安徽省示范高中2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第二次聯(lián)考試題含解析

Page17安徽省示范中學(xué)2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期其次次聯(lián)考試題一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分別解不等式可得集合與，進(jìn)而可得.【詳解】因?yàn)椋?，所以，故選：A．2.已知命題，，則是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】依據(jù)命題的否定的概念干脆得解.【詳解】全稱量詞改成存在量詞，再否定結(jié)論，即，，故選：C．3.設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象性質(zhì)得到，，的范圍，然后比較大小即可.【詳解】因?yàn)椋?，，所以．故選：B．4.角A是的內(nèi)角，則“”是“，且”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】利用三角函數(shù)的性質(zhì)分析即可.【詳解】因?yàn)榻鞘堑膬?nèi)角，所以，當(dāng)，依據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)可得，，，所以由“”能推出“，且”，當(dāng)，，可得，此時也成立，所以由“，且”能推出“”．故選：C．5.已知是周期為的奇函數(shù)，則可以是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】令，利用奇偶性定義和與的關(guān)系依次推斷各個選項(xiàng)即可.【詳解】令，對于A，，，為偶函數(shù)，A錯誤；對于B，，，為偶函數(shù)，B錯誤；對于C，，，不是的周期，C錯誤；對于D，，，為奇函數(shù)；又的最小正周期，滿意題意，D正確.故選：D.6.如圖是函數(shù)圖象的一部分，設(shè)函數(shù)，則可以表示為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】結(jié)合函數(shù)圖象利用奇偶性解除部分選項(xiàng)，再依據(jù)當(dāng)時，x趨于0時，函數(shù)值趨于負(fù)無窮大推斷.【詳解】因?yàn)榕c都是偶函數(shù)，解除A，B.因?yàn)楹投际瞧婧瘮?shù)，且當(dāng)時，x趨于0時，函數(shù)值趨于負(fù)無窮大，解除D,故選：C7.下列幾個不等式中，不能取到等號的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由均值不等式取等號的條件推斷即可【詳解】對A，當(dāng)且僅當(dāng)即等號成立；對B，當(dāng)且僅當(dāng)即等號成立；對C，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立；對D，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)脮r等號成立，無解，等號不成立．故選：D．8.在中，，是其中線，且，，則（）A. B.8 C. D.4【答案】B【解析】【分析】由題意，依據(jù)三角形的性質(zhì)，結(jié)合向量的加法幾何意義以及數(shù)量積的運(yùn)算律，可得答案.【詳解】由題意，，．故選：B．9.已知函數(shù)圖象的一部分如圖所示，則以下四個結(jié)論中，正確的是（）①；②；③是的一個零點(diǎn)；④的圖象關(guān)于直線對稱．A.①② B.①②③ C.①②④ D.①②③④【答案】C【解析】【分析】由函數(shù)最值可知，依據(jù)可求得；由五點(diǎn)法可求得，進(jìn)而得到，利用代入檢驗(yàn)的方法可知不是的零點(diǎn)，是的對稱軸.【詳解】由圖象得：，，，又，，①正確；由五點(diǎn)法知：，，②正確；，，則不是的零點(diǎn)，③錯誤；當(dāng)時，，是的一個對稱軸，④正確.故選：C.10.已知是定義在上的函數(shù)，，且，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知關(guān)系式可推導(dǎo)得到，可知周期為，結(jié)合的值可求得，由可得結(jié)果.【詳解】，，是周期為的周期函數(shù)，，，.故選：B.11.在中，，，，角A是銳角，O為的外心．若，其中，則點(diǎn)P的軌跡所對應(yīng)圖形的面積是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用三角形面積公式求出角，再利用余弦定理得到，利用正弦定理得到外接圓半徑，依據(jù)得到點(diǎn)的軌跡對于的圖形是菱形，最終求面積即可.【詳解】因?yàn)?，，，所以，又角為銳角，所以．因此，．由得．由題意知，點(diǎn)P的軌跡對應(yīng)圖形是邊長為的菱形，．于是這個菱形的面積．故選：A．12.已知函數(shù)（且）有唯一極值點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求導(dǎo)后，令得：；在平面直角坐標(biāo)系中作出與圖象，通過圖象可確定當(dāng)時有唯一極值點(diǎn)，由此可得結(jié)論.【詳解】由題意知：定義域?yàn)?，，令得：；在平面直角坐?biāo)系中，作出與的圖象如下圖所示，由圖象可知：當(dāng)時，與有唯一交點(diǎn)，則當(dāng)時，；當(dāng)時，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，是唯一的極值點(diǎn)，滿意題意；當(dāng)時，恒成立，即恒成立，在上單調(diào)遞減，無極值點(diǎn)，不合題意；綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查依據(jù)函數(shù)極值點(diǎn)個數(shù)求解參數(shù)范圍的問題，解題關(guān)鍵是能夠?qū)栴}轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)的求解問題，進(jìn)一步將問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象交點(diǎn)的問題，從而采納數(shù)形結(jié)合的方式來進(jìn)行求解.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知，則的值為_____.【答案】2【解析】【分析】將等式左邊分子、分母同時除以即可得解.【詳解】解：由，等式左邊分子、分母同時除以得：，解得：，故答案為：2.【點(diǎn)睛】本題考查了同角三角函數(shù)的關(guān)系，重點(diǎn)考查了構(gòu)造齊次式求值問題，屬基礎(chǔ)題.14.若不等式對隨意恒成立，則實(shí)數(shù)m的最小值是______．【答案】【解析】【分析】因?yàn)椴坏仁綄﹄S意恒成立，則，由均值不等式求出的最大值即可得出答案.【詳解】因?yàn)椴坏仁綄﹄S意恒成立，所以，則而，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立．即的最大值是，．故答案為：.15.在中，三個內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，向量與向量夾角的余弦值為，且，則的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】依據(jù)向量夾角的計算公式求出角，再依據(jù)余弦定理求得，再依據(jù)三角形內(nèi)角關(guān)系結(jié)合三角恒等變換化簡，即可得出答案.【詳解】解：∵，，∴，即，∴，解得或（舍），∵，∴，∵，∴，則，∵，∴，∴，∴取值范圍是．故答案：．16.已知函數(shù)，其中．若存在實(shí)數(shù)，使得關(guān)于的方程有兩個不同的實(shí)數(shù)根，則的整數(shù)值是______．【答案】1或2【解析】【分析】首先分析函數(shù)的單調(diào)性，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)上方時，存在實(shí)數(shù)，使直線與曲線有兩個交點(diǎn)，即可得到，再結(jié)合兩函數(shù)圖象即可得解.【詳解】解：當(dāng)時，，是增函數(shù)．當(dāng)時，，也是增函數(shù)．所以當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)上方時，存在實(shí)數(shù)，使直線與曲線有兩個交點(diǎn)，即存在實(shí)數(shù)，使得關(guān)于的方程有兩個不同的實(shí)數(shù)根．所以，又，結(jié)合與的圖象可得整數(shù)或，故答案為：或三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知關(guān)于的不等式．（1）若此不等式的解集是，求的值；（2）探討此不等式的解集．【答案】（1）或（2）答案見解析【解析】【分析】（1）由題意知，，2是的兩根，從而可求出；（2）通過探討對應(yīng)方程兩根的大小，得出不等式的解集．【小問1詳解】由題意知，，是的兩根，所以，解得或．【小問2詳解】就是，即．方程的兩根是，．①當(dāng)，即時，此不等式的解集是．②當(dāng)，即時，此不等式是，解集是．③當(dāng)，即時，此不等式的解集是．18.已知M，P，N是平面上不同的三點(diǎn)，點(diǎn)A是此平面上隨意一點(diǎn)，則“M，P，N三點(diǎn)共線”的充要條件是“存在實(shí)數(shù)，使得”．此結(jié)論往往稱為向量的爪子模型．（1）給出這個結(jié)論的證明；（2）在的邊、上分別取點(diǎn)E、F，使，，連結(jié)、交于點(diǎn)G．設(shè)，．利用上述結(jié)論，求出用、表示向量的表達(dá)式．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)向量共線的判定定理結(jié)合充要條件理解證明；（2）利用題中結(jié)論結(jié)合平面對量基本定理運(yùn)算求解.【小問1詳解】先證充分性．若，則，，即，，故M，P，N三點(diǎn)共線．再證必要性．若M，P，N三點(diǎn)共線，則存在實(shí)數(shù)，使得，即，，故．綜上知，結(jié)論成立．【小問2詳解】利用A，G，F(xiàn)和B，G，E共線的充要條件，存在實(shí)數(shù)，使得則，解得．故．19.某房地產(chǎn)開發(fā)公司為吸引更多消費(fèi)者購房，確定在一塊扇形空地修建一個矩形花園，如圖所示．已知扇形角，半徑米，截出的內(nèi)接矩形花園的一邊平行于扇形弦．設(shè)，．（1）以為自變量，求出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并求函數(shù)的定義域；（2）當(dāng)為何值時，矩形花園的面積最大，并求其最大面積．【答案】（1），定義域是（2）當(dāng)時，矩形花園的面積最大，其最大面積為平方米【解析】【分析】（1）利用三角函數(shù)將、表示出來，即可求出；（2）求出，再利用和差公式、二倍角公式和協(xié)助角公式進(jìn)行整理得到，最終利用三角函數(shù)的性質(zhì)求最值即可.【小問1詳解】如圖，過O作，D為垂足．交于E，，E為垂足．在直角三角形中，，．在直角三角形中，．于是，其定義域是．【小問2詳解】矩形花園的面積當(dāng)，時，S取到最大值，且最大值為平方米．20若函數(shù)滿意，其中，且．（1）若，求函數(shù)的解析式，并推斷其奇偶性和單調(diào)性；（2）若，在時恒成立，求a的取值范圍．【答案】（1），是R上的奇函數(shù)和減函數(shù)；（2）.【解析】【分析】（1）利用換元法求出函數(shù)解析式，依據(jù)奇偶性定義推斷函數(shù)的奇偶性，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性推斷函數(shù)單調(diào)性；（2）利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性推斷的增減性，依據(jù)單調(diào)性可轉(zhuǎn)化為，解不等式即可求解.【小問1詳解】令，則，所以．于是，由得，解得，因此函數(shù)的解析式是因?yàn)椋?，所以函?shù)為奇函數(shù)，因?yàn)槭菧p函數(shù)，是減函數(shù)，所以是R上的減函數(shù)．【小問2詳解】因?yàn)?，所以在R上是增函數(shù)，因此也是R上的增函數(shù)．由，得．要使在內(nèi)恒為負(fù)數(shù)，只須要，即，整理得，解得，或，又，故a的取值范圍是．21.如圖，在梯形中，，．（1）若，求周長的最大值；（2）若，，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用余弦定理結(jié)合基本不等式可求得的最大值，即得出周長的最大值；（2）利用正弦定理可得出、，兩式相除可得出關(guān)于的等式，即可求得的值.【小問1詳解】解：在中，，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．故周長的最大值是．【小問2詳解】解：設(shè)，則，．在中，，在中，．兩式相除得，，，因?yàn)?，，，故?2.已知函數(shù)，．（1）若曲線在點(diǎn)處的切線方程是，求的值；（2）若的導(dǎo)函數(shù)恰有兩個零點(diǎn)，求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解；（2）求導(dǎo)，依據(jù)恰有兩個零點(diǎn)，可轉(zhuǎn)化為有兩個解，即過點(diǎn)的直線與函數(shù)有兩個交點(diǎn)，計算臨界值，即直線與函數(shù)相切時的參數(shù)值，即可得到參數(shù)范圍.【小問1詳解】因?yàn)?，則，所以，又曲線在點(diǎn)處的切線方程是，則，解得；【小問2詳解】由有兩個零點(diǎn)，得有兩個解，