2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題四 立體幾何 第3講 空間向量與空間角原卷版

第3講空間向量與空間角（新高考專用）目錄目錄【真題自測(cè)】 2【考點(diǎn)突破】 5【考點(diǎn)一】異面直線所成的角 5【考點(diǎn)二】直線與平面的夾角 7【考點(diǎn)三】平面與平面的夾角 9【專題精練】 11考情分析：以空間幾何體為載體考查空間角是高考命題的重點(diǎn)．空間向量是將空間幾何問題坐標(biāo)化的工具，利用空間向量求平面與平面的夾角或線面角是高考熱點(diǎn)，通常以解答題的形式出現(xiàn)，難度中等．真題自測(cè)真題自測(cè)一、解答題1．（2024·全國(guó)·高考真題）如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的五面體中，四邊形ABCD與四邊形ADEF均為等腰梯形，，，，為的中點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)求二面角的正弦值．2．（2024·全國(guó)·高考真題）如圖，平面四邊形ABCD中，，，，，，點(diǎn)E，F(xiàn)滿足，，將沿EF翻折至，使得．(1)證明：；(2)求平面PCD與平面PBF所成的二面角的正弦值．3．（2023·全國(guó)·高考真題）如圖，在正四棱柱中，．點(diǎn)分別在棱,上，．

(1)證明：；(2)點(diǎn)在棱上，當(dāng)二面角為時(shí)，求．4．（2023·全國(guó)·高考真題）如圖，三棱錐中，，，，E為BC的中點(diǎn)．(1)證明：；(2)點(diǎn)F滿足，求二面角的正弦值．5．（2022·全國(guó)·高考真題）如圖，是三棱錐的高，，，E是的中點(diǎn)．

(1)證明：平面；(2)若，，，求二面角的正弦值．6．（2022·全國(guó)·高考真題）在四棱錐中，底面．(1)證明：；(2)求PD與平面所成的角的正弦值．7．（2022·全國(guó)·高考真題）如圖，四面體中，，E為的中點(diǎn)．(1)證明：平面平面；(2)設(shè)，點(diǎn)F在上，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求與平面所成的角的正弦值．8．（2022·全國(guó)·高考真題）如圖，直三棱柱的體積為4，的面積為．(1)求A到平面的距離；(2)設(shè)D為的中點(diǎn)，，平面平面，求二面角的正弦值．考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破【考點(diǎn)一】異面直線所成的角核心梳理：設(shè)異面直線l，m的方向向量分別為a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，異面直線l與m的夾角為θ.則(1)θ∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))；(2)cosθ＝|cos〈a，b〉|＝eq\f(|a·b|,|a||b|)＝eq\f(|a1a2＋b1b2＋c1c2|,\r(a\o\al(2,1)＋b\o\al(2,1)＋c\o\al(2,1))\r(a\o\al(2,2)＋b\o\al(2,2)＋c\o\al(2,2))).一、單選題1．（2024·遼寧沈陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知直三棱柱中，，，，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．2．（2024·河南信陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知三棱柱滿足，，，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2024·四川南充·一模）如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方體中，E為AD的中點(diǎn)，F(xiàn)為的中點(diǎn)，過點(diǎn)、E、B作正方體的截面α，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．三棱錐的體積為B．與所成角的余弦值為C．D．二面角的余弦值為4．（2024·天津薊州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，則下列說法不正確的是（

）A．若在線段上，則的最小值為B．平面被正方體內(nèi)切球所截，則截面面積為C．若與所成的角為，則點(diǎn)的軌跡為橢圓D．對(duì)于給定的點(diǎn)，過有且僅有3條直線與直線所成角為三、填空題5．（2024·廣東·一模）在正方體中，點(diǎn)P、Q分別在、上，且，，則異面直線與所成角的余弦值為6．（23-24高二上·江蘇蘇州·期末）已知圓臺(tái)的高為2，上底面圓的半徑為2，下底面圓的半徑為4，，兩點(diǎn)分別在圓、圓上，若向量與向量的夾角為60°，則直線與直線所成角的大小為．規(guī)律方法：用向量法求異面直線所成的角的一般步驟(1)建立空間直角坐標(biāo)系．(2)用坐標(biāo)表示兩異面直線的方向向量．(3)利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值．(4)注意兩異面直線所成角的范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，即兩異面直線所成角的余弦值等于兩向量夾角的余弦值的絕對(duì)值．【考點(diǎn)二】直線與平面所成的角核心梳理：設(shè)直線l的方向向量為a，平面α的法向量為n，直線l與平面α所成的角為θ，則(1)θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))；(2)sinθ＝|cos〈a，n〉|＝eq\f(|a·n|,|a||n|).一、單選題1．（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）已知正方體的棱長(zhǎng)為，點(diǎn)N是四邊形內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，則DN與平面所成角的正切值的最小值為（

）A． B． C． D．2．（23-24高二上·全國(guó)·期中）PA，PB，PC是從點(diǎn)P引出的三條射線，每?jī)蓷l的夾角均為60°，則直線PC與平面PAB所成角的余弦值為（）A． B． C． D．二、多選題3．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容．用曲率刻畫空間彎曲性，規(guī)定：多面體頂點(diǎn)的曲率等于與多面體在該點(diǎn)的面角和的差（多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制）．已知正三棱臺(tái)中，，棱，的中點(diǎn)分別為，．若該棱臺(tái)頂點(diǎn)，的曲率之差為，則（

）A．B．平面C．直線與平面所成角的正弦值等于D．多面體頂點(diǎn)D的曲率的余弦值等于4．（2024·山西呂梁·三模）已知正方體的棱長(zhǎng)為是空間中的一動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（

）A．若點(diǎn)在正方形內(nèi)部，異面直線與所成角為，則的范圍為B．平面平面C．若，則的最小值為D．若，則平面截正方體所得截面面積的最大值為三、填空題5．（2024·廣東茂名·模擬預(yù)測(cè)）已知四棱柱的底面是正方形，，，點(diǎn)在底面的射影為中點(diǎn)H，則直線與平面所成角的正弦值為．6．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在棱長(zhǎng)為2的正方體中，動(dòng)點(diǎn)，分別在棱，上，且滿足，當(dāng)?shù)捏w積最小時(shí)，與平面所成角的正弦值是．四、解答題7．（24-25高二上·河北張家口·階段練習(xí)）如圖，已知四棱臺(tái)的上、下底面分別是邊長(zhǎng)為2和4的正方形，，且底面，點(diǎn)P、Q分別是棱的中點(diǎn).(1)在底面內(nèi)是否存在點(diǎn)，滿足平面?若存在，請(qǐng)說明點(diǎn)的位置，若不存在，請(qǐng)說明理由；(2)設(shè)平面交棱于點(diǎn)T，平面將四棱臺(tái)分成上，下兩部分，求與平面所成角的正弦值.8．（24-25高三上·安徽·開學(xué)考試）如圖，在三棱臺(tái)中，上?下底面是邊長(zhǎng)分別為4和6的等邊三角形，平面，設(shè)平面平面，點(diǎn)分別在直線和直線上，且滿足.(1)證明：平面；(2)若直線和平面所成角的余弦值為，求該三棱臺(tái)的體積.規(guī)律方法：(1)線面角θ與直線的方向向量a和平面的法向量n所成的角〈a，n〉的關(guān)系是〈a，n〉＋θ＝eq\f(π,2)或〈a，n〉－θ＝eq\f(π,2)，所以應(yīng)用向量法求的是線面角的正弦值，而不是余弦值．(2)利用方程思想求法向量，計(jì)算易出錯(cuò)，要認(rèn)真細(xì)心．【考點(diǎn)三】平面與平面的夾角核心梳理：設(shè)平面α，β的法向量分別為u，v，平面α與平面β的夾角為θ，則(1)θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))；(2)cosθ＝|cos〈u，v〉|＝eq\f(|u·v|,|u||v|).一、單選題1．（2024·江西宜春·模擬預(yù)測(cè)）在正方體中，平面經(jīng)過點(diǎn)，平面經(jīng)過點(diǎn)，當(dāng)平面分別截正方體所得截面面積最大時(shí)，平面與平面的夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．2．（24-25高二上·福建·階段練習(xí)）在矩形中，，，將沿著翻折，使點(diǎn)在平面上的投影恰好在直線AB上，則此時(shí)二面角的余弦值為（

）A． B． C． D．二、多選題3．（23-24高一下·浙江寧波·期中）如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為2，，，分別為，，的中點(diǎn)，以下說法正確的是（

）A．三棱錐的體積為 B．平面C．平面 D．二面角的余弦值為4．（2024·江西景德鎮(zhèn)·三模）正方體的棱長(zhǎng)為6，，分別是棱，的中點(diǎn)，過，，作正方體的截面，則（

）A．該截面是五邊形B．四面體外接球的球心在該截面上C．該截面與底面夾角的正切值為D．該截面將正方體分成兩部分，則較小部分的體積為75三、填空題5．（2024·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)，若沿直線把平面直角坐標(biāo)系折成大小為的二面角后，，則的余弦值為．四、解答題6．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐中，平面，底面為等腰梯形，其中，．(1)證明：平面平面．(2)若，求二面角的余弦值．7．（2024·云南·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知四棱錐中，平面，，．

(1)求證：平面平面；(2)若平面與平面所成角的余弦值為，求線段的長(zhǎng)．規(guī)律方法：平面與平面夾角的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，兩向量夾角的取值范圍是[0，π]，兩平面的夾角與其對(duì)應(yīng)的兩法向量的夾角不一定相等，而是相等或互補(bǔ)．專題精練專題精練一、單選題1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在正方體中，，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．2．（2023·貴州貴陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯采用平面切割圓錐面的方法來研究圓錐曲線，如圖1，設(shè)圓錐軸截面的頂角為，用一個(gè)平面去截該圓錐面，隨著圓錐的軸和所成角的變化，截得的曲線的形狀也不同．據(jù)研究，曲線的離心率為，比如，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)截得的曲線是拋物線．如圖2，在底面半徑為，高為的圓錐中，、是底面圓上互相垂直的直徑，是母線上一點(diǎn)，，平面截該圓錐面所得的曲線的離心率為（

）

A． B． C． D．二、多選題3．（2024·廣東·三模）已知正方體的棱長(zhǎng)為分別為棱的中點(diǎn)，則（

）A．三棱錐的體積為B．與所成的角為C．過三點(diǎn)的平面截正方體所得截面圖形為等腰梯形D．平面與平面夾角的正切值為4．（2024·重慶·三模）如圖，已知正方體中，分別為棱、的中點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．四點(diǎn)共面 B．與異面C． D．RS與所成角為5．（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）已知正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為，高為，記異面直線與所成角為，則（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則6．（2024·江蘇連云港·模擬預(yù)測(cè)）在棱長(zhǎng)為2的正方體中，E，F(xiàn)，G分別為棱，CD，的中點(diǎn)，則（

）A．B．平面EFG截正方體所得到的截面面積是C．直線AB和直線與平面EFG所成的角相等D．點(diǎn)E到平面BFG的距離為三、填空題7．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐中，平面，，，四邊形為直角梯形，，，給出下列結(jié)論：①平面；②三棱錐的外接球的表面積為；③異面直線與所成角的余弦值為；④直線與平面所成角的正弦值為.則所有正確結(jié)論的序號(hào)是.8．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在正四棱錐中，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，，異面直線所成角的余弦值為，則正四棱錐的高為，外接球的表面積為．四、解答題9．（2024·浙江嘉興·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為6的正方形，側(cè)面底面，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上且.(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成的角的正弦值.10．（2024·安徽·一模）如圖，四棱錐中，底面是矩形，，，，M是