云南省昆明市第九中學2025屆高三上學期10月質量監(jiān)測數學試題

機密★啟用前2024-2025學年上學期10月質量監(jiān)測高三年級數學試題卷（全卷滿分150分，考試用時120分鐘）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求．1.已知復數，則（）A. B. C.2 D.4【答案】A【解析】【分析】計算出后結合模長定義即可得.【詳解】，則.故選：A.2.某校高一（4）班學生47人，寒假參加體育訓練，其中足球隊25人，排球隊22人，游泳隊24人，足球排球都參加的有12人，足球游泳都參加的有9人，排球游泳都參加的有8人，三項都參加的人數為（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】D【解析】【分析】根據題意設參加各類活動學生的集合，找出各類運動的人數，然后結合題意列方程求解即可【詳解】設參加足球隊的學生組成集合，參加排球隊的學生組成集合，參加游泳隊的學生組成集合，則，，設三項都參加的人數為，則，因為所以由，得，解得，即三項都參加的人數為5人，故選：D3.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據對數函數及指數函數的單調性得出參數范圍比較即可.【詳解】因為，，，所以.故選：D.4.已知正方形的邊長為，，，則的值為（）A.6 B.3 C. D.【答案】C【解析】分析】建立平面直角坐標系，利用坐標法計算可得.【詳解】如圖建立平面直角坐標，則，，，，，，．故選：C．5.已知正三棱錐的所有頂點都在球的球面上，棱錐的底面是邊長為的正三角形，側棱長為，則球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先判斷球心在三棱錐的高線上，由正弦定理求得，求得，借助于列方程，求出外接球半徑即得.【詳解】如圖，設點在底面的射影為點，因底面邊長均為，側棱長均為，故球心在上，連接，設球的半徑為，則，由正弦定理，解得，在中，，則，在中，由，解得，則球的表面積為.故選：B.6.中華人民共和國體育代表團參加夏季奧運會以來，中國健兒們不斷取得好成績，到今天成長為體育大國，從2000年以來，金牌情況統(tǒng)計如下（不含中國香港?中國臺灣）：中國體育代表團夏季奧運會獲得金牌數屆數第27屆第28屆第29屆第30屆第31屆第32屆屆數代碼123456地點2000年悉尼2004年雅典2008年北京2012年倫敦2016年里約熱內盧2021年東京金牌數283248382638根據以上數據，建立關于的線性回歸方程，若不考慮其他因素，根據回歸方程預測第33屆（2024年巴黎奧運會）中國體育代表團金牌總數為（）（精確到0.01，金牌數精確到1，參考數據：）；參考公式：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：.A.29 B.33 C.37 D.45【答案】C【解析】【分析】先求出，然后由回歸直線的方程公式求出方程，預測2024年對應代入回歸方程即可求解.【詳解】，，所以，所以關于的線性回歸方程為.2024年對應，代入回歸方程得，故選：C.7.已知函數，將的圖象向左平移個單位后，得到函數的圖象，若的圖象與的圖象關于軸對稱，則的最小值等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據函數平移可得，進而根據即可代入化簡得求解.【詳解】解：，要的圖象與的圖象關于軸對稱，則，所以，故，又，故，故選：B.8.已知方程，的根分別為，則的值為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】得到，，構造，故，求導得到其單調遞增，故，求出.【詳解】由題意得，，令，則，又恒成立，故在R上單調遞增，故，所以.故選：B二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得3分，有選錯的得0分．9.如圖，在正方體中，分別是的中點．下列結論正確的是（）A.與垂直 B.與平面C.與所成的角為 D.平面【答案】ABD【解析】【分析】連接，運用中位線定理推出，結合線面平行和垂直的判定定理和性質定理，分析判斷可得A、B、D正確；再由異面直線所成的角的概念判斷可得C．【詳解】對A：連接，，則交于，又為中點，可得，由平面，平面，可得，故，故A正確；對B：連接，，由正方體性質可知平面，可得平面，故B正確；對C：與所成角就是，連接，由正方體性質可知，即為等邊三角形，故，即與所成的角為，故C錯誤；對D：由，平面，平面，故平面，故D正確．故選：ABD．10.已知數列是公比為2的等比數列，且，則下列結論正確的是（）A.若是等比數列，則公比為B.是公比為2的等比數列C.D.若，則【答案】BCD【解析】【分析】依題意有，則an中奇數項和偶數項分別構成公比為2的等比數列，可判斷BC選項，若an是等比數列，求出公比判斷A選項，由已知條件求an的通項判斷D【詳解】數列是公比為2的等比數列，且，得，則，因為，則，且.若an是等比數列，則，故，所以公比，A錯誤；由，故，即，故是公比為2的等比數列，B正確；同理，數列是公比為2的等比數列，由，則，C正確；由，則，設為偶數，則，同理設為奇數，則，所以，D正確，故選：BCD.11.如圖，曲線是一條“雙紐線”，其上的點滿足：到點與到點的距離之積為4，則下列結論正確的是（）A.點在曲線上B.點在上，則C.點在橢圓上，若，則D.過作軸的垂線交于兩點，則【答案】ACD【解析】【分析】對選項A，根據“雙紐線”定義即可判斷A正確，對選項B，根據“雙紐線”定義得到，再計算即可判斷B錯誤，對選項C，根據“雙紐線”定義和橢圓定義即可判斷C正確，對選項D，設，根據勾股定理得到，再解方程即可判斷D正確.【詳解】對選項A，因為，由定義知，故A正確；對選項B，點在上，則，化簡得，所以，，B錯誤；對選項C，橢圓上的焦點坐標恰好為與，則，又，所以，故，所以，C正確；對選項D，設，則，因為，則，又，所以，化簡得，故，所以，故1，所以，故D正確，故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知數列是公差不為零的等差數列，，且成等比數列，則數列的通項公式為__________.【答案】【解析】【分析】設等差數列的公差為，根據題意，列出方程組，求得的值，即可求解.【詳解】設等差數列的公差為，因為，且成等比數列，可得，即，解得，所以數列的通項公式為.故答案為：.13.自然常數是自然對數的底數，大約等于2.71828.某人用“調日法”找逼近的分數，稱小于2.718281的值為弱值，大于2.718282的值為強值.由，取2為弱值，3為強值，得，故為弱值，與上一次的強值3計算得，故為弱值，繼續(xù)計算，，若某次得到的近似值為弱值，與上一次的強值繼續(xù)計算得到新的近似值；若某次得到的近似值為強值，與上一次的弱值繼續(xù)計算得到新的近似值，依此類推，若，則__________.【答案】6【解析】【分析】根據題意利用“調日法”不斷計算，進行歸納推理能求出結果．【詳解】因為為弱值，則與上一次的強值3計算得為強值，與上一次的弱值計算得為弱值，與上一次的強值計算得為強值，與上一次的弱值計算得，故.故答案為：.14.已知直線與圓相交于兩點，當的面積取得最大值時，直線的斜率為，則______.【答案】##【解析】【分析】設圓的半徑為且，根據三角形的面積公式，得到時，的最大值為，結合圓的性質和點到直線的距離公式，列出方程，即可求解.【詳解】由，可化為，則圓心，設圓的半徑為且，則，當時，的最大值為，不妨取直線的方程為，因為，所以點到直線的距離為，所以，解得，又由，可得，解得.故答案為：.四．解答題：本小題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.在中，內角所對的邊分別為，已知為邊上一點.（1）若為的中點，且，求；（2）若平分，且，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）因為為中點，所以CD=12CA+CB，兩邊平方可得，即可解得（2）由平分，則，由，利用三角形的面積公式可求得，進而可求得的面積.【小問1詳解】在中，，因為為的中點，所以CD=12兩邊平方得，則，解得.【小問2詳解】因為平分，所以，又，所以，解得，所以.16.在如圖所示的圓柱中，AB，CD分別是下底面圓O，上底面圓的直徑，AD，BC是圓柱的母線，E為圓O上一點，P為DE上一點，且平面BCE.（1）求證：；（2）若，二面角的正弦值為，求三棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）先通過面面平行的判斷證明平面平面，再由面面平行的性質證明，即是中位線，由此得到是的中點；（2）設，通過勾股定理計算將到的距離和到平面的距離用表示，根據二面角的正弦值列方程求出，再代入體積公式計算即可.【小問1詳解】如圖，連接，，因為為母線，所以,又平面，所以平面.因為平面，所以平面平面.又因為平面平面，平面平面，所以，因為是的中點，所以是的中點，即.【小問2詳解】如下圖，作，，.設到的距離為，則到的距離為.設，則有，，，，，因為，所以.因為平面，所以到平面的距離即是到平面的距離，即.所以，解得.所以.17.已知函數（1）若函數的圖象在處的切線方程為，求的值；（2）若函數在R上是增函數，求實數取值范圍；（3）如果函數有兩個不同的極值點，證明：【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析.【解析】【分析】（1）根據導數的幾何意義，可以求出a的值，再根據切點坐標在曲線上和切線上，即可求出b的值，從而得到答案.（2）將函數在R上是增函數，轉化為在R上恒成立，利用參變量分離轉化成在R上恒成立，利用導數求的最小值即可.（3）由已知可得是的兩個根，再構造函數并利用導數求出最小值即可.【小問1詳解】函數，求導得，則，由的圖象在處的切線方程為，得，，所以.【小問2詳解】由函數在R上是增函數，得恒成立，令，求導得，當時，，當時，，函數在上單調遞減，在上單調遞增，，則，所以實數取值范圍是.【小問3詳解】依題意，函數，求導得，由是的兩個不同的極值點，得有兩個不同的實根，令，求導得，當時，恒成立，則函數在R上單調遞增，至多一個零點，不符合要求；當時，由，得，由，得，即函數在上遞減，在上遞增，，而當時，，當時，，因此要有兩個零點，當且僅當，解得，所以.18.羽毛球比賽采用21分制，比賽規(guī)則如下：一場比賽為三局兩勝制，在一局比賽中，每贏一球得1分，先得21分且至少領先2分者獲勝，該局比賽結束；當比分打成后，以投擲硬幣的方式選擇發(fā)球權，隨后得分者擁有發(fā)球權，一方領先2分者獲勝，該局比賽結束.現有甲?乙兩人進行一場21分制的羽毛球比賽，假設甲發(fā)球時甲得分的概率為，乙發(fā)球時甲得分的概率為，各球的比賽結果相互獨立，且各局的比賽結果也相互獨立.已知第一局目前比分為.（1）若再打兩個球，這兩個球甲得分為，求的分布列和數學期望；（2）假設一旦兩人比分相等，以投擲硬幣的方式選擇發(fā)球權，求一局比賽甲獲勝的概率；（3）用估計每局比賽甲獲勝的概率，求該場比賽甲獲勝的概率.【答案】（1）分布列見解析，（2）（3）.【解析】【分析】（1）由題意得的所有可取值為，根據獨立事件的概率乘法公式求出相應的概率，進而得到的分布列，再用期望公式求出即可；（2）設第一局比賽甲獲勝為事件，由（1）知，，利用全概率公式求解即可；（3）利用獨立事件的概率乘法公式求解.【小問1詳解】依題意，所有可取值為.設打成后甲先發(fā)球為事件，則乙先發(fā)球為事件，且，所以，，.所以的分布列為012故的數學期望為.【小問2詳解】設第一局比賽甲獲勝為事件，則，由（1）知，，由全概率公式得：，即，解得，所以.【小問3詳解】.由（2）知，估計每一局甲獲勝的概率均為，設甲獲勝時比賽的總局數為，因為每一局比賽的結果相互獨立，所以，，故該場比賽甲獲勝的概率為.19.已知雙曲線的離心率為，右焦點為.（1）求的方程；（2）設動直線與雙曲線有且只有一個公共點（第一象限），且與直線相交于點.①證明：；②設為坐標原點，求面積的最小值.【答案】（1）（2）①證明見解析；②.【解析】【分析】（1）根據已知條件求得，從而求得雙曲線的方程.（2）①聯(lián)立直線的方程和雙曲線的方程，由此求得點坐標，求得點坐標，利用向量數量積的坐標運算證得.②先求得三角形面積的表達式，然后導