四川省內(nèi)江市2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)第一次模擬考試文試題含解析

Page1四川省內(nèi)江市2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)第一次模擬考試（文）試題第Ⅰ卷（選擇題，共60分）一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每個(gè)小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，把正確選項(xiàng)的代號(hào)填在答題卡的指定位置．）1.設(shè)復(fù)數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)z，然后由模的公式求解.【詳解】因?yàn)?，所以，故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算和復(fù)數(shù)的模，還考查了運(yùn)算求解的實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.2.設(shè)集合，，則集合（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先分別求出集合，再計(jì)算即可.【詳解】，則又，故選：D.3.此次流行的冠狀病毒為一種新發(fā)覺的冠狀病毒，國際病毒分類委員會(huì)命名為.因?yàn)槿巳喝鄙賹?duì)新型病毒株的免疫力，所以人群普遍易感.為了解某中學(xué)對(duì)新冠疫情防控學(xué)問的宣揚(yáng)狀況，增加學(xué)生日常防控意識(shí)，現(xiàn)從該校隨機(jī)抽取名學(xué)生參與防控學(xué)問測(cè)試，得分（分制）如圖所示，以下結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A.這名學(xué)生測(cè)試得分的中位數(shù)為B.這名學(xué)生測(cè)試得分的眾數(shù)為C.這名學(xué)生測(cè)試得分的平均數(shù)比中位數(shù)大D.從這名學(xué)生的測(cè)試得分可預(yù)料該校學(xué)生對(duì)疫情防控的學(xué)問駕馭較好【答案】D【解析】【分析】依據(jù)統(tǒng)計(jì)圖可依次計(jì)算中位數(shù)、眾數(shù)和平均數(shù)，由此依次推斷各個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)于A，這名學(xué)生測(cè)試得分的中位數(shù)為得分從小到大排列后，第和名學(xué)生成果的平均數(shù)，由統(tǒng)計(jì)圖可知：中位數(shù)為，A正確；對(duì)于B，由統(tǒng)計(jì)圖可知：這名學(xué)生測(cè)試得分的眾數(shù)為，B正確；對(duì)于C，這名學(xué)生測(cè)試得分的平均數(shù)為，即平均數(shù)比中位數(shù)大，C正確；對(duì)于D，這名學(xué)生測(cè)試得分的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)均較低，由此可預(yù)料該校學(xué)生對(duì)疫情防控的學(xué)問駕馭的不夠好，D錯(cuò)誤.故選：D.4.已知向量，若與的夾角為，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先表示出的坐標(biāo)，再依據(jù)向量的夾角公式列出關(guān)于m的方程，解得答案.【詳解】由題意得，故，解得，其中不合題意，舍去，故，故選：D5.的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為，已知，，，則（）A.4 B. C. D.【答案】B【解析】分析】先通過正弦定理得，則可求出，再利用余弦定理求即可.【詳解】因?yàn)?，由正弦定理得，又，由余弦定理，則故選：B.6.已知數(shù)列滿意：，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上．則（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】A【解析】【分析】先通過求出，則可得數(shù)列的通項(xiàng)公式，代入可求得.【詳解】由已知，則，解得，故選：A.7.函數(shù)的圖像大致為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由函數(shù)為偶函數(shù)可解除AC，再由當(dāng)時(shí)，，解除D，即可得解.【詳解】設(shè)，則函數(shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又，所以函數(shù)為偶函數(shù)，解除AC；當(dāng)時(shí)，，所以，解除D.故選：B.8.習(xí)近平總書記多次強(qiáng)調(diào)生態(tài)文明建設(shè)關(guān)系人民福祉、關(guān)乎民族將來，是事關(guān)實(shí)現(xiàn)“兩個(gè)一百年”奮斗目標(biāo)；事關(guān)中華民族永續(xù)發(fā)展的大事.“環(huán)境就是民生，青山就是漂亮，藍(lán)天也是華蜜”，隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展和社會(huì)的進(jìn)步，人們的環(huán)保意識(shí)日益增加.某化工廠產(chǎn)生的廢氣中污染物的含量為，排放前每過濾一次，該污染物的含量都會(huì)削減，當(dāng)?shù)丨h(huán)保部門要求廢氣中該污染物的含量不能超過，若要使該工廠的廢氣達(dá)標(biāo)排放，那么該污染物排放前須要過濾的次數(shù)至少為（）（參考數(shù)據(jù)：，）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)已知關(guān)系可構(gòu)造不等式，利用指數(shù)與對(duì)數(shù)互化可得，結(jié)合換底公式和對(duì)數(shù)運(yùn)算法則可求得的最小值.【詳解】設(shè)排放前須要過濾次，則，，，又，，即排放前須要過濾的次數(shù)至少為次.故選：C.9.在內(nèi)隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)的和小于的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】在區(qū)間內(nèi)隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)，滿意，得到圍成的正方形的面積，再畫出不等式組所表示的平面區(qū)域，利用幾何概型概率公式即可求解.【詳解】由題意，在區(qū)間內(nèi)隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)，滿意，則不等式組所圍成的正方形的面積為，由這兩個(gè)數(shù)的和小于，即，作出不等式組所表示的平面區(qū)域，如圖所示，則陰影部分的面積為，所以這兩個(gè)數(shù)的和小于的概率為.故選：C.10.已知函數(shù)，若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先用二倍角公式與協(xié)助角公式化簡(jiǎn)，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，列出不等式組，解出實(shí)數(shù)的取值范圍，進(jìn)而求出答案.【詳解】，由函數(shù)在上單調(diào)遞減.且，，解得：，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有滿意要求的取值，即.故選：C.11.已知函數(shù)，設(shè)，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】確定函數(shù)的奇偶性，利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)的單調(diào)性，將化為，比較的大小關(guān)系即可得答案.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，，故為偶函?shù)，當(dāng)時(shí)，，令，則，即單調(diào)遞增，故，所以，則在時(shí)單調(diào)遞增，由于因?yàn)椋?，，即，則，故選：B12.已知函數(shù)，（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A.8 B.7 C.6 D.4【答案】C【解析】【分析】設(shè)，由，得，作出，的圖象，由與的圖象有4個(gè)交點(diǎn)求解.【詳解】解：設(shè)，由，得，作出，的圖象，如圖所示：設(shè)直線與相切，切點(diǎn)為，則，解得，，設(shè)直線與相切，切點(diǎn)為，則，解得，，故直線與的圖象有4個(gè)交點(diǎn)，不妨設(shè)，且，由圖象可知：，由的函數(shù)圖象可知無解，有一個(gè)解，有三個(gè)解，有兩個(gè)解，所以有6個(gè)零點(diǎn)，故選：C第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分．）13.下方莖葉圖記錄了甲、乙兩組各5名學(xué)生在一次英語聽力測(cè)試中的成果(單位：分)．已知甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則的值為__________．【答案】9【解析】【詳解】閱讀莖葉圖，由甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為可得，乙組的平均數(shù)：，解得：，則:.點(diǎn)睛：莖葉圖的繪制需留意：(1)“葉”的位置只有一個(gè)數(shù)字，而“莖”的位置的數(shù)字位數(shù)一般不須要統(tǒng)一；(2)重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)據(jù)要重復(fù)記錄，不能遺漏，特殊是“葉”的位置的數(shù)據(jù)．14.若實(shí)數(shù)滿意不等式組，則的最小值為_________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)不等式組可作出可行域，將問題轉(zhuǎn)化為直線在軸截距最小值的求解，采納數(shù)形結(jié)合的方式可求得結(jié)果.【詳解】依據(jù)不等式組可得可行域如下圖陰影部分所示，當(dāng)取得最小值時(shí)，直線在軸截距最小，由圖象可知：當(dāng)過時(shí)，在軸截距最小，.故答案為：.15.已知是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且對(duì)隨意的滿意，若時(shí)，有，則______.【答案】【解析】【分析】由條件可得，然后可算出答案.【詳解】因?yàn)?，是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，所以因?yàn)楫?dāng)時(shí)，有，所以所以故答案為：16.已知正實(shí)數(shù)a、b滿意，則a、b肯定滿意的關(guān)系有______．（填序號(hào)）①；②；③；④．【答案】①③.【解析】【分析】因?yàn)椋裕?，即，可得，，結(jié)合基本不等式即可求解最值，進(jìn)而推斷可得答案.【詳解】因?yàn)?，所以，即，即，可得，，所以，?duì)于①，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，故①正確.對(duì)于②，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，故②錯(cuò)誤.對(duì)于③，，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立，所以，故③正確.對(duì)于④，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立，所以，故④錯(cuò)誤.綜上所述：正確的序號(hào)為①③.故答案為：①③.三、解答題（共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟，第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必需作答，第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答．）（一）必考題：共60分．17.第屆北京冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)于年月日至月日在北京和張家口聯(lián)合舉辦.這是中國歷史上第一次舉辦冬季奧運(yùn)會(huì)，它掀起了中國人民參與冬季運(yùn)動(dòng)的大熱潮.某中學(xué)共有學(xué)生：名，其中男生名，女生名，按性別分層抽樣，從中抽取名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，了解他們是否參與過滑雪運(yùn)動(dòng).狀況如下：參與過滑雪未參與過滑雪男生女生（1）若，，求參與調(diào)查的女生中，參與過滑雪運(yùn)動(dòng)的女生比未參與過滑雪運(yùn)動(dòng)的女生多的概率；（2）若參與調(diào)查的女生中，參與過滑雪運(yùn)動(dòng)的女生比未參與過滑雪運(yùn)動(dòng)的女生少人，試依據(jù)以上列聯(lián)表，推斷是否有的把握認(rèn)為“該校學(xué)生是否參與過滑雪運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”.附：，.【答案】（1）（2）沒有的把握認(rèn)為“該校學(xué)生是否參與過滑雪運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”【解析】【分析】（1）依據(jù)分層抽樣原則可確定抽取的名學(xué)生中，女生有人，由此可列舉出全部可能的取值結(jié)果，并確定的取值結(jié)果，依據(jù)古典概型概率公式可求得結(jié)果；（2）依據(jù)可求得的值，進(jìn)而得到，由列聯(lián)表可求得，對(duì)比臨界值表可得結(jié)論.【小問1詳解】依據(jù)分層抽樣原則知：抽取的名學(xué)生中，女生有人，若，，則全部可能的取值結(jié)果有，，，，，，，，，共個(gè)；其中滿意的有，，，，共個(gè)，參與過滑雪運(yùn)動(dòng)的女生比未參與過滑雪運(yùn)動(dòng)的女生多的概率為.【小問2詳解】由（1）知：，又，，，，，沒有的把握認(rèn)為“該校學(xué)生是否參與過滑雪運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”.18.已知函數(shù)，．（1）已知，求的值；（2）已知內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且，c＝3，若向量與垂直，求的周長．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先變形得到，再利用計(jì)算即可；（2）先通過求出，再利用向量垂直求出，則也可得出，再通過正弦定理求角所對(duì)的邊即可求出周長.【小問1詳解】，，；【小問2詳解】由（1）得，則，，又，，又向量與垂直，，即，又，則，由正弦定理，則，的周長為.19.數(shù)列滿意：，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，若恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】（1），（2）或【解析】【分析】（1）依據(jù)遞推關(guān)系得，再驗(yàn)證滿意條件即可求得答案；（2）由（1）知，，再結(jié)合裂項(xiàng)求和與數(shù)列的單調(diào)性得，再解不等式即可.【小問1詳解】解：當(dāng)，，①，，②①－②得（*）在①中令，得，也滿意（*），所以，，【小問2詳解】解：由（1）知，，故，于是，因?yàn)殡Sn的增大而增大，所以，解得或所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是或.20.已知函數(shù).（1）求在區(qū)間上的最值；（2）若過點(diǎn)可作曲線的3條切線，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）最大值，最小值；（2）.【解析】【分析】（1）求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)性，依據(jù)單調(diào)性求得函數(shù)的極值和端點(diǎn)值，比較可得函數(shù)的最值；（2）設(shè)切點(diǎn)，進(jìn)而得方程有3個(gè)根，然后構(gòu)造函數(shù)利用單調(diào)性、極值求解即得．【小問1詳解】∵，，由解得或，由解得，又，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，∴的最大值是，最小值是；【小問2詳解】設(shè)切點(diǎn)，則，則切線為，∴整理得，由題意知此方程應(yīng)有3個(gè)解，令，則，由解得或，由解得，∴函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴當(dāng)時(shí)，有極大值，且極大值為，當(dāng)時(shí)，有微小值，且微小值為；要使得方程有3個(gè)根，則，解得，∴實(shí)數(shù)的取值范圍為．21.已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間：（2）若函數(shù)f（x）恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，記極大值和微小值分別為M、m，求證：.【答案】（1）和；

（2）證明見解析.

【解析】【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性即可求解；(2)依據(jù)極值點(diǎn)的定義可得方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根()，由正弦函數(shù)圖象可知，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)極值，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)，再次利用導(dǎo)數(shù)求出即可.【小問1詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，，，令或，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和；【小問2詳解】，因函數(shù)恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，所以方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，設(shè)為且，當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則，即，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以分別是函數(shù)的極大值點(diǎn)和微小值點(diǎn)，即，，于是有，因?yàn)椋?，所以，而，所以，設(shè)，，則，令或，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，即，因此有，即.【點(diǎn)睛】在解決類似的問題時(shí)，要嫻熟應(yīng)用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值，要駕馭極值與極值點(diǎn)的定義，縷清極值點(diǎn)與方程的根之間關(guān)系，擅長培育轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，學(xué)會(huì)構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討新函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題.（二）選考題：共10分．請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答．并用2B鉛筆將所選題號(hào)涂黑，多涂、錯(cuò)涂、漏涂均不給分．假如多做，則按所做的第一題計(jì)分．22.在直角坐標(biāo)系中，已知曲線（為參數(shù)）.在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線的一般方程和直線的直角坐標(biāo)方程；（2）求曲線與直線交點(diǎn)極坐標(biāo).【答案】（1）曲線；直線（2）和【解析】【分析】（1）依據(jù)參數(shù)方程與一般方程、極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化原則干脆求解即可；（2）聯(lián)立曲線與直線的直角坐標(biāo)方程，可求得交點(diǎn)的直角坐標(biāo)，依據(jù)直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)互化的方法可求得極坐標(biāo).【小問1詳解】由得：，即曲線的一般方程為；由得：，則，即直線的直角坐標(biāo)方程為.【小問2詳解】由得：或，即曲線與直線交點(diǎn)為和，曲線與直線交點(diǎn)的極坐標(biāo)為和.23.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，解不