2025屆高三數(shù)學(xué)寒假二輪微專題45講41.數(shù)列中的計(jì)數(shù)問(wèn)題原理與應(yīng)用

②值域：；下面我們通過(guò)例子分析.二．典例分析例1.在等差數(shù)列中，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）對(duì)隨意，將數(shù)列中落入?yún)^(qū)間內(nèi)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)記為，求數(shù)列的前項(xiàng)和.解析：（1）由可得而，則，，于是，即.（2）對(duì)隨意m∈N﹡，，則，即，而，故，由題意可知，于是，即.例2.已知等差數(shù)列的前5項(xiàng)和為105，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）對(duì)隨意，將數(shù)列中不大于的項(xiàng)的個(gè)數(shù)記為.求數(shù)列的前m項(xiàng)和.解析：（1）由已知得：解得,所以通項(xiàng)公式為.（2）由，得，即.∵，∴是公比為49的等比數(shù)列，∴.例3．（2024新高考1卷）已知公比大于的等比數(shù)列滿意．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）記為在區(qū)間中的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．解析：（1）由于數(shù)列是公比大于的等比數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)為，公比為，依題意有，解得解得，或(舍)，所以，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由題意，，即，當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，，則．例4.（2024新高考1卷）已知為等差數(shù)列，是公比為2的等比數(shù)列，且（1）證明：；（2）求集合中元素的個(gè)數(shù)．解析：（1）設(shè)等差數(shù)列公差為，由，知，故，由，知，故；故，整理得，得證．（2）由（1）知，由知：即，即，因?yàn)?，故，解得故集合中元素的個(gè)數(shù)為9個(gè)．三．習(xí)題演練1．（2024屆溫州一模）已知數(shù)列是等差數(shù)列，，且，，成等比數(shù)列．給定，記集合的元素個(gè)數(shù)為．（1）求，的值；（2）求最小自然數(shù)n的值，使得．解析：（1）設(shè)數(shù)列的公差為，由，，成等比數(shù)列，得，，解得，所以，時(shí)，集合中元素個(gè)數(shù)為，時(shí)，集合中元素個(gè)數(shù)為；（2）由（1）知，，時(shí)，=2001<2024，時(shí)，=4039>2024，記，明顯數(shù)列是遞增數(shù)列，所以所求的最小值是11.習(xí)題2．已知公比大于的等比數(shù)列滿意．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）記為在區(qū)間中的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．解析：（1）由于數(shù)列是公比大于的等比數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)為，公比為，依題意有，解得解