2025屆新高考一輪復習特訓：立體幾何初步（含解析）

2025屆新高考一輪復習特訓立體幾何初步

一、選擇題

1.平行六面體ABC。-A4CQ］中，底面ABCD為正方形，Z\AD=ZA.AB=

^=43=1,E為CQ的中點，則異面直線3E和DC所成角的余弦值為（）

2.已知正方體A3CD-的棱長為2，E,F,G分別是鉆，BB1,及q的中

點，則過這三點的截面面積是（）

A-3A/2B-6A/2C-6V3口3百

3.已知平面a,0,y,a/3=l,則“/，7”是“a，7且尸，/”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.如圖,某車間生產(chǎn)一種圓臺形零件，其下底面的直徑為4cm，上底面的直徑為8cm，高為

4cm，已知點P是上底面圓周上不與直徑AB端點重合的一點，且AP=5P，。為上底面圓

的圓心，則OP與平面ABC所成的角的正切值為（）

25

5.已知長方體的一條棱長為2,體積為16,則其外接球表面積的最小值為（）

A.5KB.12兀C.20兀D.80兀

6.如圖，在棱長為1的正方體A3CD-A4GA中,E為線段。2的中點下為線段8用的

中點.直線PC到平面AgE的距離為（）.

A.@B.叵/D.1

3533

7.在三棱柱ABC-45。中，AB=3C=AC,側棱相，底面ABC,若該三棱柱的所有頂

點都在同一個球。的表面上，且球。的表面積的最小值為4兀,則該三棱柱的側面積為（）

A.66B.3GC-3A/2D.3

8.設A,B,C,。是同一個半徑為4的球的球面上的四點,△ABC為等邊三角形且

其面積為9g,則三棱錐D-ABC體積的最大值為（）

A.1273B.18石C.24A/30.5473

二、多項選擇題

9.在△ABC中，AC=BC=叵，AB=2，△他￡）是有一個角是30。的直角三角形，

若二面角O—AB—C是直二面角，則℃的長可以是（）

A.我B.浮C.粵D.7IZ

10.如圖,P為矩形A5CD所在平面外一點,矩形對角線的交點為。,“為P3的中點，則下

列結論成立的是（）

A.OMUPCDB.OM〃平面PDAC.OMUiFUPBAD.OMUiFUPBC

11.如圖，正方體ABC。-ABC。的棱長為1,動點P在對角線&）］上，過P作垂直

于BA的平面a,記平面a與正方體ABCD-44。］口的截面多邊形（含三角形）的

周長為L面積為S,BP=x，xe（0,g）,下面關于函數(shù)L（x）和S（x）的描述正確的

是（）

A.S（x）最大值為學；

B."x）在x=當時取得極大值;

c.“x）在，，正［上單調遞增，在1號6］上單調遞減;

、2JI2,

/

D.S(x)在0,上單調遞增，在上單調遞減

三、填空題

12.如圖一個正六棱柱的茶葉盒，底面邊長為10cm，高為20cm，則這個茶葉盒的表

面積為______

13.已知正三棱柱的各棱長都等于2,點E是A4的中點，則異面直線

AE與所成角的余弦值為.

14.底面邊長為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個底面邊長為2,

高為3的正四棱錐，所得棱臺的體積為.

四、解答題

15.如圖，在三棱錐A-5CD中，△BCD是邊長為2的等邊三角形，AB=AC,。是

3c的中點，OALCD.

(1)證明：平面ABCJ_平面BCD

(2)若點E是棱AC上的一點，則從①CE=2E4,②二面角E-BD-C的大小為

60°,③三棱錐A-5CD的體積為由這三個論斷中選取兩個作為條件，證明另外一個

成立.

16.如圖，PD垂直于梯形ABCD所在平面，ZADC=^BAD=90°,R為線段E4上一

點，PD=42,AB=AD=-CD=1,四邊形PDCE為矩形.

2

⑴若R是的中點，求證：AC〃平面DEF；

(2)求直線AE與平面6cp所成角的正弦值；

(3)若點R到平面5cp的距離為工，求尸尸的長.

6

17.如圖，P為圓錐的頂點，。為圓錐底面的圓心，AC為底面直徑，△ABD為底面

四。的內(nèi)接正三角形，且△相￡)的邊長為逝，點E在母線PC上，且AE=g，

CE=L

p

(1)求證：BD±AE>并求三棱錐P-5DE的體積；

(2)若點“為線段尸o上的動點，當直線DM與平面ABE所成角的正弦值最大時，

求此時點M到平面A8E的距離.

18.如圖，在多面體ABCDE77中，已知四邊形ABCD是菱形，A/,平面ABCZ).

(1)證明：平面B￡)E_L平面ACT7；

7

(2)若A￡>=4，AF=6^DE=3,DE//AF-AE與平面所成角的正弦值為g，求

三棱錐F-CDE的體積.

19.如圖所示，已知正方形ABCZ)和矩形ACE尸所在的平面互相垂直，AB=O，

AF=1，M是線段后產(chǎn)的中點.

求證：(1)40〃平面5DE；

(2)4汝，平面瓦)尸.

參考答案

1.答案：A

兀

1J

解析：由題意，A4j-AB=AAi-AD=lxlxcos—=—?AB-AD=0

又。C=AB，BE=AE-AB=+A^D^+D^E-AB=A\+AD-gAB，

所以3￡.℃=[相+4￡)—gA31A5=g+O—g=0,即有BE_LDC，

故選：A.

2.答案：D

解析：如圖所示，分別取GA，DD],AO的中點H，M,N,連接GH，HM，

MN，NE，

在正方體ABCD-44G。中，可得GH//NE，HM//EF，MN//FG，

所以經(jīng)過點E,F,G的截面為正六邊形EFGHMN，

又因為正方體ABCD-agCQi的棱長為2,

在直角ABEF中，可得.=7BE2+BF2=72，

所以截面正六邊形的面積為6xYlx(0)2=3月.

4

故選：D.

3.答案：C

解析：由于。/3=1,所以/u。，Iu/3,

若/_L/,則0上y,故充分性成立,

若aJ_y,0,設0y=m,(3'y=n,

則存在直線au/,使得a_Lm,所以a_L。，由于/ua,故。_1_/,

同理存在直線buy,使得匕，〃，所以bJ_〃，由于/u尸，故Z?，/,

由于a,6不平行，所以a,6是平面y內(nèi)兩條相交直線，所以/!?7,故必要性成立,

故選：C.

4.答案：A

解析：設。為下底面圓的圓心，連接00'，CO'和CO，

因為AP=5P，所以AB，QP,

又因為AB，OO',OPOO'=O,OP,O。u平面OO'P，所以ABJ_平面OO'P,

因為尸c是該圓臺的一條母線，所以。，0、。/四點共面,且。（7〃0尸，

又ABu平面ABC，所以平面ABC,平面POC，

又因為平面ABC平面POC=OC，所以點尸在平面A5C的射影在直線0C上，

則OP與平面ABC所成的角即為ZPOC=ZOCO'，

過點。作CDLOP于點D因為OP=4cm,O'C=2cm,

00'

所以tanZPOC=tanZOCO'=-=2.

O'C

故選：A.

解析：設長方體的長、寬、高分別為。力,2,

所以長方體的體積為V=2ab=16,解得：ab=8,

設長方體的外接球的半徑為R,

所以2尺=，儲+加+4，即4H之=儲+〃+422。6+4=20,

即R25當且僅當a=b=2近時取等，

所以凡n=5

所以其外接球表面積的最小值為5=4欣2=20兀?

故選：c.

6.答案：D

解析:,AEUFC,,FC[,平面A31E,AEu平面ABtE,FCJ/平面AB}E,

因此直線bq到平面AB}E的距離等于點G到平面AB}E的距離,

如圖，以。點為坐標原點,D4所在的直線為x軸,DC所在的直線為y軸,。，所在的直線

為軸，建立直角坐標系.

則A(1,O,O),耳

FQ=I-1,0,1j,AE=(-1,0,11,=(0,1,1),C,B,=(1,0,0),

設平面AB}E的法向量為〃=(x,y,z)，則

n?AE=-x+—z=0.

<2，令Az=2,貝=2,2)

n-ABX=y+z=0

設點G到平面ABF的距離為d,則

nc

\-A\_i

故直線FC,到平面AB{E的距離為與.

故選:D.

7.答案：B

解析：如圖:設三棱柱上，下底面中心分別為a，.，則。。2的中點為°，

設球。的半徑為R,則OA=H,設715=30=47=0,A4]=丸，

則0a=—h,OjA—-x^-AB=^~a，

-22323

貝!J在R￡OO,A中,片=。&=OO；+QA2」丸2+42N2X4X走a^—ah^

43233

當且僅當/1=氈。時，等號成立，

3

所以5球=4成2247txah，所以，個"ah=47t，所以ah=#>.

所以該三棱柱的側面積為3"=36.

故選:B.

8.答案：B

解析：如圖，設點。為球心，點M為三角形ABC的中心，E為AC的中點，連接

OB,DM,且DM過球心。，連接3E,且3E過點M,當平面ABC時，三棱錐

。-ABC的體積最大.

D

S/二#6=9百，:.AB^6.

又點M為三角形ABC的中心，:.BM=-BE=2y/3,在中，

3

OM=ylOB2-BM~=2,DM=OD+OM=4+2=6,二三棱錐D-ABC體積的最大

值為、96義6=186.故選B.

3

9.答案：ACD

解析：

如圖①，當NADfi=60。且NDBA=90。時，

二面角￡)-AB-C是直二面角，故平面ABD_L平面ABC，

且平面平面ABC=AB，QBu平面ABZ)，

故平面ABC，所以

因為■=小二空,所以。。=曲笈+"=炳故C正確；

tanZADB33

同理可得，當NADB=30。且NDB4=90。時，平面ABC，所以DBLBC，

因為=—可=26，所以DC=后港獲3=，故D正確；

tanZADB、

當NADfi=90。且NZMB=30。時，如圖②，

過點。作。石_145，垂足為E，連接CE，

因為平面平面ABC，且平面A5￡＞平面ABC=AB，DEu平面AB￡)，

故DEL平面ABC，所以￡)E，CE，止匕時D4=ABcosNZMB=G，

DE=DAsinZDAB=—,

2

AE=ADcosZDAB=f-CE=^AE-+AC2-2AE-ACcosABAC=—，

22

所以DC=《DE?+CE?=舊故A正確；

當/位汨=90。且/。/18=60。時，同理可得，

DE=DAsinADAB=—-CE=^AE2+AC2-2AE-ACcosABAC=—'DC=42-

22

故選：ACD.

10.答案：AB

解析：矩形A3CD的對角線AC與3。交于點。，所以點。為3。的中點，在△P3D中，因

為點M是PB的中點，所以0M是的中位線，OM〃PZ）,p￡）u平面PCD，OMa平

面PCD,：.0Mli平面PCD,故A正確；

PDu平面PDA，OM<X平面PDA,...OMH平面PD4,故B正確；

因為平面PBC，Oe平面陶氏所以0M與平面平面PBC相交，故CD錯

誤；

故選:AB.

11.答案：AD

解析：當且時，截面為等邊三角形，如圖：

因為BP=;c，所以所=而，

所以：L（x）=3娓x，5（%）=上小必，0,與■

此時“力，S（x）在、，走上單調遞增，且L（x）43夜，S（x）<^.

I3」2

3.rI1時截面為六邊形，如圖：

當％W

33

7

設AE=f，則AE=AP=CG=CH=gN=用M=r

所以六邊形EFGHMN的周長為：3萬+30(1-/)=30為定值;

做MV1，平面ABCD于M，跖1，平面ABCZ)于叫.

設平面EFGHMN與平面ABCD所成的角為a，則易求cosa=叵

一一…’23

所以SEFDHMNCOS0C=SFAN、M\CG9

所以SEFDHMN

上遞增，在/€川上遞減,

在%

所以截面面積的最大值為6仕+工_口=述，止匕時即x=YL

(224)422

所以S(x)在惇岑上遞增，在(走,其斗上遞減.》=立時，S(x)最大，為空.

、23,24

L（X）=3A/6（V3-X）,s（x）=^-（V3-x）2

此時”x），S（x）在］挈，若［上單調遞減，“力＜30，S（x）＜*

綜上可知：AD是正確的，BC錯誤.

故選：AD

12.答案：300(4+0)

解析：由題設，一個底面的面積為S=6xL10xl0xsin60o=15(X/§cm2,

12

一個側面矩形面積為S?=10x20=200cn?,

2

所以茶葉盒的表面積為2岳+6S2=300(4+V3)cm.

故答案為：300(4+6)

13.答案：

2020

解析：連結A內(nèi),交AE于點“，作"N//5G，交AG于點N,連結EN，

異面直線4石與3C］所成的角為NEMN或其補角，

因為4E〃45,且AE=；A3，所以EN:MA=AM:M3=1:2,

所以ME=^AE=立，MNA2V=|,

333133

ME?+MN?-EN?3M

△EMN中，cos/EMN=

2MEMN20

故答案為：巫

20

14.答案：28

解析：法一：由于%小截去的正四棱錐的高為3,所以原正四棱錐的高為6,所以

原正四棱錐的體積為gx(4x4)x6=32,截去的正四棱錐的體積為:x(2x2)x3=4,所

以棱臺的體積為32-4=28.

法二：由法一可知，棱臺的體積為33義(16+4+^^々)=28.故答案為28.

15.答案：(1)證明見解析

(2)見解析

解析：(1)證明：因為AB=AC,。是3C的中點，所以Q4LBC.

又因為Q4LCD,BCCD=C,BC,CDu平面BCD,

所以Q4J_平面BCD

因為OAu平面ABC,所以平面ABC，平面BCD

(2)如圖，連接OD

因為△BCD是邊長為2的等邊三角形，所以。0_L6C.

由(1)知，Q4L平面BCD,所以A。，BC,。。兩兩互相垂直.

以。為坐標原點，分別以。5,OD,。4所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐

標系.

^\OA\=m(m>0),則0(0,0,0),A(0,0,m),5(1,0,0),C(-l,0,0),0(0,0,0).

若選①②作為條件，證明③成立.

因為CE=2EA,所以CE=2EA,所以4-；,0,即.

易知平面BCD的一個法向量為〃=(0,0,1),BE=(-，0,與］,=(-1,73,0).

設機=(x,y,z)是平面BDE的法向量,

42m

mBE=0,—xz--=--0-,

則所以33

m?BD=0,—x+^3y=0.

J32'垂＞工、

令x=1,則>=——，z=—,所以加=1,

3m3，m,

2_

由二面角的大小為。，可得上。|=皿包

E—C600560,m=-,解得

\m\\n\C142

1+-+—T

3m2

m=3.

11l

所以三棱錐A—BCD的體積為±XL><2XGX3=G.

32

若選①③作為條件，證明②成立.

因為三棱錐A-BCD的體積為君,

11-

所以—X—x2xgxm=6，解得冽=3,即A(0,0,3).

32

又因為C￡=2EA,所以《一，。司.

易知平面BCD的一個法向量為〃=(0,0,1),BEJ—g,0,2)BD=(-l,A0).

設相=(x,y,z)是平面3DE的法向量，

f4

rm-BE—0,—%+2z=0,

則r即3

W?加=0,[_+8=0.

令》=1,則>=立，z=2,所以加=[走,2.

-33133)

設二面角E-8D-C的大小為6,

2

則|cos0\=回且=?3=1,則二面角后―m―C的大小為60°.

\m\\n\142

4/n—I—

V39

若選②③作為條件，證明①成立.

又C(—1,0,0),所以AC=(—1,0,-3).

設E(x,y,z).不妨設AE=2AC(O<A<1),則(x,y,z—3)=2(-1,0,-3),

所以E(—40,—32+3).

易知平面BCD的一個法向量為〃=(0,0,1),BE=(-2-1,0,-32+3),BD=(-1,73,0).

設機=(x,y,z)是平面BDE的法向量，

n.m-BE=0,f(-/t-l)x+(3-3A)z=0,

則〈即〈i-

m-BD=0,—x+yj3y=0.

當4=1時，二面角￡—&)—C的大小為0。，不合題意，所以0<2<1.

令％=i,則>=走，z=4±L,所以小=.

■33-32(33-32J

設二面角E-BD-C的大小為，，

則|cos昨回星=,

\m\\n\,9(1-2)2+3(1—4)2+(1+為22

解得2=3(舍去)或彳=!，

3

所以CE=2EA.

16.答案：(1)證明見解析；

。、3萬

(2)---;

14

⑶*

解析：(1)設CPDE=G,連接尸G,四邊形PDCE為矩形，二G為PC中點，又F為

中點，

AC//FG,又bGu平面DEF,4。.平面￡>石尸，，AC〃平面OEF.

⑵以D為坐標原點，D4,DC,DP正方向為x,y,z軸，

可建立如圖所示空間直角坐標系，

則A(1,O,O),8(1,L0),C(0,2,0),P(0,0,V2),E(0,2,0)

BC=(-1,1,0),CP=(0,-2,⑹，AE=(-1,2,72)

設平面BCP的法向量〃=(%,y,z),

BC-n=-x+y=0

,令y=l,解得:x=l,z=亞,;.”=(1,1,后)；

CP-n--2y+A/2Z=0

■“_3幣

設直線AE與平面5c尸所成角為0sin。=cos

網(wǎng)..「14

則直線AE與平面6cp所成角正弦值為地.

14

⑶PA=(l,0,-V2),設PF=2總=(尢0,—&),/Ie[0,1]

由平面BCP的法向量〃=(1,1,0),

\PF-n\DIi

點R到平面5cp的距離d=^^=U=—.

n26

解得4」，

3

所以田=；網(wǎng)=#.

17.答案：（1）證明見解析；L

8

（2）昱

14

解析：（1）設ACBD=F，連接所，

△ABD為底面圓。的內(nèi)接正三角形，

君

--Ac=—^=2,歹為3D中點，

sin—

3

又AR=J3--=-，

V42

313

CF=2——=—，AO=-AF=1;

222

?：AE=6，CE=1，：.AE~+CE-=AC^..AE_LEC，

AFAE

——=——，:△AEFs^ACE，:.NAFE=NAEC，/.EFAC；

AEAC

PO,平面AB。，POu平面PAC，二平面PAC，平面ABD，

平面PAC平面ABD=AC，￡Fu平面PAC，;.EF，平面ABD，

又口面ABD，EFLBD，

又3D，AC，EF\AC=F助上面人石。，又AEu面AEC，

所以BDLAE

又POL平面ABD，EF//PO

PO<Z平面5DE，EFu平面5DE，,PO〃平面5DE；

R為BD中點，:.AF±BD，BPOF±BD>

又EF_L平面ABD，平面，。尸,8。<=平面48。，；.所，0尸，EFLBD，

EF\BD=F，ERBOu平面.?.OF_L平面應）石，

EF=yjAE--AF-=J3--=—>EF1BD，

V42

'''S^BDE=：BD,EF=g義粗X號=：,

X(?F=-AF=-?PO〃平面5DE，

22

1/_TZ_1c"_1311

--VP-BDE=VO-BDE=G3vABDE'O￡=_XTXT=-"

J34Zo

(2)OF=CF=-，；.R為OC中點，又POIIEF，

2

；.E為尸C中點，PO=2EF，

:.PO=6,PC=2-

以尸為坐標原點，F(xiàn)B,EC，F(xiàn)E正方向為無，必z軸，可建立如圖所示空間直角坐標

系,

,0,0

AE=0,|,y^,OP=(0,0,g)，

=,--,0DA=

22J

設°河=20/＞=(0,0,后)(0＜；1(1)，

:.DM=DO+OM=

5'

設平面的法向量〃=(x,y,z)，

貝UABn=^-x+—y=0

22

則AE-n=—y+z=0

22

令y=-l,解得：x