線(xiàn)性代數(shù)教案第八節(jié)課

線(xiàn)性代數(shù)教案章節(jié)題目§4.線(xiàn)性方程組的解課型理論教學(xué)目的掌握線(xiàn)性方程組有解的充分必要條件.掌握判斷非齊次線(xiàn)性方程組是否有解方法，掌握利用初等變換方程求解方程組.重點(diǎn)利用初等變換求非齊次方程組的解.難點(diǎn)關(guān)于n元線(xiàn)性方程組的相關(guān)定理.參考書(shū)目同上教具教學(xué)后記教學(xué)過(guò)程備注復(fù)習(xí)上節(jié)內(nèi)容?！?線(xiàn)性方程組的解：1.給出n元線(xiàn)性方程組無(wú)解、有唯一解、無(wú)窮多解的充要條件.2.進(jìn)行求解練習(xí)3.介紹關(guān)于矩陣方程有解的充分必要條件.對(duì)書(shū)后較難題進(jìn)行講解.作業(yè)：P8012。（1）1315§4線(xiàn)性方程組的解我們知道n未知數(shù)m個(gè)方程的線(xiàn)性方程組可以寫(xiě)成Axb其中A(aij)x(x1x2xn)Tb(b1b2bm)T矩陣B(Ab)稱(chēng)為線(xiàn)性方程組的增廣矩陣線(xiàn)性方程組如果有解就稱(chēng)它是相容的如果無(wú)解就稱(chēng)它不相容利用系數(shù)矩陣A和增廣矩陣B(Ab)的秩可以方便地討論線(xiàn)性方程組是否有解以及有解時(shí)是否唯一等問(wèn)題其結(jié)論是定理1n元線(xiàn)性方程組Axb(1)無(wú)解的充分必要條件是R(A)R(Ab)(2)有唯一解的充分必要條件是R(A)R(Ab)n(3)有無(wú)限多解的充分必要條件是R(A)R(Ab)n注Axb無(wú)解R(A)R(Ab)的幾種等價(jià)敘述①Axb有解R(A)R(Ab)②Axb無(wú)解R(A)R(Ab)R(A)R(Ab)Axb無(wú)解③R(A)R(Ab)Axb有解R(A)R(Ab)Axb無(wú)解只需證明R(A)R(Ab)Axb無(wú)解R(A)R(Ab)nAxb有唯一解R(A)R(Ab)nAxb有無(wú)限多解定理1還可敘述為線(xiàn)性方程組Axb有解的充分必要條件是R(A)R(Ab)在有解的情況下若如R(A)R(Ab)n則有唯一解如果R(A)R(Ab)n則有無(wú)限多解證明只需證明條件的充分性因?yàn)?1)、(2)、(3)中條件的必要性依次是(2)(3)、(1)(3)、(1)(2)中條件的充分性的逆否命題設(shè)R(A)r為敘述方便不妨設(shè)B(Ab)的行最簡(jiǎn)形為(1)若R(A)R(B)則中的dr11于是的第r1行對(duì)應(yīng)矛盾方程01故方程Axb無(wú)解(2)若R(A)R(Ab)n則中的dr10(或dr1不出現(xiàn))且bij都不出現(xiàn)于是對(duì)應(yīng)方程組故方程Axb有唯一解(3)若R(A)R(Ab)n則中的dr10(或dr1不出現(xiàn))對(duì)應(yīng)方程組令自由未知數(shù)xr1c1xncnr即得方程Axb的含nr個(gè)參數(shù)的解由于參數(shù)可任意取值故方程Axb有無(wú)限多個(gè)解方程Axb的含參數(shù)的解稱(chēng)為方程Axb的通解注Axb無(wú)解R(A)R(Ab)的幾種等價(jià)敘述①Axb有解R(A)R(Ab)②Axb無(wú)解R(A)R(Ab)R(A)R(Ab)Axb無(wú)解③R(A)R(Ab)Axb有解R(A)R(Ab)Axb無(wú)解只需證明R(A)R(Ab)Axb無(wú)解R(A)R(Ab)nAxb有唯一解R(A)R(Ab)nAxb有無(wú)限多解R(A)R(Ab)Axb無(wú)解的證明若R(A)rR(Ab)則B=(Ab)的行最簡(jiǎn)形必具有如下形式于是B0的第r1行對(duì)應(yīng)矛盾方程01故方程Axb無(wú)解R(A)R(Ab)nAxb有唯一解的證明若R(A)R(Ab)n則B=(Ab)的行最簡(jiǎn)形必具有如下形式B0對(duì)應(yīng)方程組為故方程Axb有唯一解R(A)R(Ab)nAxb有無(wú)限多解的證明若R(A)R(Ab)=rn則B=(Ab)的行最簡(jiǎn)形必具有如下形式B0對(duì)應(yīng)方程組為令自由未知數(shù)xr1c1xncnr即得方程Axb的含nr個(gè)參數(shù)的解由于參數(shù)可任意取值故方程Axb有無(wú)限多個(gè)解當(dāng)方程組有無(wú)限多個(gè)解時(shí)其解的形式為令自由未知數(shù)xr1c1xncnr即得方程Axb的含n這種含參數(shù)的解稱(chēng)為方程Axb的通解求解線(xiàn)性方程組Axb的步驟(1)對(duì)于非齊次線(xiàn)性方程組把它的增廣矩陣B化成行階梯形從B的行階梯形可同時(shí)看出R(A)和R(B)若R(A)R(B)則方程組無(wú)解(2)若R(A)R(B)則進(jìn)一步把B化成行最簡(jiǎn)形而對(duì)于齊次線(xiàn)性方程組則把系數(shù)矩陣A化成行最簡(jiǎn)形(3)設(shè)R(A)R(B)r把行最簡(jiǎn)形中r個(gè)非零行的首非零元所對(duì)應(yīng)的未知數(shù)取作非自由未知數(shù)其余nr個(gè)未知數(shù)取作自由未知數(shù)并令自由未知數(shù)分別等于c1c2cnr由B(或A)的行最簡(jiǎn)形即可寫(xiě)出含nr個(gè)參數(shù)的通解例11求解齊次線(xiàn)性方程組解對(duì)系數(shù)矩陣A施行初等行變換變?yōu)樾凶詈?jiǎn)形矩陣即得與原方程組同解的方程組由此得(x3x4可任意取值)令x3c1x4c2其中c1c2例12求解齊次線(xiàn)性方程組解對(duì)系數(shù)矩陣A施行初等行變換變?yōu)樾凶詈?jiǎn)形矩陣即得與原方程組同解的方程組由此得或其中c1c2例13求解非齊次線(xiàn)性方程組.解對(duì)增廣矩陣B施行初等行變換,.可見(jiàn)R(A)=2,R(B)=3,故方程組無(wú)解.例14求解非齊次線(xiàn)性方程組.解因?yàn)樗约?c1c2為任意實(shí)數(shù))例15設(shè)有線(xiàn)性方程組問(wèn)取何值時(shí)此方程組(1)有唯一解(2)無(wú)解(3)有無(wú)限多個(gè)解？并在有無(wú)限多解時(shí)求其通解解法一對(duì)增廣矩陣B(Ab)作初等行變換把它變?yōu)樾须A梯形矩陣有(1)當(dāng)0且3時(shí)R(A)R(B)3方程組有唯一解(2)當(dāng)0時(shí)R(A)1R(B)2方程組有無(wú)解(3)當(dāng)3時(shí)R(A)R(B)2方程組有無(wú)限多個(gè)解這時(shí)由此便得通解(x3可任意取值)即(cR)解法二因系數(shù)矩陣A為方陣故方程有唯一解的充分必要條件是系數(shù)行列式|A|0而(3)2因此當(dāng)0且3時(shí)方程組有唯一解當(dāng)0時(shí)知R(A)1R(B)2故方程組無(wú)解當(dāng)3時(shí)知R(A)R(B)2故方程組有無(wú)限多個(gè)解并通解為(cR)定理2線(xiàn)性方程組Axb有解的充分必要條件是R(A)R(Ab)定理3n元齊次線(xiàn)性方程組Ax0有非零解的充分必要條件是R(A)n定理4矩陣方程AXB有解的充分必要件是R(A)R(AB)證明設(shè)A為mn矩陣B為nl矩陣則X為ml矩陣把X和B按列分塊記為X(x1x2xl)B(b1b2bl)則矩陣方程AXB等價(jià)于l個(gè)向量方程Axibi(i12l)先證充分性設(shè)R(A)R(AB)由于R(A)R(Abi)R(AB)故有R(A)R(Abi)從而根據(jù)定理2知l個(gè)向量方程Axibi(i12l再證必要性設(shè)矩陣方程AXB有解從而l個(gè)向量方程Axibi(i12l)都有解xi(1i2ini)T(i12l)記A(a1a2an1ia12ia2nianbi對(duì)矩陣(AB)(a1a2anb1b2bcn11ic1nicn(i12l)便把(AB)的第n1列、、第nl列都變?yōu)?即因此R(AB)R(A)證明設(shè)X=(x1,x2,×××,xl),B=(b1,b2,×××,bl),則AX=B可寫(xiě)成AX=(b1,b2,×××,bl).于是方程AX=B有解的充要條件是方程Axi=bi(i=1,2,×先證充分性.設(shè)R(A)=R(A,B),由于R(A)￡R(A,bi)￡R(A,B),故有R(A)=R(A,bi),從而方程Axi=bi(i=1,2,×××,l)都有解再證必要性.設(shè)R(A)1R(A,B),即R(A)R(A,B)則至少可以找到一個(gè)bi(1il)使得R(A)R(A,bi)因此方程Axi=bi無(wú)解從而方程AX=B也無(wú)解定理5設(shè)ABC則R(C)min{R(A)R(B)}