新教材高中數(shù)學(xué)第二章三角恒等變換23簡(jiǎn)單的三角恒等變換第3課時(shí)輔助角公式導(dǎo)學(xué)案

第3課時(shí)輔助角公式教材要點(diǎn)要點(diǎn)輔助角公式asinx＋bcosx＝a2+b2sin(x＋其中cosφ＝aa2+b2，sinφ狀元隨筆利用輔助角公式可以把形如y＝asinα＋bcosα的函數(shù)，轉(zhuǎn)化為一個(gè)角的一種三角函數(shù)形式，便于后面求三角函數(shù)的最小正周期、最值、單調(diào)區(qū)間等．基礎(chǔ)自測(cè)1.sinπ12＋cosπA．32B．C．64D．2．函數(shù)y＝3sinx＋cosx的周期為_(kāi)_______，最大值是________．3．函數(shù)y＝asinx＋bcosx(a，b均為正數(shù))的最小值________．題型1利用輔助角公式化簡(jiǎn)例1化簡(jiǎn)下列各式：(1)y＝－12sinx－32cos(2)y＝6sinx＋2cosx．方法歸納兩角和與差的正弦公式的逆用是輔助角公式的一種特殊情形．跟蹤訓(xùn)練1化簡(jiǎn)下列各式：(1)sinx－3cosx；(2)24sinπ4-題型2利用輔助角研究三角函數(shù)的性質(zhì)例2(1)已知函數(shù)f(x)＝sinx＋acosx，當(dāng)x＝π4時(shí)，f(x)取得最大值，則aA．－3B．－1C．1D．3(2)已知函數(shù)f(x)＝3sin2x＋2sin2x.①求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；②當(dāng)x∈-π3，π12方法歸納(1)為了研究函數(shù)的性質(zhì)，往往要充分利用三角變換公式轉(zhuǎn)化為正弦型(余弦型)函數(shù)，這是解決問(wèn)題的前提．(2)解此類題時(shí)要充分運(yùn)用兩角和(差)、二倍角公式、輔助角轉(zhuǎn)換公式消除差異，減少角的種類和函數(shù)式的項(xiàng)數(shù)，為討論函數(shù)性質(zhì)提供保障．跟蹤訓(xùn)練2(1)已知函數(shù)f(x)＝asinx－bcosx在x＝π4處取到最大值，則fx+A．奇函數(shù)B．偶函數(shù)C．關(guān)于點(diǎn)(π，0)中心對(duì)稱D．關(guān)于x＝π2(2)已知函數(shù)f(x)＝3sin2x＋2cos2x＋m(m∈R)．①求f(x)的最小正周期；②求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間．課堂十分鐘1．函數(shù)f(x)＝sinx－2cosx的最大值為()A．1B．3C．5D．32．將函數(shù)f(x)＝3sin2x＋acos2x(a≠0)的圖象向右平移π6后關(guān)于點(diǎn)(π12，0)對(duì)稱，則A．33C．3D．33．已知向量a＝(cosx，sinx)，b＝(2，2)，a·b＝85A．－35B．－C．35D．4．化簡(jiǎn)：cosx＋sinx＝________．5．求函數(shù)f(x)＝3sinx＋cosx的周期、最值、最值點(diǎn)．第3課時(shí)輔助角公式新知初探·課前預(yù)習(xí)[基礎(chǔ)自測(cè)]1．解析：sinπ12＋cosπ12＝222sinπ12+22cos答案：B2．解析：因?yàn)閥＝3sinx＋cosx＝2sinx+π6，所以周期答案：2π23．解析：y＝asinx＋bcosx＝a2+b2sin(x＋答案：－a題型探究·課堂解透例1解析：(1)y＝－12sinx+32cos(2)6sinx＋2cosx＝2232sinx+跟蹤訓(xùn)練1解析：(1)sinx－3cosx＝1+＝2sin＝2sinx-(2)24sinπ4＝2＝24×2＝2＝22sin＝22sin7例2解析：(1)由題設(shè)，f(x)＝1+a2sin(x＋φ)且tanφ＝∵x＝π4時(shí)，f(x∴sinπ4+φ＝1，即π4＋φ＝2kπ＋π2，故φ＝2kπ＋π∴tanφ＝a＝1.(2)①因?yàn)閒(x)＝3sin2x＋1－cos2x＝2sin2x-令π2＋2kπ≤2x－π6≤3π2＋2kπ，解得π3＋kπ≤x≤所以函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間為π3+kπ，②∵x∈-π3，π12，∴2x∈-2π利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)知sin2x-∴2sin2x-所以f(x)的值域?yàn)閇－1，1].答案：(1)C(2)見(jiàn)解析跟蹤訓(xùn)練2解析：(1)因?yàn)閒(x)＝asinx－bcosx在x＝π4即f(x)＝a2+b2sin(x－φ)，其中tan則sinπ4所以φ＝2kπ－π4，k∈Z所以f(x)＝a2+b則fx+π4＝a2+b2sin(2)①因?yàn)閒(x)＝3sin2x＋2cos2x＋m＝3sin2x＋cos2x＋m＋1＝2sin2x+π6＋所以f(x)的最小正周期T＝2π②由①知f(x)＝2sin2x+π6＋m＋1.又函數(shù)y＝sinx的單調(diào)遞增區(qū)間為-π2+2k由－π2＋2kπ≤2x＋π6≤π2＋2kπ，k∈Z，得－π3＋kπ≤x≤π6＋kπ，k∈Z.所以f(x答案：(1)B(2)見(jiàn)解析[課堂十分鐘]1．解析：f(x)＝sinx－2cosx＝555sinx-255cos所以當(dāng)sin(x－θ)＝1時(shí)，f(x)取最大值5，答案：C2．解析：f(x)＝3sin2x＋acos2x＝a2+3sin(2x＋φ)，tanφ＝∵圖象向右平移π6后關(guān)于點(diǎn)π∴g(x)＝fx-π6＝a2+3sin2x-π3∴φ＝π6，故tanφ＝3a3＝33答案：B3．解析：由a·b＝85，得2cosx＋2sinx＝8即22cosx＋22sinx＝45，所以cosxcosπ4＋sinxsin所以cosx-π4答案：D4．解析：根據(jù)兩角和的正弦公式，可得：cosx＋sinx＝2·2＝2·sinπ4cos