高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題01 平行問題的證明(解析版)

第三篇立體幾何專題01平行問題的證明常見考點考點一線面平行的判定典例1．如圖所示，在三棱柱中，為的中點，求證：平面【答案】證明見解析【解析】【分析】連接交于，連接，則由平行四邊形的性質(zhì)和三角形中位線定理可得，然后利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論【詳解】證明：如圖，連接交于，連接，∵四邊形是平行四邊形．∴點為的中點．∵為的中點，∴為的中位線，∴．∵平面，平面，∴平面．變式1-1．如圖所示，平面五邊形可分割成一個邊長為2的等邊三角形ABC和一個直角梯形ACDE，其中AECD，AE＝CD＝AC，∠EAC＝90°，現(xiàn)將直角梯形ACDE沿邊AC折起，使得AE⊥AB，連接BE、BD，設(shè)線段BC的中點為F．求證：AF平面BDE；【答案】證明見解析【解析】【分析】取BD的中點G，連接EG、FG，利用平行四邊形證AFEG，由線面平行的判定可證AF面BDE.【詳解】證明：取BD的中點G，連接EG、FG，由F為BC的中點，∴FGDC且FG＝CD，又AECD且CD＝2AE，∴AEFG且AE＝FG，即四邊形AFGE為平行四邊形，∴AFEG，又面BDE，面BDE，∴AF平面BDE.變式1-2．如圖，四棱錐中，點M、N分別為直線上的點，且滿足，求證：平面.【答案】證明見解析【解析】【分析】通過線線平行來證得平面.【詳解】連接BD，∵，∴，∵平面ABCD，平面ABCD，∴平面.變式1-3．如圖所示，已知正方形.、分別是、的中點，將沿折起.證明平面.【答案】證明見解析.【解析】通過證明，證得平面.【詳解】、分別為正方形的邊、的中點，∴，且，∴四邊形為平行四邊形，∴，∵平面，而平面，∴平面.考點二面面平行的判定典例2．如圖，在四棱錐P－ABCD中，E，F(xiàn)，G分別是PC，PD，BC的中點，DC//AB，求證：平面PAB//平面EFG.【答案】證明見解析【解析】【分析】根據(jù)面面平行的判定定理進行證明.【詳解】由于分別是的中點，所以是三角形的中位線，所以，由于，所以，由于平面，平面，所以平面.由于分別是的中點，所以是三角形的中位線，所以，由于平面，平面，所以平面.由于，所以平面PAB//平面EFG.變式2-1．已知棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，M分別是A1C1，A1D和B1A上任意一點．求證：平面平面.【答案】證明見解析【解析】【分析】通過證明平面平面來證得平面平面.【詳解】根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，由于平面，平面，所以平面.同理可證得平面，由于,所以平面平面，所以平面平面.百世2-2．如圖，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，點D，D1分別在AC，A1C1上，那么當(dāng)點D在什么位置時，平面BC1D∥平面AB1D1【答案】D為AC的中點【解析】【分析】根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理即可求解．【詳解】連接A1B交AB1于點O，連接OD1，由平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面BDC1＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O，因此BC1∥D1O．同理AD1∥DC1，所以＝，＝．又因為＝1，所以＝1，即D為AC的中點．變式2-3．如圖為一簡單組合體，其底面為正方形，棱與均垂直于底面，，求證：平面平面.【答案】見解析【解析】由正方形的性質(zhì)得出，可得出平面，由線面垂直的性質(zhì)定理得出，可得出平面，再利用面面平行的判定定理可證得結(jié)論.【詳解】由于四邊形是正方形，，平面，平面，平面，平面，平面，，平面，平面，平面，，平面平面.【點睛】本題考查面面平行的證明，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題.考點三線面平行的性質(zhì)典例3．如圖，在四棱錐中，平面，四邊形是正方形，，點在棱上，平面．求證：為的中點；【答案】證明見解析【解析】【分析】連接交于點，連接，根據(jù)線面平行的性質(zhì)可得，結(jié)合正方形的性質(zhì)易知是的中點，即是中位線，即可證結(jié)論.【詳解】證明：連接，交于點，連接．∵面，面面，面，面，∴．∵四邊形是正方形，，即是的中點．∴△中是中位線，故為的中點．變式3-1．四面體如圖所示，過棱的中點作平行于，的平面，分別交四面體的棱于點．證明：四邊形是平行四邊形．【答案】見解析．【解析】【分析】根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，分別證得，所以，同理證得.根據(jù)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形可證得結(jié)論.【詳解】由題設(shè)知，∥平面，又平面平面，平面平面，∥，∥，∥．同理∥，∥，∥．故四邊形是平行四邊形．【點睛】本小題主要考查線面平行的性質(zhì)定理的應(yīng)用，考查平行四邊形的判定，屬于基礎(chǔ)題.變式3-2．如圖所示，已知三棱柱ABC-A'B'C'中，D是BC的中點，D'是B'C'的中點，設(shè)平面A'D'B∩平面ABC=a，平面ADC'∩平面A'B'C'=b，判斷直線a，b的位置關(guān)系，并證明．【答案】直線a，b的位置關(guān)系是平行，證明見試題解析．【解析】【分析】根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，分別證得，再證得，利用平行公理，可證得.【詳解】∵平面ABC//平面A'B'C'，平面A'D'B∩平面ABC=a，平面A'D'B∩平面A'B'C'=A'D'，∴A'D'//a，同理可得AD//b．又D是BC的中點，D'是B'C'的中點，∴，而，∴，∴四邊形AA'D'D為平行四邊形，∴A'D'//AD，因此a//b．【點睛】本小題主要考查線面平行的性質(zhì)定理和平行公理的應(yīng)用.要證明線線平行，可以先證兩條直線和第三條直線平行，利用公理，即平行公理可證得兩直線平行.屬于基礎(chǔ)題.變式3-3．如圖，三棱錐被一平面所截，截面為平行四邊形EFGH，求證：平面EFGH．【答案】證明見解析【解析】【分析】根據(jù)線面平行的判定定理、性質(zhì)定理即可得證【詳解】因為四邊形EFGH為平行四邊形，所以，因為平面BCD，平面BCD，所以平面BCD，又因為平面ACD，且平面平面BCD，所以，又因為平面EFGH，平面EFGH，所以平面EFGH考點四面面平行的性質(zhì)典例4．如圖，在三棱錐P－ABC中，D，E，F(xiàn)分別是PA，PB，PC的中點．M是AB上一點，連接MC，N是PM與DE的交點，連接FN，求證：FN∥CM．【答案】見解析．【解析】【分析】先通過中位線，通過線線平行，證得平面平面，在根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理證得.【詳解】因為D，E分別是PA，PB的中點，所以DE∥AB．又DE平面ABC，AB平面ABC，所以DE∥平面ABC，同理DF∥平面ABC，且DE∩DF＝D，所以平面DEF∥平面ABC．又平面PCM∩平面DEF＝FN，平面PCM∩平面ABC＝CM，所以FN∥CM．【點睛】本小題主要考查線線平行的證明、線面平行的證明和面面平行的證明，其中涉及到了線面平行的判定定理、面面平行的判定定理，還有面面平行的性質(zhì)定理.在平行轉(zhuǎn)化的過程中，已知和求之間，用判定定理還是性質(zhì)定理，要看清楚題目所給的條件來判斷.變式4-1．如圖，在棱錐中，，截面底面BDC．已知的周長是18，求的周長．【答案】6【解析】【分析】由面面平行可得線線平行，然后由相似三角形可解.【詳解】因為截面底面BDC，且面面，面面所以，所以又所以同理可得，所以，即所以，，即的周長等于6.變式4-2．如圖，已知平面平面，點P是平面，外一點，且直線PB，PD分別與，相交于點A，B和點C，D．如果，，，求PD的長．【答案】【解析】【分析】根據(jù)面面平行的性質(zhì)，結(jié)合平行線的性質(zhì)進行求解即可【詳解】由題意可知：平面，平面，因為平面平面，所以，因此有.變式4-3．如圖所示，兩條異面直線，與兩平行平面，分別交于點，和，，點，分別是，的中點，求證：平面【答案】證明見解析【解析】【分析】過點作交于點，取的中點，連接，，，，，，根據(jù)面面平行的性質(zhì)得到，，即可得到平面，再利用面面平行的性質(zhì)即可得到平面?！驹斀狻窟^點作交于點，取的中點，連接，，，，，，如圖所示：因為，所以，確定平面.則平面，平面，因為，所以.又分別為，的中點，所以，，，所以.又分別為，的中點，所以，且，所以，因為，所以平面.又平面，所以平面.鞏固練習(xí)練習(xí)一線面平行的判定1．如圖，四棱錐中，O為底面平行四邊形DBCE對角線的交點，F(xiàn)為AE的中點．求證：平面DCF．【答案】證明見解析【解析】【分析】以線面平行判定定理去證明即可.【詳解】連接OFO為底面平行四邊形DBCE對角線的交點，則△中，，，則又平面，平面，則平面DCF．2．如圖所示，在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為DD1，DB的中點.求證：EF平面ABC1D1.【答案】證明見解析【解析】【分析】由E為DD1的中點，F(xiàn)為BD的中點，得EF為△BDD1的中位線，所以EFBD1，從而可證明線面平行.【詳解】如圖，連接BD1，在△BDD1中，因為E為DD1的中點，F(xiàn)為BD的中點，所以EF為△BDD1的中位線，所以EFBD1，又BD1?平面ABC1D1，EF?平面ABC1D1，所以EF平面ABC1D1.3．如圖所示，在四棱錐中，，，，底面，為的中點。求證：平面【答案】證明見解析.【解析】取的中點，連接，由三角形的中位線定理可得∥,，而已知∥，，從而得∥，，所以四邊形為平行四邊形，從而得，再利用線面平行的判定定理可證明【詳解】證明：取的中點，連接因為為的中點，所以∥,，因為∥，，所以∥，，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因為平面，平面，所以平面.4．如圖，四棱錐中，平面，，，，點在線段上，且滿足.求證:平面.【答案】證明見解析【解析】【分析】連結(jié)，連結(jié)，可證，結(jié)合已知可證，即可證明結(jié)論.【詳解】連結(jié)，∵，，,在中，連結(jié)，∵，∴，又面，面，∴面.【點睛】本題考查線線垂直的證明，注意空間垂直之間互相轉(zhuǎn)化，考查線面線平行，屬于基礎(chǔ)題.練習(xí)二面面平行的判定5．如圖，在三棱柱中，、分別是棱、的中點，求證：平面平面．【答案】證明見解析【解析】【分析】設(shè)與的交點為，連結(jié)，證明，再由線面平行的判定可得平面；由為線段的中點，點是的中點，證得四邊形為平行四邊形，得到，進一步得到平面．再由平面，結(jié)合面面平行的判定可得平面平面．【詳解】證明：設(shè)與的交點為，連結(jié)，四邊形為平行四邊形，為中點，又是的中點，是三角形的中位線，則，又平面，平面，平面；為線段的中點，點是的中點，且，則四邊形為平行四邊形，，又平面，平面，平面．又平面，，且平面，平面，平面平面．【點睛】本題考查直線與平面，平面與平面平行的判定，考查空間想象能力與思維能力，屬于中檔題．6．如圖甲，在直角梯形中，，，，、、分別為、、的中點，現(xiàn)將沿折起，如圖乙.求證：平面平面.【答案】證明見解析【解析】分別證明出平面，平面，然后利用面面平行的判定定理可得出平面平面.【詳解】翻折前，在圖甲中，，，，翻折后，在圖乙中，仍有，、、分別為、、的中點，，，，平面，平面，平面.平面，平面，平面.又，平面平面.【點睛】本題考查面面平行的證明，證明時要注意線線位置關(guān)系在翻折前后的變化，考查推理能力，屬于中等題.7．如圖，在三棱錐中，，過A作，垂足為F，點E，G分別是棱SA，SC的中點.求證：平面平面ABC.【答案】證明見解析【解析】由已知可得為中點，點E，G分別是棱SA，SC的中點，可得，證得平面ABC，同理平面ABC，即可證明結(jié)論.【詳解】證明：因為，，垂足為F，所以F是SB的中點.又E是SA的中點，所以.因為平面ABC，平面ABC，所以平面ABC.同理平面ABC.又，平面，所以平面平面ABC.【點睛】本題考查面面平行的證明，屬于基礎(chǔ)題.8．如圖所示，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是菱形，，G是DE的中點.求證：面面BEF.【答案】證明見解析【解析】根據(jù)已知條件可證面BEF，面BEF，即可證明結(jié)論.【詳解】如圖所示，連接BD交AC于點O，連接OG，易知O是BD的中點，故.又面BEF，面BEF，所以面BEF.因為，面BEF，所以面BEF.又AC與OG相交于點O，AC，OG面，所以面面BEF.【點睛】本題考查面面平行的證明，屬于基礎(chǔ)題.練習(xí)三線面平行的性質(zhì)9．如圖，是圓的直徑，點是圓上異于的點，為平面外一點，分別是的中點.記平面與平面的交線為，試判斷直線與平面的位置關(guān)系，并加以證明.【答案】平面，證明見解析.【解析】【分析】利用線面平行的判定定理可得平面，再由線面平行的性質(zhì)定理可得，最后再次根據(jù)線面平行的判定定理可得平面.【詳解】直線平面，證明如下：因為分別是的中點，所以.又平面，且平面，所以平面.而平面，且平面平面，所以.因為平面，平面，所以平面.【點睛】本題考查線面平行的判定與性質(zhì)，解題時注意兩類平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化，本題屬于基礎(chǔ)題.10．如圖，五面體中，四邊形為矩形，平面，，，為中點．求證：平面；【答案】詳見解析.【解析】取中點，連，由平面，可證，進而證明四邊形為平行四邊形，得到，即可證明結(jié)論.【詳解】取中點，連，平面，平面，平面平面為中點，，且，四邊形為平行四邊形，，平面平面，平面.【點睛】本題考查空間點、線、面位置關(guān)系，證明直線與平面平行，要注意直線與平面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.11．如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，是的中點，在上取一點，過點和作平面，交平面于，點在線段上.求證：.【答案】證明見解析【解析】連接交于點，連接，推導(dǎo)出．從而平面．由線面平行的性質(zhì)定理可證明．【詳解】證明：如圖，連接，設(shè)交于點，連接．∵四邊形是平行四邊形，∴是的中點又是的中點，∴.又平面，平面BDM，∴平面又平面，平面平面，∴．【點睛】本題考查線線平行的判定定理和性質(zhì)定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．12．如圖所示，在多面體中，四邊形，，均為正方形，為的中點，過的平面交于.證明：.【答案】見解析【解析】通過四邊形為平行四邊形，可得，利用線面平行的判定定理即得結(jié)論；【詳解】證明：且，四邊形為平行四邊形，，又平面，平面平面，又因為平面平面，平面，；【點睛】本題考查線面平行的判定及性質(zhì)定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.練習(xí)四面面平行的性質(zhì)13．如圖，已知，點P是平面外的一點，直線和分別與相交于B和D.（1）求證：；（2）已知，求的長.【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）由面面平行的性質(zhì)定理得證線線平行；（2）由平行線的性質(zhì)可求得線段長．【詳解】（1），所以確定一個平面，由題意平面，平面，所以；（2）由（1），所以，所以，所以．14．如圖①，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB=BC=AP，D為AP的中點，E，F(xiàn)，G分別為PC，PD，CB的中點，將△PCD沿CD折起，得到四棱錐P-ABCD，如圖②.求證:在四棱錐P-ABCD中，AP平面EFG.【答案】證明見解析.【解析】【分析】通過證明平面平面來證得平面.【詳解】在四棱錐P-ABCD中，E，F(xiàn)分別為PC，PD的中點，∴EFCD.∵ABCD，∴