浙江省寧波市六校聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中聯(lián)考試題含解析

Page17浙江省寧波市六校聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中聯(lián)考試題考生須知：1.本卷共4頁(yè)滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫(xiě)班級(jí)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào)并填涂相應(yīng)數(shù)字.3.全部答案必需寫(xiě)在答題紙上，寫(xiě)在試卷上無(wú)效.4.考試結(jié)束后，只需上交答題紙.選擇題部分一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.若函數(shù)，則的值為（）A.12 B.16 C.18 D.24【答案】B【解析】【分析】求函數(shù)得導(dǎo)數(shù)，將x=-2代入，即可求得答案?！驹斀狻坑珊瘮?shù)得：，故，則，故選：B2.某校高一開(kāi)設(shè)4門(mén)選修課，有4名同學(xué)選修，每人只選1門(mén)，恰有2門(mén)課程沒(méi)有同學(xué)選修，則不同的選課方案有（）A.96種 B.84種 C.78種 D.16種【答案】B【解析】【詳解】先確定選的兩門(mén):,再確定學(xué)生選:,所以不同的選課方案有選B.3.函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，圖像如圖所示，記的導(dǎo)函數(shù)為，則不等式的解集為（）

A B.C. D.【答案】C【解析】【分析】的解集即為單調(diào)遞增區(qū)間，結(jié)合圖像理解推斷．【詳解】的解集即為單調(diào)遞增區(qū)間結(jié)合圖像可得單調(diào)遞增區(qū)間為則的解集為故選：C．4.設(shè)隨機(jī)變量聽(tīng)從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，已知，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)變量符合正態(tài)分布，且對(duì)稱軸為，得到應(yīng)用所給條件即可求出結(jié)果.【詳解】聽(tīng)從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，∴，故選：C5.已知二項(xiàng)式，且，則A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】把二項(xiàng)式化為，求得其綻開(kāi)式的通項(xiàng)為，求得，再令，求得，進(jìn)而即可求解．【詳解】由題意，二項(xiàng)式綻開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，可得，即，解得，所以二項(xiàng)式為，則，令，即，則，所以．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，其中解答中把二項(xiàng)式，利用二項(xiàng)式通項(xiàng)，合理賦值求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題．6.已知隨機(jī)變量X的分布列是：若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用已知條件求出、的值，利用方差公式可求得的值.【詳解】由已知可得，解得，因此，.故選：C.7.從5位同學(xué)中選派4位同學(xué)在星期五、星期六、星期日參與公益活動(dòng)，每人一天，要求星期五有2人參與，星期六、星期日各有1人參與，則不同的選派方法共有A.40種 B.60種 C.100種 D.120種【答案】B【解析】【詳解】依據(jù)題意，首先從5人中抽出兩人在星期五參與活動(dòng)，有種狀況，再?gòu)氖Ｏ碌?人中，抽取兩人支配在星期六、星期日參與活動(dòng)，有種狀況，則由分步計(jì)數(shù)原理，可得不同的選派方法共有=60種.故選B．8.函數(shù)的值域?yàn)椋瑒t實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先推斷出當(dāng)時(shí)，的取值范圍，當(dāng)時(shí)，結(jié)合的值域?yàn)?，利用?dǎo)數(shù)求得的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，，由于的值域?yàn)椋援?dāng)時(shí)，的最小值不大于，時(shí)，，所以在上遞減，在上，遞增.所以當(dāng)時(shí)，，則.故選：D【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，要留意定義域.二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求全部選對(duì)得5分，選對(duì)但不全的得3分，有選錯(cuò)的得0分）9.對(duì)于函數(shù)，下列選項(xiàng)正確的是（）A.函數(shù)微小值為，極大值為B.函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)為C.函數(shù)最小值為為，最大值D.函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)1和【答案】AD【解析】【分析】先求得的奇偶性，當(dāng)時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間和極值，即可推斷A、B、C的正誤；令，可得零點(diǎn)，即可推斷D的正誤，即可得答案.【詳解】的定義域?yàn)?，所以，所以為奇函?shù)，當(dāng)時(shí)，，，令，解得，當(dāng)時(shí)，，則為單調(diào)遞增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則為單調(diào)遞減函數(shù)，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以在上單調(diào)遞減，在是單調(diào)遞增，所以的微小值為，極大值為，故A正確；的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)為，故B錯(cuò)誤；在無(wú)最值，故C錯(cuò)誤；令，解得，結(jié)合的單調(diào)性可得，存在兩個(gè)零點(diǎn)1和，故D正確.故選：AD10.某市為了探討該市空氣中的PM2.5濃度和濃度之間的關(guān)系，環(huán)境監(jiān)測(cè)部門(mén)對(duì)該市空氣質(zhì)量進(jìn)行調(diào)研，隨機(jī)抽查了100天空氣中的PM2.5濃度和濃度（單位：），得到如下所示的列聯(lián)表：PM2.564161010經(jīng)計(jì)算，則可以推斷出（）附：0.0500.0100.0013.8416.63510.828A.該市一天空氣中PM2.5濃度不超過(guò)75，且濃度不超過(guò)150概率估計(jì)值是0.64B.若列聯(lián)表中的天數(shù)都擴(kuò)大到原來(lái)的10倍，的觀測(cè)值不會(huì)發(fā)生改變C.有超過(guò)99%的把握認(rèn)為該市一天空氣中PM2.5濃度與濃度有關(guān)D.在犯錯(cuò)的概率不超過(guò)1%的條件下，認(rèn)為該市一天空氣中PM2.5濃度與濃度無(wú)關(guān)【答案】AC【解析】【分析】對(duì)于A選項(xiàng)，依據(jù)表格，進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，干脆求概率；對(duì)于B，C，D選項(xiàng)，進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)，計(jì)算后比照參數(shù)下結(jié)論.【詳解】解：補(bǔ)充完整列聯(lián)表如下：PM2.5合計(jì)641680101020合計(jì)7426100對(duì)于A選項(xiàng)，該市一天中，空氣中PM2.5濃度不超過(guò)，且濃度不超過(guò)的概率估計(jì)值為，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，，故B不正確；因?yàn)?，依?jù)臨界值表可知，在犯錯(cuò)的概率不超過(guò)的條件下，即有超過(guò)的把握認(rèn)為該市一天空氣中PM2.5濃度與濃度有關(guān)，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：AC.11.下列結(jié)論正確的是（）A.若隨機(jī)變量聽(tīng)從兩點(diǎn)分布，，則B.若隨機(jī)變量聽(tīng)從二項(xiàng)分布，則C.若隨機(jī)變量聽(tīng)從二項(xiàng)分布，則D.若隨機(jī)變量的方差，則【答案】BC【解析】【分析】依據(jù)兩點(diǎn)分布，二項(xiàng)分布的方差公式推斷A，B，依據(jù)方差的性質(zhì)推斷D，依據(jù)二項(xiàng)分布的性質(zhì)推斷C.【詳解】若隨機(jī)變量聽(tīng)從兩點(diǎn)分布，，則，A錯(cuò)，若隨機(jī)變量聽(tīng)從二項(xiàng)分布，則，B對(duì)，若隨機(jī)變量聽(tīng)從二項(xiàng)分布，則，C對(duì)，若隨機(jī)變量的方差，則，D錯(cuò)，故選：BC.12.如圖，在某城市中，，兩地之間有整齊的方格形道路網(wǎng)，其中，，，是道路網(wǎng)中位于一條對(duì)角線上的4個(gè)交匯處.今在道路網(wǎng)，處的甲?乙兩人分別要到，處，他們分別隨機(jī)地選擇一條沿街的最短路徑，以相同的速度同時(shí)動(dòng)身，直到到達(dá)，處為止，則下列說(shuō)法正確的有（）A.甲從到達(dá)處的走法種數(shù)為20B.甲從必需經(jīng)過(guò)到達(dá)處的走法種數(shù)為9C.甲乙兩人能在處相遇的走法種數(shù)36D.甲，乙兩人能相遇的走法種數(shù)為162【答案】AB【解析】【分析】由到的最短路徑向上3步，向右3步，問(wèn)題為6步中任選3步向上或向右走，依據(jù)各選項(xiàng)的描述，同理分析各種走法的種數(shù)，即可確定答案.【詳解】A：從到達(dá)只需向上、向右各走3步，即共走6步，走法種數(shù)為種，正確；B：從到的走法有，再到達(dá)的走法有，共有種，正確；C：由上，甲經(jīng)過(guò)的走法有9種，同理乙經(jīng)過(guò)的走法有9種，此處相遇共有81種走法，錯(cuò)誤；D：要使甲乙以相同的速度相遇，則相遇點(diǎn)，，，中的一個(gè)，而在、相遇各有1種走法，在，相遇各有81種走法，故甲、乙相遇的走法有種，錯(cuò)誤.故選：AB非選擇題部分三、填空題（本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分）13.已知，則________．【答案】【解析】【分析】依據(jù)已知條件及組合數(shù)公式求得，再利用組合數(shù)的性質(zhì)遞推關(guān)系及組合數(shù)公式即可求解【詳解】由，得，解得.所以.故答案為：.14.函數(shù)在區(qū)間的最小值是_________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)導(dǎo)數(shù)推斷單調(diào)性，進(jìn)而可得最小值.【詳解】由，得，令，解得，單調(diào)遞減微小值單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減又，，所以函數(shù)的最小值為，故答案為：.15.從班委會(huì)5名成員中選出3名，分別擔(dān)當(dāng)班級(jí)學(xué)習(xí)委員、文娛委員與體育委員，其中甲、乙二人不能擔(dān)當(dāng)文娛委員，則不同的選法共有_______________種.(用數(shù)字作答）【答案】36【解析】【詳解】先從班委會(huì)除了甲、乙的另外3名成員中選出1名擔(dān)當(dāng)文娛委員有,再?gòu)氖Ｓ嗟?人中選出兩人分別擔(dān)當(dāng)學(xué)習(xí)委員和體育委員有，共有種選法16.已知函數(shù)，若，，使成立，則a的取值范圍為_(kāi)______．【答案】【解析】【分析】求出函數(shù)在時(shí)的取值范圍，集合，再求出在時(shí)取值范圍，由可得參數(shù)范圍．【詳解】，因?yàn)?，所以，（其中時(shí)，，即時(shí)，的取值范圍是，時(shí)，，，（1）時(shí)，則，在上單調(diào)遞增，時(shí)，，時(shí)，，所以時(shí)，的取值范圍是，，滿意題意；（2）時(shí)，時(shí)，，遞增，時(shí)，，遞減，所以，因?yàn)?，因此同樣有時(shí)，，這樣要滿意題意，必需有，即，解得，綜上，的取值范圍是．故答案為：．四、解答題（本大題共6小題，共70分，解答題應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）17.已知的綻開(kāi)式中，只有第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大．（1）求n的值；（2）求綻開(kāi)式中含的項(xiàng)．【答案】（1）10；（2）；【解析】【分析】(1)利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)即可求出的值；(2)求出綻開(kāi)式的通項(xiàng)公式，然后令的指數(shù)為即可求解．【小問(wèn)1詳解】∵的綻開(kāi)式中，只有第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，∴綻開(kāi)后一共有11項(xiàng)，則，解得；【小問(wèn)2詳解】二項(xiàng)式的綻開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，令，解得，∴綻開(kāi)式中含的項(xiàng)為．18.已知函數(shù).（1）求導(dǎo)函數(shù)；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，精確運(yùn)算，即可求解；（2）由（1）分別求得和，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求解.【小問(wèn)1詳解】解：由題意，函數(shù)，可得.【小問(wèn)2詳解】解：當(dāng)時(shí)，可得，由（1）得，所以，所以函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線方程，即.19.某科研機(jī)構(gòu)為了了解氣溫對(duì)蘑菇產(chǎn)量的影響，隨機(jī)抽取了某蘑菇種植大棚12月份中5天的日產(chǎn)量y（單位：kg）與該地當(dāng)日的平均氣溫x（單位：℃）的數(shù)據(jù)，得到如下散點(diǎn)圖：其中A（3，2），B（5，10），C（8，11），D（9，13），E（10，14）．（1）求出y關(guān)于x的線性回來(lái)方程；（2）若該地12月份某天的平均氣溫為6℃，用（1）中所求的回來(lái)方程預(yù)料該蘑菇種植大棚當(dāng)日的產(chǎn)量．附：線性回來(lái)直線方程中，．【答案】（1）；（2）8.5kg.【解析】【分析】（1）利用最小二乘法即求；（2）利用回來(lái)直線方程即得.【小問(wèn)1詳解】由已知數(shù)據(jù)可得，，，，所以，．所以.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，，預(yù)料該蘑菇種植大棚當(dāng)日的產(chǎn)量為8.5kg．20.設(shè)函數(shù)（，）.（1）若函數(shù)在處取得極值，求，的值；（2）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，求取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，由已知條件，可由求解出，的值；（2）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，判定其單調(diào)遞增區(qū)間，在依據(jù)已知條件函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，即可確定的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)楹瘮?shù)（，），所以（，），由函數(shù)在處取得極值，可得，即，解得，閱歷符合題意.【小問(wèn)2詳解】由（1），知（，），所以時(shí)，，單調(diào)遞增，由題意，得，所以，故的取值范圍為.21.設(shè)和分別是先后拋擲一枚骰子得到點(diǎn)數(shù)，用隨機(jī)變量表示方程實(shí)根的個(gè)數(shù)（重根按一個(gè)計(jì)）.（1）求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）求在先后兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)中有的條件下，方程有實(shí)根的概率.【答案】（1）分布列見(jiàn)解析，1（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)題意先求出基本領(lǐng)件的總數(shù)，再利用古典概型分析求解即可；（2）記“先后兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)中有”為事務(wù)，“方程有實(shí)根”為事務(wù)，分別求出，，再利用條件概率求解即可.【小問(wèn)1詳解】依據(jù)題意得，試驗(yàn)發(fā)生包含的基本領(lǐng)件總數(shù)為；當(dāng)有兩個(gè)實(shí)根時(shí)，即，包含的基本領(lǐng)件有：，，，，，，，，，，，，，，，，，共個(gè)；當(dāng)有個(gè)實(shí)根時(shí)，即，包含的基本領(lǐng)件有：，，共個(gè)；所以當(dāng)沒(méi)有實(shí)根時(shí)，即，包含的基本領(lǐng)件有：；由題意知，，則，，，故的分布列為：012的數(shù)學(xué)期望【小問(wèn)2詳解】記“先后兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)中有”為事務(wù)，“方程有實(shí)根”為事務(wù)，則，，則.22.已知函數(shù)．（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若在上有兩個(gè)極值點(diǎn)，（）．（i）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（ii）求證：．【答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為（2）（i）；（ii）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間.（2）（i）求得，依據(jù)在有兩個(gè)極值點(diǎn)，對(duì)進(jìn)行分類探討，由此求得的取值范圍.（ii）由（i）得，由建立的關(guān)系式，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)來(lái)證得.【小問(wèn)1詳解】，令，所以，所以，當(dāng)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．【小問(wèn)2詳解】（i）因?yàn)?，要使在上有兩個(gè)極值點(diǎn)，，則在上有兩個(gè)變號(hào)的零點(diǎn)，①時(shí)，則，由（1）知，，所以，所以在上沒(méi)有兩