2025版新教材高中數(shù)學(xué)同步練習(xí)26球的表面積和體積新人教A版必修第二冊

同步練習(xí)26球的表面積和體積必備學(xué)問基礎(chǔ)練一、選擇題(每小題5分，共45分)1．若球的表面積擴大為原來的n倍，則它的半徑比原來增加的倍數(shù)為()A．eq\r(n)－1B．eq\r(n)＋1C．eq\r(n)＋2D．eq\r(n)2．[2024·河南洛陽高一期中]若一個長方體的長、寬、高分別為4，eq\r(5)，2，且該長方體的每個頂點都在球O的球面上，則球O的表面積為()A．18πB．20πC．24πD．25π3．若一個圓錐的底面半徑和一個半球的半徑相等，體積也相等，則圓錐的高與球的半徑之比為()A．2∶1B．2∶3C．2∶πD．2∶54．[2024·河北保定高一期末]某圓錐的母線長為4，高為3，則該圓錐外接球的表面積為()A．16πB．eq\f(196π,9)C．24πD．eq\f(256π,9)5．[2024·河南鄭州高一期中]已知圓柱的高為2，側(cè)面積為4π，若該圓柱的上、下底面圓周都在某一球的球面上，則該球的體積為()A．eq\f(8\r(2)π,3)B．eq\f(8\r(3)π,3)C．4eq\r(2)πD．4eq\r(3)π6．[2024·山東青島二中高一期中]已知球O1與一正方體的各條棱相切，同時該正方體內(nèi)接于球O2，則球O1與球O2的表面積之比為()A．2∶3B．3∶2C．eq\r(2)∶eq\r(3)D．eq\r(3)∶eq\r(2)7．[2024·安徽舒城中學(xué)高一期中]打糍粑流行于中國南方地區(qū)，如圖為一種打糍粑用的石臼，其可看成從正方體的一面挖去一個半球后形成的幾何體．若該正方體的棱長為a，半球的半徑為R，石臼的體積為eq\f(3,4)a3，則eq\f(a,R)＝()A.2eq\r(3,\f(2π,3))B．2eq\r(3,\f(π,3))C．eq\f(1,2)eq\r(3,\f(3,π))D．2eq\r(3,\f(π,9))8．(多選)已知某球的表面積為16π，則下列說法中正確的是()A．球的半徑為2B．球的體積為10πC．球的體積為eq\f(32,3)πD．球的半徑為19．(多選)已知某正方體的外接球上有一個動點M，該正方體的內(nèi)切球上有一個動點N，若線段MN的最小值為eq\r(3)－1，則下列說法正確的是()A．正方體的外接球的表面積為12πB．正方體的內(nèi)切球的體積為eq\f(4π,3)C．正方體的棱長為2D．線段MN的最大值為2eq\r(3)二、填空題(每小題5分，共15分)10．已知兩個球的表面積之差為80π，它們的大圓周長之和為16π，則這兩個球的半徑之差為________．11．[2024·河南信陽二中高一期中]已知長方體的表面積為22，過一個頂點的三條棱長之和為6，則該長方體外接球的表面積為________．12．[2024·河南濮陽高一期中]如圖所示三棱錐A-BCD，其中AB＝CD＝eq\r(5)，AC＝BD＝eq\r(6)，AD＝BC＝eq\r(7)，則該三棱錐外接球的表面積為________．三、解答題(共20分)13．(10分)已知過球面上三點A，B，C的截面到球心的距離等于球半徑的eq\f(\r(3),2)，且AC＝8，BC＝6，AB＝10，求球的表面積與球的體積．14．(10分)在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是邊長為3eq\r(2)的正方形，且各側(cè)棱長均為2eq\r(3)，求該四棱錐外接球的表面積．關(guān)鍵實力提升練15．(5分)上、下底面均為等邊三角形的三棱臺的全部頂點都在同一球面上，若三棱臺的高為eq\r(3)，上、下底面邊長分別為eq\r(3)，2eq\r(3)，則該球的體積為()A．eq\f(32π,3)B．eq\f(32\r(3)π,27)C．4eq\r(3)πD．36π16.(5分)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的高為4，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，則該三棱柱的外接球的體積為________．17．(10分)[2024·安徽馬鞍山二中高一期中]如圖，在水平放置的直徑與高相等的圓柱內(nèi)，放入兩個半徑相等的小球(球A和球B)，圓柱的底面直徑為2＋eq\r(2)，向圓柱內(nèi)注滿水，水面剛好沉沒小球B.(1)求球A的體積；(2)求圓柱的側(cè)面積與球B的表面積之比．同步練習(xí)26球的表面積和體積必備學(xué)問基礎(chǔ)練1．答案：A解析：設(shè)原球的半徑為r，擴大后為R，則原表面積為4πr2，擴大n倍后變?yōu)?nπr2，所以R＝eq\r(\f(4nπr2,4π))＝eq\r(n)r，得eq\f(R,r)＝eq\r(n)，即半徑擴大到原來的eq\r(n)倍，比原來增加了(eq\r(n)－1)倍．故選A.2．答案：D解析：由題意，長方體的體對角線的交點到各個頂點的距離相等，即球心O為體對角線交點，半徑為體對角線的一半，即球O的半徑r＝eq\f(\r(42＋（\r(5)）2＋22),2)＝eq\f(5,2)，則球O的表面積S＝4πr2＝25π.故選D.3．答案：A解析：設(shè)半球的半徑為r，圓錐的高為h，因為圓錐和半球體積相等，則eq\f(1,3)πr2·h＝eq\f(4,3)πr3·eq\f(1,2)，所以h＝2r，故eq\f(h,r)＝2.故選A.4．答案：D解析：設(shè)該圓錐外接球的半徑為R，則R2＝(3－R)2＋42－32，解得R＝eq\f(8,3)，故該圓錐外接球的表面積S＝4πR2＝eq\f(256π,9).故選D.5．答案：A解析：由圓柱側(cè)面積S＝2πrh＝4πr＝4π，解得r＝1，因為圓柱的上、下底面圓周都在某一球的球面上，所以球心在圓柱高的中點處，設(shè)球半徑為R，則由R＝eq\r(r2＋（\f(h,2)）2)＝eq\r(12＋12)＝eq\r(2)，所以V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π·2eq\r(2)＝eq\f(8\r(2),3)π.故選A.6．答案：A解析：設(shè)正方體棱長為a，因為球O1與正方體的各條棱相切，所以球O1的直徑大小為正方體的面對角線長度，即半徑r＝eq\f(\r(2),2)a；正方體內(nèi)接于球O2，則球O2的直徑大小為正方體的體對角線長度，即半徑R＝eq\f(\r(3),2)a；所以球O1與球O2的表面積之比為eq\f(r2,R2)＝eq\f(（\f(\r(2),2)a）2,（\f(\r(3),2)a）2)＝eq\f(2,3).故選A.7．答案：B解析：由題可知正方體的體積為a3，挖去的半球的體積為eq\f(2,3)πR3，所以a3－eq\f(2,3)πR3＝eq\f(3,4)a3，即eq\f(1,4)a3＝eq\f(2,3)πR3，所以eq\f(a,R)＝2eq\r(3,\f(π,3)).故選B.8．答案：AC解析：設(shè)球的半徑為r，r>0，則4πr2＝16π，r＝2，所以球的體積為eq\f(4π,3)·r3＝eq\f(32π,3)，所以AC選項正確，BD選項錯誤．故選AC.9．答案：ABC解析：設(shè)正方體的棱長為a，則正方體外接球半徑為體對角線長的一半，即R＝eq\f(\r(3),2)a，內(nèi)切球半徑為棱長的一半，即r＝eq\f(a,2).∵M，N分別為該正方體外接球和內(nèi)切球上的動點，∴MNmin＝eq\f(\r(3),2)a－eq\f(a,2)＝eq\f(\r(3)－1,2)a＝eq\r(3)－1，解得a＝2，∴正方體的棱長為2，C正確；正方體的外接球的表面積為4π×(eq\r(3))2＝12π，A正確；正方體的內(nèi)切球的體積為eq\f(4,3)π×13＝eq\f(4π,3)，B正確；線段MN的最大值為eq\f(\r(3),2)a＋eq\f(a,2)＝eq\r(3)＋1，D錯誤．故選ABC.10．答案：eq\f(5,2)解析：設(shè)兩球的半徑分別為R和r，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4πR2－4πr2＝80π,2πR＋2πr＝16π))，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(R2－r2＝20,R＋r＝8))，∴R2－r2＝(R＋r)(R－r)＝8(R－r)＝20，解得：R－r＝eq\f(20,8)＝eq\f(5,2)，即兩個球的半徑之差為eq\f(5,2).11．答案：14π解析：令長方體的長、寬、高分別為a，b，c，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2（ab＋bc＋ac）＝22,a＋b＋c＝6))，由(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac＝36，則a2＋b2＋c2＝14，而長方體外接球半徑r＝eq\f(\r(a2＋b2＋c2),2)，故r＝eq\f(\r(14),2)，其表面積為4πr2＝4π×eq\f(7,2)＝14π.12．答案：9π解析：因為AB＝CD＝eq\r(5)，AC＝BD＝eq\r(6)，AD＝BC＝eq\r(7)，所以可以將三棱錐ABCD如圖放置于一個長方體中，設(shè)長方體的長、寬、高分別為a，b，c，則有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＋b2＝7，,a2＋c2＝6，,b2＋c2＝5，))整理得a2＋b2＋c2＝9，則該棱錐外接球的半徑R＝eq\f(3,2)，S球＝4πR2＝9π.13．解析：如圖，設(shè)球的半徑為R，球心為O，截面圓心為O1，則OO1＝eq\f(\r(3),2)R.在△ABC中，由AC2＋BC2＝AB2，即∠ACB＝90°，∴O1是AB的中點，即O1B＝O1A＝5，又OOeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋O1A2＝OA2，∴(eq\f(\r(3),2)R)2＋52＝R2，可得R＝10.∴球的表面積S＝4πR2＝4π×102＝400π，球的體積V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π×103＝eq\f(4000,3)π.14．解析：因為四棱錐SABCD中，底面ABCD是邊長為3eq\r(2)的正方形，且各側(cè)棱長均為2eq\r(3)，所以該四棱錐是正四棱錐，取正方形ABCD的中心O1，連接SO1，AC，則點O1為AC的中點，如圖，則球心O在SO1上，因為正方形ABCD邊長為3eq\r(2)，所以AC＝eq\r(2)×3eq\r(2)＝6，所以AO1＝3，因為SA＝2eq\r(3)，所以SO1＝eq\r(SA2－AOeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)))＝eq\r(12－9)＝eq\r(3)，設(shè)四棱錐SABCD外接球的半徑為r，則OO1＝SO1－SO＝eq\r(3)－r，在Rt△AOO1中，AO2＝AOeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋OOeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))，即r2＝32＋(eq\r(3)－r)2，解得r＝2eq\r(3)，所以該四棱錐外接球的表面積為4πr2＝4π×(2eq\r(3))2＝48π.關(guān)鍵實力提升練15．答案：A解析：設(shè)三棱臺為ABCA1B1C1，其中△ABC是下底面，△A1B1C1是上底面，點O，O1分別為△ABC，△A1B1C1的中心，則OO1＝eq\r(3)，OA＝eq\f(2,3)eq\r(（2\r(3)）2－（\r(3)）2)＝2，同理O1A1＝1，所以O(shè)A1＝eq\r(（OO1）2＋（O1A1）2)＝eq\r(（\r(3)）2＋12)＝2，同理OB1＝OC1＝2.所以O(shè)A＝OB＝OC＝OA1＝OB1＝OC1＝2.所以點O就是幾何體的外接球的球心．所以球半徑R＝OA＝2，所以體積為eq\f(4πR3,3)＝eq\f(32π,3).故選A.16．答案：8eq\r(6)π解析：因為AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，所以BC＝eq\r(AB2＋AC2)＝2eq\r(2)，設(shè)△ABC外接圓的半徑為r，則2r＝eq\f(BC,sin∠BAC)＝2eq\r(2)，又直三棱柱ABCA1B1C1的高h＝4，設(shè)直三棱柱ABCA1B1C1外接球的半徑為R，則(2R)2＝h2＋(2r)2，即(2R)2＝42＋(2eq\r(2))2，解得R＝eq\r(6)，所以外接球的體積V＝eq\f(4πR3,3)＝8