2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專項(xiàng)訓(xùn)練10 零點(diǎn)問(wèn)題（解析版）

2025二輪復(fù)習(xí)專項(xiàng)訓(xùn)練10零點(diǎn)問(wèn)題[考情分析]在近幾年的高考中，函數(shù)與方程、不等式的交匯是考查的熱點(diǎn)，常以指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)以及三角函數(shù)為載體考查函數(shù)的零點(diǎn)(方程的根)問(wèn)題，難度較大，多以壓軸題出現(xiàn)．【練前疑難講解】一、判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)(1)如果函數(shù)中沒(méi)有參數(shù)，一階導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值點(diǎn)，判斷極值點(diǎn)大于0、小于0的情況，進(jìn)而判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)．(2)如果函數(shù)中含有參數(shù)，往往一階導(dǎo)數(shù)的正負(fù)不好判斷，先對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類，再判斷導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，如果分類也不好判斷，那么需要二次求導(dǎo)，判斷二階導(dǎo)數(shù)的正負(fù)時(shí)，也可能需要分類．二、由零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍已知零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍時(shí)(1)根據(jù)區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)估計(jì)函數(shù)圖象的大致形狀，從而推導(dǎo)出導(dǎo)數(shù)需要滿足的條件，進(jìn)而求出參數(shù)滿足的條件．(2)也可以先求導(dǎo)，通過(guò)求導(dǎo)分析函數(shù)的單調(diào)性，再依據(jù)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)情況，推導(dǎo)出函數(shù)本身需要滿足的條件，此時(shí)，由于函數(shù)比較復(fù)雜，常常需要構(gòu)造新函數(shù)，通過(guò)多次求導(dǎo)，層層推理得解．一、單選題1．（2023·全國(guó)·高考真題）函數(shù)存在3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)恰有一個(gè)零點(diǎn)，且，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多選題3．（23-24高二下·四川遂寧·階段練習(xí)）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．函數(shù)存在三個(gè)不同的零點(diǎn)B．函數(shù)既存在極大值又存在極小值C．若時(shí)，，則的最小值為D．若方程有兩個(gè)實(shí)根，則4．（2024·重慶·一模）已知函數(shù)，則在有兩個(gè)不同零點(diǎn)的充分不必要條件可以是（

）A． B．C． D．三、填空題5．（2024·四川瀘州·二模）若函數(shù)有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．6．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若方程有三個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.四、解答題7．（2024·浙江杭州·二模）已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，（?。┣髮?shí)數(shù)的取值范圍；（ⅱ）證明：函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)．8．（22-23高三上·河北唐山·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍；(2)設(shè)是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：.參考答案：題號(hào)1234答案BABDBCD1．B【分析】寫出，并求出極值點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為極大值大于0且極小值小于0即可.【詳解】，則，若要存在3個(gè)零點(diǎn)，則要存在極大值和極小值，則，令，解得或，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，故的極大值為，極小值為，若要存在3個(gè)零點(diǎn)，則，即，解得，故選：B.2．A【分析】先將函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，然后利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義及建立關(guān)于的不等式，即可得解.【詳解】由可得，要使恰有一個(gè)零點(diǎn)，只需函數(shù)的圖象與直線相切.設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為.由，可得，則切線方程為，即，故需使.由可得，解得.故選：A3．BD【分析】求導(dǎo)后，結(jié)合f'x正負(fù)可得單調(diào)性；利用零點(diǎn)存在定理可說(shuō)明零點(diǎn)個(gè)數(shù)，知A錯(cuò)誤；根據(jù)極值定義可知B正確；采用數(shù)形結(jié)合的方式可求得CD正誤.【詳解】定義域?yàn)镽，，當(dāng)時(shí)，f'x<0；當(dāng)時(shí)，f'∴fx在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；對(duì)于A，，，，∴fx在區(qū)間和內(nèi)各存在一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，，恒成立；∴fx有且僅有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，A對(duì)于B，由單調(diào)性可知：的極小值為，極大值為，B正確；對(duì)于C，，作出圖象如下圖所示，可知方程存在另一個(gè)解，若當(dāng)時(shí)，，則，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，方程有兩個(gè)實(shí)根等價(jià)于與有兩個(gè)不同交點(diǎn)，作出圖象如下圖所示，結(jié)合圖象可知：，D正確.故選：BD.4．BCD【分析】將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，令，利用導(dǎo)數(shù)討論的單調(diào)性，求出，由在有2個(gè)不同零點(diǎn)的充要條件為，從而作出判斷.【詳解】因?yàn)椋?，則，令，則，注意到，令，解得，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，則，且當(dāng)趨近于或時(shí)，都趨近于，若在有2個(gè)不同零點(diǎn)的充要條件為函數(shù)與圖象在第一象限有2個(gè)交點(diǎn)，所以，即有2個(gè)零點(diǎn)的充要條件為，若符合題意，則對(duì)應(yīng)的取值范圍為的真子集，結(jié)合選項(xiàng)可知：A錯(cuò)誤，BCD正確；故選：BCD.5．【分析】利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)的最大值，依題意只需，即可求出參數(shù)的取值范圍.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，又，所以?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，又時(shí)，時(shí)，又函數(shù)有零點(diǎn)，所以，即，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：6．【分析】通過(guò)求導(dǎo)得出函數(shù)的單調(diào)性和極值，即可得出有三個(gè)實(shí)根時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由題意，在中，，當(dāng)時(shí)，解得或，當(dāng)即時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)即，時(shí)，單調(diào)遞增，∵，，當(dāng)，方程有三個(gè)不同的實(shí)根，∴即，故答案為：.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)求導(dǎo)，兩函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，在研究函數(shù)的圖象時(shí)很容易忽略這個(gè)條件.7．(1)答案見(jiàn)解析；(2)（?。唬áⅲ┳C明見(jiàn)解析【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再分、、三種情況，分別求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）（?。┯桑?）直接解得；（ⅱ）結(jié)合函數(shù)的最值與零點(diǎn)存在性定理證明即可.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，恒成立，所以在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，令，即，解得，，因?yàn)椋?，則，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，此時(shí)，所以時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．綜上可得：當(dāng)時(shí)在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）（ⅰ）由（1）可知．（ⅱ）由（1）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，在處取得極小值，又，所以，則，又，又，所以在上沒(méi)有零點(diǎn)，又，則，則，，則，所以，所以在上存在一個(gè)零點(diǎn)，綜上可得函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)．8．(1)(2)證明過(guò)程見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)定義，結(jié)合常變量分離法、構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)所證明不等式的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造新函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】（1），該方程有兩個(gè)不等實(shí)根，由，所以直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同交點(diǎn)，由，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，因此，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，如下圖所示：所以要想有兩個(gè)不同交點(diǎn)，只需，即的取值范圍為；（2）因?yàn)槭呛瘮?shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，所以，由（1）可知：，不妨設(shè)，要證明，只需證明，顯然，由（2）可知：當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以只需證明，而，所以證明即可，即證明函數(shù)在時(shí)恒成立，由，顯然當(dāng)時(shí)，，因此函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，有，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，因此命題得以證明.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：常變量分離構(gòu)造新函數(shù)，利用新函數(shù)的單調(diào)性求解證明是解題的關(guān)鍵.【基礎(chǔ)保分訓(xùn)練】一、單選題1．（23-24高二下·遼寧本溪·期中）若過(guò)點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，則（

）A． B．C． D．2．（22-23高三上·山東濟(jì)南·期末）已知函數(shù),關(guān)于的方程至少有三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)解,則的取值范圍是（

）A． B．C． D．3．（23-24高二上·湖南長(zhǎng)沙·期末）已知函數(shù)，若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題4．（24-25高三上·江西九江·開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)，則（

）A．1是的極小值點(diǎn)B．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C．有3個(gè)零點(diǎn)D．當(dāng)時(shí)，5．（2023·山東德州·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（

）A．若函數(shù)無(wú)極值點(diǎn)，則沒(méi)有零點(diǎn)B．若函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，則沒(méi)有極值點(diǎn)C．若函數(shù)恰有一個(gè)零點(diǎn)，則可能恰有一個(gè)極值點(diǎn)D．若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則一定有兩個(gè)極值點(diǎn)6．（2023·吉林通化·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，下列結(jié)論中正確的是（

）A．是的極小值點(diǎn)B．有三個(gè)零點(diǎn)C．曲線與直線只有一個(gè)公共點(diǎn)D．函數(shù)為奇函數(shù)三、填空題7．（24-25高三上·四川成都·開(kāi)學(xué)考試）設(shè)函數(shù)，若有三個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是．8．（2023·廣東廣州·一模）若過(guò)點(diǎn)只可以作曲線的一條切線，則的取值范圍是.9．（23-24高二下·北京朝陽(yáng)·期中）已知函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是四、解答題10．（24-25高三上·北京·開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)求的零點(diǎn)個(gè)數(shù).(3)在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn)，求的范圍?11．（22-23高三上·湖北·期末）已知函數(shù)．(1)若，求的極小值．(2)討論函數(shù)的單調(diào)性；(3)當(dāng)時(shí)，證明：有且只有個(gè)零點(diǎn)．12．（23-24高二上·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)當(dāng)，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若有三個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．參考答案：題號(hào)123456答案BCAABADABC1．B【分析】設(shè)切點(diǎn)點(diǎn)，寫出切線方程，將點(diǎn)代入切線方程得，此方程有兩個(gè)不同的解，利用導(dǎo)數(shù)求b的范圍.【詳解】在曲線上任取一點(diǎn)，，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.由題意可知，點(diǎn)在直線上，可得，令函數(shù)，則.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增，所以.設(shè)，所以，所以當(dāng)時(shí)，h'x>0，hx當(dāng)時(shí)，h'x<0，hx所以，所以，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，的圖象如圖：由題意可知，直線與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則.故選：B2．C【分析】畫出圖象,解方程可得,或,因?yàn)?根據(jù)圖象分類討論,或時(shí),時(shí),時(shí),三種情況下根的情況即可.【詳解】解:由題知,(且),所以,故在上,,單調(diào)遞減,且,即,在上,,單調(diào)遞減,在上,,單調(diào)遞增,有,畫圖象如下:

由至少有三互不相等的實(shí)數(shù)解,即至少有三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)解,即或至少有三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)解,由圖可知,當(dāng)或時(shí),與有一個(gè)交點(diǎn),即有一個(gè)實(shí)數(shù)解,此時(shí)需要至少有兩個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)解,即,解得故或;當(dāng)時(shí),無(wú)解,舍;當(dāng)時(shí),,此時(shí)有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)解,有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)解,共四個(gè)不等實(shí)數(shù)解,滿足題意.綜上:或.故選:C3．A【分析】函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)的圖象與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，由導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、極值，由函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)得的范圍.【詳解】函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)的圖象與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，函數(shù)的定義域?yàn)镽，,令，解得，,的變化情況如下表：-0+單調(diào)遞減單調(diào)遞增所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，有極小值，令gx=0，解得當(dāng)時(shí)，gx<0；當(dāng)時(shí)，gx當(dāng)無(wú)限趨向于負(fù)無(wú)窮大時(shí)，無(wú)限趨向于0；當(dāng)無(wú)限趨向于正無(wú)窮大時(shí)時(shí)，無(wú)限趨向于正無(wú)窮大，由此作出函數(shù)的大致圖象：由圖象得：當(dāng)時(shí)，交點(diǎn)為0個(gè)；當(dāng)或時(shí)，交點(diǎn)為1個(gè)；當(dāng)時(shí)，交點(diǎn)為2個(gè).若函數(shù)的圖象與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則由圖可知，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：A.4．AB【分析】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值點(diǎn)判斷選項(xiàng)A；通過(guò)證明得函數(shù)圖象的對(duì)稱點(diǎn)判斷選項(xiàng)B；利用函數(shù)單調(diào)性判斷選項(xiàng)C；利用單調(diào)性比較函數(shù)值的大小判斷選項(xiàng)D.【詳解】對(duì)于A，函數(shù)，，令，解得或，故當(dāng)時(shí)f'x>0，當(dāng)x∈0,1時(shí)，f'x則在上單調(diào)遞增，在0,1上單調(diào)遞減，在1,+∞上單調(diào)遞增，故1是的極小值點(diǎn)，故A正確：對(duì)于B，因?yàn)?，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故B正確；對(duì)于C，，易知的單調(diào)性一致，而，故至多有2個(gè)零點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，而在上單調(diào)遞增，故，故D錯(cuò)誤.故選：AB.5．AD【分析】畫出可能圖象，結(jié)合圖象判斷選項(xiàng)即可.【詳解】

，設(shè)若函數(shù)無(wú)極值點(diǎn)則，則，此時(shí)，即，所以，沒(méi)有零點(diǎn)，如圖①；若函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，則有，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，先正再負(fù)再正，原函數(shù)先增再減再增，故有極值點(diǎn)，如圖②；若函數(shù)恰有一個(gè)零點(diǎn)，則，此時(shí)，先正再負(fù)再正，原函數(shù)先增再減再增，有兩個(gè)極值點(diǎn)，如圖③；若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則，此時(shí)，先正再負(fù)再正，函數(shù)先增再減再增，有兩個(gè)極值點(diǎn)，如圖④；所以AD正確.故選：AD.6．ABC【分析】對(duì)于A，利用導(dǎo)數(shù)，結(jié)合極小值點(diǎn)的定義，可得答案；對(duì)于B，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)的存在性定理，可得答案；對(duì)于C，根據(jù)切線的求解方程，利用導(dǎo)數(shù)檢測(cè)，可得直線為函數(shù)的切線，結(jié)合圖象，可得答案；對(duì)于D，整理函數(shù)解析式，利用奇函數(shù)的定義，可得答案.【詳解】由函數(shù)，則求導(dǎo)可得，令，解得或，可得下表：極大值極小值則是的極小值點(diǎn)，故A正確；，，由，，顯然函數(shù)在分別存在一個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)存在三個(gè)零點(diǎn)，故B正確；聯(lián)立，消去可得，化簡(jiǎn)可得，則該方程組存在唯一實(shí)根，故C正確；令，，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.7．【分析】根據(jù)分段函數(shù)得出根，再應(yīng)用指對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化結(jié)合換元法求解即可.【詳解】因?yàn)椋?/p>

且,零滿足點(diǎn)，即，故目標(biāo)式，令且，則上式，令，則，，故在內(nèi)單調(diào)遞增，則.故答案為：8．【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則得切線方程，過(guò)點(diǎn)，則，構(gòu)造函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性及取值情況，即可得的取值范圍.【詳解】解：函數(shù)的定義域?yàn)?，則，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則切線斜率為，故切線方程為：，又切線過(guò)點(diǎn)，則，設(shè)，則得，或，則當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以，又時(shí)，，時(shí)，，所以有且只有一個(gè)根，且，則，故的取值范圍是.故答案為：.9．【分析】由題意可得即有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)解，令，求出導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間、極值、最值，畫出圖象，通過(guò)圖象即可得到結(jié)論.【詳解】函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于即有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)解，令，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在處取極大值，極大值為，且極大值也為的最大值；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，畫出的圖象如下：由圖可得當(dāng)時(shí)，與有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)；故答案為：10．(1)的單調(diào)減區(qū)間為：；單調(diào)增區(qū)間為：，(2)1個(gè)(3)【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)正負(fù)與原函數(shù)的關(guān)系求解即可；（2）結(jié)合(1)問(wèn)的單調(diào)性，求出函數(shù)的值域，結(jié)合零點(diǎn)存在定理即可求解.（3）將零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)交點(diǎn)問(wèn)題，求出在區(qū)間上的值域即可求解.【詳解】（1）由題可得：，令，解得：或，令f'x<0令，解得：或；所以的單調(diào)減區(qū)間為：；單調(diào)增區(qū)間為：，（2）因?yàn)榈膯握{(diào)減區(qū)間為：；單調(diào)增區(qū)間為：，，由于，則在上無(wú)零點(diǎn)；由于，則在上無(wú)零點(diǎn)；由于，則在上存在唯一零點(diǎn)；綜上，函數(shù)在上存在唯一零點(diǎn).（3）若在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)與在區(qū)間上有兩個(gè)交點(diǎn)；由(1)知，在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減；，，，所以函數(shù)與在區(qū)間上有兩個(gè)交點(diǎn)，則，即在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn)，則的范圍為11．(1)(2)答案見(jiàn)解析(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）先求導(dǎo)，判斷函數(shù)單調(diào)性，找到極小值點(diǎn)，求出極小值.（2）求出，再求導(dǎo)，根據(jù)分類討論，判斷函數(shù)單調(diào)性.（3）由導(dǎo)數(shù)為零，可找出極值點(diǎn)及單調(diào)區(qū)間，取并判斷符號(hào)，根據(jù)零點(diǎn)存在定理可得結(jié)論.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)椋?，在區(qū)間遞減；在區(qū)間遞增．所以當(dāng)時(shí)，取得極小值．（2）的定義域?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，恒成立，所以即在上遞增．當(dāng)時(shí)，在區(qū)間即遞減；在區(qū)間即遞增．（3）當(dāng)時(shí)，，由（2）知，在上遞增，，所以存在使得，即．在區(qū)間，遞減；在區(qū)間遞增．所以當(dāng)時(shí)，取得極小值也即最小值為，由于，所以．，，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可知在區(qū)間和，各有個(gè)零點(diǎn)，所以有個(gè)零點(diǎn)．12．(1)單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為(2)【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可得到答案；（2）由，把函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為，兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，令，利用導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，進(jìn)而結(jié)合函數(shù)圖象得到實(shí)數(shù)的取值范圍．【詳解】（1）將代入可得，其定義域?yàn)镽，則.和都在R上增函數(shù)，所以在R上單調(diào)遞增且，因此，當(dāng)時(shí)，f'x<0，函數(shù)當(dāng)x∈0,+∞時(shí)，f'綜上所述，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為0,+∞．（2）（2）由得，，令，則，時(shí)，單調(diào)遞減；時(shí)，單調(diào)遞增；x∈2,+∞時(shí)，由單調(diào)性可知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，取得極小值，即；當(dāng)時(shí)，取得極大值，即.所以y=gx和的大致圖象如下：綜上所述，若有三個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為．【能力提升訓(xùn)練】一、單選題1．（2023·河北石家莊·一模）已知在上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2023·四川成都·二模）已知函數(shù),若關(guān)于的方程有且僅有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，，若函數(shù)恰有6個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題4．（23-24高二下·山東濟(jì)寧·期中）已知函數(shù)，則（

）A．有兩個(gè)極值點(diǎn)B．有一個(gè)零點(diǎn)C．點(diǎn)是曲線的對(duì)稱中心D．直線是曲線的切線5．（23-24高三下·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）已知三次函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，函數(shù).則（

）A．B．若成等差數(shù)列，則C．若恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則D．若有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則6．（2023·湖南·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則下列選項(xiàng)正確的有（

）A．函數(shù)的極大值為1B．函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為C．當(dāng)時(shí)，方程恰有2個(gè)不等實(shí)根D．當(dāng)時(shí)，方程恰有3個(gè)不等實(shí)根三、填空題7．（2023·山東濟(jì)寧·一模）已知函數(shù)，若在上有解，則的最小值.8．（22-23高三下·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，則的最小值為．9．（23-24高三上·江蘇蘇州·開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，，，且，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是；的值為.四、解答題10．（2022·天津·高考真題）已知，函數(shù)(1)求曲線y=fx在處的切線方程；(2)若曲線y=fx和y=g（i）當(dāng)時(shí)，求的取值范圍；（ii）求證：．11．（24-25高三上·廣東·開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍；(3)若對(duì)任意恒成立，求的取值范圍.12．（2023·廣東梅州·一模）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若，討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).參考答案：題號(hào)123456答案DAAABCABDBD1．D【分析】將問(wèn)題化為與有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性、值域，即可求參數(shù)范圍.【詳解】由，則，故，要使原方程在有兩個(gè)不等實(shí)根，即與有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，由，令，則，，則，所以在上遞增，上遞減，故，又趨向于0時(shí)，趨向負(fù)無(wú)窮，趨向于正無(wú)窮時(shí)，趨向0，所以，要使與有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則，所以.故選：D2．A【分析】令，方程可化為或有四個(gè)不同實(shí)數(shù)根，借助導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性與最值，數(shù)形結(jié)合即可判斷的取值范圍．【詳解】設(shè)，則，又，所以，則或．①當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)得．當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減．因?yàn)椋裕?，?dāng)且時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．②當(dāng)時(shí)，，，根據(jù)以上信息，作出函數(shù)的大致圖象如圖所示．

觀察圖像可得：函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象僅有1個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，則，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．故選：A3．A【分析】先利用導(dǎo)數(shù)研究當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象和性質(zhì)，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及絕對(duì)值的意義作出函數(shù)的大致圖象，然后根據(jù)題意及一元二次方程根的分布得到關(guān)于的不等式，解不等式即可得到實(shí)數(shù)的取值范圍．【詳解】當(dāng)時(shí)，，，令，得，當(dāng)時(shí)，f'x>0，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，f'x<0，又，，當(dāng)趨近于時(shí)，趨近于0，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及絕對(duì)值的意義可作出函數(shù)的圖象如圖所示．

令，則，數(shù)形結(jié)合可知要使hx有6個(gè)零點(diǎn)，則有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根、，不妨令，有如下兩種情況：若，但，故排除此種情況，若，對(duì)于二次函數(shù)開(kāi)口向上，又，則，得，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決此類問(wèn)題需注意以下幾點(diǎn)：（1）會(huì)轉(zhuǎn)化，即會(huì)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程的根的問(wèn)題，然后利用函數(shù)、方程、不等式的關(guān)系進(jìn)行解答；（2）會(huì)作圖，即會(huì)根據(jù)基本初等函數(shù)的圖象、圖象的平移變換法則或函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系畫出相關(guān)函數(shù)的大致圖象；（3）會(huì)觀察，即會(huì)利用數(shù)形結(jié)合思想列方程（組）或不等式（組）．4．ABC【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合極值點(diǎn)的概念、零點(diǎn)的存在性定理即可判斷AB；根據(jù)奇函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱和函數(shù)圖象的平移變換即可判斷C；根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可判斷D.【詳解】A：，令得或，令得，所以在，上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，所以時(shí)取得極值，故A正確；B：因?yàn)?，，，所以函?shù)只在上有一個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，故B正確；C：令，該函數(shù)的定義域?yàn)?，，則是奇函數(shù)，是的對(duì)稱中心，將的圖象向上移動(dòng)一個(gè)單位得到的圖象，所以點(diǎn)是曲線的對(duì)稱中心，故C正確；D：令，可得，又，當(dāng)切點(diǎn)為時(shí)，切線方程為，當(dāng)切點(diǎn)為時(shí)，切線方程為，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)圖象的平移變換，其中選項(xiàng)C，構(gòu)造函數(shù)，奇函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱推出的對(duì)稱性是解決本題的關(guān)鍵.5．ABD【分析】對(duì)于A，由題意可得有兩個(gè)不同實(shí)根，則由即可判斷；對(duì)于B，若成等差數(shù)列，則，從而結(jié)合即可判斷；對(duì)于C，若恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則或必為極值點(diǎn)，分類討論即可判斷；對(duì)于D，由韋達(dá)定理即可判斷.【詳解】，，，對(duì)稱中心為，對(duì)A：因?yàn)橛腥齻€(gè)零點(diǎn)，所以必有兩個(gè)極值點(diǎn)，所以，，A正確；對(duì)B，由成等差數(shù)列，及三次函數(shù)的中心對(duì)稱性可知，所以，又，故，所以，所以，故B正確；對(duì)C：，即，若恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則或必為極值點(diǎn)；若為極值點(diǎn)，則該方程的三個(gè)根為，，，由一元三次方程的韋達(dá)定理可知：；若為極值點(diǎn)，同理可得，故C錯(cuò)；對(duì)D：由韋達(dá)定理，得，即，故D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：判斷C選項(xiàng)得關(guān)鍵是得出或必為極值點(diǎn)，由此即可順利得解.6．BD【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討極大值判斷A；利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程判斷B；分析函數(shù)性質(zhì)并結(jié)合函數(shù)圖象判斷CD作答.【詳解】對(duì)于A：，在區(qū)間，上，，單調(diào)遞增，在區(qū)間上，，單調(diào)遞減，所以的極大值為，A錯(cuò)誤；對(duì)于B：，，則函數(shù)圖象在點(diǎn)處的切線方程為，即，B正確；對(duì)于C、D：因?yàn)樵谏线f增，在上遞減，，，在上遞增，且在上的取值集合為，在上的取值集合為，因此函數(shù)在上的取值集合為，的極大值為，的極小值為，作出函數(shù)的部分圖象，如圖，觀察圖象知，當(dāng)或時(shí)，有1個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)或時(shí)有2個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，有3個(gè)實(shí)數(shù)根，C錯(cuò)誤，D正確.故選：BD【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：研究方程根的情況，可以通過(guò)轉(zhuǎn)化，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等，借助數(shù)形結(jié)合思想分析問(wèn)題，使問(wèn)題的求解有一個(gè)清晰、直觀的整體展現(xiàn).7．【分析】確定點(diǎn)在直線上，，設(shè)，求導(dǎo)得到導(dǎo)函數(shù)，確定單調(diào)區(qū)間計(jì)算最值得到答案.【詳解】設(shè)函數(shù)在上的零點(diǎn)為，則，所以點(diǎn)在直線上.設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則，其最小值就是到直線的距離的平方，所以，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；所以，，所以的最小值為.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求最值，零點(diǎn)問(wèn)題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中將轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離的平方，再利用導(dǎo)數(shù)求最值是解題的關(guān)鍵.8．【分析】設(shè)零點(diǎn)為，將方程看作點(diǎn)在直線上，而的最小值代表含義即是直線到點(diǎn)的距離，根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式列式求解即可.【詳解】設(shè)函數(shù)的零點(diǎn)為，則，則點(diǎn)在直線上．因?yàn)榱泓c(diǎn)存在，則，即，令，，令，，當(dāng)時(shí)，,單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，所以，的最小值為．故答案為：【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：某函數(shù)出現(xiàn)零點(diǎn)與雙參數(shù)問(wèn)題時(shí)，常見(jiàn)思路為將零點(diǎn)當(dāng)作常數(shù)，則零點(diǎn)所對(duì)應(yīng)方程就成為關(guān)于雙參數(shù)的直線方程，將所求問(wèn)題轉(zhuǎn)換為該直線與某點(diǎn)的位置關(guān)系問(wèn)題進(jìn)行求解.（注意：雖然零點(diǎn)在找直線方程時(shí)當(dāng)作常數(shù)看待，但得到問(wèn)題所需解析式后，零點(diǎn)取值范圍將影響解析式取值范圍，這也就是零點(diǎn)范圍的作用.）9．1【分析】①令，則方程有兩個(gè)不等的實(shí)根，，數(shù)形結(jié)合，根據(jù)的圖象得出結(jié)果；②由韋達(dá)定理代入求值即可.【詳解】由，令，∴，令，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，.作出大致圖象如下，要使原方程有三個(gè)不同的零點(diǎn)，

（*）式關(guān)于t的一元二次方程有兩個(gè)不等的實(shí)根，，其中，，令，∴，

且，，，∴，故答案為：；1.【點(diǎn)睛】求解復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的方法：(1)此類問(wèn)題與函數(shù)圖象結(jié)合較為緊密，在處理問(wèn)題的開(kāi)始要作出兩個(gè)圖像；(2)若已知零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的范圍，則先估計(jì)關(guān)于的方程中解的個(gè)數(shù)再根據(jù)個(gè)數(shù)與的圖像特點(diǎn)，決定參數(shù)的范圍.10．(1)(2)（i）；（ii）證明見(jiàn)解析【分析】（1）求出可求切線方程；（2）（i）當(dāng)時(shí)，曲線和有公共點(diǎn)即為在上有零點(diǎn)，求導(dǎo)后分類討論結(jié)合零點(diǎn)存在定理可求.（ii）曲線和有公共點(diǎn)即，利用點(diǎn)到直線的距離得到，利用導(dǎo)數(shù)可證，從而可得不等式成立.【詳解】（1），故，而，曲線在點(diǎn)處的切線方程為即.（2）（i）當(dāng)時(shí)，因?yàn)榍€和有公共點(diǎn)，故有解，設(shè)，故，故在上有解，設(shè)，故在上有零點(diǎn)，而，若，則恒成立，此時(shí)在上無(wú)零點(diǎn)，若，則在上恒成立，故在上為增函數(shù)，而，，故在上無(wú)零點(diǎn)，故，設(shè)，則，故在上為增函數(shù)，而，，故在上存在唯一零點(diǎn)，且時(shí)，；時(shí)，；故時(shí)，；時(shí)，；所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，故，因?yàn)樵谏嫌辛泓c(diǎn)，故，故，而，故即，設(shè)，則，故在上為增函數(shù)，而，故.（ii）因?yàn)榍€和有公共點(diǎn)，所以有解，其中，若，則，該式不成立，故.故，考慮直線，表示原點(diǎn)與直線上的動(dòng)點(diǎn)之間的距離，故，所以，下證：對(duì)任意，總有，證明：當(dāng)時(shí)，有，故成立.當(dāng)時(shí)，即證，設(shè)，則（不恒為零），故在上為減函數(shù)，故即成立.綜上，成立.下證：當(dāng)時(shí)，恒成立，，則，故在上為增函數(shù)，故即恒成立.下證：在上恒成立，即證：，即證：，即證：，而，故成立.故，即成立.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)背景下零點(diǎn)問(wèn)題，注意利用函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合零點(diǎn)存在定理來(lái)處理，而多變量的不等式的成立問(wèn)題，注意從幾何意義取構(gòu)建不等式關(guān)系，再利用分析法來(lái)證明目