2025高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)必刷題：圓的方程

第59講圓的方程

知識(shí)梳理

知識(shí)點(diǎn)一：基本概念

平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合（軌跡）叫圓.

知識(shí)點(diǎn)二：基本性質(zhì)、定理與公式

1、圓的四種方程

（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（x-a）2+（y-b）2=r2,圓心坐標(biāo)為（a,b）,半徑為r（r>0）

（2）圓的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0（。?+嚴(yán)一4/>0）,圓心坐標(biāo)為[一,，一

半徑一也三三

2

（3）圓的直徑式方程：若4（占,％）,85,%），則以線段48為直徑的圓的方程是

0-%）。一々）+（〉-%）0-%）=0

（4）圓的參數(shù)方程：

①尤2+9=產(chǎn)。>0）的參數(shù)方程為P=rCOSf（。為參數(shù)）；

[y=rsin”

②（…）2+（—A=/（r>0）的參數(shù)方程為（無(wú)=：+/cos’（?為參數(shù)）.

[y=Z?+rsin〃

注意：對(duì)于圓的最值問題，往往可以利用圓的參數(shù)方程將動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)為

（a+rcos6?,6+rsin。）（夕為參數(shù)，（a,6）為圓心，廠為半徑），以減少變量的個(gè)數(shù)，建立三角

函數(shù)式,從而把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為三角問題,然后利用正弦型或余弦型函數(shù)的有界性求解最值.

2、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判斷

（1）點(diǎn)尸（七,%）與圓（x-a）?+（y-6）2=產(chǎn)的位置關(guān)系：

①（x-a）?+（>-。）2>/o點(diǎn)尸在圓外；

?（x-a）2+（y-Z?）2=-0點(diǎn)尸在圓上；

③（X-“）2+（,-6）2〈產(chǎn)0點(diǎn)尸在圓內(nèi).

(2)點(diǎn)P5,%)與圓/+丁+m+硝+/=。的位置關(guān)系:

①片+y；+￡>/o+40+尸〉。=點(diǎn)尸在圓外；

②片+y；+￡>/+或0+/=0o點(diǎn)尸在圓上；

③片+y；+Dx0+Ey0+F<0<=>點(diǎn)P在圓內(nèi).

必考題型全歸納

題型一：求圓多種方程的形式

例1.(2024?貴州銅仁?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))過4(0,1)、8(0,3)兩點(diǎn)，且與直線y=x-l相切

的圓的方程可以是()

A.(x+l)2+(y-2)2=2B.(x-2)2+(y-2)2=5

C.(x-l)2+(y-2)2=2D.(x+2)2+(y-2)2=5

【答案】C

【解析】因?yàn)锳(0,l)、8(0,3),則線段A3的垂直平分線所在直線的方程為y=2,

設(shè)圓心為C(/,2),則圓C的半徑為"心￡』=號(hào)，

又因?yàn)閞=|AC|=J/+(2一可=歷1,所以，號(hào)="工，

整理可得/+6/-7=0,解得r=l或仁-7,

當(dāng)/=1時(shí)，r=\AC\=s[2,此時(shí)圓的方程為(尤-iy+(y-2)z=2；

當(dāng)"一7時(shí)，r=\AC\=5>/2,此時(shí)圓的方程為(x+7?+(y—2)2=50.

綜上所述，滿足條件的圓的方程為5—1)2+(、-2)2=2或"+7)2+(>一2)2=50.

故選：C.

例2.(2024?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知圓的圓心為(-2,1),其一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)恰好

在兩坐標(biāo)軸上，則這個(gè)圓的方程是()

A.兀？+y?+4%—2y=0B.—4x+2y—5—0

C.%2+y2+4x—2y—5=0D.x2,+y2—4x+=0

【答案】A

【解析】設(shè)直徑的兩個(gè)端點(diǎn)分別A(4,0)1(0,b),

圓心C為點(diǎn)(-2,1),由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得=2=一2,竽=1,解得口=-41=2.

22

/.半徑r=^(-2+4)2+(1-0)2=V5，

：.圓的方程是(x+2)2+(y—I)?=5,即fy+4x-2y=0.

故選：A.

例3.(2024?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知圓心為(-2,3)的圓與直線彳_丁+1=0相切，則該

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()

A.(x+2)2+(y-3)2=8B.(x-2)2+(y+3)2=8

C.(x+2)2+(y-3)2=18D.(x-2)2+(y+3)2=18

【答案】A

【解析】因?yàn)閳A心為(-2,3)的圓與直線尤-y+l=。相切，所以圓心到直線的距離等于半

徑，即r=d=-2/+1|=2點(diǎn),

所以該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x+2)2+(y-3產(chǎn)=8.

故選：A

變式1.(2024?河北邢臺(tái)?高三統(tǒng)考期末)已知圓+^=25與直線

/:3x-4y+機(jī)=0(機(jī)＞0)相切，則圓C關(guān)于直線/對(duì)稱的圓的方程為()

A.(x+3)2+(y-4)2=16B.(x+3)2+(—=25

C.(x+6)2+(y—8)2=16D.(尤+6)2+(y—8)2=25

【答案】D

【解析】由圓C:x2+y2=25的圓心為原點(diǎn)。，半徑為5,

又圓C與直線/相切,

則。到直線/的距離為d=5,

m

貝"的了而=5，解得加=25,

設(shè)過。且與/垂直的直線為/。,

則4：4%+3y=。，

聯(lián)立［4x+3y=0Jx=-3

得直線/與4的交點(diǎn)為(-3,4),

設(shè)圓心。(0,0)關(guān)于點(diǎn)(-3,4)的對(duì)稱點(diǎn)為(0,〃)，

o0+P

T二-----------

7p=-6

由中點(diǎn)公式有八n

n=8

4=----

I2

所以圓心。(0,0)關(guān)于點(diǎn)(-3,4)的對(duì)稱點(diǎn)為(F8),

因此圓C關(guān)于直線I對(duì)稱的圓的方程為：(尤+6>+(y-8)"=25,

故選：D.

變式2.(2024?山東東營(yíng)?高三廣饒一中校考階段練習(xí))過拋物線V=4尤的焦點(diǎn)廠的直

線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，分別過42兩點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為4,用兩點(diǎn)，以線

段44為直徑的圓C過點(diǎn)(-2,3),則圓C的方程為()

A.(x+l)2+(y-2)2=2B.(x+1)2+(y-l)2=5

C.(x+l)2+(y+l)2=17D.(%+l)2+(y+2)2=26

【答案】B

【解析】拋物線y2=4x的焦點(diǎn)尸(1,0),準(zhǔn)線44：x=-l,設(shè)A5,%),8(%，為)，令弦AB

的中點(diǎn)為E,

y\

而圓心C是線段Ae的中點(diǎn)，又AA，A片,8月，A瓦，即有EC//AA//84,

ECA.A.B,,

x=ty+l

顯然直線不垂直于y軸，設(shè)直線AB"="+1,由/一消去X得:

y2-4ty-4=0,

則X+%=4G%%=-4,|-%1=J(%+-4%%=4,產(chǎn)+1，點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為

于是得圓。的半徑/=glA與l=gl%1=2A/?"7T,圓心。(一1,2/),而圓C過點(diǎn)

A/(-2,3),

則有|MC|=r,即g+2>+(2/—3(=2#7T,解得

因此圓C的圓心C(-M),半徑r=&\圓C的方程為(x+l)2+(y-l)2=5.

故選：B

變式3.(2024?全國(guó)?高三專題練習(xí))求過兩點(diǎn)A(0,4),3(4,6),且圓心在直線

x-2y-2=0上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()

A.(x+4)2+(y+l)2=25B.(x+4)2+(y-l)2=25

C.。-4)2+(,+1)2=25D.(x-4)2+(y-l)2=25

【答案】D

【解析】設(shè)圓心坐標(biāo)為C(26+2,6),由圓過兩點(diǎn)A(0,4),B(4,6),可得|AC|=|BC|,

即[(26+2)-01+°-4)2=[(22+2)-4了+0-6)2,解得6=1,

可得圓心為（4,1）,半徑為5,貝|所求圓的方程為（無(wú)-4）2+0-1）2=25.

故選：D.

變式4.（2024?吉林四平?高三四平市第一高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知直線

（3+2㈤尤+（3彳-2萬(wàn)+5-4=0恒過定點(diǎn)尸，則與圓C：（X—2）+（y+3）2=16有公共的圓心

且過點(diǎn)尸的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

A.(x-2)2+(y+3)2=36B.(x-2)2+(y+3)2=25

C.(x-2)2+(y+3)2=18D.(無(wú)一2產(chǎn)+(y+3)2=9

【答案】B

【解析】直線(3+2X)x+(34—2)y+5—彳=0,即(2x+3y-l)X+(3x—2y+5)=0,

f2x+3y-l=0\x=-1,,

由。:0解得，，即「(T」)，圓C：(x-2)2+(y+3)2=16的圓心C(2,-3),

[3x-2y+5=0[y=l

IPC1=5,

所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(尤-2)2+(,+3)2=25.

故選：B

變式5.(2024?全國(guó)?高三專題練習(xí))圓C：(x-l)2+(y-2)2=2關(guān)于直線x-y=0對(duì)稱

的圓的方程是()

A.(1)2+(y+2>=2B.(%+l)2+(y+2)2=2

C.(X-2)2+(J-1)2=2D.(x+2)2+(y+l)2=2

【答案】C

【解析】由圓C：(x-l)2+(y-2)2=2,可知圓心坐標(biāo)：(1,2),半徑為0,

因?yàn)辄c(diǎn)(1，2)關(guān)于直線'=x的對(duì)稱點(diǎn)為(2,1),

所以圓C：(x_iy+(y-2)2=2關(guān)于直線彳->=。對(duì)稱的圓的方程是

(x_2)-+(y—1)-=2,

故選：C

變式6.(2024?重慶?高三重慶一中?？茧A段練習(xí))德國(guó)數(shù)學(xué)家米勒曾提出過如下的“最

大視角定理”(也稱“米勒定理”)：若點(diǎn)A，B是NMON的邊上的兩個(gè)定點(diǎn)，C是ON邊

上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)耐饨訄A與邊0V相切于點(diǎn)C時(shí)，NACB最大.在平面直

角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)0(2,0),現(xiàn)4,0),點(diǎn)尸是y軸負(fù)半軸的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)NDFE最大

時(shí)，,DEF的外接圓的方程是().

A.(x-3『+(y+20『=9B.(無(wú)一3『+(y一2⑹。=9

C.(x+2收『+(1)2=8D.卜-2應(yīng)『+"-3)2=8

【答案】A

【解析】由米勒定理知當(dāng)ZDFE最大時(shí)，戶的外接圓與>軸負(fù)半軸相切，此時(shí)圓心位

于第四象限，

因?yàn)辄c(diǎn)。(2,0),￡(4,0),

所以圓心在直線x=3上，

又圓與y軸負(fù)半軸相切，

所以圓的半徑為3,

設(shè)圓心為尸(3,6),b<0,

則|P￡>|=Jl+廿=3,解得萬(wàn)=±2代,

又6<0,

所以6=-2"

所以迎E尸的外接圓的方程是(X-3)2+(y+2正了=9,

故選：A.

變式7.(2024?陜西西安?高三校考階段練習(xí))過點(diǎn)“4,2)作圓/+丁=4的兩條切線,

切點(diǎn)分別為A,B,則W的外接圓方程是()

A.(x-2)2+(y-l)2=5B.(A:-4)2+(y-2)2=20

C.(x+2)2+(y+l)2=5D.(A：+4)2+(J+2)2=20

【答案】A

【解析】由圓f+V=4,得到圓心0(0,0),由題意知。、A、B、尸四點(diǎn)共圓，的

外接圓即四邊形0Ape的外接圓，又尸(4,2),從而O尸的中點(diǎn)坐標(biāo)(2,1)為所求圓的圓心,

；|。尸|=6為所求圓的半徑，所以所求圓的方程為(x-2)2+(y-l)2=5.

故選：A

變式8.(2024?四川成都?高三成都七中?？奸_學(xué)考試)已知A(-G,0),B(&0),C(0,3),

則ASC外接圓的方程為()

A.(x-l)2+y2=2B.(x-l)2+y2=4C.x2+(j-l)2=2D.尤2+口_1)2=4

【答案】D

【解析】設(shè):ABC外接圓的方程為(尤-a)?+(y-b)2=r2

(一白一4+(0-b)2=產(chǎn)a=0

則有(石-4)2+(0一產(chǎn),解之得.b=l

(0-a)2+(3-Z?)2=r2r=2

則ABC外接圓的方程為犬+()；-1)2=4

故選：D

【解題方法總結(jié)】

(1)求圓的方程必須具備三個(gè)獨(dú)立的條件，從圓的標(biāo)準(zhǔn)方程上來講，關(guān)鍵在于求出圓

心坐標(biāo)Q,b)和半徑廠；從圓的一般方程來講，必須知道圓上的三個(gè)點(diǎn).因此，待定系數(shù)

法是求圓的方程常用的方法.

(2)用幾何法來求圓的方程，要充分運(yùn)用圓的幾何性質(zhì)，如圓心在圓的任一條弦的垂

直平分線上，半徑、弦心距、弦長(zhǎng)的一半構(gòu)成直角三角形等.

題型二：直線系方程和圓系方程

例4.(2024?全國(guó)?高三專題練習(xí))圓心在直線x-y-4=0上，且經(jīng)過兩圓/+9+6X-4=0

和/+產(chǎn)+6廣28=0的交點(diǎn)的圓的方程為()

A.x2+y2-x+7y-32=0B.x2+y2-x+ly-16=0

C.N+y2-4x+4y+9=0D.x2+y2-4x-^-4y-8=0

【答案】A

【解析】根據(jù)題意知，所求圓經(jīng)過圓工2+,2+6/4=0和圓N+y2+6y-28=0的交點(diǎn)，

設(shè)其方程為(N+y2+6x-4)+2(N+y2+6y-28)=0,

(_3—3A、

即(1+2)x2+(l+A)y2+6x+6Ay-4-282=0,其圓心坐標(biāo)為~—~~—-,

1+Z1+2

-32

又由圓心在直線x-y-4=0上，所以-4=0,

1+1

解得丸=-7,

所以所求圓的方程為：(-6)N+(-6)y2+6x-42y+192=0,即N+V-x+7y-32=0,

故選：A.

例5.(2024?高二課時(shí)練習(xí))過圓f+y2—2丁—4=0與/+,2—4x+2y=0的交點(diǎn)，且圓

心在直線l：2x+4y-l=。上的圓的方程是.

【答案】X2+y2—3x+y—1=0

【解析】設(shè)圓的方程為x2+y2—4x+2y+〃x2+y2-2y—4）=0（；lH-l）,

則（1+川2一4x+（l+X）y2+（2-2/l）y-4/l=0,

目口2242—2/144（22-1]

即X+y-----xd------y------=0,所以圓心坐標(biāo)為

1+21+21+2

把圓心坐標(biāo)［占，得卜弋入2x+4-=0,可得深,

所以所求圓的方程為尤2+丁-3彳+>-1=0.

故答案為：x2+y2-3x+y-l=0.

例6.(2024?江蘇?高二專題練習(xí))曲線3/-/=3與y=f-2x-8的四個(gè)交點(diǎn)所在圓的

方程是.

【答案】(%-4)2+(y-2)2=49

【解析】根據(jù)題意得到：3%2-y2-4(%2-2x-8)=3-4y,化簡(jiǎn)得至I］答案.3--/=3,

y=x2-2x-8,故3x~~y2—4^x2—2x—8^=3-4y,

化簡(jiǎn)整理得到:x2+y2-8.r-4y-29=0,BP(x-4)2+(y-2)2=49.

故答案為：(x-4)2+(y-2)2=49.

變式9.(2024?安徽銅陵?高二銅陵一中?？计谥?經(jīng)過直線犬-2>=。與圓

尤2+必_?+2y-4=0的交點(diǎn)，且過點(diǎn)(1,0)的圓的方程為.

【答案】x2+y2+3x-12y-4=0

【解析】設(shè)過已知直線和圓的交點(diǎn)的圓系方程為：

x~+J—4x+2y—4+X(x—2y)=0

???所求圓過點(diǎn)(1,0)

—7+2=0

解得丸=7

所以圓的方程為d+y2—4x+2y—4+7(x—2y)=0,化簡(jiǎn)得%之+y2+3x—12y—4=0.

故答案為：x2+y2+3x—12y—4=0.

變式10.(2024?高二?？颊n時(shí)練習(xí))過兩圓/+產(chǎn)―%—2=。與％2+y+4x—4丁―8=0

的交點(diǎn)和點(diǎn)(3,1)的圓的方程是.

13

【答案】x2+/-yX+y+2=0

【解析】設(shè)所求圓的方程為：(d+y2-尤-y-2)+/l(x2+y2+4x-4y-8)=。

將(3,1)代入得：A=

1a

二所求圓的方程為：x2+y2--x+y+2=0

13

本題正確結(jié)果：x2+y2-—x+y+2=Q

變式11.(2024?浙江杭州?高二?？计谀?已知一個(gè)圓經(jīng)過直線/：2x+y+4=0與圓

。:/+產(chǎn)+2了-4'=0的兩個(gè)交點(diǎn)，并且有最小面積，則此圓的方程為.

[答案]無(wú)2+y2+,=0

【解析】可設(shè)圓的方程為x2+y2+2x-4y+〃2x+y+4=0)=0,

BP?+/+2(l+2)x+(2-4)y+42=0,

(4一幾、

此時(shí)圓心坐標(biāo)為卜1-4一--I,

當(dāng)圓心在直線2x+y+4=。上時(shí)，圓的半徑最小，從而面積最小，

4一2

/.2(-1-㈤+0一+4=0,

Q

解得力=(

則所求圓的方程為/+y2+gx-gy+F=0,

故答案為/+，2+事》-]>+]=0.

變式12.(2024?江西九江?高一統(tǒng)考期中)經(jīng)過兩圓￡+丁+6彳-4=0和

/+丁+6y-28=0的交點(diǎn)，且圓心在直線x-y-4=0上的圓的方程為

【答案】x2+/-x+7y-32=0

【解析】由題可先設(shè)出圓系方程；x2+y2+6%-4+2U2+/+6y-28）=0,則圓心坐標(biāo)

為；（--—-r）>又圓心在直線了_,_4=0上，可得；----+-—^―4=0,解得

1+21+21+21+2

2=-7.

所以圓的方程為：尤2+y2_x+7y_32=0.

故答案為：%2+y2-x+7y-32=0.

變式13.（2024?浙江紹興?高二統(tǒng)考期中）已知圓C過直線2x+y+4=。和圓

/+；/+2尤-4'+1=0的交點(diǎn)，且原點(diǎn)在圓C上.則圓C的方程為.

【答案】x2+y2+|x-^y=0

24

【解析】根據(jù)題意可設(shè)圓C的方程為：^2+/+2x-4y+l+2（2x+y+4）=0,因?yàn)樵c(diǎn)在

1317

圓C上，故九=?所以所求圓的方程為/+=

424

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【解題方法總結(jié)】

求過兩直線交點(diǎn)（兩圓交點(diǎn)或直線與圓交點(diǎn)）的直線方程（圓系方程）一般不需求其交

點(diǎn)，而是利用它們的直線系方程（圓系方程）.

（1）直線系方程：若直線4:Ax+用y+G=0與直線12-.A,X+B2y+C2=0相交于點(diǎn)P,

則過點(diǎn)p的直線系方程為：4GV+4y+G）+4（4%+與〉+C2）=o（%+若X0）

簡(jiǎn)記為：第+%2=o（A2+老片0）

當(dāng)4#o時(shí)，簡(jiǎn)記為：4+私=0（不含人）

（2）圓系方程：若圓G：無(wú)2+y2+Rx+gy+a=0與圓c?:f+y2+Qx+E2>+耳=0

相交于A,8兩點(diǎn)，則過A,8兩點(diǎn)的圓系方程為：

2222

x+y+Dxx+Exy+耳+2（x+y+D2x+E^y+F2）=0（2N-1）

簡(jiǎn)記為：G+XG=°Uw-i）,不含C2

當(dāng);I=—1時(shí),該圓系退化為公共弦所在直線(根軸)/:-2)x+(&-4)>+M-月=0

注意：與圓c共根軸/的圓系G：C+刀=。

題型三：與圓有關(guān)的軌跡問題

例7.(2024?全國(guó)?高三專題練習(xí))點(diǎn)尸(1,0),點(diǎn)。是圓/+y=4上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則線

段PQ的中點(diǎn)〃的軌跡方程是()

A.(x-g)+y2=1B.尤=4

C.八1-1=1D.1f+y』

【答案】A

【解析】設(shè)點(diǎn)/的坐標(biāo)為M(x,y),因?yàn)镸點(diǎn)是線段PQ的中點(diǎn)，

可得。(2x—l,2y),點(diǎn)。在圓上，

則(2x-l『+(2y)2=4,即上一g)+/=1.

故選：A.

例8.(2024?湖南郴州?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))已知A,8是C：(*-2)2+行-4)2=25上的兩

個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P是線段的中點(diǎn)，若|A3|=6,則點(diǎn)P的軌跡方程為()

A.(%-4)2+(y-2)2=16B.(%-2)2+(y-4)2=11

C.(x-2)2+(y-4)2=16D.(^-4)2+(y-2)2=11

【答案】C

【解析】因?yàn)锳B中點(diǎn)為P,所以CPLAB,又|AB|=6,所以依尸|=j25-1g：=4,

所以點(diǎn)尸在以C為圓心，4為半徑的圓上，其軌跡方程為2『+(y-4)2=16.

故選：C.

例9.(2024?全國(guó)?高三專題練習(xí))古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯的著作《圓錐曲線

論》中給出圓的另一種定義：平面內(nèi)，到兩個(gè)定點(diǎn)距離之比值為常數(shù)以4>0〃*1)的點(diǎn)的

軌跡是圓，我們稱之為阿波羅尼奧斯圓.已知點(diǎn)P到4-2,0)的距離是點(diǎn)尸到8(1,0)的距離

的2倍.求點(diǎn)尸的軌跡方程；

【解析】設(shè)點(diǎn)P(x,y),

點(diǎn)P到A(-2,0)的距離是點(diǎn)P到8(1,0)的距離的2倍，可得1PAi=2\PB\,

即J(x+2)—=2卮了77，整理得(X-2)2+/=4,

所以點(diǎn)P的軌跡方程為(x-2)2+V=4；

變式14.(2024?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知P(4,0)是圓Y+y2=36內(nèi)的一點(diǎn),是圓上

兩動(dòng)點(diǎn)，且滿足ZAP8=90°,求矩形APBQ頂點(diǎn)。的軌跡方程.

【解析】連接AB,PQ,設(shè)AB與P。交于點(diǎn)M,如圖所示.

因?yàn)樗倪呅蜛PBQ為矩形，所以M為AB,P。的中點(diǎn)，連接OM.

由垂徑定理可知OMLAB,

設(shè)Af(x“,yM),

由此可得=|OA|2-|OM|2=36-(4+耳).①

又在RtAP3中,

2

^\AM\=\PM\=J(XM-4)+^.②

由①②得與+-4XM-10=0,

故點(diǎn)M的軌跡是圓.

因?yàn)辄c(diǎn)M是尸。的中點(diǎn)，設(shè)Q(x,y),

代入點(diǎn)M的軌跡方程中得,

f+(”4x與一10=0,

整理得/+丁=56,即為所求點(diǎn)。的軌跡方程.

變式15.(1977.福建?高考真題)動(dòng)點(diǎn)p(x,y)到兩定點(diǎn)A(TO)和B(3,o)的距離的比等于

2,求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程，并說明這軌跡是什么圖形.

\PA\

【解析】由題意可知：局=2,

\PB\

又P(x,y),A(-3,0)和3(3,0),

所以特E=2,

必-3)"

化簡(jiǎn)得好一10了+)；2+9=0即(％-5)2+/=16,

所以動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡是以(5,0)為圓心，半徑是4的圓

變式16.(2024?安徽合肥?高三合肥一中校考階段練習(xí))已知圓C：

x2+y2+2x-4y+3=0.

⑴若不過原點(diǎn)的直線/與圓C相切，且在x軸，y軸上的截距相等，求直線/的一般式方

程;

⑵從圓C外一點(diǎn)P(x,y)向圓引一條切線，切點(diǎn)為。為坐標(biāo)原點(diǎn)，且有|「〃|=|尸。］,求

點(diǎn)P的軌跡方程.

【解析】(1)由Y+y2+2x-4y+3=0配方得(x+l)2+(y-2)2=2,所以圓C的圓心

C(-l,2),半徑為也,

因?yàn)橹本€/在x軸，y軸上的截距相等，所以設(shè)直線/為x+y=b,即x+y-b=0,

則由直線/與圓C相切得)解得b=-l或6=3,

...直線I的方程為x+y+l=0或x+y—3=0.

(2)由圓上切點(diǎn)的性質(zhì)知1PM

又因?yàn)閨「叫=|叫,所以|尸0「=|尸C「-

所以/+,2=&+1)2+(,_2)2_2,整理得2x-4y+3=0,

故點(diǎn)尸的軌跡方程為2x-4y+3=0.

變式17.(2024?全國(guó)?高三專題練習(xí))由圓/+/=9外一點(diǎn)尸(5』2)引圓的割線交圓于

43兩點(diǎn)，求弦的中點(diǎn)M的軌跡方程.

【解析】［方法一］:【通性通法】【最優(yōu)解】直接法

設(shè)弦AB的中點(diǎn)V的坐標(biāo)為M(x,y)，連接OP、OM廁OMVAB.

在’0Mp中,由勾股定理有x2+y2+(x-5)2+(y_12)2=169,而M(x,y)在圓內(nèi)，

所以弦A8的中點(diǎn)M的軌跡方程為x2+y2-5x-12y=0(-3<x<3).

［方法2］：定義法

因?yàn)镸是AB的中點(diǎn)，所以O(shè)M_LAB,所以點(diǎn)M的軌跡是以O(shè)P為直徑的圓,圓心為［■1,6

半徑為挈=修，所以該圓的方程為:［高+“一寸唁(化簡(jiǎn)得

x2+y2-5.x—12_y=0(-3<x<3)

［方法3］：交軌法

易知過P點(diǎn)的割線的斜率必然存在，設(shè)過P點(diǎn)的割線的斜率為k,

則過P點(diǎn)的割線方程為:y-12=%(尤-5).

?/。似J-AB且過原點(diǎn),，OM的方程為y=

k

這兩條直線的交點(diǎn)就是M點(diǎn)的軌跡.兩方程相乘消去k，化簡(jiǎn)，得:x2+/-5x-12y=0,

其中—3vxv3.

［方法4］：參數(shù)法

設(shè)過P點(diǎn)的割線方程為:、-12=以》-5）,它與圓尤2+曠=9的兩個(gè)交點(diǎn)為人、B,

AB的中點(diǎn)為V,設(shè)M（羽））,4（西,%）,6（%2，%）?

由+可得，（1+公卜2+2M12—5%）龍+（12-5/）2-9=0，所以，

國(guó)+%」（12-5%）,即有尤=_%（12-了）,y=?^,消去左，

1-1+k21+k21+左

可求得M點(diǎn)的軌跡方程為：尤2+y2-5x-12y=0,-3<x<3.

［方法5］：點(diǎn)差法

設(shè)M（x,股A（國(guó),》）,8（孫％）廁9+%=2尤,%+%=2y.

寸+y：=9,七+/=9.兩式相減，整理，得乂4+%）-（％-%乂￥+=）=0.

%一y%+x,x

所以2^!=-」^=—―,即為4s的斜率，

x2-xx必+%y

而AB的斜率又可表示為爭(zhēng)？,：.與二2=一工化簡(jiǎn)并整理，得/+y^Sx-Uy=0.

5-x5-尤y

其中—3vxv3.

【整體點(diǎn)評(píng)】方法一：直接根據(jù)軌跡的求法，建系、設(shè)點(diǎn)、列式、化簡(jiǎn)、檢驗(yàn)即可解出,

是該類型題的常規(guī)方法，也是最優(yōu)解；

方法二：根據(jù)題設(shè)條件，判斷并確定軌跡的曲線類型，運(yùn)用待定系數(shù)法求出曲線方程；

方法三：將問題轉(zhuǎn)化為求兩直線的交點(diǎn)軌跡問題；

方法四：將動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)表示成某一中間變量（參數(shù)）的函數(shù)，再設(shè)法消去參數(shù)；

方法五：根據(jù)曲線和方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系，點(diǎn)在曲線上則點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程，用點(diǎn)差法思想,

設(shè)而不求.

變式18.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知圓G:*+,2-4X=0,平面上一動(dòng)點(diǎn)P滿

足：2加2+.2=6且加（-1，0），Mi,o）.求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程;

【解析】設(shè)P（x,y）,由PAr+PN2=6,

所以(x+l)2+/+(%-1)2+/=6,整理得好+丁=2,

即動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡方程尤2+y2=2.

變式19.(2024?全國(guó)?高三專題練習(xí))在邊長(zhǎng)為1的正方形ABC。中，邊AB、8C上分

別有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q、R,且忸。|=|CR|.求直線AR與ZJQ的交點(diǎn)P的軌跡方程.

【解析】分別以AB,AD邊所在的直線為x軸、y軸建立直角坐標(biāo)系.

如圖所示，則點(diǎn)A。。)、B(I,O)、C(l,l)、￡)(0,1)，

設(shè)動(dòng)點(diǎn)p@y),ea,o)(o<r<i),

由忸2|二|。尺|知：|AQ|二|眼，則R(1J).

當(dāng)才w。時(shí)，直線AR：y=比①，直線Z)Q：—+y=1f則1—丁=二②，

tt

①x②得：>(1一丫)=比:化簡(jiǎn)得一+必一、=0.

當(dāng)公。時(shí)，點(diǎn)尸與原點(diǎn)重合，坐標(biāo)(0,0)也滿足上述方程.

故點(diǎn)尸的軌跡方程為x2+y2-y=010WxW；,0Wyw￡|.

變式20.(2024?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知Rt.ABC的斜邊為A3,且4-1,0),3(3,0).

求：

(1)直角頂點(diǎn)C的軌跡方程；

(2)直角邊8C的中點(diǎn)V的軌跡方程.

【解析】(1)設(shè)C(x,y),因?yàn)?B,C三點(diǎn)不共線，所以yHO,

因?yàn)锳C15C,所以Kc.心c=T，

又因?yàn)槠遚=""7,凝c=一^,所以一^7,—=

x+1x—3x+1x—3

整理得/+丁-2苫-3=0,即(x-l>+y2=4,

所以直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為(x-iy+y2=4(y*0).

(2)設(shè)M(x,y),C(%,%),

因?yàn)?(3,0),"是線段8c的中點(diǎn),

由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得尤所以%=2xT%=2y,

由(1)知，點(diǎn)。的軌跡方程為。-1)2+丁=4(〉3。)，

將無(wú)o=2尤—3,%=2y代入得(2x—4)~+(2y)~=4,即(尤―2)?+y2=1

所以動(dòng)點(diǎn)H的軌跡方程為@-2)2+>2=1(舛0).

變式21.(2024?高二課時(shí)練習(xí))如圖，已知點(diǎn)A(-l,0)與點(diǎn)2(1,0),C是圓尤2+》2=I上

異于A,8兩點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，連接BC并延長(zhǎng)至D,使得|C0=|8C|,求線段AC與。。的交點(diǎn)尸

的軌跡方程.

【解析】設(shè)動(dòng)點(diǎn)尸(x,y),由題意可知P是△AB。的重心，由4(-1,0),2(1,0),

令動(dòng)點(diǎn)C(xo,yo),則O(2xo-1,2yd),

—1+1+2%-1

x=

3

由重心坐標(biāo)公式得'

2yo

y=

3

3x+l

XQ=-A

貝Ha代入x2+y2=1,

%=/(%看。)

整理得[x+g]+y2=g(ywO)

故所求軌跡方程為1++y2=|(y^0).

變式22.(2024?高二課時(shí)練習(xí))已知點(diǎn)A(2,o)是圓尤2+必=4上的定點(diǎn)，點(diǎn)8(1,1)是圓

內(nèi)一點(diǎn)，P、。為圓上的動(dòng)點(diǎn).

⑴求線段AP的中點(diǎn)M的軌跡方程.

(2)若NPBQ=90°,求線段尸。中點(diǎn)N的軌跡方程.

【解析】(D設(shè)釬中點(diǎn)為

由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知，P點(diǎn)坐標(biāo)為(2x-2,2y)

:尸點(diǎn)在圓尤2+必=4上，二(2尤-2)2+(2y)2=4.

故線段相中點(diǎn)的軌跡方程為(x-l)2+y2=l.

(2)設(shè)尸。的中點(diǎn)為N(x,y),在Rt△尸3Q中，|PN|=|8N|,

設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則。N1PQ,所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|3N|2,

所以尤2+_/+。_])2+口_])2=4.

故線段戶。中點(diǎn)的軌跡方程為V+y2-x-y_i=0.

【解題方法總結(jié)】

要深刻理解求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程就是探求動(dòng)點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)X,y的等量關(guān)系，根據(jù)題目條

件，直接找到或轉(zhuǎn)化得到與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的數(shù)量關(guān)系，是解決此類問題的關(guān)鍵所在.

題型四：用二元二次方程表示圓的一般方程的充要條件

例10.(2024?河南?高三階段練習(xí))“a<1”是“方程2爐+2/+2辦+6、+5a=0表示圓”

的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】因?yàn)榉匠?尤2+2_/+2依+6y+5。=。，即x?+;/+辦+3>+當(dāng)=。表示圓，

等價(jià)于/+9-10a>0,解得。>9或a<1.

故“a<1”是“方程2/+2/+2依+6y+5a=0表示圓”的充分不必要條件.

故選：A

例1L(2024?上海奉賢?高三?？茧A段練習(xí))已知：圓C的方程為/(x,y)=0,點(diǎn)

產(chǎn)(%，%)不在圓。上，也不在圓C的圓心上，方程C，"(x,y)-/(%,%)=0,則下面判斷正

確的是()

A.方程。表示的曲線不存在

B.方程。表示與C同心且半徑不同的圓

C.方程。表示與C相交的圓

D.當(dāng)點(diǎn)尸在圓C外時(shí)，方程。表示與C相離的圓

【答案】B

【解析】因?yàn)镃為圓，設(shè)/(x,y)=/+y2_l=0,點(diǎn)尸(U),其圓心為(0,0),半徑為1,

而C，的方程為f(%>)-/(%,%)=0,BPx2+y2—1—1=0,x2+y2-2=0

因此上述方程中，圓心亦為(0,0),半徑為企,所以C與圓仁是同心且半徑不同的圓.

故選：B.

例12.(2024?高三課時(shí)練習(xí))關(guān)于無(wú)、y的方程-2+39+02+瓜+￡了+尸=0表示一個(gè)

圓的充要條件是().

A.8=0,l.A=C^O

B.B=l,且￡)2+E2_4A尸>0

C.8=0,MA=C^O,￡)2+E2-4AF>0

D.3=0,MA=c^o,D2+E2-4AF>0

【答案】D

【解析】關(guān)于X、y的方程-2+區(qū)口+0/+以+4+/=。表示一個(gè)圓的充要條件是

B=0

，A=CWO,即B=。，且A=。/0,￡)2+E2-4AF>0.

故選：D

變式23.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）若方程Y+y2+辦+2y+2=0表示圓，則實(shí)數(shù)a的

取值范圍是（）

A.a<—2B.a>2

C.a<—2或a>2D.a<—2或4之2

【答案】c

【解析】若方程/+9+辦+2〉+2=0表示圓，貝+2?-4x2>0,

解得：。>2或av-2.

故選：C

變式24.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知方程/+V+'晟+2y+2=0表示圓，則實(shí)

數(shù)機(jī)的取值范圍為（）

A.（l,+oo）B.（2,+8）C.（3,+oo）D.（4,+co）

【答案】D

【解析】因?yàn)榉匠蘓+V+標(biāo)為+2丫+2=0表示圓，

所以（而了+22-4X2>0,解得機(jī)>4.

故選：D

變式25.（2024?四川綿陽(yáng)?高三綿陽(yáng)南山中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）若圓C：

d+y2-2（〃Ll）x+2（〃Ll）y+2"-6〃z+4=0過坐標(biāo)原點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值為（）

A.2或1B.-2或-1C.2D.-1

【答案】C

【解析】：7+y2-2（〃?一1）%+2（〃7—1）》+2加2-6〃2+4=0表示圓，

/.[-2（,〃-1）了+[2（〃z-1）丁—4（2m2—6m+4）>0

m>1.

又圓。過原點(diǎn)，

**?2m2-6加+4=0，

???帆=2或加=1（舍去）；

m=2.

故選:C.

變式26.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）若方程N(yùn)+y2+2&+2勿+2M—九+1=0表示圓,

則力的取值范圍是（）

F1;

A.（1,+oo）B.-,1

C.（1,+oo）uD.R

【答案】A

【解析】因?yàn)榉匠蘊(yùn)+y2+22x+2Ay+2A2-4+1=0表小圓，所以￡）2+￡2—4/>0,

BP4A2+4A2—4（2M—2+1）>0,解不等式得2>1,即丸的取值范圍是（1,+（x））.

故選：A.

變式27.（2024?高二課時(shí)練習(xí)）若ae（O,2?）,使曲線

Ycosa+Vsine+xcosa+ysina+lu。是圓，貝U（）

,5冗c式「冗f\兀C71

A.a=——B.a--C.a=一或c=——D.a=—

44442

【答案】A

【解析】由題意，cosa=sinc,

因?yàn)椤妫?,2萬(wàn)），所以戊=（或2=努，

當(dāng)。=工時(shí)，方程為變/+正X+正y+l=O,

42222

化簡(jiǎn)得必+y1+x+y+^2=0,

止匕時(shí)￡）2+f2-4尸二2-4五<0，不表示圓；

當(dāng)。=手時(shí)，方程為一變X?—正V一正X—必y+l=0,

42222

化筒得x2+y2+x+y—A/2=09

止匕時(shí)。2+七2-4/=2+4五>0，表示圓.

所以。=乎.

4

故選：A

【解題方法總結(jié)】

方程%2+、2+.+4+尸=。表示圓的充要條件是￡）2+￡2—4尸〉0,故在解決圓的一

般式方程的有關(guān)問題時(shí)，必須注意這一隱含條件.在圓的一般方程中，圓心為［-微，-］）

半徑r二,yjD2+E2-4F

2

題型五：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判斷

例13.（2024?甘肅定西?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）若點(diǎn)（2,1）在圓Y+V-x+y+a=0的外部，則

a的取值范圍是（）

A.&，+4B.［-ool］C.［一43

D.（_00,_4）。1,+ooj

【答案】C

【解析】依題意，方程/+Y2-x+y+a=0可以表示圓，則（-I）?+F-4a>0,得a<g；

由點(diǎn)（2,1）在圓x2+y2_；v+y+a=o的外部可知：22+l2-2+l+a>0>得“>-4.

故-4<a<萬(wàn).

故選：C

例14.(2024?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知點(diǎn)尸(1,-2)在圓C：x2+y2+kx+4y+k2+l=0

的外部，則左的取值范圍是()

A.-2<k<lB.l<k<2C.k<-2D.-2<k<2

【答案】B

【解析】由爐++日+4y+/+1=0,得++(y+2)2=3—,

貝1]3_:長(zhǎng)->0,解得：—2vk<2①,

又：點(diǎn)尸(1,-2)在圓C的外部，

???1+4+左一8+左2+1〉0，BPk2+k-2>0>解得左V—2或左>1②,

由①②得1(后<2,

故選：B.

例15.(2024?四川自貢?高一統(tǒng)考期中)點(diǎn)尸在單位圓。。上(。為坐標(biāo)原點(diǎn))，點(diǎn)

4(-1,-1),8,AP=/J.AO+ZAB,則〃+人的最大值為()

3廣

A.-B.布C.2D.3

【答案】C

【解析】如圖所示：

設(shè)P(x,y),因?yàn)锳P=AAO+NAB,

fx+l=〃+丸=—1

則1丁+1=月即[y=〃-1

因?yàn)辄c(diǎn)尸在圓丁+丁=1上,

所以（〃+2—1）+（〃—1）=1,

令t=〃+X,得〃2-2〃+/-2r+1=0,

A=（-2）-4（產(chǎn)—2f+l）20,即/_2t（0，

解得0V/W2,

所以〃+力的最大值為2,

故選：C

變式28.（2024?全國(guó)?高二專題練習(xí)）點(diǎn)尸（5,時(shí)與圓一+y=24的位置關(guān)系是（）

A.點(diǎn)在圓上B.點(diǎn)在圓內(nèi)C.點(diǎn)在圓外D.不確定

【答案】C

【解析】因?yàn)??+加2=25+源〉24,所以點(diǎn)在圓外，

故選：C

變式29.（2024?全國(guó)?高二專題練習(xí)）若點(diǎn)在圓Y+y2-2ay-4=0的內(nèi)部，

則。的取值范圍是（）.

A.。>1B.0<?<1C.-1<u<—D.a<1

5

【答案】D

【解析】由題可知，半徑廠=耳+4,所以“eR，把點(diǎn)代入方程，

則（。+1『-2。（。一1）-4<0,解得a<1,所以故。的取值范圍是a<1.

故選：D

變式30.（2024?全國(guó)?高二專題練習(xí)）已