2024-2025學年高考數學一輪復習解題技巧方法第六章第4節(jié)法向量的計算與點到平面距離的計算教師版

法向量的計算與點到平面距離的計算學問與方法1．求法向量的“找0法”（1）舉個例子，設，是平面內的兩個不共線的向量，我們視察到的第三個重量是0，則先將的前兩個重量交叉，并在其中一個重量上添負號，得到平面的法向量n的前兩個重量，如，再由求得第三個重量，從而.（2）若遇到和都沒有重量是0的情形，可以先用他們進行線性運算，變出一個0，再按上面的方法操作．例如，若，，則，留意到也是平面內的向量，所以可以用它來求法向量，這樣就出現“0”了.2.計算點到平面的距離常用三種方法（1）作高法：干脆作出過點到平面的垂線段。計算該垂線段的長度即可.（2）等體積法：以三棱錐為例，可以依據得出，其中是點A到平面的距離，是點B到平面的距離，可以利用上述方程求解或.（3）向量法：如下圖所示，P為平面外一點，A為平面上隨意一點，n為平面的一個法向量，則點P到平面的距離提示：文科生可以忽視本節(jié)與向量法有關的內容，只需駕馭作高法和等體積法.典型例題【例題】在棱長為2的正方體中，點A到平面的距離為_______.【解析】如圖，易證，故平面，所以A、E兩點到平面的距離相等，明顯四面體是正四面體，所以點D在平面上的投影恰為的中心G，取中點F，則，所以平面，故所求距離與的長相等，設中點為H，則平面，所以，故在中，，，所以，，從而點A到平面的距離為。解法2：易得是邊長為的正三角形，故，設所求距離為d，，由得：，解得：.解法3：建立如圖所示的坐標系，則，，，所以，，，用“找0法”求得平面的法向量為，從而點A到平面的距離.【答案】強化訓練1.（★★★）如下圖所示，棱長為2的正方體中，E為中點，則點D到平面的距離為______.【解析】解法1：以A為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，所以，，，則由找“0”法可求得平面的法向量，從而點D到平面的距離.解法2：如圖，取中點F，連接，明顯，所以平面，從而點D和點F到平面的距離相等，易求得，，所以，設點F到平面的距離為d，則，另一方面，，所以，因為，所以，從而，故點D到平面的距離為.【答案】2.（★★★）長方體中，，，則點B到平面的距離為_______.【解析】由題意，，，所以，，故，設點B到平面的距離為d，另一方面，，另一方面，，因為，所以，故.解法2：以A為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，所以，，，用“找0法”求得平面的法向量為，從而點B到平面的距離.【答案】3.（★★★）如下圖所示，在正三棱柱中，，，D為的中點，則點A到平面的距離為_____.【解析】如圖，由題意，，，，故，設點A到平面的距離為d，則，另一方面，，設中點為O，易證，，所以平面，故點C到平面的距離為，從而，因為，所以，解得：.解法2：取中點E，中點F，易證四邊形為平行四邊形，所以，易證，，所以平面，從而平面，故，又，所以，故平面，即點A到平面的距離為.解法3：以O為原點建立如圖所示的坐標系，則，，，，所以，，用“找0法”求得平面的法向量為，又，所以點A到平面的距離.【答案】4.（★★★）如下圖所示，直三棱柱中，，，D、M分別為所在棱的中點.（1）證明：；（2）求點到平面的距離.【解析】（1）由題意，，D為中點，所以，又三棱柱是直三棱柱，所以平面，因為平面，所以，因為、平面，，所以平面，因為，所以平面，又平面，所以.（2）解法1：由題意，M是中點，所以點和點A到平面的距離相等，因為平面，平面，所以，又，所以平面，過A作于F，則，所以平面，易求得，，，所以，故點到平面的距離為.解法2：因為平面，所以，又，所以平面，易求得，故，而，所以，設