2025屆高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：空間向量與立體幾何

空間向量與立體幾何-2025屆高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題訓(xùn)練

一、選擇題

1.已知點P是點4(1,2,-1)在坐標(biāo)平面Oxy內(nèi)的射影，則|而卜()

A.百B.75C.2D，76

2.已知點1,-2百)，空間內(nèi)一平面C過原點。，且垂直于向量

?=(-3,2,-73),則點〃到平面。的距離為()

A.lB.lC.-D.1

4568

3.如圖，在正方體4片￡。1中，E為棱AA|上的一個動點，歹為棱4G上的一

個動點，則平面EFB與底面ABCD所成角的余弦值的取值范圍是()

4.在三棱錐A-BCD中,E是棱的中點，且麗=|詼，則市?=()

133、__.33

A.-AB+-AC——ADB.AB+-AC——AD

24444

-C1_11

C-5AB+3AC+3AD^.-AB+-AC+-AD

5.在空間直角坐標(biāo)系中，已知4(1,-1,0)，5(4,3,0),C(5,4,-1)則A到5C的距離為

()

A.3B.叵C.亞D.叵

333

6.在長方體ABC。-44GR中，下列向量與而是相等向量的是()

A-ABBBACAXDDC

7.下列可使構(gòu)成空間的一個基底的條件是（）

A.q，B，C兩兩垂直^-b=Ac

—?—?T~X—?—*—*—?

Ja=mb+ncu?〃+Z?+c=O

8.已知方=（2,0,-1）,B=（3,-2,5）,則向量石在向量乙上的投影向量是（）

A.1（3,-2,5）B.［（3,—2,5）C.1（2,0,-l）D$（2,0,—1）

□Jo3Jo

9.如圖所示，在平行六面體ABCD-4耳￡“中，〃為AC與42的交點.若通=a,

AD=b,旃=。，則?=（）

A.—ci—b+cB.—aH—bcC.—u—b+cD.—uH—bc

22222222

10.已知｛￡,￡m為空間的一組基底，則下列向量也能作為空間的一組基底的是（）

A-a+B，B+c，a-ca+2ba+c

^?■2a+b^b+2ca+b+ca+c^b+2a^b~2c

二、填空題

11.某中學(xué)組織學(xué)生到一工廠開展勞動實習(xí)，加工制作帳篷.將一塊邊長為6m的正方

形材料先按如圖①所示的陰影部分截去四個全等的等腰三角形（其中

AA'=BB'=CC'=DD'=2m^,然后，將剩余部分沿虛線折疊并拼成一個四棱錐型的

帳篷（如圖②）.該四棱錐底面ABCD是正方形，從頂點P向底面作垂線，垂足恰好是

底面的中心，則直線以與平面P3C所成角的正弦值為.

圖①圖②

12.已知直三棱柱AB?！?及￡,ABLAC,人呂=AC=叫=4,點p為此直三棱柱

表面上一動點，且歸用=4,當(dāng)歸。取最小值時，瓦再配的值為.

13.已知空間直角坐標(biāo)系中的三點4(2,0,2)、3(0,0,1)、C(2,2,2),則點A到直線

BC的距離為_________..

14.已知方=(2,—1,3),萬=(―1,4,-2),c=(7,7,4,若°,以°共面，則實數(shù)2=.

三、解答題

15.如圖,四棱錐p—ABCD的底面為正方形,pp_L底面A3CD.設(shè)平面與平面

P3C的交線為/.

P

(1)證明：平面PDC；

(2)已知尸D=AD=I，。為/上的點，求P3與平面QCD所成角的正弦值的最大值.

參考答案

1.答案：B

解析：因為點P是點4(1,2,-1)在坐標(biāo)平面。孫內(nèi)的射影，則P(l,2,0),則

麗=。,2,0),

因止匕|op|=712+22+02=7?

故選：B.

2.答案：A

解析：由題意可得：?=(1,-1,-273),平面e的法向量為力=卜3,2,-6),

所以點M到平面a的距離為:"T=L

向4

故選：A.

3.答案：A

設(shè)平面EEB與底面ABCD所成的二面角的平面角為。，由圖可得。不為鈍角.

以點。為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，

則。(0,0,0),4(1,0,0),5(1,1,0)，C(0,l,0),2(0,0/)，E(l,0,m),F(n,l,l),

所以詼=(0,-1,加)，麗=(”—1,0,1)，

設(shè)平面EFB的法向量為n=(x,y,z),

2°,BPJ-y+mx-Q

則9

n?BF=0(n-l)x+z=0

令x二—l，貝！=m(〃-1),2二〃一1,故〃二(一1,冽(〃一1),〃一1),

又底面ABCD的—個法向量為肩=（0,0,1），

|n-m|PM

所以cos0-|cos(n,m^|二］『，因為根,〃《［（）,1卜

同同J1+蘇n-1)2+(〃

1-n

則cos0=

1+m2"-if+(〃

當(dāng)〃=1時,cos6=0,

1

cosS=

當(dāng)〃W1時,1+療+1，當(dāng)〃目0,1）,加且0,1］,

2

則(1—“『qo』，m2G[0,1]，則(J)2e[l,+⑹,

則當(dāng)〃=o，爪=0時，分母取到最小值④，此時（COS，）

丫V/max2

L+加+/0，此時cos，：。,

當(dāng)〃.1，〃>0時,則

n—1）1

綜上COS?！?,^-,

2

故選：A.

4.答案：D

解析：因為E是棱C￡）的中點，昉=2而，

3

所以/=須+赤=須+-而=荏+—（通-溯=—檢+—通

33、'33

=1（AC+AD）+-AB=-AB+-AC+-AD.

3、>3333

故選：D.

A

解析：因為A。,—1,0),5(4,3,0),C(5,4,-l),

所以麗=(一3,—4,0),BC=(1,1,-1),|BA|=5,|BC|=A/3,

7G

所以cos（麗，豆⑦BABC

HR~L5~

所以sin

所以A到BC的距離為d=|麗|?sin（麗,g;粵

故選：D.

6.答案：B

解析：如圖所示的長方體ABC。-A4G2中，

A：向量瓦g與西方向相反，所以這兩個向量不相等,因此本選項不正確；

B：向量麗與詼大小相等，方向相同,所以這兩個向量相等，因此本選項正確；

c：向量4瓦與加方向相反，所以這兩個向量不相等,因此本選項不正確；

D：顯然向量而與向量比方向相反，所以這兩個向量不相等,因此本選項不正確,

故選：B.

7.答案：A

解析：由空間任意三個不共面的向量都可以組成空間的一個基底可得A正確;

若5=萬，則B與2共線，此時B與d忑必然共面，所以無法構(gòu)成空間基底,B錯誤;

a=mb+nc與a+b+c=0都表示a,b,c共面,C,D錯1天?

故選：A

8.答案：C

解析：因為4=（2,0,—1）,3=（3,-2,5）,

則向量B在向量力上的投影為胃=2x3+0［：）］+（-1）*5=1,

^-x-^-=^-x-^=a=—a=—(2,0,-l\-

所以向量B在向量力上的投影向量是

5同5百55、，

故選:C.

9.答案：D

解析：

府=甌+刎=甌+3（.—加）=麗+；由_通）=c+^（b-a）=-^a+^b+c.

故選D.

10.答案：B

解析：對于A項，因為￡+入僅+"）+伍-斗則￡+B，B+Z，Z—￡共面,不能作為基底，故A

不符合題干.

對于選項B,假設(shè)3+共面，則存在4〃eR，使￡+2區(qū)="+〃伍-斗所以

pi=1

<2=2無解，所以a+2B，0a-［不共面，可以作為空間的一組基底.

—ju=0

對于C項，因為￡+石+々=3（23+石）+3僅+24，貝|12%+人3+2"，￡+3+2共面，不能作為

基底，故C不符合題干.

對于D項,￡+1=；e+2q-；修-2小則￡+",石+2￡，石—2"共面,不能作為基底,故D不

符合題干.

故選：B.

11.答案：手

解析：設(shè)AC與3。的交點為點。，以。為原點，。4所在直線為x軸，所在直線

為y軸，。尸所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.

由題意可知，AB=2s/2,AO=2,.-.B4=712+32=V10,PO=^P^-AO2=46,

故A(2,0,0),3(0,2,0),C(—2,0,0),P(0,0,?),PA=(2,0,-76).

設(shè)平面P3C的法向量為〃=(x,y,z),又麗=(0,2,-娓),PC=(-2,0-46),則有

PBn=0,\2y-46z=Q,

s___即s

PCn=0,—2x—y[6z=0,

令z=C，可得平面PBC的一個法向量為〃=(-3,3,&).設(shè)PA與平面PBC的法向量n

的夾角為e,貝U?cose|=""=I,——r6zL_==叵，則直線以與平面PBC

\PA\\n\IV4+6-V9+9+65

所成角的正弦值為手.

12.答案：32百或必百

33

解析：由歸耳=4可得尸是在以3為球心半徑為4的球面上,

由于30]=3C=，42+42=4也，43=4，

|pq|取值最小時，其在平面BCCXBX內(nèi)，

其在平面3。。1用的交線為如圖所示的圓弧.

故戶可取值最小時，B,P,G三點共線，

通過點尸往與G作垂線，垂足為〃，則聶=要，

C}BG耳

則C]B=個BC?+BB：=4月,故G尸=05—4=46—4，

代入「^二」D解得CXM—4A/2——V6，從而BXM=—y/6，

JB33

因此可.配=即.函=I即斗|隔cos/PgC]

=|^Af|.|^q]=|V6x4V2=yV3.

故答案為：艾叵.

13.答案：±21

3

解析：依題意，配=（2,2,1），麗=（2,0,1），

\BA-BC[

所以點A到直線的距離d=

3

7

故答案為：正.

3

14.答案：9

解析：Z=（2,—1,3）J=（-l,4,-2）,c=（7,7,2）,，

：.由若Z52共面，則存在實數(shù)機,〃，使得三而+怎，

(7,7,2)=m(2,-l,3)+〃(—L4,-2),

2m一〃=7

<-m+4n=7,

3m—2n=A

解得〃=3,加=5,

.,.4=3x5—2x3=9,

故答案為9.

15.答案：（1）證明見解析；

（2）

3

解析：（1）證明：在正方形A3CD中,AD//BC，因為AD（Z平面PBCBCU平面P3C,

所以AD〃平面P3C,又因為AOu平面以D,平面PA￡>n平面PBC=l，

所以A￡>〃/,因為在四棱錐尸-ABCD中，底面ABCD是正方形，

所以AD_L，DC且PD，平面A3CD,所以4），po,，尸口,

因為。。口。。=。，所以//平面/>。。.

（2）［方法一］【最優(yōu)解】：通性通法

因為DP,D4,DC,兩兩垂直,建立空間直角坐標(biāo)系。-孫z,如圖所示：

因為=AD=1，設(shè)D(O,O,O),C(O,1,O),A(1,O,O),P(O,O,1),5(1,1,0)

設(shè)QO,0,1),則有成=(O,1,O),D0=(m,0,l),PB=(l,l,-l)

設(shè)平面QCD的法向量為7=(x,y,z),

則慳”=。,即尸，

DQn=0[mx+z=0

令％=1,則z=,所以平面QCD的一個法向量為5=（1,0,-m）,

——?〃?PB1+0+m

貝ljcos<n,PB>=,H___..

HIP5Iy/3-y/m2+1

根據(jù)直線的方向向量與平面法向量所成角的余弦值的絕對值即為直線與平面所成角的

正弦值，

所以直線尸3與平面QCD所成角的正弦值等于

|cos<n,PB>|=—

7

二亙卜+工

3Vm2+l

當(dāng)且僅當(dāng)根=1時取等號，所以直線P3與平面QCD所成角的正弦值的最大值為在.

3

［方法二］:定義法

如圖2,因為/匚平面P3C,Qe/,所以Qe平面P3C.

在平面心。中，過P點作PF±QD，交QD于￡連接EF.

又由。。，40,4￡)口「￡>=￡),尸￡)<=平面RlD，ADu平面PAD，

所以。C_L平面B4Z).又p/