（1）求a的值；（2）若對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；（3）設(shè)，若，總，使得成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．22.已知函數(shù)，其中，.（1）若，，且對(duì)任意的，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若，，且在單調(diào)遞增，求的最大值.

2023-2024學(xué)年深圳市第二高級(jí)中學(xué)第一學(xué)段考試高一數(shù)學(xué)一、選擇題：共8小題，每小題5分.共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，解一個(gè)一元二次不等式和一個(gè)一元一次不等式即得集合，再利用集合的交集定義即得.【詳解】由集合中不等式可解得：，即,由集合中函數(shù)有意義，可得：，，即，則.故選：D.2.已知，則“”是“點(diǎn)在第一象限內(nèi)”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】結(jié)合三角函數(shù)的想先符號(hào)判斷即可.【詳解】若，則在第一或三象限，則或，則點(diǎn)在第一或三象限，若點(diǎn)在第一象限，則，則.故“”是“點(diǎn)在第一象限內(nèi)”的必要不充分條件.故選：B3.已知正數(shù)，滿足，則的最小值為（）A.6 B.8 C.16 D.20【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件結(jié)合“1”的妙用即可求出的最小值.【詳解】因正數(shù)，滿足，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，由及解得：，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值8.故選：B4.下列選項(xiàng)分別是四種生意預(yù)期的獲益y關(guān)于時(shí)間x的函數(shù)模型，從足夠長(zhǎng)遠(yuǎn)的角度看，使得公司獲益最大的函數(shù)模型是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的增長(zhǎng)快慢差異判斷.【詳解】解：因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)的底數(shù)大于1，其增長(zhǎng)速度隨著時(shí)間的推移會(huì)越來越快，比冪函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)，一次函數(shù)增長(zhǎng)速度快，所以從足夠長(zhǎng)遠(yuǎn)角度看，使得公司獲益最大的函數(shù)模型是，故選：A5.要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（）A.向右平移 B.向右平移 C.向左平移 D.向右平移【答案】BD【解析】【分析】直接根據(jù)平移規(guī)律逐項(xiàng)分析判斷即可.【詳解】對(duì)于A：向右平移，可得，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：向右平移，可得，故B正確；對(duì)于C：向左平移，可得，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：向右平移，可得，故D正確；故選：BD.6.已知為定義在上的奇函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)，有，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由可得函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，用奇偶性可將關(guān)系式變形為，根據(jù)單調(diào)性就可以求出.【詳解】對(duì)任意實(shí)數(shù)，有,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，又因?yàn)楹瘮?shù)為定義在上的奇函數(shù)，且，則，所以得.故選：D7.已知，則有（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】將化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間上的同名函數(shù)比大小，再將與比大小.【詳解】，，因?yàn)樵跒樵龊瘮?shù)，所以，又，所以，故選：C8.已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程有6個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】因?yàn)?，所以或，只需的圖象與直線有3個(gè)交點(diǎn)，據(jù)此即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以或，因?yàn)殛P(guān)于x的方程有6個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，所以的圖象與直線和直線有6個(gè)不同的交點(diǎn)，如圖的圖象與直線有3個(gè)交點(diǎn)，所以只需的圖象與直線有3個(gè)交點(diǎn)，所以.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于因?yàn)?，所以或，只需的圖象與直線有3個(gè)交點(diǎn)的分析.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分.共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分.部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列等式成立的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】利用兩角和差的正弦公式、正切公式的逆運(yùn)用可以分別計(jì)算出A、D選項(xiàng)，利用二倍角正弦公式的逆運(yùn)用可以計(jì)算出B選項(xiàng)，根據(jù)降冪公式可以化簡(jiǎn)病求出C選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，，所以A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，，所以B不正確；對(duì)于C選項(xiàng)，，所以C不正確；對(duì)于D選項(xiàng)，，所以D正確；故選：AD10.已知函數(shù)，則（）A.為偶函數(shù) B.最小正周期為，在區(qū)間單調(diào)遞減C.最大值為2 D.圖象關(guān)于直線對(duì)稱【答案】ABD【解析】【分析】先由，再利用函數(shù)的奇偶性定義判斷.【詳解】解：因?yàn)榈亩x域?yàn)?，又，且，所以為偶函?shù)，故A正確,的最大值為，故C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，故的圖象關(guān)于對(duì)稱，故D正確.的最小正周期為，且當(dāng)時(shí)，，結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)性可得在上為減函數(shù)，故B正確，故選：ABD.11.下列選項(xiàng)正確的有（）A.“，”是假命題，則B.函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心是C.若存在反函數(shù)，且，則的圖象必過點(diǎn)D.已知表示不超過x的最大整數(shù)，則函數(shù)值域?yàn)椤敬鸢浮緽D【解析】【分析】轉(zhuǎn)化為“”為真命題，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，可判定A不正確；根據(jù)函數(shù)圖象變換，可得判定B正確；根據(jù)反函數(shù)的性質(zhì)，可判定C錯(cuò)誤；根據(jù)函數(shù)的新定義，可判定D正確.【詳解】對(duì)于A中，由命題“”是假命題，可得命題“”為真命題，當(dāng)時(shí)，恒成立，符合題意；當(dāng)時(shí)，則滿足，解得，綜上可得，實(shí)數(shù)的取值范圍為，所以A不正確；對(duì)于B中，函數(shù)的圖象，可看成的圖象向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到，因?yàn)楹瘮?shù)的對(duì)稱中心為，所以函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，所以B正確；對(duì)于C中，若存在反函數(shù)，且，可得，即函數(shù)過點(diǎn)，則函數(shù)的圖象必過點(diǎn)，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D中，已知表示不超過x的最大整數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù),在上此函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，故其值域?yàn)?，所以D正確.故選：BD.12.函數(shù)，以下正確的是（）A.若的最小正周期為，則B.若，且，則C.當(dāng)時(shí)，在單調(diào)且在不單調(diào)，則.D.當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意的有成立，則的最小值為【答案】BCD【解析】【分析】由函數(shù)周期公式可判斷A；由題意得，結(jié)合函數(shù)周期公式可判斷B；若在單調(diào)，則且，結(jié)合得，則，驗(yàn)證題設(shè)條件可判斷C；由題意得，即，求得最小值可判斷D.【詳解】，，，故A錯(cuò)誤；，又，且，，，，故B正確；當(dāng)時(shí)，若在單調(diào)，則，且，，又，，則，由，得，此時(shí)在單調(diào)且在不單調(diào)，故C正確；當(dāng)時(shí)，，又因?yàn)閷?duì)任意的有成立，則，即，當(dāng)時(shí)，取最小值，故D正確．故選：BCD.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分13.已知，，則______________．【答案】##【解析】【分析】由得到，再利用指數(shù)冪的運(yùn)算求解.【詳解】解：因?yàn)?，，所以，，故答案為?4.已知角的終邊上有一點(diǎn)P的坐標(biāo)是，，則______________________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義，求得，再利用誘導(dǎo)公式和三角函數(shù)的基本關(guān)系式，即可求解.【詳解】由角的終邊上有一點(diǎn)P的坐標(biāo)是，可得，則.故答案為：.15.函數(shù)在上單調(diào)遞增，則k的取值范圍為______________．【答案】【解析】【分析】分、和三種情況，結(jié)合單調(diào)性的性質(zhì)以及對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性分析求解.【詳解】若，則在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，符合題意；若，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，符合題意；若，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，解得；綜上所述：k的取值范圍為.故答案為：.16.已知，，則______________．【答案】【解析】【分析】利用三角函數(shù)誘導(dǎo)公式和三角恒等變換求解.【詳解】解：因，，所以，，，故答案為：四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，銳角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，射線OA繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后交單位圓于點(diǎn)B，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為．（1）求的表達(dá)式，并求的值；（2）若，，求的值.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）由題意可知，結(jié)合任意角三角函數(shù)的定義分析求解；（2）由題意可得，結(jié)合同角三角關(guān)系運(yùn)算求解.【小問1詳解】因?yàn)殇J角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，則，可知，又因?yàn)樯渚€OA繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后交單位圓于點(diǎn)B，所以，可得.【小問2詳解】若，，則，所以.18.已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．（1）求函數(shù)的解析式；（2）求不等式的解集．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合偶函數(shù)的定義運(yùn)算求解；（2）根據(jù)（1）中解析式，分和兩種情況，結(jié)合二次不等式運(yùn)算求解.【小問1詳解】若，則，由題意可得：，所以.【小問2詳解】由（1）可知：，若時(shí)，令，即，解得或（舍去）；若時(shí)，令，即，解得或（舍去）；綜上所述：不等式的解集為.19.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的最大值與最小值，并分別寫出取最大值與最小值時(shí)相應(yīng)的值．（2）求函數(shù)，的單調(diào)遞減區(qū)間．【答案】（1）答案見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意整理可得，結(jié)合正弦函數(shù)的最值分析求解；（2）根據(jù)題意整理可得，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性分析求解.【小問1詳解】由題意可得：，所以當(dāng)，即時(shí)，取到最大值；當(dāng)，即時(shí)，取到最小值.【小問2詳解】因?yàn)?，令，解得，所以函?shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.20.已知函數(shù)，不等式解集為M，（1）設(shè)函數(shù)在上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)（其中）的最小值為，求實(shí)數(shù)a的值．【答案】（1）（2）1【解析】【分析】（1）根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性解得，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)單調(diào)性以及零點(diǎn)存在性定理分析求解；（2）換元令，可得在內(nèi)的最小值為，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)分析求解.【小問1詳解】因?yàn)?，則，解得，即，又因?yàn)?，且在?nèi)單調(diào)遞增，則在內(nèi)單調(diào)遞增，若函數(shù)在上存在零點(diǎn)，則，解得，所以實(shí)數(shù)m取值范圍.【小問2詳解】因?yàn)椋?，由可知，可知在?nèi)的最小值為，且的圖象開口向上，對(duì)稱性，可得，解得，即實(shí)數(shù)a的值為1.21.已知為奇函數(shù)．（1）求a的值；（2）若對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；（3）設(shè)，若，總，使得成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的定義分析求解；（2）由題意可得，換元令，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的最值分析求解；（3）由題意可知：，根據(jù)指數(shù)型函數(shù)以及正弦型函數(shù)的最值分析求解.【小問1詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，且定義域?yàn)?，則，解得，此時(shí)，可得，所以為奇函數(shù)，即符合題意.【小問2詳解】若對(duì)恒成立，即，整理得，可知，令，由可知，且，可得