2025屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)思想方法與解題技巧第68講簡(jiǎn)化和避免分類討論的途徑含解析

Page1第68講簡(jiǎn)化和避開分類探討的途徑分類探討思想解題的實(shí)質(zhì)是“化整為零,各個(gè)擊破,再積零為整”的思維策略,但有時(shí),更應(yīng)留意充分挖掘求解問題中潛在的特別性和簡(jiǎn)潔性,盡可能消退“探討因素”,敏捷地采納相應(yīng)的解題策略,通過(guò)適當(dāng)?shù)摹凹夹g(shù)處理”,消化或避開分類探討,往往能給解題帶來(lái)事半功倍之效,避開分類探討常見的解題策略有:干脆回避、變更主元、整體考慮、反客為主、數(shù)形結(jié)合等.典型例題【例1】(1)解不等式;(2)設(shè),函數(shù),求當(dāng)時(shí),的取【分析】第(1)問,無(wú)理分式不等式按常規(guī)解法,必需分類探討,通過(guò)三角換元引進(jìn)參數(shù),則無(wú)理不等式可以化為有理不等式,分式不等式也簡(jiǎn)潔化為整式不等式,這是干脆回避分類探討的常用基本方法;第(2)問,肯定值問題常需分類,若能利用肯定值的性質(zhì)整體考慮,也能干脆回避分類探討.【解析】設(shè),則原不等式可化為,由此解得,故,從而原不等式的解集為.(2)當(dāng)且僅當(dāng)剛好,.故的取值范圍為.【例2】已知,對(duì)于值域內(nèi)的全部實(shí)數(shù),不等式恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.已知函數(shù)在區(qū)間上至少存在一個(gè)實(shí)數(shù),使得,求實(shí)數(shù)的取值范圍.【分析】第(1)問,若按常規(guī)思路,將看成主元,則要分許多狀況來(lái)探討,無(wú)形之中增加了解題負(fù)擔(dān).若將看成主元,則原不等式轉(zhuǎn)化為一次不等式恒成立問題,易解.可見變換主元、反客為主可以有效避開分類探討.第(2)問,若實(shí)行正面干脆求解,由于二次函數(shù)的對(duì)稱軸在變動(dòng),須要分多種狀況考慮,而假如考慮對(duì)立面,狀況就變得簡(jiǎn)潔,這就是正難則反思想,可以有效避開探討,結(jié)合圖形看,特別直觀.【解析】(1),原問題轉(zhuǎn)化為對(duì)隨意的恒成立.當(dāng)時(shí),不等式不成立,.令即把看作關(guān)于的一次函數(shù).問題轉(zhuǎn)化為在上恒大于0,則解得或.即實(shí)數(shù)的取值范圍為.(2)至少存在一個(gè)實(shí)數(shù),使得,須要分多種狀況考慮,而考慮反面的話,即對(duì)于區(qū)間上隨意的實(shí)數(shù)都有,結(jié)合圖形可知,只須要滿意且即可,解得.取補(bǔ)集可得所求范圍為.【例3】(1)設(shè)偶函數(shù)定義在上,且在區(qū)間上遞減,若,求實(shí)數(shù)的取值范圍.(2)已知函數(shù),定義域?yàn)?且,值域?yàn)?求的值.【分析】第(1)問,通常須要分4種狀況探討求解,要避開這場(chǎng)“大規(guī)?！钡姆诸愄接?必需留意對(duì)急含條件的挖掘.把握偶函數(shù)滿意這一本質(zhì)整體考慮,則問題即刻變得特別簡(jiǎn)潔.第(2)問,若一個(gè)數(shù)學(xué)問題的題設(shè)中還含有一些隱含條件,假如稍加留意,充分挖搔,就能避開困難的分類探討,從而簡(jiǎn)化解答過(guò)程,挖掘求解問題中潛在的特別性和簡(jiǎn)潔性,盡可能消退“探討因素”,回避分類探討.在本題中若沒有留意到隱含條件,不在大處著眼,很簡(jiǎn)潔想到分3種狀況探討區(qū)間與對(duì)稱軸直線的位置關(guān)系,而事實(shí)上,區(qū)間在對(duì)稱軸的右邊是可確定的,所以深挖隱含條件可避開探討.【解析】(1)為偶函數(shù),等價(jià)于.又在上遞減,,,由此解得的取值范圍為.(2),因此區(qū)間必定包含在中,,即,因此區(qū)間為函數(shù)的減區(qū)間,且,是方程,即的兩個(gè)解,解得,,.【例4】已知一條曲線在軸右邊,上每一點(diǎn)到點(diǎn)的距離減去它到軸距離的差是1.(1)求曲線的方程;(2)是否存在正數(shù),對(duì)于過(guò)點(diǎn)且與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)的任始終線,都有?若存在,求出的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.【分析】當(dāng)直線過(guò)肯定點(diǎn),很簡(jiǎn)潔想到直線方程為點(diǎn)斜式或斜截式,從而忽視斜率不存在的狀況,若從題設(shè)中可以判定直線的斜率不行能為零時(shí),則可將直線方程設(shè)為,這樣,不僅避開或簡(jiǎn)化了探討的步驟,還可以大大削減計(jì)算量,從而提高解題速度,也可以說(shuō)這是一種整體考慮的解題策略,直線方程中包含了斜率存在與不存在的狀況.【解析】（1）由題意知上每一點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于到直線的距離,依據(jù)拋物線的定義,可得曲線的方程為.（2）明顯,過(guò)點(diǎn)的直線存在垂直于軸的狀況,但又不含垂直于軸的狀況,因此為了避開分類,可設(shè)直線方程為,并設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,將直線方程與