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湖南省衡陽八中、澧縣一中2025屆高三第一次調(diào)研測試數(shù)學(xué)試卷考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知復(fù)數(shù),其中為虛數(shù)單位,則()A. B. C.2 D.2.函數(shù)的對稱軸不可能為()A. B. C. D.3.已知拋物線經(jīng)過點,焦點為,則直線的斜率為()A. B. C. D.4.已知函數(shù),關(guān)于x的方程f(x)=a存在四個不同實數(shù)根,則實數(shù)a的取值范圍是()A.(0,1)∪(1,e) B.C. D.(0,1)5.如圖,在正方體中,已知、、分別是線段上的點,且.則下列直線與平面平行的是()A. B. C. D.6.已知點(m,8)在冪函數(shù)的圖象上,設(shè),則()A.b<a<c B.a(chǎn)<b<c C.b<c<a D.a(chǎn)<c<b7.某空間幾何體的三視圖如圖所示(圖中小正方形的邊長為1),則這個幾何體的體積是()A. B. C.16 D.328.已知數(shù)列滿足:)若正整數(shù)使得成立,則()A.16 B.17 C.18 D.199.已知復(fù)數(shù)z滿足,則z的虛部為()A. B.i C.–1 D.110.已知函數(shù)的定義域為,且,當時,.若,則函數(shù)在上的最大值為()A.4 B.6 C.3 D.811.要得到函數(shù)的圖象,只需將函數(shù)的圖象上所有點的()A.橫坐標縮短到原來的(縱坐標不變),再向左平移個單位長度B.橫坐標縮短到原來的(縱坐標不變),再向右平移個單位長度C.橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變),再向左平移個單位長度D.橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變),再向右平移個單位長度12.已知復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位),則下列說法正確的是()A.的虛部為 B.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第三象限C.的共軛復(fù)數(shù) D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知為雙曲線:的左焦點,直線經(jīng)過點,若點,關(guān)于直線對稱,則雙曲線的離心率為__________.14.已知數(shù)列的前項和為,,則滿足的正整數(shù)的值為______.15.在中,,是的角平分線,設(shè),則實數(shù)的取值范圍是__________.16.已知向量,,滿足,,,則的取值范圍為_________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)設(shè)(1)當時,求不等式的解集;(2)若,求的取值范圍.18.(12分)已知傾斜角為的直線經(jīng)過拋物線的焦點,與拋物線相交于、兩點,且.(1)求拋物線的方程;(2)設(shè)為拋物線上任意一點(異于頂點),過做傾斜角互補的兩條直線、,交拋物線于另兩點、,記拋物線在點的切線的傾斜角為,直線的傾斜角為,求證:與互補.19.(12分)已知,,分別為內(nèi)角,,的對邊,且.(1)證明:;(2)若的面積,,求角.20.(12分)已知函數(shù).(Ⅰ)求函數(shù)的極值;(Ⅱ)若,且,求證:.21.(12分)已知公差不為零的等差數(shù)列的前n項和為,,是與的等比中項.(1)求;(2)設(shè)數(shù)列滿足,,求數(shù)列的通項公式.22.(10分)已知向量,.(1)求的最小正周期;(2)若的內(nèi)角的對邊分別為,且,求的面積.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】
把已知等式變形,然后利用數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡,再由復(fù)數(shù)模的公式計算得答案.【詳解】解:,則.故選:D.【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算,考查了復(fù)數(shù)模的求法,是基礎(chǔ)題.2、D【解析】
由條件利用余弦函數(shù)的圖象的對稱性,得出結(jié)論.【詳解】對于函數(shù),令,解得,當時,函數(shù)的對稱軸為,,.故選:D.【點睛】本題主要考查余弦函數(shù)的圖象的對稱性,屬于基礎(chǔ)題.3、A【解析】
先求出,再求焦點坐標,最后求的斜率【詳解】解:拋物線經(jīng)過點,,,,故選:A【點睛】考查拋物線的基礎(chǔ)知識及斜率的運算公式,基礎(chǔ)題.4、D【解析】
原問題轉(zhuǎn)化為有四個不同的實根,換元處理令t,對g(t)進行零點個數(shù)討論.【詳解】由題意,a>2,令t,則f(x)=a????.記g(t).當t<2時,g(t)=2ln(﹣t)(t)單調(diào)遞減,且g(﹣2)=2,又g(2)=2,∴只需g(t)=2在(2,+∞)上有兩個不等于2的不等根.則?,記h(t)(t>2且t≠2),則h′(t).令φ(t),則φ′(t)2.∵φ(2)=2,∴φ(t)在(2,2)大于2,在(2,+∞)上小于2.∴h′(t)在(2,2)上大于2,在(2,+∞)上小于2,則h(t)在(2,2)上單調(diào)遞增,在(2,+∞)上單調(diào)遞減.由,可得,即a<2.∴實數(shù)a的取值范圍是(2,2).故選:D.【點睛】此題考查方程的根與函數(shù)零點問題,關(guān)鍵在于等價轉(zhuǎn)化,將問題轉(zhuǎn)化為通過導(dǎo)函數(shù)討論函數(shù)單調(diào)性解決問題.5、B【解析】
連接,使交于點,連接、,可證四邊形為平行四邊形,可得,利用線面平行的判定定理即可得解.【詳解】如圖,連接,使交于點,連接、,則為的中點,在正方體中,且,則四邊形為平行四邊形,且,、分別為、的中點,且,所以,四邊形為平行四邊形,則,平面,平面,因此,平面.故選:B.【點睛】本題主要考查了線面平行的判定,考查了推理論證能力和空間想象能力,屬于中檔題.6、B【解析】
先利用冪函數(shù)的定義求出m的值,得到冪函數(shù)解析式為f(x)=x3,在R上單調(diào)遞增,再利用冪函數(shù)f(x)的單調(diào)性,即可得到a,b,c的大小關(guān)系.【詳解】由冪函數(shù)的定義可知,m﹣1=1,∴m=2,∴點(2,8)在冪函數(shù)f(x)=xn上,∴2n=8,∴n=3,∴冪函數(shù)解析式為f(x)=x3,在R上單調(diào)遞增,∵,1<lnπ<3,n=3,∴,∴a<b<c,故選:B.【點睛】本題主要考查了冪函數(shù)的性質(zhì),以及利用函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值大小,屬于中檔題.7、A【解析】幾何體為一個三棱錐,高為4,底面為一個等腰直角三角形,直角邊長為4,所以體積是,選A.8、B【解析】
計算,故,解得答案.【詳解】當時,,即,且.故,,故.故選:.【點睛】本題考查了數(shù)列的相關(guān)計算,意在考查學(xué)生的計算能力和對于數(shù)列公式方法的綜合應(yīng)用.9、C【解析】
利用復(fù)數(shù)的四則運算可得,即可得答案.【詳解】∵,∴,∴,∴復(fù)數(shù)的虛部為.故選:C.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運算、虛部概念,考查運算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.10、A【解析】
根據(jù)所給函數(shù)解析式滿足的等量關(guān)系及指數(shù)冪運算,可得;利用定義可證明函數(shù)的單調(diào)性,由賦值法即可求得函數(shù)在上的最大值.【詳解】函數(shù)的定義域為,且,則;任取,且,則,故,令,,則,即,故函數(shù)在上單調(diào)遞增,故,令,,故,故函數(shù)在上的最大值為4.故選:A.【點睛】本題考查了指數(shù)冪的運算及化簡,利用定義證明抽象函數(shù)的單調(diào)性,賦值法在抽象函數(shù)求值中的應(yīng)用,屬于中檔題.11、C【解析】
根據(jù)三角函數(shù)圖像的變換與參數(shù)之間的關(guān)系,即可容易求得.【詳解】為得到,將橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變),故可得;再將向左平移個單位長度,故可得.故選:C.【點睛】本題考查三角函數(shù)圖像的平移,涉及誘導(dǎo)公式的使用,屬基礎(chǔ)題.12、D【解析】
利用的周期性先將復(fù)數(shù)化簡為即可得到答案.【詳解】因為,,,所以的周期為4,故,故的虛部為2,A錯誤;在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為,在第二象限,B錯誤;的共軛復(fù)數(shù)為,C錯誤;,D正確.故選:D.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運算,涉及到復(fù)數(shù)的虛部、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的幾何意義、復(fù)數(shù)的模等知識,是一道基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
由點,關(guān)于直線對稱,得到直線的斜率,再根據(jù)直線過點,可求出直線方程,又,中點在直線上,代入直線的方程,化簡整理,即可求出結(jié)果.【詳解】因為為雙曲線:的左焦點,所以,又點,關(guān)于直線對稱,,所以可得直線的方程為,又,中點在直線上,所以,整理得,又,所以,故,解得,因為,所以.故答案為【點睛】本題主要考查雙曲線的簡單性質(zhì),先由兩點對稱,求出直線斜率,再由焦點坐標求出直線方程,根據(jù)中點在直線上,即可求出結(jié)果,屬于??碱}型.14、6【解析】
已知,利用,求出通項,然后即可求解【詳解】∵,∴當時,,∴;當時,,∴,故數(shù)列是首項為-2,公比為2的等比數(shù)列,∴.又,∴,∴,∴.【點睛】本題考查通項求解問題,屬于基礎(chǔ)題15、【解析】
設(shè),,,由,用面積公式表示面積可得到,利用,即得解.【詳解】設(shè),,,由得:,化簡得,由于,故.故答案為:【點睛】本題考查了解三角形綜合,考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化劃歸,綜合分析,數(shù)學(xué)運算能力,屬于中檔題.16、【解析】
設(shè),,,,由,,,根據(jù)平面向量模的幾何意義,可得A點軌跡為以O(shè)為圓心、1為半徑的圓,C點軌跡為以B為圓心、1為半徑的圓,為的距離,利用數(shù)形結(jié)合求解.【詳解】設(shè),,,,如圖所示:因為,,,所以A點軌跡為以O(shè)為圓心、1為半徑的圓,C點軌跡為以B為圓心、1為半徑的圓,則即的距離,由圖可知,.故答案為:【點睛】本題主要考查平面向量的模及運算的幾何意義,還考查了數(shù)形結(jié)合的方法,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)【解析】
(1)通過討論的范圍,得到關(guān)于的不等式組,解出取并集即可.(2)去絕對值將函數(shù)寫成分段函數(shù)形式討論分段函數(shù)的單調(diào)性由恒成立求得結(jié)果.【詳解】解:(1)當時,,即或或解之得或,即不等式的解集為.(2)由題意得:當時為減函數(shù),顯然恒成立.當時,為增函數(shù),,當時,為減函數(shù),綜上所述:使恒成立的的取值范圍為.【點睛】本題考查了解絕對值不等式問題,考查不等式恒成立問題中求解參數(shù)問題,考查分類討論思想,轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.18、(1)(2)證明見解析【解析】
(1)根據(jù)題意,設(shè)直線方程為,聯(lián)立方程,根據(jù)拋物線的定義即可得到結(jié)論;(2)根據(jù)題意,設(shè)的方程為,聯(lián)立方程得,同理可得,進而得到,再利用點差法得直線的斜率,利用切線與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系得直線的斜率,進而可得與互補.【詳解】(1)由題意設(shè)直線的方程為,令、,聯(lián)立,得,根據(jù)拋物線的定義得,又,故所求拋物線方程為.(2)依題意,設(shè),,設(shè)的方程為,與聯(lián)立消去得,,同理,直線的斜率=切線的斜率,由,即與互補.【點睛】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用,直線斜率的應(yīng)用,考查分析問題解決問題的能力,屬于中檔題.19、(1)見解析;(2)【解析】
(1)利用余弦定理化簡已知條件,由此證得(2)利用正弦定理化簡(1)的結(jié)論,得到,利用三角形的面積公式列方程,由此求得,進而求得的值,從而求得角.【詳解】(1)由已知得,由余弦定理得,∴.(2)由(1)及正弦定理得,即,∴,∴,∴.,∴,,.【點睛】本小題主要考查余弦定理、正弦定理解三角形,考查三角形的面積公式,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,考查運算求解能力,屬于中檔題.20、(Ⅰ)極大值為:,無極小值;(Ⅱ)見解析.【解析】
(Ⅰ)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可求出函數(shù)的極值;(Ⅱ)得到,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性問題轉(zhuǎn)化為證明,即證,令,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可.【詳解】(Ⅰ)的定義域為且令,得;令,得在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減函數(shù)的極大值為,無極小值(Ⅱ),,即由(Ⅰ)知在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減且,則要證,即證,即證,即證即證由于,即,即證令則恒成立在遞增在恒成立【點睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想,轉(zhuǎn)化思想,考查不等式的證明,考查運算求解能力及化歸與轉(zhuǎn)化思想,關(guān)鍵是能夠構(gòu)造出合適的函數(shù),將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值的求解問題,屬于難題.21、(1);(2).【解析】
(1)根據(jù)題意,建立首項和公差的方程組,通過基本量即可寫出前項和;(2)由(1)中所求,結(jié)合累加法求得.【詳解】(1)由題意可得即又因為,所以,所以.(2)由條件及(1)可得.由已知得,所以.又滿足上式,所以【點睛】本題考查等差數(shù)列通項公式和前項和的基本量的求解,涉及利用累加法求
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