2025高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：平面向量的概念及線(xiàn)性運(yùn)算

第六章平面向量、復(fù)數(shù)

第一節(jié)平面向量的概念及線(xiàn)性運(yùn)算

課標(biāo)解讀考向預(yù)測(cè)

1.理解平面向量的意義、幾何表示及向量相等的含義.預(yù)計(jì)2025年高考對(duì)本節(jié)內(nèi)容的考

2.掌握向量的加法、減法運(yùn)算，并理解其幾何意義及向查會(huì)以線(xiàn)性運(yùn)算、共線(xiàn)向量定理為

量共線(xiàn)的含義.主，主要以選擇題、填空題的形式

3.了解向量線(xiàn)性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義.出現(xiàn)，難度屬中、低檔.

必備知識(shí)——強(qiáng)基礎(chǔ)

知識(shí)梳理

1.向量的有關(guān)概念

名稱(chēng)定義表示

向量在平面中，既有大小又有方向的量用Q,b,C,…或協(xié)，病，…表示

向量。的大小，也就是表示向量〃的

向量的模⑷或電1

有向線(xiàn)段M的長(zhǎng)度（或稱(chēng)模）

零向量長(zhǎng)度為0的向量用0表示

單位向量長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量用e表示，\e\=l

方向相同或相反的非零向量（或稱(chēng)共

平行向量a//b

線(xiàn)向量）

相等向量長(zhǎng)度相等且方向相同的向量a=b

相反向量長(zhǎng)度相等，方向相反的向量向量a的相反向量是一〃

說(shuō)明：零向量的方向是不確定的、任意的.

規(guī)定：零向量與任一向量平行.

2.向量的線(xiàn)性運(yùn)算

向量運(yùn)算法則（或幾何意義）運(yùn)算律

/

交換律：a+b=[oi\b+a；

a

三角形法則

加法結(jié)合律：3+5)+c=|02|〃

a+—+c)

平行四邊形法則

減法。一二=|"5§1。+（一力）

a

幾何意義

M=W\a\,當(dāng)2>0時(shí)，加的方向與a的方向畫(huà)

如a)=1。71(九)〃；

相同;

數(shù)乘(1+〃)〃=108|癡+〃。；

當(dāng)kO時(shí)，〃的方向與a的方向國(guó)相反;

A(a+b)=I。91癡+我

當(dāng)2=0時(shí)，觴=|06|0

3.向量共線(xiàn)定理

向量a（中0）與B共線(xiàn)的充要條件是：存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)人使得/>=癡.

提醒：當(dāng)。邦時(shí)，定理中的實(shí)數(shù)2才唯一.

常用

1.一般地，首尾順次相接的多個(gè)向量的和等于從第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量的終點(diǎn)

的向量，即晝2+而孤+笳3+...+A〃—14=福小特別地，一個(gè)封閉圖形，首尾連接而成的

向量和為零向量.

2.若F為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，。為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則舁=/次+彷）.

3.若A,B,C是平面內(nèi)不共線(xiàn)的三點(diǎn)，則成+可+此=0=P為AABC的重心，乖=/壽

+At）.

4.若次K彷+〃虎（九〃為常數(shù)），貝UA,B,C三點(diǎn)共線(xiàn)的充要條件是4+〃=1.

5.對(duì)于任意兩個(gè)向量a,b,都有||a|一|訓(xùn)〃士加W|a|十|回.

診斷自測(cè)

i.概念辨析(正確的打r"，錯(cuò)誤的打“X”)

(1)同與|臼是否相等，與a,b的方向無(wú)關(guān).()

(2)若向量。與分同向，且間＞|臼,則”＞小()

(3)若向量屈與向量劭是共線(xiàn)向量，則A,B,C,。四點(diǎn)在一條直線(xiàn)上.()

(4)起點(diǎn)不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量.()

答案(1W(2)x(3)X(4)4

2.小題熱身

(1)如圖，D,E,尸分別是AABC各邊的中點(diǎn)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()

A.Ep^cb

B.防與防共線(xiàn)

C.初與仍是相反向量

D.施斗配

答案D

解析Ak='^AC＞故D錯(cuò)誤.故選D.

(2)(人教B必修第二冊(cè)6.2.1例3改編)設(shè)向量a,6不共線(xiàn)，向量；la+Z?與a+25共線(xiàn)，則實(shí)

數(shù)2=.

答案2

，P=2，

解析：疆+分與a+2Z＞共線(xiàn)，，存在實(shí)數(shù)〃使得%+Z?=〃(a+2A),：.＜1

【〃2,

(3)(人教A必修第二冊(cè)6.2例6改編)已知口A8CD的對(duì)角線(xiàn)AC和BD交于點(diǎn)O,且次=a,彷

=b,則虎=,就=.(用a,8表示)

答案b——a——a——b

解析如圖，加=魂=成一m=b-a,病=質(zhì)一加=一溫一及=-a—b.

⑷（人教A必修第二冊(cè)習(xí)題6.2T10改編）若a,b滿(mǎn)足⑷=3,但|=5,則|。+"的最大值為

，最小值為?

答案82

解析|a+b|W|a|+|Z>|=3+5=8,當(dāng)且僅當(dāng)a,b同向時(shí)取等號(hào)，所以|a+》|max=8.又|a+b|，||a|

-|*||=|3-5|=2,當(dāng)且僅當(dāng)“，?反向時(shí)取等號(hào),所以|a+61min=2.

考點(diǎn)探究——提素養(yǎng)

考點(diǎn)一平面向量的有關(guān)概念

例1（多選）下列命題中的真命題是（）

A.若⑷=|臼，則。=力

B.若A,B,C,。是不共線(xiàn)的四點(diǎn)，貝上屈=讓’是"四邊形ABC。為平行四邊形”的充要條

件

C.若a=l）,b=c,貝!Ja=c

D.a=5的充要條件是⑷=|例且a〃?

答案BC

解析A是假命題，兩個(gè)向量的長(zhǎng)度相等，但它們的方向不一定相同；B是真命題，,港=

故,.,.|盛|=|比|且協(xié)〃虎，又A,B,C,D是不共線(xiàn)的四點(diǎn)，四邊形ABC。為平行四

邊形；反之，若四邊形A3。為平行四邊形，貝"恭|=|虎|,屈〃反且屈，比方向相同，

因此屈=成；C是真命題，'.'a=b,.'.a,》的長(zhǎng)度相等且方向相同，又b=c,：.b,c的長(zhǎng)

度相等且方向相同，c的長(zhǎng)度相等且方向相同，故“=<;；D是假命題，當(dāng)a〃5且方向

相反時(shí)，即使|。|=|臼，也不能得到。=瓦故同=|臼且a〃B不是a=Z>的充要條件，而是必要

不充分條件.故選BC.

【通性通法】

平面向量有關(guān)概念的四個(gè)關(guān)注點(diǎn)

關(guān)注點(diǎn)一非零向量的平行具有傳遞性

關(guān)注點(diǎn)二共線(xiàn)向量即為平行向量，它們均與起點(diǎn)無(wú)關(guān)

關(guān)注點(diǎn)三向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量

關(guān)注點(diǎn)四言是與。同方向的單位向量

【鞏固遷移】

1.（多選）下列命題正確的是（）

A.零向量是唯一沒(méi)有方向的向量

B.零向量的長(zhǎng)度等于0

C.若e?都為非零向量，則使卷=0成立的條件是a與方反向共線(xiàn)

D.若a〃"b//c,則a〃c

答案BC

解析零向量是有方向的，其方向是任意的，故A錯(cuò)誤；由零向量的定義知，零向量的長(zhǎng)度

為0,故B正確；因?yàn)檠耘c令都是單位向量，所以只有當(dāng)言與奈是相反向量，即“與A反向

Mll"lMl1"1

共線(xiàn)時(shí)才成立，故C正確；若6=0,則不共線(xiàn)的a,c也有a〃0,c//0,故。錯(cuò)誤.

考點(diǎn)二平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算（多考向探究）

考向1平面向量加、減運(yùn)算的幾何意義

例2設(shè)尸為對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)，。為平面A2C。內(nèi)的任意一點(diǎn)，則溫+彷+歷+歷=

（）

A.OPB.2辦

C.3O>D.40>

答案D

解析由題意知，P為AC,BZ）的中點(diǎn)，所以在AOAC中，源=；（次+乃，即次+求=

2OP,在AOBD中，0p=j（0i+0t）,即彷+而=2海，所以云+仍+虎+防=4海.

故選D.

【通性通法】

1.平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算技巧

(1)不含圖形的情況：可直接運(yùn)用相應(yīng)運(yùn)算法則求解.

(2)含圖形的情況：將它們轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中，充分利用相等向量、相反向量、三

角形的中位線(xiàn)等性質(zhì)，把未知向量用已知向量表示出來(lái).

2.三種運(yùn)算法則的要點(diǎn)

(1)加法的三角形法則要求“首尾連”，平行四邊形法則要求“共起點(diǎn)”.

(2)減法的三角形法則要求“共起點(diǎn)，連終點(diǎn)，指被減”.

(3)數(shù)乘運(yùn)算的結(jié)果仍是一個(gè)向量，運(yùn)算過(guò)程可類(lèi)比實(shí)數(shù)運(yùn)算.

【鞏固遷移】

2.(2024?山東青島二中月考)若|屈|=|就|=|命一祀|=2,則|屈+病|=.

答案24

解析因?yàn)閨屈|=|R|=|沿一At|=2,所以AABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，所以電十祀|為

△ABC的邊上的高的2倍，所以|油+6|=2小.

考向2平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算

例3(2022?新高考I卷)在AABC中，點(diǎn)。在邊上，BD=2DA,記國(guó)=m，cb=n,則

m=()

A.3m—2nB.-2帆+3〃

C.3加+2〃D.2m-\~3n

答案B

解析ct)=|cA+|cS,即就=-2目+3無(wú))=-2機(jī)+3”.故選B.

【通性通法】

平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算的求解策略

盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中,

＜簧略）■選用從同一頂點(diǎn)出發(fā)的向量或首尾相

接的向量

充分利用三角形中位線(xiàn)、相似三角形

點(diǎn)略）對(duì)應(yīng)邊成比例等平面幾何性質(zhì)，把未

知向量轉(zhuǎn)化為已知向量

【鞏固遷移】

3.（2023?江蘇南通二模）在平行四邊形A8CQ中，就=；就，善=凝.若屈=加定+〃曲,

則m+n={）

A1B3

A.2D.4

C-6D-3

答案D

解析由題意可得顯=烈+防=9+；加=凝+；（彷+成）=磋

+/（方/才方）=3方方+總方，所以機(jī)=；，"=焉，所以故選D.

考點(diǎn)三向量共線(xiàn)定理的應(yīng)用（多考向探究）

考向1判定向量共線(xiàn)、三點(diǎn)共線(xiàn)

例4設(shè)兩個(gè)非零向量a與?不共線(xiàn).若油=a+b,肉=2a+8"cb=3（a-b）,求證：A,

B,。三點(diǎn)共線(xiàn).

證明'：A^=a+b,Bt=2a+Sb,cb=3（a~b）,：.Bb=Bt+cb=2a+Sb+3（a-b）=2a+

8%+3a—36=5（a+Z＞）=5屈，；.屈，前共線(xiàn)，又它們有公共點(diǎn)8,/.A,B,。三點(diǎn)共線(xiàn).

【通性通法】

共線(xiàn)向量定理的三個(gè)應(yīng)用

【鞏固遷移】

4.己知產(chǎn)是AABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，若■=%"+彷，其中九WR,則點(diǎn)尸一定在（）

A.A48C的內(nèi)部B.AC邊所在直線(xiàn)上

C.A8邊所在直線(xiàn)上D.BC邊所在直線(xiàn)上

答案B

解析由越=九成+協(xié)，得費(fèi)一彷=/i可，c>=M,則辦，可為共線(xiàn)向量，又凈,或有

一個(gè)公共點(diǎn)尸，所以C,P,A三點(diǎn)共線(xiàn)，即點(diǎn)尸在AC邊所在直線(xiàn)上.故選B.

考向2利用向量共線(xiàn)定理求參數(shù)

例5若“，8是兩個(gè)不共線(xiàn)的向量，已知詞/=“一2'P^=2a+kb,0=3a—b,若M,N,

。三點(diǎn)共線(xiàn)，貝隈=（）

A.-1B.1

3

C.2D.2

答案B

解析由題意知，旗=殖—聞=a—（k+l）b,因?yàn)楸豊,。三點(diǎn)共線(xiàn)，所以存在實(shí)數(shù)九

使得腦丸=刀而，即a—25=4“一（左+1）切，解得；.=1,k=l.

【通性通法】

一般通過(guò)構(gòu)造三角形，利用向量運(yùn)算的三角形法則進(jìn)行加法或減法運(yùn)算，然后通過(guò)建立方程

（組）即可求得相關(guān)參數(shù)的值.

【鞏固遷移】

5.如圖，在"BC中，比,￡是8。上一點(diǎn)，若屈屈+何，則實(shí)數(shù)4的值為（）

A.3B.4

C.5D.6

答案B

解析由勸=%成，得4t=今」初，因?yàn)槭?蔣通十%t,所以屈=蔣話(huà)+；左」才力，因

A104Io4X

為E,B,。三點(diǎn)共線(xiàn)，所以共十安=1，解得力=4.故選B.

104Z

課時(shí)作業(yè)

基礎(chǔ)鞏固練

一、單項(xiàng)選擇題

1.若a,》為非零向量，則端=各是％,5共線(xiàn)”的（）

A.充要條件

B.充分不必要條件

C.必要不充分條件

D.既不充分也不必要條件

答案B

解析濟(jì)微分別表示與。，％同方向的單位向量，啟=備則有“，8共線(xiàn)，而a,A共線(xiàn)，

則裾，卷是相等向量或相反向量，所以端=粉是,，》共線(xiàn)”的充分不必要條件.故選B.

2.設(shè)a=（恭+歷）+（就+速），5是一個(gè)非零向量，則下列結(jié)論不正確的是（）

A.a//bB.a+b—a

C.a+b=bD.\a+b\=\a\+\b\

答案B

解析由題意得，a=（?+&＞）+（灰*+5A）=加+或=0,且B是一個(gè)非零向量，所以a〃8

成立，所以A正確；因?yàn)椤?8=方，所以B不正確，C正確；因?yàn)閨〃+臼=|例，\a\+\b\=\b\,

所以|a+"=|a|+忸所以D正確.故選B.

3.已知屈=a+5Z>,Bt=~3a+6b,cb=4a~b,貝i」（）

A.A,B,。三點(diǎn)共線(xiàn)

B.A,B,C三點(diǎn)共線(xiàn)

C.B,C,。三點(diǎn)共線(xiàn)

D.A,C,。三點(diǎn)共線(xiàn)

答案A

解析由題意得動(dòng)=/+歷=。+55=屈，又炭)，油有公共點(diǎn)B,所以A,B,D三點(diǎn)共

線(xiàn).故選A.

4.(2024?安徽銅陵三模)在平行四邊形ABCD中，〃是。邊上的中點(diǎn)，貝U2磁=()

A.碇—2加B.就+2港

C.2就一鼐D.2祀+屈

答案C

解析因?yàn)镸是平行四邊形ABCD的CD邊上的中點(diǎn)，所以CU=—彌瓦所以屬=祀+CU

=祀一短，所以2M=2就一A1故選C.

5.己知向量a和〃不共線(xiàn)，向量融=a+〃力，Bt^5a+3b,cb^~3a+3b,若A,8,。

三點(diǎn)共線(xiàn)，則m=()

A.3B.2

C.1D.-2

答案A

解析因?yàn)锳,B,。三點(diǎn)共線(xiàn)，所以存在實(shí)數(shù)九使得動(dòng)=正，應(yīng))=此+歷=2a+6方，

[2=2，

所以2°+65=相+冽乃，所以＜解得m=3.故選A.

[6=mA,

6.矩形ABC。的對(duì)角線(xiàn)相交于點(diǎn)。，E為AO的中點(diǎn)，若仍=觀+融僅，〃為實(shí)數(shù))，則

下+〃2=()

A￡B1

A.&從4

C.1D.77

lo

答案A

解析Dk=Ak-At)=^At—At)=^Ah+Ab)—At)=^Ah—^Ab,.*.A=^,/z=—.*.A2+//2

195

=m+諱=6故選A-

7.正方形ABC。中，石在。。上且有&=2或，AE與對(duì)角線(xiàn)5。交于R則#=（）

A.B.?

C.^Ah+^At）D.^Ab+Ah

答案C

解析如圖，??,在正方形A3CD中，石在CD上且有段=2前，AE與對(duì)角線(xiàn)3。交于方，J

?EF1333

DE=^AB,且DE〃AB,.,.△DEFS^BAF,可得赤=?可得4尸=41￡,屈=彳(無(wú)方

+防）=孤中+|■屈）=%&+|A力.故選c.

8.（2023?滁州模擬）已知P為AABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，屈+防+反=0,|屈|=|協(xié)|=|反］=2,

則AA8C的面積為（）

A.4B.2小

C.3小D.4小

答案B

解析設(shè)BC的中點(diǎn)為。，AC的中點(diǎn)為M,連接尸。，MD,BM,如圖所示，則有防+此=

2前.由顯+防+反:=0,得屈=—2麗，又。為3c的中點(diǎn)，M為AC的中點(diǎn)，所以篇=一

2向,則團(tuán)=司乙則P,D,M三點(diǎn)共線(xiàn)且。為PM的中點(diǎn)，又。為8C的中點(diǎn)，所以四

邊形CPBM為平行四邊形.又|協(xié)|=|協(xié)|=|瓦?|=2,所以|流1=|即|=2,則|就|=4,且|扁|

=|反1=2,所以AAMB為等邊三角形，ZBAC=60°,貝ISAABC=；><2X4義半=2小.故選B.

二、多項(xiàng)選擇題

9.下列式子中，結(jié)果為零向量的是（）

A.Ah+Bt+cK

B.Ah+Mi+Bb+O^[

c.ok+oh+Bb+cb

D.A^-At+Bb-Cb

答案AD

解析利用向量運(yùn)算，易知A,D中的式子結(jié)果為零向量.故選AD.

10.點(diǎn)尸是A4BC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿(mǎn)足|防一無(wú)M4+前一2成=0,則AABC不可能

是（）

A.鈍角三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.等邊三角形

答案AD

解析因?yàn)辄c(diǎn)尸是AABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且屈一前I—屈+無(wú)一2或1=0,所以I的一1（屋

—成）+（前一成）|=0,即|在|=|屈+送|,所以|初一證|=|祀+屈等式兩邊平方并化簡(jiǎn)

得企?顯=0,所以就_L顯，ZBAC=90°,則AABC一定是直角三角形，也有可能是等腰直

角三角形，不可能是鈍角三角形和等邊三角形.故選AD.

11.（2023?安徽合肥期末）在AABC中，D,E,尸分別是邊BC,CA,的中點(diǎn)，點(diǎn)G為AABC

的重心，則下列結(jié)論中正確的是（）

A.通一或=0

B.砧=（懣+痔

C.A^+Bt)+ck=0

D.G^+Gh+Gt=O

答案BCD

解析如圖，對(duì)于A,防一反'=油+宿=2防運(yùn)前故A錯(cuò)誤；對(duì)于B,點(diǎn)G為"BC的

重心，則4左=1?才方=京；（電+加）=|■（油+加），故B正確；對(duì)于C,#+炭）+費(fèi)=：（顯+

B?+CA）=O,故C正確；對(duì)于D,GA=-2Gb=-2x1（G^+Gt）,故GA+訪(fǎng)+就=0,故

D正確.故選BCD.

三、填空題

12.設(shè)向量〃，）不平行，向量觴+方與〃+2方平行，則實(shí)數(shù)2=.

答案2

解析?向量。，8不平行，.??〃+2厚0,又向量Xzz+力與〃+2方平行，則存在唯一的實(shí)數(shù)〃，

f%=〃51

使筋+8=〃（〃+2萬(wàn)）成立，即,+萬(wàn)=〃0+2獨(dú)，貝N解得％=〃=5.

[1=2〃，2

13.已知O,E,尸分別為△A5C的邊3C,CA,A5的中點(diǎn)，且炭1=〃，0=b,給出下列命

題：①A2）=呼一b；②鼠=〃+*；③泛1=—呼+于；④屏斗^^=0.其中正確的命題是

答案②③④

解析前=〃,cX=b,At）=^Ah+^At=^（At+ch）+^Ab=^ch+At=—^a—b,故①錯(cuò)誤;

乙乙乙乙乙乙

B^=Bt+^cX=a+^b,故②正確；Cp=^ch+ck）=^—a+b）=—^a+^b,故③正確；Ab

+B^+Cp=—b—^a+a+^b+^b—^a=09故④正確.

14.（2024?麗江模擬）在A45C中，點(diǎn)。在線(xiàn)段AC上，且滿(mǎn)足以力|=g|祀點(diǎn)Q為線(xiàn)段

上任意一點(diǎn)，若實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足獨(dú)=xA^+yR,則!+:的最小值為.

答案4+2記

解析由題意知，點(diǎn)。滿(mǎn)足勸=!■祀，故獨(dú)=施+僦=楊+3以力，由Q,B,。三點(diǎn)

共線(xiàn)，可得x+3y=l,x>0,y>0,貝N+：=C+J)(尤+3y)=4+?+.24+2小，當(dāng)且僅當(dāng)三

Jiy\AyjJiyx

=：,即x=^21'y=3J時(shí)等號(hào)成立.所以的最小值為4+25.

B級(jí)素養(yǎng)提升練

15.如圖，在平行四邊形A3CQ中，融=2巍,#=前，點(diǎn)G為CE與好的交點(diǎn)，則花=

()

A.B.

C.1■然?祀D.得話(huà)+,6

答案A

解析由魂=2讖，訃=前,知E,b分別為AB,A0的中點(diǎn).如圖，設(shè)AC與3產(chǎn)的交點(diǎn)

ApAf7AJ71、1、

為P,易得“PFsacPB,所以正=7^=前=5，所以#=]AC.因?yàn)镋是AB的中點(diǎn)，所

CrCnALfZJ

以腦磅.由尸，G,2三點(diǎn)共線(xiàn)知，存在相€R,滿(mǎn)足才有=〃舒+(1—m)融=|■〃就+(1—

㈤a1由C,G,E三點(diǎn)共線(xiàn)知，存在w€R,滿(mǎn)足4&=每1+(1—瓊正=%油+(1—w)公，

所以g:加正+(1—加)屈=；〃屈+(1—“)就.又因?yàn)椴徘鼮椴还簿€(xiàn)的非零向量，所以

1m=l

1—m

所以才古=|?然+之祀.

解得，

1

3m1—n，n=5

16.(多選X2024?武漢模擬)瑞士數(shù)學(xué)家歐拉在1765年發(fā)表的《三角形的幾何學(xué)》一書(shū)中有這

樣一個(gè)定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一直線(xiàn)上，而且外心和重心間的距離是垂心

和重心間的距離之半.這個(gè)定理就是著名的歐拉線(xiàn)定理.設(shè)AABC中，點(diǎn)