2025高考數(shù)學專項復習：等比數(shù)列（含答案）

2025高考數(shù)學專項復習第七章數(shù)列第三節(jié)等比數(shù)列

課標解讀考向預測

預計2025年高考會從以下兩個角度來考查：

1.理解等比數(shù)列的概念.(1)等比數(shù)列及其前〃項和的基本運算與性質，

2.掌握等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式.可能與等差數(shù)列綜合出題，難度較小；(2)等

3.了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關系.比數(shù)列的綜合應用，可能與函數(shù)、方程、不

等式結合考查，難度中檔.

必備知識——強基礎

知識梳理

1.等比數(shù)列的概念

(1)定義：如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比都等于畫同一個常數(shù),那么

這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示(顯然#0).

數(shù)學語言表達式：衛(wèi)=畫式w22,q為非零常數(shù)).

〃〃一1

(2)等比中項：如果在。與6中間插入一個數(shù)G,使a,G,6成等比數(shù)列，那么G叫做a與b

的等比中項.此時32=畫磴.

提醒:⑴“G2=a)”是“a,G,6成等比數(shù)列”的必要不充分條件.

(2)只有當兩個數(shù)同號時，這兩個數(shù)才有等比中項，且等比中項有兩個，它們互為相反數(shù).

(3)等比數(shù)列的奇數(shù)項符號相同，偶數(shù)項符號相同.

2.等比數(shù)列的通項公式及前n項和公式

(1)若等比數(shù)列｛a.｝的首項為可，公比是分則其通項公式為斯=畫力仁1；

nm

通項公式的推廣：an=amq~.

(2)等比數(shù)列的前n項和公式：當q=l時，Sn=nai；當申時，S“=畫也［：):.

3.等比數(shù)列的性質

已知｛斯｝是等比數(shù)列，S,是數(shù)列｛斯｝的前〃項和.

(1)若女+/=m+〃(左，I,m,n€N*),則有內回=叵同生皿.

(2)相隔等距離的項組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，即公，ak+m,詼+2如…仍是等比數(shù)列，公比為

畫貯.

（3）當行一1,或q=—1且〃為奇數(shù)時，S?,S2?-Sn,S3,,—S2“，…仍成等比數(shù)歹U,其公比為畫

心

常用

1.若數(shù)列｛斯｝,｛勿｝（項數(shù)相同）是等比數(shù)列，貝IJ數(shù)列｛w｝（分0）,｛%|｝,｛屆｝,［十，｛。,瓦｝,

（到也是等比數(shù)列.

2.由斯+i=qa”，q半0,并不能立即斷言｛斯｝為等比數(shù)列，還要驗證內加.

3.在運用等比數(shù)列的前"項和公式時，必須注意對q=l與分類討論，防止因忽略4=1

這一特殊情形而導致解題失誤.

4.三個數(shù)成等比數(shù)列，通常設為*尤，xq；四個符號相同的數(shù)成等比數(shù)列，通常設為千，?

xq,xq5.

5.若已知等比數(shù)列｛④｝,公比為q,前九項和為S"則二^-=言/+為=勿〃

-W0,^1）,即S”為關于〃的指數(shù)型函數(shù)，且q"的系數(shù)與常數(shù)項互為相反數(shù).

6.｛斯｝為等比數(shù)列，若am…則T”，景,要，…成等比數(shù)列.

7.若｛詼｝為正項等比數(shù)列，貝U｛logca"｝（c>0,存1）為等差數(shù)列.

8.若｛斯｝為等差數(shù)列,則｛ca〃｝（c>0,存1）為等比數(shù)列.

9.若｛斯｝既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列=｛詼｝是非零常數(shù)列.

10.（1）項的個數(shù)的“奇偶”性質，在等比數(shù)列｛④｝中，公比為/

①若共有2”項，貝!IS假：S奇=q；

②若共有2n+1項，則%包=%

3偶

n

（2）分段求和：Sn+m=Sn~\~qnSm=q=&—一為公比）.

11.等比數(shù)列的單調性

當4>1,句>0或5<0時,｛%｝是遞增數(shù)列；

當q>l,m<0或0<q<l,的>0時，｛“”｝是遞減數(shù)列；

當4=1時，｛詼｝是常數(shù)列.

診斷自測

i.概念辨析(正確的打“卡，錯誤的打“X”)

(1)三個數(shù)a,b,c成等比數(shù)列的充要條件是〃=℃.()

(2)數(shù)列｛斯｝為等比數(shù)列，則S4,Ss-S4,S12—S8成等比數(shù)列.()

⑶滿足總I=M(，7€N*,q為常數(shù))的數(shù)列｛為｝為等比數(shù)列.()

(4)如果數(shù)列｛詼｝為等比數(shù)列，則數(shù)列｛In斯｝是等差數(shù)列.()

答案(l)x(2)x(3)x(4)x

2.小題熱身

(1)已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列｛詼｝的前4項和為15,且的=3。3+46，則侑=()

A.16B.8

C.4D.2

答案C

fai+ai<7+ai<72+<7i<73=15>

解析設各項均為正數(shù)的等比數(shù)列｛斯｝的公比為小貝乂42,解得

團1=1，

1一2所以。3=。可2=4.故選C.

(2)若等比數(shù)列｛跖｝的前”項和S〃=3"+b,則6=()

A.3B.1

C.-1D.0

答案C

解析當”=1時，ai=Si=3+6,當九22時，a“=S”-S"—i=(3"+6)-(3Li+b)=23Li,當

6=—1時,。1=2適合a”=2?3"-i,｛斯｝是等比數(shù)列.當厚一1時，的不適合a“=2?3"-i,｛an｝

不是等比數(shù)列.故選C.

(3)(人教A選擇性必修第二冊4.3.1練習T2改編)在等比數(shù)列｛a“｝中，的=2,s=8,則°5=()

A.5B.±5

C.4D.+4

答案C

解析,底=°3。7=2義8=16,，。5=±4.又。5=a3q2>。，，。5=4.故選C.

(4)(人教A選擇性必修第二冊432練習T4改編)已知三個數(shù)成等比數(shù)列，若它們的和等于13,

積等于27,則這三個數(shù)為.

答案1,3,9或9,3,1

。+北的=13，卜=3，g=3，

解析設這三個數(shù)為*a,aq,貝R解得＜1或＜°，這三個數(shù)為1,

qaq=41q=3，

\^a---aq—21，["3

3,9或9,3,1.

考點探究——提素養(yǎng)

考點一等比數(shù)列基本量的運算

例1(1)(2023?全國甲卷)設等比數(shù)列｛斯｝的各項均為正數(shù)，前w項和為S“，若?=1,$5=

5加一4,則$4=()

15「65

AA-TB.g

C.15D.40

答案C

解析由題意知l+q+q2+g3+g4=5(]+q+g2)—%gp^3_|_^4—即以g—2)(q+l)(q

+2)=0.由題意知4>0,所以q=2,所以$4=1+2+4+8=15.故選C.

39

(2)在等比數(shù)列｛斯｝中，43=5，$3=1，則。2的值為()

3

A.2B.—3

C.—D.—3或方

答案D

解析由S3=ai+〃2+〃3=〃3(9-2+9一1+1),得/2+g-1+1=3,即2/一夕―i=0,解得夕=

1或4=一所以42='=1或一3.故選D.

【通性通法】

等比數(shù)列基本量運算的解題策略

等比數(shù)列的基本量為首項at和公比q,通常利用已知條件及通項公式或前n項和

方程思想

公式列方程(組)求解，等比數(shù)列中包含⑶，q,n,an,S“五個量，可“知三求二”

當所給條件只有一個時，可將已知和所求都用的，q表示，尋求兩者間的聯(lián)系，

整體思想

整體代換即可求解

分類討論若題目中公比q未知，則運用等比數(shù)列前〃項和公式時要分q=l和qWl兩種情

思想況進行討論

【鞏固遷移】

1.(2024?福建泉州中學階段考試)記S,為等比數(shù)列｛斯｝的前〃項和，若〃5一。3=12,麗一。4=

24,貝嚕=()

A.2"-1B.2-21-"

C.2一2"-1D.21-"-1

答案B

CU5—-a1q2=12，[。1=1，

解析解法一：設等比數(shù)列｛斯｝的公比為4,則由彳_53_解得4所

一。4—a、q-a、q—24，[q—2，

以S.=m=2"_1,如=0八=2"一1,所以拿=記=2—2~故選B.

1q斯z

解法二：設等比數(shù)列｛斯｝的公比為4,因為詈琮d：5二｝=春券2,所以尸2,所

(1-g")

以4=:渭=裂=2—2廣”.故選B.

UnCliqZ

2.(2023?全國甲卷)記&為等比數(shù)列｛礪｝的前〃項和.若8s6=7S3,則｛斯｝的公比為.

答案V

解析若q=l,則由8s6=7S3得8?6m=7-3ai,則的=0,不符合題意，所以#1.當g1時，

因為8s6=753，所以8-一仁一=7.-W—,即8(1—q6)=7(l一或)，即8(1+?3)(1一

g3)=7(l—q3),即8(l+q3)=7,解得q=—/

考點二等比數(shù)列的性質及其應用(多考向探究)

考向1等比數(shù)列項的性質

例2⑴在各項都為正數(shù)的等比數(shù)列｛詼｝中，已知0＜勾＜1,其前〃項之積為T”，且/2=々，

則G取得最小值時，n的值是.

答案9

解析由T12=(5，得牛=1,即。7。8。9。10。11。12=(。900)3=1,故。9。10=1，因為。1。18=。9。10,

則0018=1，由于得。18＞1，所以等比數(shù)列｛&｝是遞增數(shù)列,故0。9＜1＜為0，則及

取得最小值時，n=9.

12

(2)(2023?湖南師大附中模擬)在等比數(shù)列｛斯｝中，的+〃2+。3+。4+。5+。6+。7+〃8=5，〃4。5

2n.,1,1,1,11111,1,1

=—￡，則—+—+—+—+—+—+—+——________?

5aia2a3a4。5〃6〃7〃8

答案一6

j。1+恁+〃2+〃7+。3+〃6+〃4+〃5

解析3???在等比數(shù)列｛斯｝

a\ai。3。4。5"6Cl7〃8〃1〃8a2a7a3a6〃4〃5

22.,5

中，。4。5=一亍貝U。1。8=。2。7=。3。6=。4〃5=—亍???原式=—](〃1+。2+〃3+〃4+。5+。6+〃7

+〃8)=_|x*-6.

【通性通法】

利用項的性質的解題策略

在解決等比數(shù)列的有關問題時，要注意挖掘隱含條件、利用性質，特別是性質“若

策略一

m+n=p+q=2k,貝4Pq=〃針，可以減少運算量，提高解題速度

在應用相應性質解題時，要注意性質成立的前提條件，有時需要進行適當變形.此

策略二

外，解題時注意設而不求思想的運用

【鞏固遷移】

3.公比不為1的等比數(shù)列｛念｝滿足〃5〃6+。4〃7=8,若〃2am=4,則根的值為（）

A.8B.9

C.10D.11

答案B

解析?公比不為1的等比數(shù)列｛斯｝滿足。5〃6+〃4〃7=8,，恁恁=團劭二%又“2。加=4,.二？

+加=5+6=11,解得機=9.故選B.

4.（2023?北京東城區(qū)模擬）設等比數(shù)列｛斯｝滿足〃I+〃2=48,04+05=6,則公比q=,

10g2（〃l〃2〃3…斯）的最大值為?

答案115

解析因為。1+。2=48,所以由〃4+。5=6,可得夕3（的+〃2）=6,^3=g,9=3.由。1+。2=48,

1mn_1__

6n546n

可得。1+于1=48=〃1=32,所以an=32-\^J=2~flog2（?i6Z2?3...an）=log2（2-2-...-2~）=

2n(11—n)e“(11—九)1，11Y,121*.

Iog22=-------2-------，因為-----2-------=—，"一句+~^~，及€N,所以〃=5或6時,

n（11一九）

?有最大值，為

215.

考向2等比數(shù)列前n項和的性質

例3（1）（2023?新課標II卷）記S〃為等比數(shù)列｛詼｝的前〃項和，若&=—5,S6=21S2，則&

=()

A.120B.85

C.-85D.-120

答案C

解析解法一：設等比數(shù)列｛斯｝的公比為必若4=1,則S6=6m=3x2〃i=3S2,與題意不符，

tf(1一/)a\(1一成)a\(1一/)…

所以療1；由&=-5,§6=2]§2可何，\=—5,=21x"①，

由①可得，1+如+/=21,解得“2=4,所以&=-；1;.=幻；4)x(l+/)=_5x(l

+16)=-85.故選C.

解法二：設等比數(shù)列｛?！ǎ墓葹橄Γ驗镾4=—5,S6=21S2，所以行一1,否則S4=0,從

而S2,S4-S2,S6-S4,S8—S6成等比數(shù)列,所以(一5—S2)2=S2(21S2+5),解得S2=-1或S2

=不當512=-1時，S2,S，—Sz,5r6-$4,&—$6,即為一L—4,—16,Ss+21,易知戰(zhàn)+21

=-64,即S8=—85；當$2=1時，54=。1+。2+。3+。4=(。1+〃2)(1+/)=(1+/)S2>0,與S4

=-5矛盾，舍去.故選C.

(2)已知等比數(shù)列｛斯｝共有2〃項，其和為一240,且奇數(shù)項的和比偶數(shù)項的和大80,則公比4

答案2

S奇+5偶=—240,S奇=—80,—160

解析由題意，得，解得，S『T6。，所以打工=-80=2-

S奇一S偶=80,

【通性通法】

等比數(shù)列的性質分類

類型一通項公式的變形

類型二等比中項的變形

類型三前n項和公式的變形

提醒：應用時根據(jù)題目條件，認真分析，發(fā)現(xiàn)具體的變化特征即可找出解決問題的突破口.

【鞏固遷移】

5.等比數(shù)列｛%｝的前〃項和為S”若—1,貝卜=()

A.2B.-2

C.1D.-1

答案A

解析設等比數(shù)列的公比為q,當4=1時，S"=mii，不符合題意；當仍4時，等比數(shù)列的前

w項和公式為?_"〃）=_，?/+—,依題意義=八2『1—1=%2—1,即1+（一

]—q1—q1~q22

1）=0,解得f=2.故選A.

6.（2024?湖南岳陽一中月考）已知正項等比數(shù)列｛斯｝的前n項和為Sn,且S8-2S4=5,則o

+aio+au+ai2的最小值為.

答案20

解析在正項等比數(shù)列｛斯｝中，S?>0,因為S8—254=5,則S8—S4=5+S4，易知叉，S「SA,

S12—S8是等比數(shù)列，所以（&—S4）2=S4,（Si2—Sg）,所以Sn~S^=q=5^+84+

10》2\S+10=20（當且僅當S4=5時取等號）.因為〃9+010+111+〃12=S12—S8，所以。9

+〃io+〃ii+〃i2的最小值為20.

考向3等比數(shù)列前〃項和最值問題

例4（多選）（2024.河北涿州模擬）設等比數(shù)列｛斯｝的公比為9，其前〃項和為％,前〃項積為

CLKY）^1

Tn,并滿足條件〃2023〃2024>1，、7<。，下列結論正確的是（）

“2024—1

A.S2023Vs2024

B.〃2023〃2025—1<0

C.“024是數(shù)列｛4｝中的最大項

D.數(shù)列｛〃｝無最大項

答案AB

。20231

解析當“<0時，”2023。2024=。布234<。，與已知矛盾；當時，。2023>1，。2024>1，7

02024-1

>0,與已知矛盾，故且。2023>1，0<。2024<1，故52024>$2023，A正確；。2023a2025

—1=血24—1<0,B正確；辦23是數(shù)列｛%｝中的最大項，C,D錯誤.故選AB.

【通性通法】

涉及等比數(shù)列的單調性與最值的問題，一般要考慮公比與首項的符號對其的影響.

【鞏固遷移】

7.（2023?安徽安慶模擬）已知等比數(shù)列｛?！埃墓葹閝,前“項和為S",若q>0,則須薨的

最小值是.

答案2、”一1

2

名刀+匚上啊S1+S3〃1+〃1+〃2+〃32+q+q2(q+1)—(q+l)+2

解析由題意知,---------9---------=夕+1+

臺一1,又q>0,則〃+1+皆^—1N2限一1，當且僅當〃=也一1時，等號成立.即笠3

的最小值是2吸一1.

考點三等比數(shù)列的判定與證明

例5%為等比數(shù)列｛斯｝的前〃項和，己知。4=9“2，$3=13,且公比g>0.

⑴求斯及當；

(2)是否存在常數(shù)九使得數(shù)歹U｛S.+2｝是等比數(shù)列？若存在，求出入的值；若不存在，請說明

理由.

解⑴易知行1,

a\qi—9a\q’

ai(1—cP)—1'

由題意可得〈、=13,解得.

Il—q[q=3，

q>0'

.1-3"3”—1

?"a—3",S—~.T-=5-

nni—Jz

⑵假設存在常數(shù)加使得數(shù)列｛S〃+4｝是等比數(shù)列，

N+丸=2+1,82+4=4+4,83+4=2+13,

.,.(A+4)2=G+1)(A+13),

解得力=/此時5〃+3=m<3〃，

5?+I+||x3"+1

則——r=-j—=3,

S"+\2x3"

故存在常數(shù)使得數(shù)歹?S"+3是以方為首項，3為公比的等比數(shù)列.

【通性通法】

等比數(shù)列的判定與證明的方法

提醒：(1)在解答題中證明一個數(shù)列為等比數(shù)列時，一般用定義法與等比中項法，判斷一個數(shù)

列是等比數(shù)列，有通項公式法及前力項和公式法，只用于選擇題、填空題中的判定.

(2)如果要判定一個數(shù)列不是等比數(shù)列，則只需判定存在連續(xù)的三項不成等比數(shù)列即可.

(3)判斷一個數(shù)列是等比數(shù)列時，要注意各項不為0.

(4)在利用遞推關系判定等比數(shù)列時，要注意對w=l的情形進行驗證.

【鞏固遷移】

8.(2024?江西撫州一中質檢)已知數(shù)列｛斯｝，｛d｝滿足ai19bi2，2Q〃+I〃八+2人〃，2bfi+i

(1)證明：數(shù)列｛斯+兒｝,｛斯一6"｝為等比數(shù)歹U;

(2)記S”為數(shù)列｛斯｝的前"項和，證明：

證明(1)依題意

2bn+\=^an+bn，②

3

又“1+歷=辦0,

二｛斯+6”｝是首項為3家公比為3)的等比數(shù)列,

①一②，得?！?1—瓦+1=;(斯―瓦).

又0一加=$0,

，｛斯一瓦｝是首項為士，公比為〃的等比數(shù)列.

,3<3Y-1

w=X

(2)由⑴得，an~\~^2\4j'

課時作業(yè)

基礎鞏固續(xù)

一、單項選擇題

1.已知等比數(shù)列｛詼｝中，。5=9,。3。8=知。2,則。2〃6=（）

A.27B.9

C.±9D.±27

答案A

解析因為數(shù)列｛斯｝為等比數(shù)列，所以。3。8=〃2。9=81〃2，可得。9=81,因為45=9,所以

〃59

/=9,/=3,〃3=/=1=3,所以〃2。6=〃3。5=27.故選A.

2.（2023?天津高考）已知｛斯｝為等比數(shù)列，8〃為數(shù)列｛詼｝的前〃項和，即+i=2S〃+2,則。4的

值為（）

A.3B.18

C.54D.152

答案C

解析解法一：因為an+i—2Sn~\~2,所以當幾22時，斯=2S〃—1+2,兩式相減，得斯+i—an

=2斯，即斯+1=3斯，所以數(shù)列｛斯｝是公比4=^^=3的等比數(shù)列.當幾=1時，〃2=2SI+2

=2（2I+2,又〃2=3的，所以3〃i=2ai+2,解得〃1=2,所以〃4="I/=2X33=54.故選C.

解法二：設等比數(shù)列｛詼｝的公比為q,因為a〃+i=2S“+2,所以公比曲,且牛"=2勾

1q

「_一20

2。]2alI1]—q[a[=2，

+2=一盧%〃+盧L+2,所以〈。所以《。所以〃4=。浮=2x33=54.故選

i-qi-q,o卜=3，

Il-q

3.（2024?開封模擬）等比數(shù)列｛如｝的前幾項和為S〃=32E+r,貝Ur的值為（）

A-3B--I

C.gD.一g

答案B

解析因為y=32〃一1+r=gx9〃+r,由等比數(shù)列前〃項和公式中9〃的系數(shù)與常數(shù)項互為相反

數(shù)，可知r=—g.

4.已知數(shù)列｛〃〃｝是等比數(shù)歹ll，為其前n項和，若〃1+〃2+。3=4,。4+〃5+。6=8,則S12=（）

A.40B.60

C.32D.50

答案B

解析數(shù)列S3,S6—S3,S9—S6，S12—S9是等比數(shù)列，即4,8,S9—S6JS12—S9是等比數(shù)列，

??.SI2=4+8+16+32=60.故選B.

5.(2023?廣東汕頭模擬)數(shù)列｛〃〃｝中，處=2,am+n=afnan,若四+1+。左+2+…+四+io=2*—2§,

貝IJk=()

A.2B.3

C.4D.5

答案C

解析〃i=2,。加+〃=斯四/，令機=1,則即+i=〃i斯=2斯，???｛“〃｝是以。1=2為首項，q=2為

2Al(1—210)

公比的等比數(shù)列，???4〃=2x2Li=2〃.又以+1+隊+2+…+〃葉10=215—25,?,?--------..........=

1—2

215-25,即2時1(210—1)=25(21°—1),???2K1=25,.??2+1=5,?,?攵=4.故選C.

2

6.(2024?蘇北四市模擬)已知函數(shù)啟)=百百，且等比數(shù)列｛斯｝滿足。2〃2023=1，則尬1)+加2)

+…+/(〃2024)=()

A.2024B.1012

C.2D.2

答案A

解析易知_/（無）+《0=］；/+彳苛1=2,又。2a2023=1，所以02023=~，則+八。2023）=_/（。2）

+人￡^=2,因為｛斯｝為等比數(shù)列'所以。1"2024=42。2023=…=。1012。1013=1，所以五。1)+大。2)+...

+黃。2024)=1012x[/(fl2)+A?2023)]=2X1012=2024.故選A.

7.(2024?重慶八中階段考試)記&為等比數(shù)列｛詼｝的前"項和,已知5=8,O4=-b則數(shù)列

｛S"｝()

A.有最大項，有最小項

B.有最大項，無最小項

C.無最大項，有最小項

D.無最大項，無最小項

答案A

解析根據(jù)題意，等比數(shù)列｛斯｝中，<21=8,<24=-1，則^3=^=—則q=~2,則SK=

ai(1-g")2

.若n為奇數(shù)，則S”=V此時有

i-q3

2

Si>S3>...>S?>-y；若W為偶數(shù)，則斗=號(1—玄)，此時有S2Vs4<…<S"(竽，所以數(shù)列｛SJ有

最大項多，最小項&.故選A.

8.(2023?河南鄭州高三第二次質量預測)已知正項數(shù)列｛?,｝的前n項和為Sn,且的=2,S?+i-(Sn

+1—3")=Sg+3"),貝。$2023=()

A.32023—1B.32023+1

答案

解析因為S“+i(S,+i—3")=斗(8+3"),所以能+i—30S"+I=S￡+3〃S“即的+1—SW=3"S“+I+

35,所以⑸+i+S”)(S”+i-&)=3"(S.+i+S.),因為數(shù)列｛詼｝的各項都是正項，即S“+i+S>0,

a4〃

所以S“+i—S,=3",即a“+i=3",所以當”》2時，笠+一1=點尸7=3,所以數(shù)列｛斯｝從第2項起,

斯J

〃(]—〃2022)

構成以02=3為首項，4=3為公比的等比數(shù)列，所以S2023-1+=I2——=2+

3x(1—32022)32°23+i

一.故選D.

二、多項選擇題

9.(2023我名一模)已知等比數(shù)列｛斯｝的前n項和為S”公比為q，則下列說法中正確的是()

A.若q>l,則。

3

B.若〃i=l,9=不則&=4—3斯

C.右*。4+〃7=2,。5。6=8,則〃1+〃10=-7

D.若。1=1,〃5=4的，則斯=2"-1

答案BC

解析對于A,若。1<0且q>l,則1<0,?'?。篦+i—a〃=a〃(q—1)<0,即即+i<a〃，A錯

_國1_3

3<3V-11—W—I斯

誤；對于B,*.*d!i=1,〃=不~9S〃=-==4—3斯，B正確；對于C,

1-41-4

由〃5。6=。4。7得。4〃7=-8,又。4+。7=2,?**6Z4=4,〃7=-2或。4=—2,〃7=4,——/或

夕3=-2.當/:一義時，a\+6ZIO=^1+6Z4^6=_^Y+4X^—=—7；當夕3=—2時，。1+〃10=》

~2

—2

+〃4夕6==^+(—2)乂(-2)2=—7,C正確;對于D,V?i=L〃5=4〃3，.??q4=4q2,得夕=一：

2或4=2,???斯=(-2)〃-1或詼=2"一1,D錯誤.故選BC.

10.(2024?江蘇蘇州期中)已知等比數(shù)列｛〃〃｝的公比為公前幾(H€N*)項和為義,前服z€N*)

項積為G，若〃1=無，75=76，則1()

A.q=2

B.當〃=6時，S,取得最大值

C.當且僅當力=6時，〃取得最小值

D.的正整數(shù)〃的最大值為12

答案AD

解析對于A,因為公=6，所以°6=￡=1,因為/=賓=32,解得q=2,故A正確；對

于B,因為內>0,q>l,所以數(shù)列｛斯｝是各項為正的遞增數(shù)列，所以S”無最大值，故B錯誤；

對于C,因為的=方，a6=l,q=2,所以1W“W5時，0<斯<1,w27時，??>1,所以當〃=

(1—2〃一1

5或〃=6時，G取得最小值，故C錯誤；對于D,S=—ax:~~--=/一，T=aiara...an

nl-q2n3

n（〃一1）〃2-11」」2-11」M-11八+10

=0/+2+.一+"-1=（2-5產22=22,因為&>〃，所以今4>22,即2"—1>22,

2

“,“一尸°n2-lln+101,13-^12913+J129人目，在

所以2”—2~>1,即力>-----2-------，所以----2-----<n<------2-----，正整數(shù)”的最大值

為12,故D正確.故選AD.

三、填空題

11.設a為等比數(shù)列｛詼｝的前w項和，若ai=g,ai=a6,則為=.

答案號

.（[_5）鏟（1—35）

解析由屈=期得（削3）2=.爐，整理得4=齊3.所以$5=0I；=-三一=號.

12.（2023?全國乙卷）已知｛斯｝為等比數(shù)列，a2a4a5=的。6，〃9。10=—8,則。7=.

答案一2

解析設｛。〃｝的公比為式存0），則（22。4。5=的。6=。2/恁4，顯然。,*0,則＜24=『，即?？?=7,

則aiq—1,因為a9aio=-8,則-8,則q'=（g5）3=—8=（—2）',則爐=—2,則

。7=。口,爐=爐=-2.

13.（2024?江西南昌二中階段考試）設｛a“｝是公比為4的等比數(shù)列，|切＞1,令6n=a”+l（w=l,

2,...）,若數(shù)列｛加｝有連續(xù)四項在集合｛-53,—23,19,37,82｝中，則6g=.

答案一9

解析｛6〃｝有連續(xù)四項在集合｛-53,—23,19,37,82｝中,小=斯+1,則a”=兒一1,｛斯｝

有連續(xù)四項在集合｛—54,—24,18,36,81｝中.又｛斯｝是等比數(shù)列，等比數(shù)列中有負數(shù)項，

則q＜0,且負數(shù)項為相隔兩項，等比數(shù)列各項的絕對值遞增或遞減，按絕對值由小到大的順

—244463—54

序排列上述數(shù)值為18,-24,36,—54,81,相鄰兩項相除，得一寸=一不一萬=-5,

loJ-24230

38]332

=-],二^=一]，顯然一24,36,—54,81是｛斯｝中連續(xù)的四項，9=一]或9=一

3

；?此種情況應舍去），.??4=-.?.6g=-9.

14.（2023?湖南益陽一模）已知數(shù)列｛〃〃｝中，（21=1,即+1=^—若bn——三，則數(shù)列｛兒｝

乙ClnClnZ

的前n項和Sn=.

.4"+6"—1

答案——9—

1

Q”---

解析由詼+尸,一有斯+i—。=2—十=2?一即+1—2=/一十=），=將上述兩式相

乙Un乙ClnUn乙Cln乙Cln

（an一2]

除得到包烏=I，所以jzi是以（為公比，以二|=—2為首項的等比數(shù)列，所以

斯一2cCY-c3”右724〃一1缶2o2n]4〃-12n

----[=-2?⑷,即=2-2+平-1，從而"〃=一1—?—?所以Sn=~~i~3X~—=—于

an~2~'

4〃-14〃+6〃-1

9=-9?

四、解答題

15.（2024?廣西柳州模擬）已知各項都為正數(shù)的數(shù)列｛斯｝滿足an+2=2an+i+3an.

⑴證明：數(shù)歹!J｛斯+%+1｝為等比數(shù)列；

13

⑵若〃1=1,〃2=］，求｛斯｝的通項公式.

解（1）證明：因為〃八+2=2斯+1+3念,

所以?！?2+?！?13（?！?1+〃八），

因為｛詼｝中各項均為正數(shù)，

所以1+Cln>0j

Q/7+2+1

所以，

?！?1+

所以數(shù)列｛斯+斯+1｝是公比為3的等比數(shù)列.

(2)由題意知斯+斯+1=31+〃2)3〃-1=2'3"-1

因為an+2—2an+1+3an,

所以斯+2—3斯+1=—（即+1—3斯），

因為〃2=3的，

所以。2—3〃i=0,

所以。〃+1—3斯=0,

故斯+1=3斯，所以4〃〃=2x3"-i,

n

即an=^x3~\

16.（2022?新高考H卷）已知｛為｝為等差數(shù)列，｛為｝是公比為2的等比數(shù)列，且〃2—岳=。3一必

=仇一"4.

（1）證明：ai=bi；

（2）求集合｛向勿=而+〃1,l〈znW500｝中的元素個數(shù).

解（1）證明：設數(shù)列｛斯｝的公差為d,

4i+d—2b\—a\~\-2d—4/7i，

a\~\~d—2/?i=8/7i—(ai+3d)‘

解得所以命題得證.

klkl

⑵由⑴知，仇=的=$所以bk—am+ai＜^bix2~—ai+（m—l）d+ai，即2~—2m,亦即m

=2^2€[1,500],

解得2WKS10,

所以左=2,3,4,....10,

故集合伏瓦=礪+/，l（mW500｝中的元素個數(shù)為10-2+1=9.

素養(yǎng)提標

17.（多選）（2023?山東濟南二模）已知數(shù)列｛斯｝中，1=1,硒"+i=2”，“2N*,則下列說法正

確的是（）

A.〃4=4B.｛〃2"｝是等比數(shù)列

C.a2n—-1=2"1D.-1+。2〃=2"+1

答案ABC

解析'/til—1,。"。"+1=2",；.。2=2,的=2,。4=4,由?！彼?1=2"可得斯+1。”+2=2"?

Cln

｛｛｝

=2,42〃｝，3,-1分別是以2,1為首項，2為公比的等比數(shù)列，.?.42“=22廠1=2",a2n-

n1

1=12廠1=2"一1,：.a2n-a2?-i=2~,々2"-1+02"=32廠1力2”+1.綜上可知，A,B,C正確，D

錯誤.故選ABC.

18.（2024?廣東揭陽階段練習）已知正項數(shù)列｛斯｝中，的=5,且忌+i—2屆一斯+1斯+詼+1—2a”

=0,S,為其前"項和，若存在正整數(shù)小使得為[〈專成立，則7”的取值范圍是.

答案（0,+oo）

解析由已知后+i—2若一+Q+斯+i—2?！?0,得（即+1—2斯）（斯+1+斯+1）=0,由于an＞0j

所以斯+1—2詼=0,即〃〃+1=2斯，即數(shù)列｛斯｝是首項為5,公比為2的等比數(shù)列，所以斯=5x2"

=52—1

一ISn=—2（"）＞由三變形為2—m既不因為存在正整數(shù)小使得

?成立，所以2f＜傳）,由于等=W7=1+痣7，所以1＜等W2,所以2-相＜2,

\.?max，_L/1

則相＞0,即加的取值范圍為（0,+oo）.

第四節(jié)數(shù)列求和

課標解讀考向預測

數(shù)列求和是高考考查的重點知識，預計2025年高考會

1.熟練掌握等差、等比數(shù)列的前〃項

考查等差、等比數(shù)列的前〃項和公式以及其他求和公

和公式.

式，可能與通項公式相結合，也有可能與函數(shù)、方程、

2.掌握數(shù)列求和的幾種常見方法.

不等式等相結合，綜合命題，難度適中.

必備知識——強基礎

知識梳理

數(shù)列求和的幾種常用方法

1.公式法

(1)等差數(shù)列的前〃項和公式

①已知等差數(shù)列的第1項和第n項求前n項和S尸"；

rj(VI——1)

②已知等差數(shù)列的第1項和公差求前n項和Sn=nai+2d.

⑵等比數(shù)列的前〃項和公式

當q=l時，Sn=nai；當分1時，

①已知等比數(shù)列的第1項和第n項求前n項和5=號二幽；

i-q

/7i(1—a")

②已知等比數(shù)列的第1項和公比求前n項和S尸1Q.