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第2講基本初等函數(shù)、函數(shù)與方程(新高考專(zhuān)用)目錄目錄【真題自測(cè)】 2【考點(diǎn)突破】 3【考點(diǎn)一】基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì) 3【考點(diǎn)二】函數(shù)的零點(diǎn) 4【考點(diǎn)三】函數(shù)模型及其應(yīng)用 6【專(zhuān)題精練】 8考情分析:1.基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)是高考考查的重點(diǎn),利用函數(shù)性質(zhì)比較大小、解不等式是常見(jiàn)題型.2.函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)判斷及參數(shù)范圍是常考題型,常以壓軸題的形式出現(xiàn).3.函數(shù)模型及應(yīng)用是近幾年高考的熱點(diǎn),通??疾橹笖?shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)模型.真題自測(cè)真題自測(cè)一、單選題1.(2023·全國(guó)·高考真題)已知是偶函數(shù),則(
)A. B. C.1 D.22.(2023·全國(guó)·高考真題)設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,則的取值范圍是(
)A. B.C. D.3.(2024·全國(guó)·高考真題)設(shè)函數(shù),,當(dāng)時(shí),曲線與恰有一個(gè)交點(diǎn),則(
)A. B. C.1 D.24.(2022·全國(guó)·高考真題)已知,則(
)A. B. C. D.5.(2023·全國(guó)·高考真題)已知函數(shù).記,則(
)A. B. C. D.6.(2022·全國(guó)·高考真題)設(shè),則(
)A. B. C. D.7.(2024·全國(guó)·高考真題)設(shè)函數(shù),若,則的最小值為(
)A. B. C. D.1二、多選題8.(2023·全國(guó)·高考真題)噪聲污染問(wèn)題越來(lái)越受到重視.用聲壓級(jí)來(lái)度量聲音的強(qiáng)弱,定義聲壓級(jí),其中常數(shù)是聽(tīng)覺(jué)下限閾值,是實(shí)際聲壓.下表為不同聲源的聲壓級(jí):聲源與聲源的距離聲壓級(jí)燃油汽車(chē)10混合動(dòng)力汽車(chē)10電動(dòng)汽車(chē)1040已知在距離燃油汽車(chē)、混合動(dòng)力汽車(chē)、電動(dòng)汽車(chē)處測(cè)得實(shí)際聲壓分別為,則(
).A. B.C. D.三、填空題9.(2024·全國(guó)·高考真題)已知且,則.10.(2022·全國(guó)·高考真題)若是奇函數(shù),則,.11.(2024·全國(guó)·高考真題)曲線與在上有兩個(gè)不同的交點(diǎn),則的取值范圍為.12.(2023·全國(guó)·高考真題)設(shè),若函數(shù)在上單調(diào)遞增,則a的取值范圍是.考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破【考點(diǎn)一】基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)核心梳理:指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)與對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,且a≠1)互為反函數(shù),其圖象關(guān)于y=x對(duì)稱(chēng),它們的圖象和性質(zhì)分0<a<1,a>1兩種情況,著重關(guān)注兩種函數(shù)圖象的異同.一、單選題1.(2024·山東·一模)函數(shù),則y=fx的部分圖象大致形狀是(
)A. B.C. D.2.(2024·江西南昌·三模)若,,,則正數(shù)大小關(guān)系是()A. B.C. D.二、多選題3.(2024·福建廈門(mén)·模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?,且,則(
)A. B.C.為奇函數(shù) D.在上具有單調(diào)性4.(2023·湖南·模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù),則(
)A.的最小值為1 B.,C. D.三、填空題5.(2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí))已知.若冪函數(shù)為奇函數(shù),且在上遞減,則.6.(2023·河南·二模)已知,,則.規(guī)律方法:(1)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)受底數(shù)a的影響,解決與指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題時(shí),首先要看底數(shù)a的取值范圍.(2)基本初等函數(shù)的圖象和性質(zhì)是統(tǒng)一的,在解題中可相互轉(zhuǎn)化.【考點(diǎn)二】函數(shù)的零點(diǎn)核心梳理:判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法(1)利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理判斷.(2)代數(shù)法:求方程f(x)=0的實(shí)數(shù)根.(3)幾何法:對(duì)于不易求根的方程,將它與函數(shù)y=f(x)的圖象聯(lián)系起來(lái),利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn)或利用兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)求解.在利用函數(shù)性質(zhì)時(shí),可用求導(dǎo)的方法判斷函數(shù)的單調(diào)性.一、單選題1.(2024·廣東·模擬預(yù)測(cè))函數(shù)在開(kāi)區(qū)間的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為(
)A. B. C. D.2.(23-24高三下·北京·階段練習(xí))函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)所在的區(qū)間是(
)A. B. C. D.二、多選題3.(2024·山東濰坊·一模)函數(shù)()的圖象如圖所示,則(
)A.的最小正周期為B.是奇函數(shù)C.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)D.若()在上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn),則4.(2024·安徽·三模)已知函數(shù)其中,且,則(
)A. B.函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)C. D.三、填空題5.(23-24高三上·河南·階段練習(xí))已知函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào),則m的取值范圍是.6.(2023·天津?yàn)I海新·三模)已知函數(shù),若函數(shù)在上恰有三個(gè)不同的零點(diǎn),則的取值范圍是.規(guī)律方法:利用函數(shù)零點(diǎn)的情況求參數(shù)值(或取值范圍)的三種方法【考點(diǎn)三】函數(shù)模型及其應(yīng)用核心梳理:解函數(shù)應(yīng)用題的步驟(1)審題:縝密審題,準(zhǔn)確理解題意,分清條件和結(jié)論,理清數(shù)量關(guān)系.(2)建模:將自然語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言,將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言,利用數(shù)學(xué)知識(shí),建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型.(3)求模:求解數(shù)學(xué)模型,得出數(shù)學(xué)結(jié)論.(4)反饋:將得到的數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實(shí)際問(wèn)題的意義.一、單選題1.(2024·湖北·一模)某公司引進(jìn)新的生產(chǎn)設(shè)備投入生產(chǎn),新設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的總利潤(rùn)(單位:百萬(wàn)元)與新設(shè)備運(yùn)行的時(shí)間(單位:年,)滿足,當(dāng)新設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的年平均利潤(rùn)最大時(shí),新設(shè)備運(yùn)行的時(shí)間(
)A. B. C. D.2.(2021·四川·二模)單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)道路上指定斷面的車(chē)輛數(shù)被稱(chēng)為“道路容量”,與道路設(shè)施、交通服務(wù)、環(huán)境、氣候等諸多條件相關(guān).假設(shè)某條道路一小時(shí)通過(guò)的車(chē)輛數(shù)滿足關(guān)系,其中為安全距離,為車(chē)速.當(dāng)安全距離取時(shí),該道路一小時(shí)“道路容量”的最大值約為(
)A.135 B.149C.165 D.195二、多選題3.(23-24高三上·貴州貴陽(yáng)·期中)聲強(qiáng)級(jí)(單位:)由公式給出,其中為聲強(qiáng)(單位:),不同聲的聲強(qiáng)級(jí)如下,則(
)()正常人能忍受最高聲強(qiáng)正常人能忍受最低聲強(qiáng)正常人平時(shí)談話聲強(qiáng)某人談話聲強(qiáng)()120080A. B. C. D.4.(2024·湖南長(zhǎng)沙·模擬預(yù)測(cè))氚,亦稱(chēng)超重氫,是氫的同位素之一,它的原子核由一個(gè)質(zhì)子和兩個(gè)中子組成,并帶有放射性,會(huì)發(fā)生衰變,其半衰期是12.43年.樣本中氚的質(zhì)量隨時(shí)間(單位:年)的衰變規(guī)律滿足,其中表示氚原有的質(zhì)量,則(
)(參考數(shù)據(jù):)A.B.經(jīng)過(guò)年后,樣本中的氚元素會(huì)全部消失C.經(jīng)過(guò)年后,樣本中的氚元素變?yōu)樵瓉?lái)的D.若年后,樣本中氚元素的含量為,則三、填空題5.(2024·北京海淀·三模)深度學(xué)習(xí)是人工智能的一種具有代表性的實(shí)現(xiàn)方法,它是以神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為出發(fā)點(diǎn)的,在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化中,指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型為,其中L表示每一輪優(yōu)化時(shí)使用的學(xué)習(xí)率,表示初始學(xué)習(xí)率,D表示衰減系數(shù),G表示訓(xùn)練迭代輪數(shù),表示衰減速度.已知某個(gè)指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型的初始學(xué)習(xí)率為0.5,衰減速度為18,且當(dāng)訓(xùn)練迭代輪數(shù)為18時(shí),學(xué)習(xí)率衰減為0.4,則學(xué)習(xí)率衰減到0.2以下(不含0.2)所需的訓(xùn)練迭代輪數(shù)至少為.(參考數(shù)據(jù):()6.(2024·上海長(zhǎng)寧·二模)甲、乙、丙三輛出租車(chē)2023年運(yùn)營(yíng)的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表:甲乙丙接單量t(單)783182258338油費(fèi)s(元)107150110264110376平均每單里程k(公里)151515平均每公里油費(fèi)a(元)0.70.70.7出租車(chē)空駛率;依據(jù)以上數(shù)據(jù),小明建立了求解三輛車(chē)的空駛率的模型,并求得甲、乙、丙的空駛率分別為,則(精確到0.01)規(guī)律方法:構(gòu)建函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的失分點(diǎn)(1)不能選擇相應(yīng)變量得到函數(shù)模型.(2)構(gòu)建的函數(shù)模型有誤.(3)忽視函數(shù)模型中變量的實(shí)際意義.專(zhuān)題精練專(zhuān)題精練一、單選題1.(2024·江西景德鎮(zhèn)·三模)已知函數(shù)是奇函數(shù),則時(shí),的解析式為(
)A. B. C. D.2.(2023·湖南長(zhǎng)沙·模擬預(yù)測(cè))要測(cè)定古物的年代,可以用放射性碳法:在動(dòng)植物的體內(nèi)都含有微量的放射性.動(dòng)植物死亡后,停止了新陳代謝,不再產(chǎn)生,且原來(lái)的會(huì)自動(dòng)衰變.經(jīng)過(guò)5730年,它的殘余量只有原始量的一半.現(xiàn)用放射性碳法測(cè)得某古物中含量占原來(lái)的,推算該古物約是年前的遺物(參考數(shù)據(jù):),則實(shí)數(shù)的值為(
)A.12302 B.13304 C.23004 D.240343.(2023·山東菏澤·三模)已知函數(shù)在上為奇函數(shù),則不等式的解集滿足(
)A. B. C. D.4.(23-24高三上·北京·期中)近年來(lái)純電動(dòng)汽車(chē)越來(lái)越受消費(fèi)者的青睞,新型動(dòng)力電池迎來(lái)了蓬勃發(fā)展的風(fēng)口.Peukert于1898年提出蓄電池的容量(單位:),放電時(shí)間(單位:)與放電電流(單位:)之間關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)公式:,其中為Peukert常數(shù).為測(cè)算某蓄電池的Peukert常數(shù),在電池容量不變的條件下,當(dāng)放電電流時(shí),放電時(shí)間;當(dāng)放電電流時(shí),放電時(shí)間.若計(jì)算時(shí)取,則該蓄電池的Peukert常數(shù)大約為(
)A.1.25 B.1.5 C.1.67 D.25.(2024·河北滄州·模擬預(yù)測(cè))某企業(yè)的廢水治理小組積極探索改良工藝,致力于使排放的廢水中含有的污染物數(shù)量逐漸減少.已知改良工藝前排放的廢水中含有的污染物數(shù)量為,首次改良工藝后排放的廢水中含有的污染物數(shù)量為,第n次改良工藝后排放的廢水中含有的污染物數(shù)量滿足函數(shù)模型(,),其中為改良工藝前排放的廢水中含有的污染物數(shù)量,為首次改良工藝后排放的廢水中含有的污染物數(shù)量,n為改良工藝的次數(shù).假設(shè)廢水中含有的污染物數(shù)量不超過(guò)時(shí)符合廢水排放標(biāo)準(zhǔn),若該企業(yè)排放的廢水符合排放標(biāo)準(zhǔn),則改良工藝的次數(shù)最少為(
)(參考數(shù)據(jù):,)A.12 B.13 C.14 D.156.(2023·浙江寧波·一模)已知函數(shù)的零點(diǎn)分別為,則(
)A. B.C. D.7.(2024·四川達(dá)州·二模)定義在上的奇函數(shù),滿足,當(dāng)時(shí),,若,則(
)A. B. C. D.8.(2024·四川綿陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)方程有兩個(gè)不同的根,分別是則(
)A. B.3 C.6 D.9二、多選題9.(23-24高一上·重慶·期末)已知函數(shù),若存在四個(gè)不同的值,使得,則下列結(jié)論正確的是(
)A. B.C. D.10.(2024·云南曲靖·二模)已知集合,定義,則下列命題正確的是(
)A.若,則與的全部元素之和等于3874B.若表示實(shí)數(shù)集,表示正實(shí)數(shù)集,則C.若表示實(shí)數(shù)集,則D.若表示正實(shí)數(shù)集,函數(shù),則2049屬于函數(shù)的值域11.(2024·江蘇·一模)已知,且,,則(
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