安徽省合肥市2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末聯(lián)考試題含解析

安徽省合肥市2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末聯(lián)考試題本試卷共4頁，22題。全卷滿分150分，考試時間120分鐘?？忌粢馐马棧?.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆干脆答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。4.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1.已知全集，，，則（）A.， B.， C.， D.，2.已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（）A. B. C.1 D.23.2024年卡塔爾世界杯（FIFAWorldCupQatar2024）是其次十二屆國際足聯(lián)世界杯足球賽，在當(dāng)?shù)貢r間2024年11月20日到12月18日間在卡塔爾國內(nèi)5個城市的8座球場實行，這是世界杯第一次在阿拉伯地區(qū)舉辦.由于夏季燥熱，2024年卡塔爾世界杯放在冬季進行，如圖是卡塔爾2024年天氣狀況，下列對1-11月份說法錯誤的是（）A.有5個月平均氣溫在30℃以上 B.有4個月平均降水量為C.7月份平均氣溫最高 D.3月份平均降水量最高4.等差數(shù)列的前項和為，公差不為0，若，則（）A. B. C. D.5.一般地，聲音大小用聲強級（單位：）表示，其計算公式為：，其中為聲強（單位：.若某種物體的發(fā)出的聲強為，其聲強級約為（）（）A. B. C. D.6.已知正方體的棱長為2，M，N分別為，的中點，過M，N的平面截正方體所得截面為四邊形，則該截面最大面積為（）A. B. C. D.7.已知，直線，若與相離，則（）A.點在上 B.點在上 C.點在內(nèi) D.點在外8.已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有兩個極值點，且，則（）A. B.在區(qū)間上單調(diào)遞增C. D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.在中，已知，，則（）A. B. C. D.10.已知，則（）A. B. C. D.11.已知拋物線E的焦點為F，頂點為O，過F做兩條相互垂直的直線，，它們分別與E相交于A，B和C，D，則（）A.為銳角 B.為鈍角 C. D.12.已知球的表面積為，三棱錐的頂點都在球面上，該棱錐體積取最大值時，下列結(jié)論正確的是（）A. B.C.， D.，三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.社區(qū)從甲乙等5名志愿者中隨機選3名到A地參與服務(wù)工作，則甲乙都入選的概率為_____.14.已知函數(shù)的最小正周期為，其圖象過點，則_____.15.已知橢圓的焦點為，，為上一點滿足，則的離心率取值范圍是_____.16.已知函數(shù)，過點有兩條直線與曲線相切，則實數(shù)的取值范圍是_____.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.（10分）已知數(shù)列的通項公式為，等比數(shù)列滿足，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記，的前項和分別為，，求滿足的全部數(shù)對.18.（12分）為落實國家全民健身安排，提高居民身體素養(yǎng)和健康水平，某電視臺每周制作一期“每天健身”節(jié)目，時長60分鐘，每天固定時間播放.為調(diào)查該節(jié)目收視狀況，從收看觀眾中隨機抽取150名，將其觀看日平均時間（單位：分）為樣本進行統(tǒng)計，作出頻率分布直方圖如圖.（1）請估計該節(jié)目收看觀眾的平均時間（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；（2）在選取的150位觀眾中，男女人數(shù)相同，規(guī)定：觀看平均時間不低于30分鐘為滿足，低于30分鐘為不滿足.據(jù)統(tǒng)計有48位男士滿足，請列出列聯(lián)表，并推斷是否有90%的把握認為“滿足度與性別有關(guān)”？附：，其中.0.100.050.0102.7063.8416.63519.（12分）在中，點在上，滿足，.（1）求證：，，成等比數(shù)列；（2）若，求.20.（12分）如圖，三棱柱的側(cè)棱長為，底面是邊長為2的等邊三角形，D，E分別是，的中點，.（1）求證：側(cè)面是矩形；（2）若，求直線與平面所成角的余弦值.21.（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，，，直線，相交于點，且它們的斜率之積是1，記點的軌跡為.（1）求證：曲線是雙曲線的一部分；（2）設(shè)直線與相切，與其漸近線分別相交于M，N兩點，求證：的面積為定值.22.（12分）已知函數(shù).（1）求的導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若方程有三個實數(shù)根，，，且，求實數(shù)的取值范圍.高三數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.D【解析】由已知選D.2.A【解析】設(shè)，則，故，故選A.3.D【解析】由圖可知，選D.4.C【解析】由已知得，故，故選C.5.A【解析】由已知得，故選A.6.D【解析】最大面積的截面四邊形為等腰梯形，其中，，，高為，故面積為，所以選D.7.C【解析】由已知：圓心到直線的距離大于半徑，即不妨設(shè)，，故，故選C.8.D【解析】由，故，，所以；由，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減；，，所以，，故選D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.ABD【解析】由已知；；，，因為，所以；故，即，所以.故選ABD.10.AD【解析】，，故，，.，，所以.故選AD.11.BC【解析】設(shè)拋物線方程為，，聯(lián)立得，設(shè)，，則，.，故為鈍角.所以，與拋物線聯(lián)立得，設(shè)，，則，.同理可得，故為鈍角，所以，.故時，.所以選BC.12.BD【解析】由已知設(shè)球的半徑為，則，所以.設(shè)底面的外接圓心為，可知當(dāng)為正三角形時，其面積最大.設(shè)正三角形的底面邊長為a，，三棱錐的高為.則，故.所以三棱錐的體積：.令，由，得.因為，故當(dāng)時，取最大值，即三棱錐的體積取的最大值.此時可求得：，即，.三棱錐為正四面體，故，，故選BD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.【解析】甲入選的概率為.14.【解析】由已知，所以.15.【解析】設(shè)橢圓的方程為，，，則，由余弦定理得，故，因為，即，故，解得，由，所以的離心率取值范圍是.16.【解析】由，，設(shè)切點為，則切線方程為：，故有兩根.令，，在遞減，在遞增.因為，故實數(shù)的取值范圍是.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.【解】（1）由，所以，，故，.所以等比數(shù)列的公比為，…………2分故，所以，即等比數(shù)列的通項公式為…………4分（2）由已知得：由（1）可知…………6分由，所以即，故…………8分因為正整數(shù)，，所以，，，，，故滿足條件全部數(shù)對為，，.………………10分18.【解】（1）由頻率分布直方圖可知：樣本數(shù)據(jù)在，，，，，的頻率分別為：0.1，0.12，0.16，0.28，0.20，0.14.………3分故調(diào)查表平均值為：所以該節(jié)目收看觀眾的平均時間為32.8分鐘.………6分（2）由（1）可知觀看平均時間不低于30分鐘的頻率為：所以觀看平均時間不低于30分的樣本數(shù)為：.……8分由已知可得列聯(lián)表如下：不滿足滿足總計男274875女304575總計5793150……10分所以沒有90%的把握認為“滿足度與性別有關(guān)”.………12分19.【解】（1）在中，由正弦定理得：①…………2分由已知得：②由①②聯(lián)立得：因為，所以.故，，成等比數(shù)列.…………4分（2）在中，記A，B，C的對邊分別為a，b，c，故.由（1）知：③在中，設(shè)，由已知得，由余弦定理得④…………6分在中，設(shè)，由已知得，由余弦定理得⑤由⑤+④整理得：⑥…………8分由③⑥聯(lián)立整理得：解得：或當(dāng)時，可求得，所以故舍去.…………10分當(dāng)時，可求得，在中由余弦定理得.綜上：…………12分20.【解】（1）連接，由已知為等邊三角形，所以.由已知，所以平面，…………2分又平面，.因為，所以，又側(cè)面為平行四邊形，所以側(cè)面是矩形.……4分（2）取中點，連接.由已知得.因為，所以，是等邊三角形.故，由（1）可知，所以平面.……6分以為原點，以，所在直線為軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖.故，，，，所以，，設(shè)平面的法向量為，則，.故，取，，，則…………9分直線與平面所成角為，則…………11分故所以直線與平面所成角的余弦值為.…………12分21.【解】（1）設(shè)點的坐標(biāo)為，由已知得，則直線，的斜率分別為：，…………2分由已知，化簡得.故曲線的方程為：所以曲線是除去頂點的雙曲線.…………4分（2）設(shè)直線與相切的切點坐標(biāo)為，斜率為則直線的方程為：，與聯(lián)立整理得：由已知，且上方程有兩個相等的實數(shù)根，故化簡得：①…………6分又，即，②由①②得，，即，所以故直線的方程為：…………8分雙曲線的兩條漸近線方程為，，所以為直角三角形.不妨設(shè)與交點為，解得，同理，設(shè)與交點為，解得.…………10分可求得：，，所以的面積故的面積為定值.…………12分22.【解】（1）函數(shù)的定義域為，記，則.…………2分當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞增.…………3分當(dāng)時，記，.所以時，，遞減；時，，遞增.的微小值為，故.故，所以在上單調(diào)遞減.綜上：故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.……5分（2）令，問題