2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)作業(yè)古典概型與幾何概型新人教B版

PAGEPAGE1古典概型與幾何概型一、選擇題1．(2024·全國卷Ⅰ)設(shè)O為正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3點(diǎn)，則取到的3點(diǎn)共線的概率為()A．eq\f(1,5)B．eq\f(2,5)C．eq\f(1,2)D．eq\f(4,5)A[依據(jù)題意作出圖形，如圖所示，在O，A，B，C，D中任取3點(diǎn)，有10種可能狀況，分別為(OAB)，(OAC)，(OAD)，(OBC)，(OBD)，(OCD)，(ABC)，(ABD)，(ACD)，(BCD)，其中取到的3點(diǎn)共線有(OAC)和(OBD)2種可能狀況，所以在O，A，B，C，D中任取3點(diǎn)，取到的3點(diǎn)共線的概率為eq\f(2,10)＝eq\f(1,5)，故選A．]2．“上醫(yī)醫(yī)國”出自《國語·晉語八》，比方高賢能治理好國家．現(xiàn)把這四個(gè)字分別寫在四張卡片上，其中“上”字已經(jīng)排好，某幼童把剩余的三張卡片進(jìn)行排列，則該幼童能將這句話排列正確的概率是()A．eq\f(1,3)B．eq\f(1,6)C．eq\f(1,4)D．eq\f(1,12)A[幼童把這三張卡片進(jìn)行隨機(jī)排列，基本領(lǐng)件總數(shù)n＝3，∴該幼童能將這句話排列正確的概率P＝eq\f(1,3)．故選A．]3．(2024·湖南雅禮中學(xué)高三月考)“總把新桃換舊符”(王安石)、“燈前小草寫桃符”(陸游)，春節(jié)是中華民族的傳統(tǒng)節(jié)日，在宋代人們用寫“桃符”的方式來祈福避禍，而現(xiàn)代人們通過貼“?！弊帧①N春聯(lián)、掛燈籠等方式來表達(dá)對(duì)新年的美妙祝福．某商家在春節(jié)前開展商品促銷活動(dòng)，顧客凡購物金額滿50元，則可以從“?！弊帧⒋郝?lián)和燈籠這三類禮品中隨意免費(fèi)領(lǐng)取一件，若有3名顧客都領(lǐng)取一件禮品，則他們?nèi)祟I(lǐng)取的禮品種類都不相同的概率是()A．eq\f(2,9)B．eq\f(1,27)C．eq\f(1,9)D．eq\f(1,3)A[依據(jù)題意，3名顧客都領(lǐng)取一件禮品，基本領(lǐng)件總數(shù)共有：3×3×3＝27種，他們?nèi)祟I(lǐng)取的禮品種類都不相同的基本領(lǐng)件有Aeq\o\al(3,3)＝6種，故依據(jù)古典概型公式得他們?nèi)祟I(lǐng)取的禮品種類都不相同的概率是P＝eq\f(A\o\al(3,3),27)＝eq\f(2,9)．]4．金字塔(如圖1)作為古埃及勞動(dòng)人民的才智結(jié)晶，是歷史留給當(dāng)下的珍貴遺產(chǎn)，聞名的胡夫金字塔的俯視圖如圖2所示，該金字塔高146.5米，底面正方形邊長230米．若小明在距離金字塔底面中心230米的圓周上任取一點(diǎn)(圓周上全部點(diǎn)被選取的概率相等)，從該點(diǎn)處視察金字塔，則小明可以同時(shí)看到金字塔兩個(gè)側(cè)面的概率為()圖1圖2A．eq\f(1,3)B．eq\f(2,3)C．eq\f(1,4)D．eq\f(3,4)A[如圖所示，中間正方形的邊長為230米，可得AB＝CD＝230米，其中在eq\o(AB,\s\UP10(︵))處的隨意一點(diǎn)，只能看到金字塔的一個(gè)側(cè)面，又由圓的半徑為230米，其中OA＝OB＝230米，所以△ABO為等邊三角形，即∠AOB＝60°，其中有四個(gè)這樣的區(qū)域，只能看到金字塔的一個(gè)側(cè)面，所以只能看到一個(gè)側(cè)面的概率為eq\f(4×60°,360°)＝eq\f(2,3)，所以小明可以同時(shí)看到金字塔兩個(gè)側(cè)面的概率為eq\f(1,3)．]5．七巧板是我國古代勞動(dòng)人民的獨(dú)創(chuàng)之一，被譽(yù)為“東方魔板”，它由五塊等腰直角三角形板、一塊正方形板和一塊平行四邊形板組成．如圖，是一個(gè)用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率為()A．eq\f(3,16)B．eq\f(3,8)C．eq\f(5,16)D．eq\f(7,16)D[設(shè)圖中最小正方形的邊長為a，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率P＝eq\f(S陰影,S大正方形)＝eq\f(\f(1,2)a2＋a2＋\f(1,2)×2a2,2\r(2)a2)＝eq\f(7,16)．故選D．]二、填空題6．(2024·江蘇高考)從3名男同學(xué)和2名女同學(xué)中任選2名同學(xué)參與志愿者服務(wù)，則選出的2名同學(xué)中至少有1名女同學(xué)的概率是．eq\f(7,10)[從3名男同學(xué)和2名女同學(xué)中任選2名同學(xué)參與志愿者服務(wù)，基本領(lǐng)件總數(shù)n＝10，選出的2名同學(xué)中沒有女同學(xué)包含的基本領(lǐng)件個(gè)數(shù)：m＝3，∴選出的2名同學(xué)中至少有1名女同學(xué)的概率是p＝1－eq\f(m,n)＝1－eq\f(3,10)＝eq\f(7,10)．]7．有一個(gè)底面半徑為1、高為2的圓柱，點(diǎn)O為這個(gè)圓柱底面圓的圓心，在這個(gè)圓柱內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為．eq\f(2,3)[由題意得該圓柱的體積V＝π×12×2＝2π．圓柱內(nèi)滿意點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離小于等于1的幾何體為以圓柱底面圓心為球心的半球，且此半球的體積V1＝eq\f(1,2)×eq\f(4,3)π×13＝eq\f(2,3)π，所以所求概率P＝eq\f(V－V1,V)＝eq\f(2,3)．]8．角谷猜想，是由日本數(shù)學(xué)家角谷靜夫發(fā)覺的，是指對(duì)于每一個(gè)正整數(shù)，若它是奇數(shù)，則對(duì)它乘3再加1；若它是偶數(shù)，則對(duì)它除以2，如此循環(huán)最終都能夠得到1．例：取n＝6，依據(jù)上述過程，得出6,3,10,5,16,8,4,2,1，共9個(gè)數(shù)．若n＝13，依據(jù)上述過程得出的整數(shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)都是奇數(shù)的概率為．eq\f(1,15)[若n＝13，依據(jù)題中所述過程得出的整數(shù)分別為13,40,20,10,5,16,8,4,2,1，共10個(gè)數(shù)，其中奇數(shù)共有3個(gè)，所以隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)都是奇數(shù)的概率為eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,10))＝eq\f(1,15)．]三、解答題9．已知某校甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者人數(shù)分別為240,160,160．現(xiàn)采納分層抽樣的方法從中抽取7名同學(xué)去某敬老院參與獻(xiàn)愛心活動(dòng)．(1)應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者中分別抽取多少人？(2)設(shè)抽出的7名同學(xué)分別用A，B，C，D，E，F(xiàn)，G表示，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取2名同學(xué)擔(dān)當(dāng)敬老院的衛(wèi)生工作．①試用所給字母列舉出全部可能的抽取結(jié)果；②設(shè)M為事務(wù)“抽取的2名同學(xué)來自同一年級(jí)”，求事務(wù)M發(fā)生的概率．[解](1)由已知，甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者人數(shù)之比為3∶2∶2，由于采納分層抽樣的方法從中抽取7名同學(xué)，因此應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)年級(jí)的學(xué)生志愿者中分別抽取3人，2人，2人．(2)①從抽取的7名同學(xué)中隨機(jī)抽取2名同學(xué)的全部可能結(jié)果為{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F(xiàn)}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F(xiàn)}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F(xiàn)}，{C，G}，{D，E}，{D，F(xiàn)}，{D，G}，{E，F(xiàn)}，{E，G}，{F，G}，共21種．②由①，不妨設(shè)抽出的7名同學(xué)中，來自甲年級(jí)的是A，B，C，來自乙年級(jí)的是D，E，來自丙年級(jí)的是F，G，則從抽出的7名同學(xué)中隨機(jī)抽取的2名同學(xué)來自同一年級(jí)的全部可能結(jié)果為{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5種．所以，事務(wù)M發(fā)生的概率P(M)＝eq\f(5,21)．10．某學(xué)校為擔(dān)當(dāng)班主任的老師辦理手機(jī)語音月卡套餐，為了解通話時(shí)長，采納隨機(jī)抽樣的方法，得到該校100位班主任每人的月平均通話時(shí)長T(單位：分鐘)的數(shù)據(jù)，其頻率分布直方圖如圖所示，將頻率視為概率．(1)求圖中m的值；(2)估計(jì)該校擔(dān)當(dāng)班主任的老師月平均通話時(shí)長的中位數(shù)；(3)在[450,500)，[500,550]這兩組中采納分層抽樣的方法抽取6人，再從這6人中隨機(jī)抽取2人，求抽取的2人恰在同一組的概率．[解](1)依題意，依據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)，可得：50×(m＋0.0040＋0.0050＋0.0066＋0.0016＋0.0008)＝1，解得m＝0.0020．(2)設(shè)該校擔(dān)當(dāng)班主任的老師月平均通話時(shí)長的中位數(shù)為t．因?yàn)榍?組的頻率之和為(0.0020＋0.0040)×50＝0.3<0.5，前3組的頻率之和為(0.0020＋0.0040＋0.0050)×50＝0.55>0.5，所以350<t<400，由0.3＋0.0050×(t－350)＝0.5，得t＝390．所以該校擔(dān)當(dāng)班主任的老師月平均通話時(shí)長的中位數(shù)為390分鐘．(3)由題意，可得在[450,500)內(nèi)抽取6×eq\f(0.0016,0.0016＋0.0008)＝4人，分別記為a，b，c，d，在[500,550]內(nèi)抽取2人，記為e，f，則6人中抽取2人的取法有：{a，b}，{a，c}，{a，d}，{a，e}，{a，f}，{b，c}，{b，d}，{b，e}，{b，f}，{c，d}，{c，e}，{c，f}，{d，e}，{d，f}，{e，f}，共15種等可能的取法．其中抽取的2人恰在同一組的有{a，b}，{a，c}，{a，d}，{b，c}，{b，d}，{c，d}，{e，f}，共7種取法，所以從這6人中隨機(jī)抽取的2人恰在同一組的概率P＝eq\f(7,15)．1．在區(qū)間[0，π]上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)x，則事務(wù)“sinx≤eq\f(1,2)”發(fā)生的概率為()A．eq\f(3,4)B．eq\f(2,3)C．eq\f(1,2)D．eq\f(1,3)D[在[0，π]上，當(dāng)x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))∪eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，π))時(shí)，sinx≤eq\f(1,2)，故概率為eq\f(\f(π,3),π)＝eq\f(1,3)．]2．(2024·奉新縣第一中學(xué)高三三模)2024年是中國共產(chǎn)黨成立100周年，3月24日，中宣部發(fā)布中國共產(chǎn)黨成立100周年慶祝活動(dòng)標(biāo)識(shí)(圖1)，標(biāo)識(shí)由黨徽、數(shù)字“100”“1921”“2024”和56根光線線組成，生動(dòng)呈現(xiàn)中國共產(chǎn)黨團(tuán)結(jié)帶領(lǐng)中國人民不忘初心、牢記使命、艱苦奮斗的百年光輝歷程．其中“100”的兩個(gè)“0”設(shè)計(jì)為兩個(gè)半徑為R的相交大圓，分別內(nèi)含一個(gè)半徑為1的同心小圓，且同心小圓均與另一個(gè)大圓外切(圖2)．已知R＝eq\r(2)＋1，在兩大圓的區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自兩大圓公共部分的概率為()圖1圖2A．eq\f(π－1,2π＋1) B．eq\f(π－2,3π＋2)C．eq\f(π－3,4π＋3) D．eq\f(4－π,5π＋4)B[如圖，A，B是兩圓心，C，D是兩圓交點(diǎn)，四邊形ACBD邊長均為eq\r(2)＋1，又AB＝eq\r(2)＋2，所以AC2＋BC2＝AB2，所以∠ACB＝90°，四邊形ACBD是正方形，R＝eq\r(2)＋1，弓形面積為S′＝eq\f(1,4)πR2－eq\f(1,2)R2，兩個(gè)弓形面積為2S′＝eq\f(1,2)πR2－R2，兩圓涉及部分面積為S＝2πR2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)πR2－R2))＝eq\f(3,2)πR2＋R2，所以所求概率為P＝eq\f(2S′,S)＝eq\f(\f(1,2)πR2－R2,\f(3,2)πR2＋R2)＝eq\f(π－2,3π＋2)．]3．甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)參與“《論語》學(xué)問大賽”，決出第1名到第5名的名次．甲、乙兩名參賽者去詢問成果，回答者對(duì)甲說“雖然你的成果比乙好，但是你倆都沒得到第一名”；對(duì)乙說“你當(dāng)然不會(huì)是最差的”．從上述回答分析，丙是第一名的概率是．eq\f(1,3)[因?yàn)榧缀鸵叶疾恍心苁堑谝幻?，所以第一名只可能是丙、丁或戊，又考慮到全部的限制條件對(duì)丙、丁、戊都沒有影響，所以這三個(gè)人獲得第一名是等概率事務(wù)，所以丙是第一名的概率是eq\f(1,3)．]4．已知向量a＝(－2,1)，b＝(x，y)．(1)若x，y分別表示將一枚質(zhì)地勻稱的正方體骰子(六個(gè)面的點(diǎn)數(shù)分別為1,2,3,4,5,6)先后拋擲兩次時(shí)第一次、其次次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，求滿意a·b＝－1的概率；(2)若x，y在連續(xù)區(qū)間[1,6]上取值，求滿意a·b<0的概率．[解](1)將一枚質(zhì)地勻稱的正方體骰子先后拋擲兩次，所包含的基本領(lǐng)件總數(shù)為6×6＝36，由a·b＝－1，得－2x＋y＝－1，所以滿意a·b＝－1的基本領(lǐng)件為(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3個(gè)．故滿意a·b＝－1的概率為eq\f(3,36)＝eq\f(1,12)．(2)若x，y在連續(xù)區(qū)間[1,6]上取值，則全部基本領(lǐng)件的結(jié)果為Ω＝{(x，y)|1≤x≤6,1≤y≤6}．滿意a·b<0的基本領(lǐng)件的結(jié)果為A＝{(x，y)|1≤x≤6,1≤y≤6且－2x＋y<0}．畫出圖象如圖所示，矩形的面積為S矩形＝25，陰影部分的面積為S陰影＝25－eq\f(1,2)×2×4＝21，故滿意a·b<0的概率為eq\f(21,25)．1．某展會(huì)支配了分別標(biāo)有序號(hào)為“1號(hào)”“2號(hào)”“3號(hào)”的三輛