湖北漱十一所重點(diǎn)中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第二次聯(lián)考試題含解析

Page24湖北省二十一所重點(diǎn)中學(xué)2024屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期其次次聯(lián)考試題本試卷共6頁，22小題，滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.留意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、試室號和座位號填寫在答題卡指定位置上，并在相應(yīng)位置填涂考生號．2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．答案不能答在試卷上．3．非選擇題必需用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必需寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上.4．考生必需保持答題卡的整齊．考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)全集，集合，B={1，2，3}，則（）∩B=（）A.{1} B.{1，2} C.{2，3} D.{1，2，3}【答案】C【解析】【分析】先計(jì)算出，再計(jì)算即可.【詳解】.故選：C.2.已知復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的虛部為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先由復(fù)數(shù)的運(yùn)算求出，再求出虛部即可.【詳解】，故虛部為.故選：A.3.對隨意的，當(dāng)時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】將不等式等價(jià)變形，構(gòu)造函數(shù)，再借助函數(shù)單調(diào)性、最值求解作答.【詳解】依題意，，令，，則對隨意的，當(dāng)時(shí)，，即有函數(shù)在上單調(diào)遞減，因此，，，而，則，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C4.若函數(shù)（）在上單調(diào)，且在上存在極值點(diǎn)，則ω的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)在上單調(diào)，可知，計(jì)算出函數(shù)的對稱軸，然后依據(jù)函數(shù)在所給區(qū)間存在極值點(diǎn)可知，最終計(jì)算可知結(jié)果.【詳解】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)，所以，則，由此可得.因當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)取得極值，欲滿意在上存在極值點(diǎn)，因?yàn)橹芷?，故在上有且只有一個(gè)極值，故第一個(gè)極值點(diǎn)，得，又其次個(gè)極值點(diǎn)，要使在上單調(diào)，必需，得.綜上可得，的取值范圍是.故選：C【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)點(diǎn)睛：第一步：先依據(jù)函數(shù)在所給區(qū)間單調(diào)推斷；其次步：計(jì)算對稱軸；第三步：依據(jù)函數(shù)在所給區(qū)間存在極值點(diǎn)可得，即可.5.已知常數(shù)滿意.設(shè)和分別是以和為漸近線且通過原點(diǎn)的雙曲線，則和的離心率之比（）A. B. C.1 D.【答案】C【解析】【分析】由題可以推斷中心為點(diǎn)，且為實(shí)軸在直線上的雙曲線，為實(shí)軸在直線上的雙曲線，可以用表示離心率，繼而求出離心率之比.【詳解】由題意知雙曲線的中心為點(diǎn)，由兩雙曲線過原點(diǎn)可知為實(shí)軸在直線上的雙曲線，所以，，為實(shí)軸在直線上的雙曲線，所以，，因此.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查對雙曲線漸近線和離心率性質(zhì)的理解，屬于中檔題.6.十八世紀(jì)早期，英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)覺了公式，(其中，，n!=1×2×3×…×n0!=1)，現(xiàn)用上述公式求的值，下列選項(xiàng)中與該值最接近的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出后代入得cos1=sin可得答案，即與最接近.【詳解】所以cos1==sin=sin，由于與最接近，故選：B7.在計(jì)算機(jī)的C語言編譯器中，一般對char（一種整數(shù)類型）讀取后八個(gè)字節(jié)，如000100000000視為00000000即為0.故因此衍生出了補(bǔ)碼，即當(dāng)取值在10000000到11111111之間，視為負(fù)數(shù)處理.假如定義一個(gè)char類型變量，后輸出的值為（）A.0 B.128 C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)題中所給算法進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)槿≈翟?0000000到11111111之間，視為負(fù)數(shù)處理，所以換算為10進(jìn)制，即128-255之間的數(shù)用負(fù)數(shù)處理，又因?yàn)樘幚頌椋幚頌?，處理為，……以此類推，處理?故選：D8.某旅游景區(qū)有如圖所示A至H共8個(gè)停車位，現(xiàn)有2輛不同的白色車和2輛不同的黑色車，要求相同顏色的車不停在同一行也不停在同一列，則不同的停車方法總數(shù)為（）

A.288 B.336 C.576 D.1680【答案】B【解析】【分析】依據(jù)題意,分2步進(jìn)行分析,由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案.【詳解】解:第一步:排白車,第一行選一個(gè)位置,則其次行有三個(gè)位置可選,由于車是不相同的,故白車的停法有種,其次步,排黑車,若白車選,則黑車有共7種選擇,黑車是不相同的,故黑車的停法有種，依據(jù)分步計(jì)數(shù)原理,共有種,故選：B二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對的得3分.9.已知正數(shù)x，y，z滿意，則（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】設(shè)，，求出，依據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及換底公式計(jì)算即可推斷A；利用作商法即可推斷B；利用作差法即可推斷D；再依據(jù)AD即可推斷C.【詳解】解：設(shè)，，則，，，所以，A正確；因?yàn)?，則，因?yàn)?，則，所以，B正確；因?yàn)椋瑒t，D正確因?yàn)?，則，所以，C錯(cuò)誤.故選：ABD.10.高斯是德國聞名數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號，他和阿基米德，牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，用表示不超過x的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如，.則下列說法正確的是（）A.函數(shù)區(qū)間（）上單調(diào)遞增B.若函數(shù)，則的值域?yàn)镃.若函數(shù)，則的值域?yàn)镈.，【答案】AC【解析】【分析】求出函數(shù)式確定單調(diào)性推斷A；舉特例說明推斷B，D；變形函數(shù)式，分析計(jì)算推斷C作答.【詳解】對于A，，，有，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，A正確；對于B，，則，B不正確；對于C，，當(dāng)時(shí)，，，有，當(dāng)時(shí)，，，有，的值域?yàn)椋珻正確；對于D，當(dāng)時(shí)，，有，D不正確.故選：AC11.華人數(shù)學(xué)家李天巖和美國數(shù)學(xué)家約克給出了“混沌”的數(shù)學(xué)定義，由此發(fā)展的混沌理論在生物學(xué)?經(jīng)濟(jì)學(xué)和社會學(xué)領(lǐng)域都有重要作用.在混沌理論中，函數(shù)的周期點(diǎn)是一個(gè)關(guān)鍵概念，定義如下：設(shè)是定義在R上的函數(shù)，對于R，令，若存在正整數(shù)k使得，且當(dāng)0<j<k時(shí)，，則稱是的一個(gè)周期為k的周期點(diǎn).若，下列各值是周期為1的周期點(diǎn)的有（）A.0 B. C. D.1【答案】AC【解析】【分析】依據(jù)題意中周期點(diǎn)定義，分別求出當(dāng)、、、時(shí)的函數(shù)周期，進(jìn)而得出結(jié)果.【詳解】A：時(shí)，，周期為1，故A正確；B：時(shí)，，所以不是的周期點(diǎn).故B錯(cuò)誤；C：時(shí)，，周期為1，故C正確；D：時(shí)，，不是周期為1的周期點(diǎn)，故D錯(cuò)誤.故選：AC.12.在數(shù)列中，對于隨意的都有，且，則下列結(jié)論正確的是（）A.對于隨意的，都有B.對于隨意的，數(shù)列不行能為常數(shù)列C.若，則數(shù)列為遞增數(shù)列D.若，則當(dāng)時(shí)，【答案】ACD【解析】【分析】A由遞推式有上，結(jié)合恒成立，即可推斷：B反證法：假設(shè)為常數(shù)列，依據(jù)遞推式求推斷是否符合，即可推斷；C、D由上，探討、探討數(shù)列單調(diào)性，即可推斷.【詳解】A：由，對有，則，即隨意都有，正確；B：由，若為常數(shù)列且，則滿意，錯(cuò)誤；C：由且，當(dāng)時(shí)，此時(shí)且，數(shù)列遞增；當(dāng)時(shí)，此時(shí)，數(shù)列遞減；所以時(shí)數(shù)列為遞增數(shù)列，正確；D：由C分析知：時(shí)且數(shù)列遞減，即時(shí)，正確.故選：ACD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：選項(xiàng)B應(yīng)用反證法，假設(shè)為常數(shù)列求通項(xiàng)，推斷是否與沖突；對于C、D，將遞推式變形為，探討、探討數(shù)列單調(diào)性.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.設(shè)綻開式中各項(xiàng)系數(shù)和為的系數(shù)為，則___________；___________.【答案】①.1024②.5400【解析】【分析】令，即可得到綻開式各項(xiàng)系數(shù)和，從而求出，再由，寫出綻開式的通項(xiàng)，再令，求出、，再代入計(jì)算可得；【詳解】解：依題意令得，所以；又，所以綻開式的通項(xiàng)為令，解得，所以，故的系數(shù)；故答案為：；；14.空間四面體中，，二面角的大小為，在平面內(nèi)過點(diǎn)作的垂線，則與平面所成的最大角的正弦值___________.【答案】##【解析】【分析】通過空間想象確定與平面所成角最大時(shí)平面ABC與平面的關(guān)系，從而得到所求角和的關(guān)系，然后設(shè)棱長，利用二面角和干脆計(jì)算可得.【詳解】記過點(diǎn)B作的垂線l，垂足為E，過點(diǎn)E作垂直于直線CE的平面，交平面于直線BF，則當(dāng)平面ABC時(shí)，與平面所成角最大，且與互余.此時(shí)，因?yàn)槠矫鍭CB，平面所以平面ACB平面，則由點(diǎn)E向平面作垂線，垂足H在CB上，過H作CD垂線HG，垂足為G，連接EG.由題知，，記，則在中，又，所以在中，，在中，記此時(shí)與平面所成角為，則.故答案為：

15.函數(shù)，其中a，b為實(shí)數(shù)，且.已知對隨意，函數(shù)有兩個(gè)不同零點(diǎn)，a的取值范圍為___________________.【答案】【解析】【分析】將函數(shù)有兩個(gè)不同零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程有兩個(gè)不等實(shí)根；再將方程變形構(gòu)造新函數(shù)，求導(dǎo)并探討新函數(shù)的單調(diào)性，求其最小值，得到，再由已知條件求得即可.【詳解】因?yàn)橛袃蓚€(gè)不同零點(diǎn)有兩個(gè)不相等的實(shí)根即有兩個(gè)不相等的實(shí)根；所以，令，則，明顯不為零，所以，因?yàn)椋?，所以，所以；令，則；令，則，所以在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；所以，所以；又，所以，所以即，，又，所以；故答案為：.16.已知平面對量，和單位向量，滿意，，，當(dāng)改變時(shí)，的最小值為，則的最大值為__________.【答案】【解析】【分析】不妨設(shè)，，則由題知，由已知條件得，，將用坐標(biāo)表示，并求模，代入及，整理得，構(gòu)造函數(shù)，求出最小值，表示出的解析式，用均值不等式求其最大值即可.【詳解】不妨設(shè)，，則由題知又，所以整理得①，所以又，所以而將①代入整理得：令，，有最小值，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立所以，當(dāng)時(shí)有最大值.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.現(xiàn)有下列三個(gè)條件：①函數(shù)的最小正周期為；②函數(shù)的圖象可以由的圖象平移得到；③函數(shù)的圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離.從中任選一個(gè)條件補(bǔ)充在下面的問題中，并作出正確解答.已知向量，，，函數(shù).且滿意_________.（1）求的表達(dá)式，并求方程在閉區(qū)間上的解；（2）在中，角，，的對邊分別為，，.已知，，求的值.【答案】（1）不能選②，，或或；（2）.【解析】【分析】（1）依據(jù)向量數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算公式求得，依據(jù)其性質(zhì)，可以推斷不行能選②，結(jié)合①③的條件，可以求得，得到函數(shù)解析式，依據(jù)三角函數(shù)值以及角的范圍，確定出方程的解；（2）結(jié)合（1），求得，依據(jù)正弦定理以及題中條件，求得，依據(jù)平方關(guān)系求得，結(jié)合誘導(dǎo)公式以及三角形內(nèi)角和，求得的值.【詳解】（1）因?yàn)?，，所?若滿意條件①：，所以，故.因?yàn)?，無法由的圖象經(jīng)過平移得到的圖象，因此不能選②.若滿意條件③：因?yàn)?，所以，故，?綜上，無論選條件①或③，所求.因?yàn)?，所?又，所以，所以或或，即或或.所以方程在閉區(qū)間上的解為或或.（2）由（1）知，所以，，即，.因?yàn)?，所以，?又，由正弦定理，得，整理得.因?yàn)椋?，所?又，得，所以.18.已知數(shù)列滿意，.（1）若且.（?。┊?dāng)成等差數(shù)列時(shí)，求k的值；（ⅱ）當(dāng)且，時(shí)，求及的通項(xiàng)公式.（2）若，，，.設(shè)是的前n項(xiàng)之和，求的最大值.【答案】（1）（?。?，（?、。?，；（2）.【解析】【分析】（1）依據(jù)等差數(shù)列的定義以及等差中項(xiàng)的性質(zhì)即可求的值；由題可得是首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列，進(jìn)而可得數(shù)列的通項(xiàng)，再利用累乘法即可求的通項(xiàng)公式；（2）利用分組求和可得，結(jié)合，，求出利用基本不等式求最大值，即可求出的最大值.【小問1詳解】（?。┮?yàn)槌傻炔顢?shù)列，所以，所以，又所以；（ⅱ）因?yàn)?，所以，，所以，所以，因?yàn)?，又由，所以是首?xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列，所以，所以，∴所以；【小問2詳解】由可得，所以，因?yàn)?，所以，即，因?yàn)椋?，所以即，，因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，所以，所以，可得，所以，令，設(shè)，，對稱軸為，是開口向上的拋物線，在單調(diào)遞增，所以時(shí)取得最大值，故最大值為，所以最大值為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：數(shù)列求和的方法（1）倒序相加法：假如一個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)中首末兩端等距離的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和即可以用倒序相加法（2）錯(cuò)位相減法：假如一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么這個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和即可以用錯(cuò)位相減法來求；（3）裂項(xiàng)相消法：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)，中間的一些項(xiàng)可相互抵消，從而求得其和；（4）分組轉(zhuǎn)化法：一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，則求和時(shí)可用分組轉(zhuǎn)換法分別求和再相加減；（5）并項(xiàng)求和法：一個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和可以兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)求和，形如類型，可采納兩項(xiàng)合并求解.19.已知四棱錐的底面為直角梯形，平面，.（1）若點(diǎn)是棱上的動點(diǎn)請推斷下列條件：①直線AM與平面ABCD所成角的正切值為；②中哪一個(gè)條件可以推斷出平面（無需說明理由），并用你的選擇證明該結(jié)論；（2）若點(diǎn)為棱上的一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），摸索究上是否存在一點(diǎn)N，使得平面ADN平面BDN？若存在，懇求出的值，若不存在，請說明理由.【答案】（1）②，證明見解析（2）存在，【解析】【分析】（1）先連接、交于，確定是的幾等分點(diǎn)，再確定是的幾等分點(diǎn)．（2）建立空間直角坐標(biāo)系，平面垂直，對應(yīng)法向量垂直，數(shù)量積為，列出方程求解．【小問1詳解】條件②可以推斷平面.如圖，連接，相交于點(diǎn)，連EM.在梯形中，有，，.又因?yàn)?，所以，故，又平面，平面，所以平?故當(dāng)時(shí)，平面.【小問2詳解】以A為原點(diǎn)，AD，AB，AP分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示坐標(biāo)系，則A(0，0，0)，D(1，0，0)，P(0，0，1)，C(1，1，0)，B(0，2，0)，設(shè)，則對于平面ADN，設(shè)其法向量，滿意，即，故取對于平面BDN，設(shè)其法向量，滿意，即，故取，若平面ADN平面BDN，則，即，解得，此時(shí)N為PC的中點(diǎn)，.20.某種電子玩具啟動后，屏幕上的LED顯示燈會隨機(jī)亮起紅燈或綠燈．在玩具啟動前，用戶可對（）賦值，且在第1次亮燈時(shí)，亮起紅燈的概率為，亮起綠燈的概率為．隨后若第n（）次亮起的是紅燈，則第n+1次亮起紅燈的概率為，亮起綠燈的概率為；若第n次亮起的是綠燈，則第n+1次亮起紅燈的概率為，亮起綠燈的概率為．（1）若輸入，記該玩具啟動后，前3次亮燈中亮紅燈的次數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）在玩具啟動后，若某次亮燈為紅燈，且亮紅燈的概率在區(qū)間（，）內(nèi)，則玩具會自動唱一首歌曲，否則不唱歌．現(xiàn)輸入，則在前20次亮燈中，該玩具最多唱幾次歌？【答案】（1）分布列見解析，（2）7次【解析】【分析】（1）由題意分析的全部可能取值為0，1，2，3.分別求概率，寫出分布列，求出數(shù)學(xué)期望；（2）記第次亮燈時(shí)，亮起紅燈的概率為，得到，能證明出是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.求出，依據(jù)題意建立不等式，求出n的最大值.【小問1詳解】據(jù)題意，的全部可能取值為0，1，2，3.當(dāng)時(shí)，前3次亮燈的顏色為“綠綠綠”，則當(dāng)時(shí)，前3次亮燈的顏色為“紅綠綠”，或“綠紅綠”，或“綠綠紅”，則當(dāng)時(shí)，前3次亮燈的顏色為“紅紅綠”或“紅綠紅”或“綠紅紅”，則當(dāng)時(shí)，前3次亮燈的顏色為“紅紅紅”，則所以的分布列為：0123【小問2詳解】記第次亮燈時(shí)，亮起紅燈的概率為，由題設(shè)，則因?yàn)閯t，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.則，所以由，得，所以為奇數(shù).由，得因?yàn)闉槠鏀?shù)，則，即，則.當(dāng)時(shí)，，9，11，13，15，17，19.因?yàn)橥婢咴谶@7次亮燈中亮紅燈是隨機(jī)事務(wù)，所以在前20次亮燈中，該玩具最多唱7次歌.21.已知點(diǎn)在拋物線E：（）的準(zhǔn)線上，過點(diǎn)M作直線與拋物線E交于A，B兩點(diǎn)，斜率為2的直線與拋物線E交于A，C兩點(diǎn).（1）求拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）（ⅰ）求證：直線過定點(diǎn)；（ⅱ）記（?。┲械亩c(diǎn)為H，設(shè)的面積為S，且滿意，求直線的斜率的取值范圍.【答案】（1）（2）（?。┳C明見解析；（ⅱ）【解析】【分析】（1）依據(jù)點(diǎn)在拋物線準(zhǔn)線上可得，即可求出拋物線方程（2）（ⅰ）設(shè)直線的方程為，與拋物線聯(lián)立方程