2025年高考數(shù)學二輪復習 專項訓練10 零點問題（解析版）

2025二輪復習專項訓練10零點問題[考情分析]在近幾年的高考中，函數(shù)與方程、不等式的交匯是考查的熱點，常以指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及三角函數(shù)為載體考查函數(shù)的零點(方程的根)問題，難度較大，多以壓軸題出現(xiàn)．【練前疑難講解】一、判斷零點個數(shù)問題利用導數(shù)研究函數(shù)的零點(1)如果函數(shù)中沒有參數(shù)，一階導數(shù)求出函數(shù)的極值點，判斷極值點大于0、小于0的情況，進而判斷函數(shù)零點個數(shù)．(2)如果函數(shù)中含有參數(shù)，往往一階導數(shù)的正負不好判斷，先對參數(shù)進行分類，再判斷導數(shù)的符號，如果分類也不好判斷，那么需要二次求導，判斷二階導數(shù)的正負時，也可能需要分類．二、由零點個數(shù)求參數(shù)范圍已知零點個數(shù)求參數(shù)范圍時(1)根據(jù)區(qū)間上零點的個數(shù)估計函數(shù)圖象的大致形狀，從而推導出導數(shù)需要滿足的條件，進而求出參數(shù)滿足的條件．(2)也可以先求導，通過求導分析函數(shù)的單調(diào)性，再依據(jù)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點情況，推導出函數(shù)本身需要滿足的條件，此時，由于函數(shù)比較復雜，常常需要構(gòu)造新函數(shù)，通過多次求導，層層推理得解．一、單選題1．（2023·全國·高考真題）函數(shù)存在3個零點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)恰有一個零點，且，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多選題3．（23-24高二下·四川遂寧·階段練習）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．函數(shù)存在三個不同的零點B．函數(shù)既存在極大值又存在極小值C．若時，，則的最小值為D．若方程有兩個實根，則4．（2024·重慶·一模）已知函數(shù)，則在有兩個不同零點的充分不必要條件可以是（

）A． B．C． D．三、填空題5．（2024·四川瀘州·二模）若函數(shù)有零點，則實數(shù)的取值范圍是．6．（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)，若方程有三個不同的實根，則實數(shù)的取值范圍是.四、解答題7．（2024·浙江杭州·二模）已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)有兩個極值點，（?。┣髮崝?shù)的取值范圍；（ⅱ）證明：函數(shù)有且只有一個零點．8．（22-23高三上·河北唐山·階段練習）已知函數(shù).(1)若函數(shù)有兩個零點，求的取值范圍；(2)設(shè)是函數(shù)的兩個極值點，證明：.參考答案：題號1234答案BABDBCD1．B【分析】寫出，并求出極值點，轉(zhuǎn)化為極大值大于0且極小值小于0即可.【詳解】，則，若要存在3個零點，則要存在極大值和極小值，則，令，解得或，且當時，，當，，故的極大值為，極小值為，若要存在3個零點，則，即，解得，故選：B.2．A【分析】先將函數(shù)的零點問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點問題，然后利用導數(shù)的幾何意義及建立關(guān)于的不等式，即可得解.【詳解】由可得，要使恰有一個零點，只需函數(shù)的圖象與直線相切.設(shè)切點坐標為.由，可得，則切線方程為，即，故需使.由可得，解得.故選：A3．BD【分析】求導后，結(jié)合f'x正負可得單調(diào)性；利用零點存在定理可說明零點個數(shù)，知A錯誤；根據(jù)極值定義可知B正確；采用數(shù)形結(jié)合的方式可求得CD正誤.【詳解】定義域為R，，當時，f'x<0；當時，f'∴fx在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；對于A，，，，∴fx在區(qū)間和內(nèi)各存在一個零點；當時，，，恒成立；∴fx有且僅有兩個不同的零點，A對于B，由單調(diào)性可知：的極小值為，極大值為，B正確；對于C，，作出圖象如下圖所示，可知方程存在另一個解，若當時，，則，C錯誤；對于D，方程有兩個實根等價于與有兩個不同交點，作出圖象如下圖所示，結(jié)合圖象可知：，D正確.故選：BD.4．BCD【分析】將問題轉(zhuǎn)化為，令，利用導數(shù)討論的單調(diào)性，求出，由在有2個不同零點的充要條件為，從而作出判斷.【詳解】因為，令，則，令，則，注意到，令，解得，所以當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，則，且當趨近于或時，都趨近于，若在有2個不同零點的充要條件為函數(shù)與圖象在第一象限有2個交點，所以，即有2個零點的充要條件為，若符合題意，則對應(yīng)的取值范圍為的真子集，結(jié)合選項可知：A錯誤，BCD正確；故選：BCD.5．【分析】利用導數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)的最大值，依題意只需，即可求出參數(shù)的取值范圍.【詳解】函數(shù)的定義域為，又，所以當時，當時，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，又時，時，又函數(shù)有零點，所以，即，所以實數(shù)的取值范圍是.故答案為：6．【分析】通過求導得出函數(shù)的單調(diào)性和極值，即可得出有三個實根時實數(shù)的取值范圍.【詳解】由題意，在中，，當時，解得或，當即時，單調(diào)遞減，當即，時，單調(diào)遞增，∵，，當，方程有三個不同的實根，∴即，故答案為：.【點睛】易錯點點點睛：本題考查函數(shù)求導，兩函數(shù)的交點問題，在研究函數(shù)的圖象時很容易忽略這個條件.7．(1)答案見解析；(2)（?。?；（ⅱ）證明見解析【分析】（1）求出函數(shù)的導函數(shù)，再分、、三種情況，分別求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）（?。┯桑?）直接解得；（ⅱ）結(jié)合函數(shù)的最值與零點存在性定理證明即可.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，且，當時，恒成立，所以在單調(diào)遞減；當時，令，即，解得，，因為，所以，則，所以當時，當時，當時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當時，此時，所以時，當時，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．綜上可得：當時在單調(diào)遞減；當時在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當時在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）（?。┯桑?）可知．（ⅱ）由（1）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，在處取得極小值，又，所以，則，又，又，所以在上沒有零點，又，則，則，，則，所以，所以在上存在一個零點，綜上可得函數(shù)有且只有一個零點．8．(1)(2)證明過程見解析.【分析】（1）根據(jù)函數(shù)零點定義，結(jié)合常變量分離法、構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導數(shù)的性質(zhì)進行求解即可；（2）根據(jù)所證明不等式的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造新函數(shù)，結(jié)合導數(shù)的性質(zhì)進行求解即可.【詳解】（1），該方程有兩個不等實根，由，所以直線與函數(shù)的圖象有兩個不同交點，由，當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，因此，當時，，當，，如下圖所示：所以要想有兩個不同交點，只需，即的取值范圍為；（2）因為是函數(shù)的兩個極值點，所以，由（1）可知：，不妨設(shè)，要證明，只需證明，顯然，由（2）可知：當時，單調(diào)遞增，所以只需證明，而，所以證明即可，即證明函數(shù)在時恒成立，由，顯然當時，，因此函數(shù)單調(diào)遞減，所以當時，有，所以當時，恒成立，因此命題得以證明.【點睛】關(guān)鍵點睛：常變量分離構(gòu)造新函數(shù)，利用新函數(shù)的單調(diào)性求解證明是解題的關(guān)鍵.【基礎(chǔ)保分訓練】一、單選題1．（23-24高二下·遼寧本溪·期中）若過點可以作曲線的兩條切線，則（

）A． B．C． D．2．（22-23高三上·山東濟南·期末）已知函數(shù),關(guān)于的方程至少有三個互不相等的實數(shù)解,則的取值范圍是（

）A． B．C． D．3．（23-24高二上·湖南長沙·期末）已知函數(shù)，若函數(shù)有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題4．（24-25高三上·江西九江·開學考試）已知函數(shù)，則（

）A．1是的極小值點B．的圖象關(guān)于點對稱C．有3個零點D．當時，5．（2023·山東德州·模擬預測）已知函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（

）A．若函數(shù)無極值點，則沒有零點B．若函數(shù)無零點，則沒有極值點C．若函數(shù)恰有一個零點，則可能恰有一個極值點D．若函數(shù)有兩個零點，則一定有兩個極值點6．（2023·吉林通化·模擬預測）已知函數(shù)，下列結(jié)論中正確的是（

）A．是的極小值點B．有三個零點C．曲線與直線只有一個公共點D．函數(shù)為奇函數(shù)三、填空題7．（24-25高三上·四川成都·開學考試）設(shè)函數(shù)，若有三個零點，則的取值范圍是．8．（2023·廣東廣州·一模）若過點只可以作曲線的一條切線，則的取值范圍是.9．（23-24高二下·北京朝陽·期中）已知函數(shù)恰有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是四、解答題10．（24-25高三上·北京·開學考試）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)求的零點個數(shù).(3)在區(qū)間上有兩個零點，求的范圍?11．（22-23高三上·湖北·期末）已知函數(shù)．(1)若，求的極小值．(2)討論函數(shù)的單調(diào)性；(3)當時，證明：有且只有個零點．12．（23-24高二上·湖南長沙·階段練習）已知函數(shù)．(1)當，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若有三個零點，求的取值范圍．參考答案：題號123456答案BCAABADABC1．B【分析】設(shè)切點點，寫出切線方程，將點代入切線方程得，此方程有兩個不同的解，利用導數(shù)求b的范圍.【詳解】在曲線上任取一點，，所以曲線在點處的切線方程為.由題意可知，點在直線上，可得，令函數(shù)，則.當時，，此時單調(diào)遞減，當時，，此時單調(diào)遞增，所以.設(shè)，所以，所以當時，h'x>0，hx當時，h'x<0，hx所以，所以，所以，當時，，所以，當時，，所以，的圖象如圖：由題意可知，直線與的圖象有兩個交點，則.故選：B2．C【分析】畫出圖象,解方程可得,或,因為,根據(jù)圖象分類討論,或時,時,時,三種情況下根的情況即可.【詳解】解:由題知,(且),所以,故在上,,單調(diào)遞減,且,即,在上,,單調(diào)遞減,在上,,單調(diào)遞增,有,畫圖象如下:

由至少有三互不相等的實數(shù)解,即至少有三個互不相等的實數(shù)解,即或至少有三個互不相等的實數(shù)解,由圖可知,當或時,與有一個交點,即有一個實數(shù)解,此時需要至少有兩個互不相等的實數(shù)解,即,解得故或;當時,無解,舍;當時,,此時有兩個不等實數(shù)解,有兩個不等實數(shù)解,共四個不等實數(shù)解,滿足題意.綜上:或.故選:C3．A【分析】函數(shù)有兩個零點，即函數(shù)的圖象與的圖象有兩個交點，由導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、極值，由函數(shù)圖象的交點個數(shù)得的范圍.【詳解】函數(shù)有兩個零點，即函數(shù)的圖象與的圖象有兩個交點，函數(shù)的定義域為R，,令，解得，,的變化情況如下表：-0+單調(diào)遞減單調(diào)遞增所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故當時，有極小值，令gx=0，解得當時，gx<0；當時，gx當無限趨向于負無窮大時，無限趨向于0；當無限趨向于正無窮大時時，無限趨向于正無窮大，由此作出函數(shù)的大致圖象：由圖象得：當時，交點為0個；當或時，交點為1個；當時，交點為2個.若函數(shù)的圖象與的圖象有兩個交點，則由圖可知，實數(shù)的取值范圍為.故選：A.4．AB【分析】利用導數(shù)求函數(shù)極值點判斷選項A；通過證明得函數(shù)圖象的對稱點判斷選項B；利用函數(shù)單調(diào)性判斷選項C；利用單調(diào)性比較函數(shù)值的大小判斷選項D.【詳解】對于A，函數(shù)，，令，解得或，故當時f'x>0，當x∈0,1時，f'x則在上單調(diào)遞增，在0,1上單調(diào)遞減，在1,+∞上單調(diào)遞增，故1是的極小值點，故A正確：對于B，因為，所以的圖象關(guān)于點對稱，故B正確；對于C，，易知的單調(diào)性一致，而，故至多有2個零點，故C錯誤；對于D，當時，，而在上單調(diào)遞增，故，故D錯誤.故選：AB.5．AD【分析】畫出可能圖象，結(jié)合圖象判斷選項即可.【詳解】

，設(shè)若函數(shù)無極值點則，則，此時，即，所以，沒有零點，如圖①；若函數(shù)無零點，則有，此時，當時，先正再負再正，原函數(shù)先增再減再增，故有極值點，如圖②；若函數(shù)恰有一個零點，則，此時，先正再負再正，原函數(shù)先增再減再增，有兩個極值點，如圖③；若函數(shù)有兩個零點，則，此時，先正再負再正，函數(shù)先增再減再增，有兩個極值點，如圖④；所以AD正確.故選：AD.6．ABC【分析】對于A，利用導數(shù)，結(jié)合極小值點的定義，可得答案；對于B，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點的存在性定理，可得答案；對于C，根據(jù)切線的求解方程，利用導數(shù)檢測，可得直線為函數(shù)的切線，結(jié)合圖象，可得答案；對于D，整理函數(shù)解析式，利用奇函數(shù)的定義，可得答案.【詳解】由函數(shù)，則求導可得，令，解得或，可得下表：極大值極小值則是的極小值點，故A正確；，，由，，顯然函數(shù)在分別存在一個零點，即函數(shù)存在三個零點，故B正確；聯(lián)立，消去可得，化簡可得，則該方程組存在唯一實根，故C正確；令，，故D錯誤.故選：ABC.7．【分析】根據(jù)分段函數(shù)得出根，再應(yīng)用指對數(shù)轉(zhuǎn)化結(jié)合換元法求解即可.【詳解】因為，所以

且,零滿足點，即，故目標式，令且，則上式，令，則，，故在內(nèi)單調(diào)遞增，則.故答案為：8．【分析】根據(jù)導數(shù)幾何意義，設(shè)切點坐標為，則得切線方程，過點，則，構(gòu)造函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性及取值情況，即可得的取值范圍.【詳解】解：函數(shù)的定義域為，則，設(shè)切點坐標為，則切線斜率為，故切線方程為：，又切線過點，則，設(shè)，則得，或，則當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以，又時，，時，，所以有且只有一個根，且，則，故的取值范圍是.故答案為：.9．【分析】由題意可得即有兩個不等的實數(shù)解，令，求出導數(shù)和單調(diào)區(qū)間、極值、最值，畫出圖象，通過圖象即可得到結(jié)論.【詳解】函數(shù)恰有兩個零點等價于即有兩個不等的實數(shù)解，令，，當時，，在上單調(diào)遞減；當時，，在上單調(diào)遞增；當時，，在處取極大值，極大值為，且極大值也為的最大值；當時，，當時，，畫出的圖象如下：由圖可得當時，與有兩個交點，即方程有兩個實數(shù)根，函數(shù)有兩個零點；故答案為：10．(1)的單調(diào)減區(qū)間為：；單調(diào)增區(qū)間為：，(2)1個(3)【分析】（1）對函數(shù)求導，利用導數(shù)正負與原函數(shù)的關(guān)系求解即可；（2）結(jié)合(1)問的單調(diào)性，求出函數(shù)的值域，結(jié)合零點存在定理即可求解.（3）將零點問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)交點問題，求出在區(qū)間上的值域即可求解.【詳解】（1）由題可得：，令，解得：或，令f'x<0令，解得：或；所以的單調(diào)減區(qū)間為：；單調(diào)增區(qū)間為：，（2）因為的單調(diào)減區(qū)間為：；單調(diào)增區(qū)間為：，，由于，則在上無零點；由于，則在上無零點；由于，則在上存在唯一零點；綜上，函數(shù)在上存在唯一零點.（3）若在區(qū)間上有兩個零點，則函數(shù)與在區(qū)間上有兩個交點；由(1)知，在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減；，，，所以函數(shù)與在區(qū)間上有兩個交點，則，即在區(qū)間上有兩個零點，則的范圍為11．(1)(2)答案見解析(3)證明見解析【分析】（1）先求導，判斷函數(shù)單調(diào)性，找到極小值點，求出極小值.（2）求出，再求導，根據(jù)分類討論，判斷函數(shù)單調(diào)性.（3）由導數(shù)為零，可找出極值點及單調(diào)區(qū)間，取并判斷符號，根據(jù)零點存在定理可得結(jié)論.【詳解】（1）當時，的定義域為，，在區(qū)間遞減；在區(qū)間遞增．所以當時，取得極小值．（2）的定義域為，．令，當時，恒成立，所以即在上遞增．當時，在區(qū)間即遞減；在區(qū)間即遞增．（3）當時，，由（2）知，在上遞增，，所以存在使得，即．在區(qū)間，遞減；在區(qū)間遞增．所以當時，取得極小值也即最小值為，由于，所以．，，根據(jù)零點存在性定理可知在區(qū)間和，各有個零點，所以有個零點．12．(1)單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為(2)【分析】（1）利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可得到答案；（2）由，把函數(shù)的零點個數(shù)問題等價轉(zhuǎn)化為，兩個函數(shù)的交點個數(shù)問題，令，利用導數(shù)法研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，進而結(jié)合函數(shù)圖象得到實數(shù)的取值范圍．【詳解】（1）將代入可得，其定義域為R，則.和都在R上增函數(shù)，所以在R上單調(diào)遞增且，因此，當時，f'x<0，函數(shù)當x∈0,+∞時，f'綜上所述，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為0,+∞．（2）（2）由得，，令，則，時，單調(diào)遞減；時，單調(diào)遞增；x∈2,+∞時，由單調(diào)性可知，當時，；當時，；當時，取得極小值，即；當時，取得極大值，即.所以y=gx和的大致圖象如下：綜上所述，若有三個零點，則的取值范圍為．【能力提升訓練】一、單選題1．（2023·河北石家莊·一模）已知在上有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2023·四川成都·二模）已知函數(shù),若關(guān)于的方程有且僅有4個不同的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．3．（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)，，若函數(shù)恰有6個零點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題4．（23-24高二下·山東濟寧·期中）已知函數(shù)，則（

）A．有兩個極值點B．有一個零點C．點是曲線的對稱中心D．直線是曲線的切線5．（23-24高三下·重慶沙坪壩·階段練習）已知三次函數(shù)有三個不同的零點，函數(shù).則（

）A．B．若成等差數(shù)列，則C．若恰有兩個不同的零點，則D．若有三個不同的零點，則6．（2023·湖南·模擬預測）函數(shù)（e為自然對數(shù)的底數(shù)），則下列選項正確的有（

）A．函數(shù)的極大值為1B．函數(shù)的圖象在點處的切線方程為C．當時，方程恰有2個不等實根D．當時，方程恰有3個不等實根三、填空題7．（2023·山東濟寧·一模）已知函數(shù)，若在上有解，則的最小值.8．（22-23高三下·重慶沙坪壩·階段練習）已知函數(shù)在區(qū)間上存在零點，則的最小值為．9．（23-24高三上·江蘇蘇州·開學考試）已知函數(shù)有三個不同的零點，，，且，則實數(shù)a的取值范圍是；的值為.四、解答題10．（2022·天津·高考真題）已知，函數(shù)(1)求曲線y=fx在處的切線方程；(2)若曲線y=fx和y=g（i）當時，求的取值范圍；（ii）求證：．11．（24-25高三上·廣東·開學考試）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若有兩個零點，求的取值范圍；(3)若對任意恒成立，求的取值范圍.12．（2023·廣東梅州·一模）已知函數(shù).(1)當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若，討論函數(shù)的零點個數(shù).參考答案：題號123456答案DAAABCABDBD1．D【分析】將問題化為與有兩個不同的交點，利用導數(shù)研究單調(diào)性、值域，即可求參數(shù)范圍.【詳解】由，則，故，要使原方程在有兩個不等實根，即與有兩個不同的交點，由，令，則，，則，所以在上遞增，上遞減，故，又趨向于0時，趨向負無窮，趨向于正無窮時，趨向0，所以，要使與有兩個不同的交點，則，所以.故選：D2．A【分析】令，方程可化為或有四個不同實數(shù)根，借助導數(shù)研究的單調(diào)性與最值，數(shù)形結(jié)合即可判斷的取值范圍．【詳解】設(shè)，則，又，所以，則或．①當時，，求導得．當時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增；當時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減．因為，所以．又，當且時，；當時，．②當時，，，根據(jù)以上信息，作出函數(shù)的大致圖象如圖所示．

觀察圖像可得：函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象僅有1個交點，所以函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有3個交點，則，所以實數(shù)的取值范圍為．故選：A3．A【分析】先利用導數(shù)研究當時，函數(shù)的圖象和性質(zhì)，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的圖象及絕對值的意義作出函數(shù)的大致圖象，然后根據(jù)題意及一元二次方程根的分布得到關(guān)于的不等式，解不等式即可得到實數(shù)的取值范圍．【詳解】當時，，，令，得，當時，f'x>0，單調(diào)遞增，當時，f'x<0，又，，當趨近于時，趨近于0，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的圖象及絕對值的意義可作出函數(shù)的圖象如圖所示．

令，則，數(shù)形結(jié)合可知要使hx有6個零點，則有兩個不相等的實數(shù)根、，不妨令，有如下兩種情況：若，但，故排除此種情況，若，對于二次函數(shù)開口向上，又，則，得，綜上，實數(shù)的取值范圍是．故選：A【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決此類問題需注意以下幾點：（1）會轉(zhuǎn)化，即會將問題轉(zhuǎn)化為方程的根的問題，然后利用函數(shù)、方程、不等式的關(guān)系進行解答；（2）會作圖，即會根據(jù)基本初等函數(shù)的圖象、圖象的平移變換法則或函數(shù)與導數(shù)的關(guān)系畫出相關(guān)函數(shù)的大致圖象；（3）會觀察，即會利用數(shù)形結(jié)合思想列方程（組）或不等式（組）．4．ABC【分析】利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合極值點的概念、零點的存在性定理即可判斷AB；根據(jù)奇函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱和函數(shù)圖象的平移變換即可判斷C；根據(jù)導數(shù)的幾何意義即可判斷D.【詳解】A：，令得或，令得，所以在，上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，所以時取得極值，故A正確；B：因為，，，所以函數(shù)只在上有一個零點，即函數(shù)只有一個零點，故B正確；C：令，該函數(shù)的定義域為，，則是奇函數(shù)，是的對稱中心，將的圖象向上移動一個單位得到的圖象，所以點是曲線的對稱中心，故C正確；D：令，可得，又，當切點為時，切線方程為，當切點為時，切線方程為，故D錯誤.故選：ABC.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)圖象的平移變換，其中選項C，構(gòu)造函數(shù)，奇函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱推出的對稱性是解決本題的關(guān)鍵.5．ABD【分析】對于A，由題意可得有兩個不同實根，則由即可判斷；對于B，若成等差數(shù)列，則，從而結(jié)合即可判斷；對于C，若恰有兩個零點，則或必為極值點，分類討論即可判斷；對于D，由韋達定理即可判斷.【詳解】，，，對稱中心為，對A：因為有三個零點，所以必有兩個極值點，所以，，A正確；對B，由成等差數(shù)列，及三次函數(shù)的中心對稱性可知，所以，又，故，所以，所以，故B正確；對C：，即，若恰有兩個零點，則或必為極值點；若為極值點，則該方程的三個根為，，，由一元三次方程的韋達定理可知：；若為極值點，同理可得，故C錯；對D：由韋達定理，得，即，故D正確.故選：ABD.【點睛】關(guān)鍵點點睛：判斷C選項得關(guān)鍵是得出或必為極值點，由此即可順利得解.6．BD【分析】求出函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)探討極大值判斷A；利用導數(shù)的幾何意義求出切線方程判斷B；分析函數(shù)性質(zhì)并結(jié)合函數(shù)圖象判斷CD作答.【詳解】對于A：，在區(qū)間，上，，單調(diào)遞增，在區(qū)間上，，單調(diào)遞減，所以的極大值為，A錯誤；對于B：，，則函數(shù)圖象在點處的切線方程為，即，B正確；對于C、D：因為在上遞增，在上遞減，，，在上遞增，且在上的取值集合為，在上的取值集合為，因此函數(shù)在上的取值集合為，的極大值為，的極小值為，作出函數(shù)的部分圖象，如圖，觀察圖象知，當或時，有1個實數(shù)根；當或時有2個實數(shù)根；當時，有3個實數(shù)根，C錯誤，D正確.故選：BD【點睛】思路點睛：研究方程根的情況，可以通過轉(zhuǎn)化，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等，借助數(shù)形結(jié)合思想分析問題，使問題的求解有一個清晰、直觀的整體展現(xiàn).7．【分析】確定點在直線上，，設(shè)，求導得到導函數(shù)，確定單調(diào)區(qū)間計算最值得到答案.【詳解】設(shè)函數(shù)在上的零點為，則，所以點在直線上.設(shè)為坐標原點，則，其最小值就是到直線的距離的平方，所以，設(shè)，則，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當時，，函數(shù)單調(diào)遞增；所以，，所以的最小值為.故答案為：【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查了利用導數(shù)求最值，零點問題，意在考查學生的計算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中將轉(zhuǎn)化為點到直線的距離的平方，再利用導數(shù)求最值是解題的關(guān)鍵.8．【分析】設(shè)零點為，將方程看作點在直線上，而的最小值代表含義即是直線到點的距離，根據(jù)點到直線距離公式列式求解即可.【詳解】設(shè)函數(shù)的零點為，則，則點在直線上．因為零點存在，則，即，令，，令，，當時，,單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，所以當時，，所以，的最小值為．故答案為：【點睛】思路點睛：某函數(shù)出現(xiàn)零點與雙參數(shù)問題時，常見思路為將零點當作常數(shù)，則零點所對應(yīng)方程就成為關(guān)于雙參數(shù)的直線方程，將所求問題轉(zhuǎn)換為該直線與某點的位置關(guān)系問題進行求解.（注意：雖然零點在找直線方程時當作常數(shù)看待，但得到問題所需解析式后，零點取值范圍將影響解析式取值范圍，這也就是零點范圍的作用.）9．1【分析】①令，則方程有兩個不等的實根，，數(shù)形結(jié)合，根據(jù)的圖象得出結(jié)果；②由韋達定理代入求值即可.【詳解】由，令，∴，令，，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減，當時，.作出大致圖象如下，要使原方程有三個不同的零點，

（*）式關(guān)于t的一元二次方程有兩個不等的實根，，其中，，令，∴，

且，，，∴，故答案為：；1.【點睛】求解復合函數(shù)零點問題的方法：(1)此類問題與函數(shù)圖象結(jié)合較為緊密，在處理問題的開始要作出兩個圖像；(2)若已知零點個數(shù)求參數(shù)的范圍，則先估計關(guān)于的方程中解的個數(shù)再根據(jù)個數(shù)與的圖像特點，決定參數(shù)的范圍.10．(1)(2)（i）；（ii）證明見解析【分析】（1）求出可求切線方程；（2）（i）當時，曲線和有公共點即為在上有零點，求導后分類討論結(jié)合零點存在定理可求.（ii）曲線和有公共點即，利用點到直線的距離得到，利用導數(shù)可證，從而可得不等式成立.【詳解】（1），故，而，曲線在點處的切線方程為即.（2）（i）當時，因為曲線和有公共點，故有解，設(shè)，故，故在上有解，設(shè)，故在上有零點，而，若，則恒成立，此時在上無零點，若，則在上恒成立，故在上為增函數(shù)，而，，故在上無零點，故，設(shè)，則，故在上為增函數(shù)，而，，故在上存在唯一零點，且時，；時，；故時，；時，；所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，故，因為在上有零點，故，故，而，故即，設(shè)，則，故在上為增函數(shù)，而，故.（ii）因為曲線和有公共點，所以有解，其中，若，則，該式不成立，故.故，考慮直線，表示原點與直線上的動點之間的距離，故，所以，下證：對任意，總有，證明：當時，有，故成立.當時，即證，設(shè)，則（不恒為零），故在上為減函數(shù)，故即成立.綜上，成立.下證：當時，恒成立，，則，故在上為增函數(shù)，故即恒成立.下證：在上恒成立，即證：，即證：，即證：，而，故成立.故，即成立.【點睛】思路點睛：導數(shù)背景下零點問題，注意利用函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合零點存在定理來處理，而多變量的不等式的成立問題，注意從幾何意義取構(gòu)建不等式關(guān)系，再利用分析法來證明目