高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 課件全套 重大版 第1-10章 函數(shù)、極限與連續(xù)-無窮級數(shù)

第一節(jié)

函數(shù)的概念

在現(xiàn)實世界中，一切事物都在一定的空間中運動著．１７世紀(jì)初，數(shù)學(xué)首先從對運動（如天文、航海問題等）的研究中引入函數(shù)這個基本概念．以后２００多年，這個概念在幾乎所有的科學(xué)研究工作中占據(jù)了中心位置．極限、導(dǎo)數(shù)、微分、積分都是圍繞著函數(shù)來進行的，本節(jié)將介紹函數(shù)的概念、函數(shù)關(guān)系的結(jié)構(gòu)與函數(shù)的特性．

一、絕對值、區(qū)間、鄰域（一）絕對值

（二）區(qū)間

1.有限區(qū)間2.無限區(qū)間

（三）鄰域二、函數(shù)的概念（一）函數(shù)的定義（二）函數(shù)的定義域（三）函數(shù)相等（四）函數(shù)的表示方法2.表格法3.圖像法1.解析法第二節(jié)

函數(shù)的幾種性質(zhì)

一、函數(shù)的有界性二、函數(shù)的單調(diào)性

三、函數(shù)的奇偶性四、函數(shù)的周期性五、反函數(shù)

（一）反函數(shù)的定義第三節(jié)

初等函數(shù)

一、基本初等函數(shù)（一）常數(shù)函數(shù)（二）反函數(shù)的性質(zhì)（二）冪函數(shù)（三）指數(shù)函數(shù)

１．指數(shù)運算公式（四）對數(shù)函數(shù)

１．對數(shù)運算公式

２．指數(shù)函數(shù)ｙ＝ａｘ在底數(shù)ａ＞１及０＜ａ＜１這兩種情況下的圖像和性質(zhì)（五）三角函數(shù)

１．三角函數(shù)公式２．對數(shù)函數(shù)圖像與特征

（六）反三角函數(shù)二、復(fù)合函數(shù)（一）定義２．正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)和余切函數(shù)的圖像（二）復(fù)合函數(shù)的分解三、初等函數(shù)第四節(jié)

數(shù)列的極限

極限是微積分學(xué)中一個基本概念，微分學(xué)與積分學(xué)的許多概念都是由極限引入的，并且最終由極限知識來解決．因此它在微積分學(xué)中占有非常重要的地位．

我國春秋戰(zhàn)國時期的《莊子·天下篇》中說：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，這就是極限的最樸素思想．

一、數(shù)列極限的定義

（一）數(shù)列的概念

（二）數(shù)列的極限

二、函數(shù)的極限

（一）自變量趨于無窮時的極限

１．ｘ→

＋∞時的極限

２．ｘ→

－∞時的極限

３．ｘ→∞時的極限

（二）ｘ→ｘ０時自變量趨于有限值時函數(shù)的極限第五節(jié)

函數(shù)極限的運算

一、函數(shù)極限運算法則

二、極限的運算方法舉例

１．代入法

２．分解因式，消去零因子法

３．多項式相除法

４．分子（分母）有理化法第六節(jié)

無窮大、無窮小及無窮小的比較

一、無窮小

（二）性質(zhì)

二、無窮大

三、無窮小的比較

四、等價代換第七節(jié)

兩個重要極限

一、極限Ⅰ

二、極限Ⅱ第八節(jié)

函數(shù)的連續(xù)性

一、連續(xù)函數(shù)的概念

（一）函數(shù)的增量

二、連續(xù)函數(shù)的運算性質(zhì)

（二）函數(shù)的連續(xù)性

三、初等函數(shù)的連續(xù)性五、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)四、間斷點第一節(jié)

導(dǎo)數(shù)的概念

一、導(dǎo)數(shù)的定義

在學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的概念之前，我們先來討論一下物理學(xué)中變速直線運動的瞬時速度的問題．

（一）引例：速度問題

２.直線方程的５種形式

（二）導(dǎo)數(shù)的定義

二、導(dǎo)數(shù)的幾何意義三、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系第二節(jié)

導(dǎo)數(shù)的運算法則及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)

一、導(dǎo)數(shù)的四則運算法則二、應(yīng)用舉例三、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則第三節(jié)

高階導(dǎo)數(shù)第四節(jié)

三種特殊的求導(dǎo)方法

一、隱函數(shù)的求導(dǎo)二、對數(shù)求導(dǎo)法及冪指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)三、參數(shù)方程求導(dǎo)法第五節(jié)

函數(shù)的微分

一、函數(shù)微分的定義（二）微分運算法則二、微分形式不變性三、基本初等函數(shù)的微分公式與微分的運算法則

（一）微分公式

四、微分的應(yīng)用第一節(jié)

中值定理及函數(shù)的單調(diào)性一、拉格朗日（Ｌａｇｒａｎｇｅ）中值定理二、函數(shù)的單調(diào)性第二節(jié)

函數(shù)的極值和最值一、函數(shù)的極值

（一）極值的定義

（二）極值的第一判定定理

（三）極值的第二充分條件二、函數(shù)的最大值和最小值

（一）閉區(qū)間［ａ，ｂ］上的最大值和最小值

（二）應(yīng)用舉例第三節(jié)洛必達法則

一、洛必達法則

二、

型未定式（洛必達法則）

四、其他類型不定式極限

三、

型未定式

二、曲線凹凸性的判定第四節(jié)

曲線的凹凸和拐點

一、曲線凹凸性的定義

（二）水平漸近線（平行于ｘ軸的漸近線）第五節(jié)

函數(shù)圖形的描繪

一、函數(shù)的漸近線

（一）垂直漸近線（垂直于ｘ軸的漸近線）

（三）斜漸近線

二、函數(shù)圖形描繪的步驟和方法

（一）步驟

（二）作圖舉例第一節(jié)

不定積分的概念

一、不定積分的概念二、基本積分表三、不定積分的性質(zhì)四、直接積分法第三節(jié)

不定積分的第二類換元積分法第二節(jié)

不定積分的第一類換元積分法（湊微分法）

利用基本不定積分公式及性質(zhì)只能求一些簡單的不定積分，對于比較復(fù)雜的不定積分，我們需要其他的方法，下面簡單介紹第一類換元積分法，也稱為湊微分法．第四節(jié)不定積分的分部積分法第一節(jié)定積分的概念

一、引例

（一）曲邊梯形的面積

１．分割

２．近似替代

３．求和

４．求極限

（二）變速直線運動的路程

１．分割二、定積分的概念

２．近似替代

３．求和

４．求極限三、定積分的幾何意義四、定積分的性質(zhì)第二節(jié)微積分基本公式

一、積分變上限函數(shù)二、牛頓萊布尼茲公式（Ｎｅｗｔｏｎｌｅｉｂｎｉｚ）公式第三節(jié)定積分的換元積分法和分部積分法

定積分的換元積分法和分部積分法，就是在以前學(xué)習(xí)的不定積分的第一類還原積分法（湊微分法）和第二類還原積分法及分部積分法的基礎(chǔ)上來求定積分．下面就來討論定積分的這兩種計算方法．一、定積分的第一類換元積分法（湊微分法）二、定積分的換元積分法第四節(jié)無窮區(qū)間上的廣義積分

一、函數(shù)

ｆ（ｘ）在［ａ，＋∞）上的廣義積分三、定積分的分部積分法二、函數(shù)

ｆ（ｘ）在（－∞，ｂ］上的廣義積分三、函數(shù)

ｆ（ｘ）在（－∞，＋∞）上的廣義積分第五節(jié)

定積分在幾何上的應(yīng)用

一、定積分的元素法（微元法）（一）分割（二）近似替代二、定積分在幾何上的應(yīng)用（一）直角坐標(biāo)系下平面圖形的面積（三）求和（四）求極限（二）旋轉(zhuǎn)體的體積四、應(yīng)用題第一節(jié)微分方程的基本概念及可分離變量的微分方程

一、建立微分方程的數(shù)學(xué)模型

二、基本概念

三、可分離變量的微分方程第二節(jié)一階線性微分方程二、非齊次線性微分方程的解法第三節(jié)

二階常系數(shù)齊次線性微分方程

一、齊次線性微分方程的解法

一、二階常系數(shù)線性齊次方程解的結(jié)構(gòu)二、二階常系數(shù)齊次線性方程的解法第四節(jié)

二階常系數(shù)非齊次線性微分方程

一、二階常系數(shù)非齊次線性方程解的結(jié)構(gòu)二、二階常系數(shù)非齊次線性方程的解法第一節(jié)空間直角坐標(biāo)系與向量的概念一、空間直角坐標(biāo)系１．投影點２．對稱點二、空間兩點間的距離公式三、向量的基本概念四、向量的線性運算

１．向量的和

２．向量的減法

３．?dāng)?shù)與向量的乘法運算

４．單位向量：模為１的向量稱為單位向量．第二節(jié)向量的坐標(biāo)表示及其線性運算

一、向量的坐標(biāo)表示

１．向徑的坐標(biāo)表示

２．向量的坐標(biāo)表示二、坐標(biāo)表示下的向量的線性運算三、向量的模、方向余弦及坐標(biāo)表示

１．向量的模

２．向量的方向余弦第三節(jié)數(shù)量積與向量積

一、向量的數(shù)量積（點積）

（一）數(shù)量積的定義（二）用向量的坐標(biāo)來表示數(shù)量積（三）向量ａ與ｂ的夾角余弦二、向量的向量積（叉積）

１．定義

２．向量積的坐標(biāo)表示第四節(jié)平面方程一、點的軌跡方程的概念二、平面及其方程

１．平面的點法式方程２．平面的一般式方程４．幾種特殊位置平面的方程３．平面的截距式方程第五節(jié)直一、直線的一般式方程５．兩個平面的位置關(guān)系二、直線的標(biāo)準(zhǔn)式方程三、直線的參數(shù)方程四、兩條直線的位置關(guān)系第六節(jié)曲面和曲線

一、球面方程

二、柱面方程三、以坐標(biāo)軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面四、幾種特殊的二次曲面１．橢球面方程為２．拋物面３．雙曲面第一節(jié)二元函數(shù)的極限和連續(xù)

一、二元函數(shù)

１．二元函數(shù)的定義

２．二元函數(shù)值記號

３．二元函數(shù)定義域二、二元函數(shù)的極限及其連續(xù)性

１．二函數(shù)的極限

２．二元函數(shù)的連續(xù)性

３．有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)第二節(jié)偏導(dǎo)數(shù)一、偏導(dǎo)數(shù)的概念１．偏導(dǎo)數(shù)的定義

２．偏導(dǎo)數(shù)的求法二、高階偏導(dǎo)數(shù)第三節(jié)全微分第四節(jié)多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法在一元函數(shù)中，我們已經(jīng)知道復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式在求導(dǎo)法中所起的重要作用，對于多元函數(shù)來說也是如此．下面我們來學(xué)習(xí)多元函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式．我們先以二元函數(shù)為例，如下所述．一、全導(dǎo)數(shù)二、多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式第五節(jié)隱函數(shù)求導(dǎo)公式一、二元函數(shù)的情形二、三元函數(shù)的情形第六節(jié)多元函數(shù)的極值在一元函數(shù)中我們看到，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可以求得函數(shù)的極值，從而可以解決一些最大、最小值的應(yīng)用問題．多元函數(shù)也有類似的問題，這里只學(xué)習(xí)二元函數(shù)的極值問題．一、二元函數(shù)極值的定義

二、二元函數(shù)極值判定的方法

三、二元函數(shù)的最大、最小值問題四、條件極值拉格朗日乘數(shù)法第一節(jié)二重積分的概念及性質(zhì)前面我們已經(jīng)知道，定積分與曲邊梯形的面積有關(guān)．下面我們通過曲頂柱體的體積來引出二重積分的概念．一、二重積分的概念

（一）分割（二）近似替代

（三）求和

（四）取極限二、二重積分的定義三、二重積分的幾何意義四、二重積分的性質(zhì)第二節(jié)直角坐標(biāo)系下二重積分的計算第三節(jié)極坐標(biāo)下二重積分的計算一、極坐標(biāo)下二重積分變換公式二、極坐標(biāo)下的二重積分計算法（一）積分區(qū)域Ｄ可表示成下述形式（二）積分區(qū)域Ｄ為下述形式三、使用極坐標(biāo)變換計算二重積分的原則第四節(jié)三重積分及其計算法二重積分的被積函數(shù)是一個二元函數(shù)，它的積分域是一平面區(qū)域．如果考慮三元函數(shù)ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）在一空間區(qū)域（Ｖ）上的積分，就可得到三重積分的概念．一、三重積分概念

二、直角坐標(biāo)系中三重積分的計算方法三、柱面坐標(biāo)系中三重積分的計算法第一節(jié)數(shù)項級數(shù)及其斂散性一、常數(shù)項級數(shù)的概念

二、兩個特殊的級數(shù)１．等比級數(shù)（或稱幾何級數(shù)）三、級數(shù)的基本性質(zhì)第二節(jié)正項級數(shù)及其斂散性第三節(jié)任意項級數(shù)及其審斂法正項級數(shù)只是級數(shù)中的一種情形，級數(shù)還有其他各種形式，即所謂任意項級數(shù)．一、交錯級數(shù)二、絕對收斂與條件收斂第四節(jié)冪級數(shù)及其展開式一、函數(shù)項級數(shù)的一般概念二、冪級數(shù)及其收斂性三、冪級數(shù)的運算性質(zhì)１．冪級數(shù)的加、減及乘法運算２．冪級數(shù)和函數(shù)的性質(zhì)第五節(jié)函數(shù)展開成冪級數(shù)上節(jié)我們討論了冪級數(shù)的收斂性，以及在其收斂區(qū)間內(nèi)冪級數(shù)收斂于一個和函數(shù)．本節(jié)研究另一個問題即對于任意一個函數(shù)ｆ（ｘ）而言，能否將其展開成冪級數(shù)．一、泰勒級數(shù)（Ｔａｙｌｏｒ）二、函數(shù)展開成冪級數(shù)

１．直接展開法第一節(jié)ＭＡＴＬＡＢ簡介一、ＭＡＴＬＡＢ概述

１．ＭＡＴＬＡＢ的運行環(huán)境２．啟動ＭＡＴＬＡＢ系統(tǒng)常見方法：３．在ＭＡＴＬＡＢ軟件中，向?qū)W生介紹啟動ＭＡＴＬＡＢ系統(tǒng)的退出二、ＭＡＴＬＡＢ６．５集成環(huán)境及功能菜單１．Ｎｅｗ用于建立新的ＭＡＴＬＡＢ文件、圖形文件、模型、圖形用戶界面２．Ｅｄｉｔ菜單３．Ｓｔｅｐ：單步調(diào)試４．Ｄｅｓｋｔｏｐ菜單三、ＭＡＴＬＡＢ基本知識

１．基本算術(shù)運算２．點運算３．利用冒號表達式建立一個向量４．一些常用符號在ＭＡＴＬＡＢ運算中的表示四、ＭＡＴＬＡＢ繪圖１．繪制函