2025高考數(shù)學專項復習：統(tǒng)計概率大題歸類（含答案）

2025局考數(shù)學專項復習統(tǒng)計概率大

題歸類含答案

概率統(tǒng)計與分布列大題歸類

------------------------------------------------------------------------°0------------------------------------------------------------------------

題型一：非線性回歸型

題型二:數(shù)據(jù)調(diào)整型

題型三：殘差型

題型四：相關(guān)系數(shù)型

題型五：二項分布型

題型六:超幾何分布

題型七：正態(tài)分布型

題型八：下棋與比賽型分布列

題型九:數(shù)列遞推型：馬爾科夫鏈

題型十：數(shù)列遞推型：傳球模式

題型十一：多線程多人比賽型

題型十二:跳棋模式分布列

題型十三:分布列導數(shù)計算求最值

題型十四：新高考分布列型第19題

題型十五:分布列綜合

題型一非線性回歸型

1.（24-25高三上?四川眉山?階段練習）臺州是全國三大電動車生產(chǎn)基地之一，擁有完整的產(chǎn)業(yè)鏈和突出

的設(shè)計優(yōu)勢.某電動車公司為了搶占更多的市場份額，計劃加大廣告投入、該公司近5年的年廣告費力,

（單位:百萬元）和年銷售量%（單位:百萬輛）關(guān)系如圖所示:令電=ln&（i=l,2,…⑸，數(shù)據(jù)經(jīng)過初步處

理得：

本年銷售量（百萬輛）

4

2

0

8

6

4

2

0IIII?1A

123456

年廣告費（百萬元）

5555555

iyi方3-萬）2

瑞-可22他一口（納一訪2（僅一萬）3一萬）

1=1i=l￡=1i=l2=12=12=1

444.81040.31.61219.58.06

現(xiàn)有①夕=bx+a和②y=nlnx+m兩種方案作為年銷售量y關(guān)于年廣告費比的回歸分析模型，其

中a,b,%均為常數(shù).

（1）請從相關(guān)系數(shù)的角度，分析哪一個模型擬合程度更好？

（2）根據(jù)（1）的分析選取擬合程度更好的回歸分析模型及表中數(shù)據(jù)，求出"關(guān)于2的回歸方程，并預測

年廣告費為6（百萬元）時，產(chǎn)品的年銷售量是多少？

2.（23-24高二下?河北石家莊?階段練習）網(wǎng)絡直播帶貨助力鄉(xiāng)村振興，它作為一種新穎的銷售土特產(chǎn)的

方式,受到社會各界的追捧.某直播間開展地標優(yōu)品帶貨直播活動,其主播直播周期次數(shù)M其中io場

為一個周期）與產(chǎn)品銷售額y（千元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下：

直播周期數(shù)工12345

產(chǎn)品銷售額水千元）37153040

根據(jù)數(shù)據(jù)特點，甲認為樣本點分布在指數(shù)型曲線"=2近+。的周圍，據(jù)此他對數(shù)據(jù)進行了一些初步處

理.如下表：

55555

匯冠WX筑Z^XiZi區(qū)（功-療（仇-。）2

i=li=li—1i=li=l

3.75538265978101

1、

其中包=10g2%,。Z=—^Zi

5M

（1）請根據(jù)表中數(shù)據(jù)，建立夕關(guān)于①的回歸方程；

（2）乙認為樣本點分布在直線y=+n的周圍，并計算得回歸方程為。=9.7刀一10.1,以及該回歸模

型的相關(guān)指數(shù)蹬=0.98,試比較甲、乙兩人所建立的模型，誰的擬合效果更好？（&精確到0.01）

附:對于一組數(shù)據(jù)（%,％）,（物,外），…，（外,”“），其回歸直線v=a+^u的斜率和截距的最小二乘估計

匯3一研（以一五）Za）?

分別為￡=上J----------,&=V-的，相關(guān)指數(shù)：&=1—胃-------.

—日）22（5萬）2

i=li=l

3.（24-25高三上?福建泉州?階段練習）一只藥用昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)y與一定范圍內(nèi)的溫度比有關(guān),現(xiàn)收集了

該種藥用昆蟲的6組觀測數(shù)據(jù)如下表:

溫度x/°C212324272932

產(chǎn)卵數(shù)g/個61120275777

1616666

經(jīng)計算得：X=—2^=26,y==33,Z（傷-下）（納一可）=557,Z儂-5丫=84,工（仇一可2=

Oi=lOi=li=l￡=1?=1

6

3930,線性回歸模型的殘差平方和2（%一。）2=236.64?06。5七3167,其中◎，仍分別為觀測數(shù)據(jù)中的

1=1

溫差和產(chǎn)卵數(shù)，i=123,4,5,6.

（1）若用線性回歸方程，求"關(guān)于2的回歸方程5=應+&（精確到o.1）；

（2）若用非線性回歸模型求得夕關(guān)于c回歸方程為y=0.06《23則,且相關(guān)指數(shù)&=0.9522.

⑴試與⑴中的回歸模型相比，用&說明哪種模型的擬合效果更好.

（W）用擬合效果好的模型預測溫度為35°。時該種藥用昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)（結(jié)果取整數(shù)）.

附:一組數(shù)據(jù)（刈,%）,（灰，紡），…，（四，%），其回歸直線y=bx+a的斜率和截距的最小二乘估計為b=

nn

t=12

n-----------,a=y—bx；^關(guān)指數(shù)7?=1-胃-------------.

22

X（x{-x）E（y（-y）

i=l4=1

4.（2023?四川?模擬預測）下表是某工廠記錄的一個反應器投料后，連續(xù)8天每天某種氣體的生成量（L）：

日期代碼，12345678

生成的氣體“（乙）481631517197122

為了分析該氣體生成量變化趨勢、工廠分別用兩種模型:①0=b/+a,②9=d/+c對變量c和夕的

關(guān)系進行擬合，得到相應的回歸方程并進行殘差分析,殘差圖如下：

888

注:殘差心=例一“經(jīng)計算得2出一可（納一9）=728,2（0一蕾=42,2（&—可（少一方）=6868,

i=li=l

8-18

⑴根據(jù)殘差圖、比較模型①，模型②的擬合效果，應該選擇哪個模型？并簡要說明理由；

（2）根據(jù)（1）問選定的模型求出相應的回歸方程（系數(shù)均保留兩位小數(shù)）；

（3）若在第8天要根據(jù)（2）問求出的回歸方程來對該氣體生成量做出預測，那么估計第9天該氣體生成

量是多少？（精確到個位）

8

Z（為一動（勿一歹）

附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：6=------------------,a=y-bx.

目（色-可,

題型二

5.（24-25高二上.陜西.開學考試）某校高一年級有男生200人，女生100人.為了解該校全體高一學生

的身高信息，按性別比例進行分層隨機抽樣，抽取總樣本為30的樣本，并觀測樣本的指標價（單位:

cm）,計算得男生樣本的身高平均數(shù)為169,方差為39.下表是抽取的女生樣本的數(shù)據(jù)；

抽取次序12345678910

身高155158156157160161159162169163

記抽取的第i個女生的身高為g（i=l,2,3,…，10）,樣本平均數(shù)元=160,方差S2=15.

參考數(shù)據(jù)：，IK-3.9,1592=25281,1692=28561.

（1）若用女生樣本的身高頻率分布情況代替該校高一女生總體的身高頻率分布情況，試估計該校高一

女生身高在［160,165］范圍內(nèi)的人數(shù)；

（2）用總樣本的平均數(shù)和標準差分別估計該校高一學生總體身高的平均數(shù)〃和標準差必求〃，”的值;

（3）如果女生樣本數(shù)據(jù)在2s,5+2s）之外的數(shù)據(jù)稱為離群值，試剔除離群值后，計算剩余女生樣本

身高的平均數(shù)與方差.

6.（23-24高一下?福建南平?期末）某校高一年級有男生200人，女生100人.為了解該校全體高一學生

的身高信息，按性別比例進行分層隨機抽樣,抽取總樣本量為30的樣本，并觀測樣本的指標值（單位：

cm）,計算得男生樣本的身高平均數(shù)為169,方差為39.下表是抽取的女生樣本的數(shù)據(jù)：

抽取次序12345678910

身高155158156157160161159162169163

記抽取的第i個女生的身高為電（i=L2,3,…,10）,樣本平均數(shù)元=160,方差52=右2。一葉=

1Ui=i

參考數(shù)據(jù)：V15?3.9,1592=25281,1692=28561.

（1）若用女生樣本的身高頻率分布情況代替該校高一女生總體的身高頻率分布情況，試估計該校高一

女生身高在［160,165］范圍內(nèi)的人數(shù)；

（2）如果女生樣本數(shù)據(jù)在（歷-2s,Q+2s）之外的數(shù)據(jù)稱為離群值，試剔除離群值后，計算剩余女生樣本

身高的平均數(shù)與方差；

（3）用總樣本的平均數(shù)和標準差分別估計該校高一學生總體身高的平均數(shù)〃和標準差叫求”的值.

7.（22-23高二?全國?課后作業(yè)）為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗員每隔30min從該

生產(chǎn)線上隨機抽取一個零件，并測量其尺寸（單位：cm）做好記錄.下表是檢驗員在一天內(nèi)依次抽取

的16個零件的尺寸：

抽取次序12345678

零件尺寸（cm）9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04

抽取次序910111213141516

零件尺寸（cm）10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95

經(jīng)計算得x=卡々?=9.97,s=，擊與⑶-竊=，擊（與域—16歹）70.212,J5（i—8.5）%

16

18.439,2（色—動（i—8.5）=—2.78,其中為為抽取的第i個零件的尺寸（i=1,2,…，16）.

i=l

（1）求（外i）（i=l,2,…,16）的相關(guān)系數(shù)度，并回答是否可以認為這一天生產(chǎn)的零件尺寸不隨生產(chǎn)過程

的進行而系統(tǒng)地變大或變小（若加V0.25,則可以認為零件的尺寸不隨生產(chǎn)過程的進行而系統(tǒng)地變大

或變?。?；

（2）一天內(nèi)抽檢的零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在3s,行+3s）之外的零件,就認為這條生產(chǎn)線在這一天

的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查.

①從這一天抽檢的結(jié)果看，是否需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查？

②在（5-3s高+3s）之外的數(shù)據(jù)稱為離群值,試剔除離群值，估計這條生產(chǎn)線當天生產(chǎn)的零件尺寸的

均值與標準差.（精確到0.01）

8.（20-21高二上?山東德州?期末）某市政府針對全市10所由市財政投資建設(shè)的企業(yè)進行了滿意度測

評，得到數(shù)據(jù)如下表：

企業(yè)abcdef9hi3

滿意度對％）21332420252124232512

投資額貝萬元）79868978767265625944

（1）求投資額y關(guān)于滿意度x的相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）;

⑵約定:投資額"關(guān)于滿意度力的相關(guān)系數(shù)度的絕對值在0.7以上（#0.7）是線性相關(guān)性較強,否則，

線性相關(guān)性較弱.如果沒有達到較強線性相關(guān),則根據(jù)滿意度“末位淘汰”規(guī)定，關(guān)閉滿意度最低的那

一所企業(yè),求關(guān)閉此企業(yè)后投資額夕關(guān)于滿意度2的線性回歸方程（精確到0.1）.

io//io\/iorio

參考數(shù)據(jù)：了=22.8,虧=71,〉2與一10二7248,J匯曷一10元2Z姆—10丁卜643.7,〉2t加一1°西

i=lN'i=l八i=l'i=l

=406,2282=51984,228x71=16188.

附:對于一組數(shù)據(jù)（陽仇），（狽統(tǒng)），…，（4,外），其回歸直線？=標+a的斜率和截距的最小二乘估計

n

>,x例「ri西^xtyi-nxy

i=l

公式分別為：6=三---------,d—y—bx.線性相關(guān)系數(shù)『

^Xi-nx2

^—nx2

i=l

9.（23-24高三上?湖南衡陽?階段練習）為了加快實現(xiàn)我國高水平科技自立自強，某科技公司逐年加大高

科技研發(fā)投入.下圖1是該公司2013年至2022年的年份代碼x和年研發(fā)投入式單位：億元）的散點

圖，其中年份代碼1?10分別對應年份2013?2022.

根據(jù)散點圖,分別用模型①v=bc+a,②y=c+d益作為年研發(fā)投入,（單位：億元）關(guān)于年份代碼T

的經(jīng)驗回歸方程模型,并進行殘差分析,得到圖2所示的殘差圖.結(jié)合數(shù)據(jù),計算得到如下表所示的一

些統(tǒng)計量的值：

10101010_

yt卒T工（VL3）（期一研工（仇一歹）（&-9

i=l2=1i=\2=1

752.2582.54.512028.35

表中ti=y/xt,t=

LUi=i

（1）根據(jù)殘差圖，判斷模型①和模型②哪一個更適宜作為年研發(fā)投入式單位:億元）關(guān)于年份代碼c的

經(jīng)驗回歸方程模型？并說明理由；

（2）（i）根據(jù)⑴中所選模型，求出y關(guān)于①的經(jīng)驗回歸方程；

（ii）設(shè)該科技公司的年利潤L（單位:億元）和年研發(fā)投入9（單位:億元）滿足L=（111.225—u）G（cC

N*且①C[1,20]）,問該科技公司哪一年的年利潤最大？

附:對于一組數(shù)據(jù)（如幼），（必2,紡），…其經(jīng)驗回歸直線3=&+%的斜率和截距的最小二乘

n

2（為一動（仇一百）

估計分別為6=三二----------，a=y-bx.

10.（22-23高三下?廣西防城港?階段練習）某互聯(lián)網(wǎng)公司為了確定下季度的前期廣告投人計劃，收集了

近6個月廣告投入量以單位：萬元）和收益9（單位：萬元）的數(shù)據(jù)如表：

月份123456

廣告投入量24681012

收益14.2120.3131.831.1837.8344.67

他們用兩種模型①-bx+a,?y=ae^分別進行擬合，得到相應的回歸方程并進行殘差分析，得到

如圖所示的殘差圖及一些統(tǒng)計量的值.

66

Z①iVi

Xy匯點

i=li=l

7301464.24364

（1）根據(jù)殘差圖，比較模型①，②的擬合效果，應選擇哪個模型擬合？并說明理由;

（2）殘差絕對值大于2的數(shù)據(jù)被認為是異常數(shù)據(jù)，需要剔除.

⑴剔除異常數(shù)據(jù)后求出⑴中所選模型的回歸方程；

（而）若廣告投入量刀=18時，（1）中所選模型收益的預報值是多少？

附:對于一組數(shù)據(jù)（◎,%）,（芯,紡），…，（彩,外），其回歸直線y=bx+a的斜率和截距的最小二乘估計分

TI71

￡（叫一研@一研^x^-nx-y

別為：B=上J----------=三---------,&=y-bx

f-可2^Xf-nx2

i=li=l

11.（20—21高二下.湖北孝感?期末）“金山銀山不如綠水青山；綠水青山就是金山銀山”.復興村借力“鄉(xiāng)

村振興”國策，依托得天獨厚的自然資源開展鄉(xiāng)村旅游.鄉(xiāng)村旅游事業(yè)蓬勃發(fā)展.復興村旅游協(xié)會記錄

了近八年的游客人數(shù)，見下表.

年份2013年2014年2015年2016年2017年2018年2019年2020年

年份代碼X12345678

游客人數(shù)次百人）481632517197122

為了分析復興村未來的游客人數(shù)變化趨勢，公司總監(jiān)分別用兩種模型對變量g和力進行擬合，得到了

相應的回歸方程,繪制了殘差圖.殘差圖如下（注:殘差總=仇-曲：

殘差

15

10

5

0

-5

-10

-15

細虛線為模型①，粗虛線為模型②

模型①y=bx2+a；模型②y=dx-\-c.

（1）根據(jù)殘差圖，比較模型①，②的擬合效果,應該選擇哪個模型？并簡要說明理由;

（2）根據(jù)（1）問選定的模型求出相應的回歸方程（系數(shù)均保留兩位小數(shù)）；

（3）根據(jù)（2）問求出的回歸方程來預測2021年的游客人數(shù).

[8

2

參考數(shù)據(jù)見下表:其中：Z=X,Z=—,^JZi

匯（@一可?（%一9）=728匯（g—W）2=42匯（包一可?（納一歲）=6868

匯（0—寸=35702>=204￡yi=400

〉2（為一元）?（%一]）

附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：6=上一-----------,d=y-bx

12.（2023全國?模擬）（本小題滿分12分）

為了研究黏蟲孵化的平均溫度M單位：°。）與孵化天數(shù)4之間的關(guān)系，某課外興趣小組通過試驗得到

如下6組數(shù)據(jù)：

組號123456

平均溫度15.316.817.41819.521

孵化天數(shù)16.714.813.913.58.46.2

他們分別用兩種模型①y=bx+a,?y=cedx分別進行擬合,得到相應的回歸方程并進行殘差分析,

得到如圖所示的殘差圖：

HMD

經(jīng)計算得了=17,y=13.5,Z◎仇=1297,Ex-=1774,

nn

⑴根據(jù)殘差圖，比較模型①，②的擬合效果，應選擇哪個模型？（給出判斷即可，不必說明理由）

（2）殘差絕對值大于1的數(shù)據(jù)被認為是異常數(shù)據(jù)，需要剔除,剔除后應用最小二乘法建立“關(guān)于c的線

性回歸方程.（精確到0.1）

相關(guān)系數(shù)型

13.（2023?重慶沙坪壩?模擬預測）黨的二十大報告提出：“必須堅持科技是第一生產(chǎn)力、人才是第一資源、

創(chuàng)新是第一動力，深入實施科教興國戰(zhàn)略、人才強國戰(zhàn)略、創(chuàng)新驅(qū)動發(fā)展戰(zhàn)略，開辟發(fā)展新領(lǐng)域新賽

道，不斷塑造發(fā)展新動能新優(yōu)勢.”某數(shù)字化公司為加快推進企業(yè)數(shù)字化進程，決定對其核心系統(tǒng)

OAP,采取逐年增加研發(fā)人員的辦法以提升企業(yè)整體研發(fā)和創(chuàng)新能力.現(xiàn)對2018~2022年的研發(fā)人數(shù)

作了相關(guān)統(tǒng)計（年份代碼1~5分別對應2018-2022年）如下折線圖：

2018-2022年研發(fā)人數(shù)折線圖

600-------------------------------------------------

500-----------------------------------------------

400--------------------------------—

100—堡------------------------------

0-------------------------------------------------

12345

（1）根據(jù)折線統(tǒng)計圖中數(shù)據(jù),計算該公司研發(fā)人數(shù)y與年份代碼X的相關(guān)系數(shù)度,并由此判斷其相關(guān)性

的強弱；

（2）試求出y關(guān)于T的線性回歸方程,并預測2023年該公司的研發(fā)人數(shù)（結(jié)果取整數(shù)）.

_5

參考數(shù)據(jù)：一（%—刃2=54944,“549440"741.2當|r|G[0.75,1]認為兩個變量間的相關(guān)性較強

1=1

研（y「研

參考公式:相關(guān)系數(shù)/口,，

r=/n/n

、研7請

Vi=lVi=l

n

%）y）

回歸方程少=應+3中的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為b=上y-----------，石=萬一

之⑶-前

i=l

bx.

14.（22-23高三上?河南?期末）隨著電池充電技術(shù)的逐漸成熟，以鋰電池為動力的新一代無繩類電動工具

以其輕巧便攜、工作效率高、環(huán)保、可適應多種應用場景下的工作等優(yōu)勢，被廣泛使用.在消費者便攜

無繩化需求與技術(shù)發(fā)展的雙重驅(qū)動下，鋰電類無繩電動工具及配套充電器市場有望持續(xù)擴大.某公司

為適應市場并增強市場競爭力，逐年增加研發(fā)人員，使得整體研發(fā)創(chuàng)新能力持續(xù)提升，現(xiàn)對

2017-2021年的研發(fā)人數(shù)作了相關(guān)統(tǒng)計，如下圖：

2017-2021年公司的研發(fā)人數(shù)情況（年份代碼1~5分別對應2017?2021年）

（1）根據(jù)條形統(tǒng)計圖中數(shù)據(jù),計算該公司研發(fā)人數(shù)y與年份代碼X的相關(guān)系數(shù)r,并由此判斷其相關(guān)性

的強弱；

（2）試求出y關(guān)于T的線性回歸方程,并預測2023年該公司的研發(fā)人數(shù).（結(jié)果取整數(shù)）

5研（仇一研

參考數(shù)據(jù)：E（%—可丫=55960,V1399?37.4.參考公式:相關(guān)系數(shù)r=「~.

1（◎-浮,\￡（仇-斤

V?=1Vi=l

匯⑶一可（t/j—y）

線性回歸方程的斜率b=上y----------，截距&=虧一bx.附：

￡（工廠行）2

i=l

M[0,0.25][0.30,0.75)[0.75,1]

相關(guān)性弱一般強

15.（2021?云南?模擬預測）西尼羅河病毒（WW）是一種腦炎病毒，SV通常是由鳥類攜帶，經(jīng)蚊子傳播

給人類.1999年8-10月，美國紐約首次爆發(fā)了皿NU腦炎流行.在治療上目前尚未有什么特效藥

可用，感染者需要采取輸液及呼吸系統(tǒng)支持性療法，有研究表明，大劑量的利巴韋林含片可抑制

WAV的復制，抑制其對細胞的致病作用.現(xiàn)某藥企加大了利巴韋林含片的生產(chǎn),為了提高生產(chǎn)效率,

該藥企負責人收集了5組實驗數(shù)據(jù)，得到利巴韋林的投入量M千克）和利巴韋林含片產(chǎn)量9（百盒）的

統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下：

投入量，（千克）12345

產(chǎn)量以百盒）1620232526

由相關(guān)系數(shù)「可以反映兩個變量相關(guān)性的強弱，HG[0.75,1],認為變量相關(guān)性很強；加G[0.3,

0.75],認為變量相關(guān)性一般；|r|€[0,0.25],認為變量相關(guān)性較弱.

（1）計算相關(guān)系數(shù)度,并判斷變量小“相關(guān)性強弱；

⑵根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于C的線性回歸方程0=bx+G；為了使某組利巴韋林含片產(chǎn)量達到

150百盒，估計該組應投入多少利巴韋林？

555

參考數(shù)據(jù)：V660?25.69,22(^-^)(%-y)=25,22=10,22(^-y)2=66.

1=1i=li=l

n

(少一))

參考公式:相關(guān)系數(shù)丁="，線性回歸方程。=標+a中，B=

、伯3廠前/￡(%―療

V?=1Vi=l

〉2(@一云)(依一百)

i=l八一侖一

---------------------,Q=y-bx.

-前

i=l

16.（2022高二?全國?專題練習）某數(shù)學小組從氣象局和醫(yī)院分別獲得了2021年1月至2021年6月每月

20日的晝夜溫差以單位：。C,c>3）和患感冒人數(shù)少的數(shù)據(jù)，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫出如圖所示的折線

圖.

（1）求"與①之間的相關(guān)系數(shù)小,并判斷"與re的相關(guān)性的強弱（上J>0.8時,認為g與z高度相關(guān),

即認為y與c的相關(guān)性很強）；

（2）建立y關(guān)于c的回歸直線方程（回歸系數(shù)的結(jié)果精確到0.01），并預測晝夜溫差為4℃時患感冒的

人數(shù).

66/~6

參考數(shù)據(jù)：2?=54.9,2（?—可（少一歹）=94,JZ（g—可2=6,V7=2.646.

i=li=lVi=l

_n_

￡（x「研（功-9）

參考公式:相關(guān)系數(shù)度叫=一/底'=1_/'■在回歸直線方程3=BC+（￡,b=

叭年（功-斤

Vi=lVi=l

n

Z（x「研（y「研

-i-1----------,a八=__y一-bx￡.-

-前

?=1

題型五項分布型

17.（24-25高三上?云南昆明?期中）一項沒有平局的對抗賽分為兩個階段，參賽者在第一階段中共參加2

場比賽，若至少有一場獲勝，則進入第二階段比賽，否則被淘汰，比賽結(jié)束;進入第二階段比賽的參賽

者共參加3場比賽.在兩個階段的每場比賽中，獲勝方記1分,負方記0分，參賽者參賽總分是兩個階

段得分的總和，若甲在第一階段比賽中每場獲勝的概率都為p(OVpVl),在第二階段比賽中每場獲勝

的概率都為[，每場比賽是否獲勝相互獨立.已知甲參賽總分為2分的概率為2.(1)求目；

(2)求甲參賽總分X的分布列和數(shù)學期望.

18.(中學生標準學術(shù)能力診斷性測試2024-2025學年高三上學期10月測試數(shù)學試卷)乒乓球比賽有兩

種賽制，其中就有“5局3勝制”和“7局4勝制”，“5局3勝制”指5局中勝3局的一方取得勝利，”局4

勝制”指7局中勝4局的一方取得勝利.

(1)甲、乙兩人進行乒乓球比賽,若采用5局3勝制，比賽結(jié)束算一場比賽，甲獲勝的概率為0.8；若采用

7局4勝制，比賽結(jié)束算一場比賽，甲獲勝的概率為0.9.已知甲、乙兩人共進行了巾(meN*)場比賽，

請根據(jù)小概率值a=0.。10的氏2獨立性檢驗,來推斷賽制是否對甲獲勝的場數(shù)有影響.

(2)若甲、乙兩人采用5局3勝制比賽，設(shè)甲每局比賽的勝率均為p,沒有平局?記事件“甲只要取得3

局比賽的勝利比賽結(jié)束且甲獲勝”為4事件“兩人賽滿5局，甲至少取得3局比賽勝利且甲獲勝”為

試證明：P(A)=F(B).

(3)甲、乙兩人進行乒乓球比賽，每局比賽甲的勝率都是p(p>0.5),沒有平局.若采用“賽滿2n—1

局,勝方至少取得n局勝利”的賽制，甲獲勝的概率記為P[n}.若采用“賽滿2八+1局,勝方至少取得

n+1局勝利”的賽制，甲獲勝的概率記為P(n+1),試比較P(n)與P[n+1)的大小.

0.050.0250.010

k03.8415.0246.635

19.(2024?廣東廣州?模擬預測)在某地區(qū)進行高中學生每周戶外運動調(diào)查，隨機調(diào)查了1000名高中學生戶

外運動的時間(單位：小時)，得到如下樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖.

頻率

組距

0.05

0.04

0.03

0.02

0.01

1012141618時間（小時）

(1)求a的值,估計該地區(qū)高中學生每周戶外運動的平均時間；(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表)

(2)為進一步了解這1000名高中學生戶外運動的時間分配，在(14,16],(16,18]兩組內(nèi)的學生中，采用

分層抽樣的方法抽取了5人，現(xiàn)從這5人中隨機抽取3人進行訪談,記在（14,16］內(nèi)的人數(shù)為X,求X

的分布列和期望；

（3）以頻率估計概率，從該地區(qū)的高中學生中隨機抽取8名學生，用“區(qū)（乃”表示這8名學生中恰有R

名學生戶外運動時間在（8,10］內(nèi)的概率，當區(qū)作）最大時，求k的值.

20.（24-25高二上?黑龍江哈爾濱?階段練習）如圖，在研究某種粒子的實驗裝置中，粒子從4腔室出發(fā),

到達C腔室,粒子從A室經(jīng)過1號門進入B室后，等可能的變?yōu)樯闲蛳滦隣顟B(tài),粒子從B室經(jīng)過2

號門進入。室后，粒子的旋轉(zhuǎn)狀態(tài)發(fā)生改變的概率為1.粒子間的旋轉(zhuǎn)狀態(tài)相互獨立.現(xiàn)有兩個粒子

從A室出發(fā).

~^4~I~B~|~~C~

高2苛］

（1）求兩粒子進入。室都為上旋狀態(tài)的概率；

（2）若實驗裝置出現(xiàn)故障，兩個粒子進入。室后，共裂變?yōu)閙個粒子,裂變后的每個粒子再經(jīng)過2號門

返回B室的概率為|■，各粒子返回B室相互獨立.

①小=4時，寫出返回B室的粒子個數(shù)X的分布列、期望、方差；

②小=30時，記有r個粒子返回B室的概率為/①），則r為何值時，/（r）取最大值.

趣幾何分布

21.（24-25高二下?全國?課后作業(yè)）第十四屆全國人民代表大會第一次會議于2023年3月5日上午召

開.某社區(qū)為了調(diào)查社區(qū)居民對該會議的關(guān)注度，隨機抽取了60名社區(qū)居民進行調(diào)查，并將結(jié)果繪

制成如圖所示的頻率分布直方圖.

+頻率/組距

0.07

0.06

0.05

0.04

0.03

0.02

0.01

30354045岸舲

（1）以頻率估計概率,若社區(qū)計劃從60名社區(qū)居民中，再次隨機抽取三人進行回訪，求至少有兩人的年

齡在區(qū)間［30,35）內(nèi)的概率；

（2）若［20,25）和［40,45］年齡段的所有居民對該會議的關(guān)注度都很高，社區(qū)準備從中抽取3人談談對

該會議的感受，設(shè)￡表示年齡段在［20,25）的人數(shù)，求0（7日+3）.

22.（22-23高三下?山東濟寧?開學考試）某市為進行學科能力競賽表彰，其中數(shù)學組、物理組獲獎情況如

下表,組委會為使活動有序進行，活躍會場氣氛,活動中穿插抽獎活動.并用分層抽樣的方法從兩個學

科組抽取15人在前排就座，其中物理組有5人.

數(shù)學組物理組

男生3020

女生30

（1）求數(shù)學組中女生的人數(shù)；

（2）若從前排就座的物理組5人中任選2人上臺領(lǐng)獎，設(shè)女生的人數(shù)為X,求女生人數(shù)X的分布列和數(shù)

學期望.

23.（24-25高二下?全國?課后作業(yè)）某校為了了解學情,對各學科的學習興趣作了問卷調(diào)查，經(jīng)過數(shù)據(jù)整

理得到下表：

語文興趣數(shù)學興趣英語興趣物理興趣化學興趣生物興趣

答卷份數(shù)350470380400300500

興趣良好頻率0.70.950.80.750.850.86

假設(shè)每份調(diào)查問卷只調(diào)查一科,各類調(diào)查是否達到良好的標準相互獨立.

（1）從收集的答卷中隨機選取一份,求這份試卷的調(diào)查結(jié)果是英語興趣良好的概率；

（2）從該校任選一位同學，試估計他在語文興趣良好、數(shù)學興趣良好、生物興趣良好方面，至少具有兩

科興趣良好的概率；

（3）按分層抽樣的方法從參與物理興趣和化學興趣調(diào)查的同學中抽取7人,再從這7人中抽取3人，記

3人中來自化學興趣的人數(shù)為〃，求〃的分布列和期望.

24.（24-25高三上?四川成都?階段練習）2024年7月26日，第33屆夏季奧林匹克運動會在法國巴黎正式

開幕.人們在觀看奧運比賽的同時,開始投入健身的行列.某興趣小組為了解成都市不同年齡段的市

民每周鍛煉時長情況，隨機從抽取200人進行調(diào)查,得到如下列聯(lián)表：

周平均鍛煉時長

年齡合計

周平均鍛煉時間少于F小時周平均鍛煉時間不少于4小時

50歲以下4060100

50歲以上（含50）2575100

合計65135200

（1）試根據(jù)a=0.05的小獨立性檢驗，分析周平均鍛煉時長是否與年齡有關(guān)？（/精確到0.001）；

（2）現(xiàn)從50歲以下的樣本中按周平均鍛煉時間是否少于4小時，用分層隨機抽樣法抽取5人做進一步

訪談,再從這5人中隨機抽取3人填寫調(diào)查問卷.記抽取3人中周平均鍛煉時間不少于4小時的人數(shù)

為X,求X的分布列和數(shù)學期望.

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

n(ad—bc)2

參考公式及數(shù)據(jù)：/，其中々=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

題型七正態(tài)分布型

25.(2024?山西長治?模擬預測)某汽車公司最新研發(fā)了一款新能源汽車,并在出廠前對100輛汽車進行了

單次最大續(xù)航里程(理論上是指新能源汽車所裝載的燃料或電池所能夠提供給車行駛的最遠里程)的

測試.現(xiàn)對測試數(shù)據(jù)進行整理，得到如下的頻率分布直方圖：

(1)估計這100輛汽車的單次最大續(xù)航里程的平均值雙同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表)；

(2)由頻率分布直方圖計算得樣本標準差s的近似值為49.75.根據(jù)大量的汽車測試數(shù)據(jù)，可以認為這

款汽車的單次最大續(xù)航里程X近似地服從正態(tài)分布,其中“近似為樣本平均數(shù)濟。近似為樣

本標準差S.

(i)利用該正態(tài)分布，求P(250.25<X<399.5)；

(ii)假設(shè)某企業(yè)從該汽車公司購買了20輛該款新能源汽車，記Z表示這20輛新能源汽車中單次最大

續(xù)航里程位于區(qū)間(250.25,399.5)的車輛數(shù)，求E(Z)；

參考數(shù)據(jù):若隨機變量￡服從正態(tài)分布則—a<￡<〃+Q=0.6827,

P(〃-2cr<g<〃+2cr)=0.9545,P(〃-3cr<g<〃+3cr)=0.99731.

(3)某汽車銷售公司為推廣此款新能源汽車,現(xiàn)面向意向客戶推出“玩游戲,送大獎”活動，客戶可根據(jù)

拋擲硬幣的結(jié)果，操控微型遙控車在非軸上從原點O出發(fā)向右運動，已知硬幣出現(xiàn)正、反面的概率都

y，客戶每擲一次硬幣，遙控車向右移動一次，若擲出正面,則遙控車向移動一個單位，若擲出反面,則

遙控車向右移動兩個單位，直到遙控車移到點(59,0)(勝利大本營)或點(60,0)(失敗大本營)時，游

戲結(jié)束，若遙控車最終停在“勝利大本營”，則可獲得購車優(yōu)惠券.設(shè)遙控車移到點(n,0)的概率為

■(1WnW6O),試證明數(shù)列｛2—是等比數(shù)列(2WnW59),求出數(shù)列｛2｝(lWnW60)的通項公

式，并比較區(qū)9和%的大小.

26.(24-25高三上?廣西貴港?開學考試)為了研究學生的性別和是否喜歡跳繩的關(guān)聯(lián)性，隨機調(diào)查了某

中學的100名學生，整理得到如下列聯(lián)表：

男學生女學生合計

喜歡跳繩353570

不喜歡跳繩102030

合計4555100

（1）依據(jù)a=0.1的獨立性檢驗，能否認為學生的性別和是否喜歡跳繩有關(guān)聯(lián)？

（2）已知該校學生每分鐘的跳繩個數(shù)X?N（170,100）,該校學生經(jīng)過訓練后，跳繩個數(shù)都有明顯進步.

假設(shè)經(jīng)過訓練后每人每分鐘的跳繩個數(shù)都增加10,該校有1000名學生，預估經(jīng)過訓練后該校每分鐘

的跳繩個數(shù)在［170,200］內(nèi)的人數(shù)（結(jié)果精確到整數(shù)）.

n(ad-bc)2

附：/，其中7i=a+b+c+d.

(Q+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.10.050.01

2.7063.8416.635

若X~N(〃,4),則P(〃一+G七0.6827,P(〃-2b<X<〃+2(7)七0.9545,

—+心0.9973.

27.（2024.遼寧?模擬預測）某工廠為了提高精度，采購了一批新型機器，現(xiàn)對這批機器的生產(chǎn)效能進行測

試，對其生產(chǎn)的第一批零件的內(nèi)徑進行測量，統(tǒng)計繪制了如下圖所示的頻率分布直方圖.

小頻率

3.5----------------------

3.0---------------------------

a-----------

1.0------------

。廿日…卜+

o2.352.452.552.652.L752.85內(nèi)徑A/mm

（1）求a的值以及這批零件內(nèi)徑的平均值x和方差si同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；

（2）以頻率估計概率，若在這批零件中隨機抽取4個,記內(nèi)徑在區(qū)間［2.45,2.55）內(nèi)的零件個數(shù)為Z,求

Z的分布列以及數(shù)學期望；

（3）已知這批零件的內(nèi)徑X（單位：mm）服從正態(tài)分布NQd），現(xiàn)以頻率分布直方圖中的平均數(shù)元作

為〃的估計值，頻率分布直方圖中的標準差s作為a的估計值,則在這批零件中隨機抽取200個，記內(nèi)

徑在區(qū)間［2.285,2.705］上的零件個數(shù)為V,求V的方差.

參考數(shù)據(jù)：，Oil七0.105,若X?則p（〃一+Q七0.6827,P（〃—2aWXW〃+2c）

70.9545,—+70.9973.

28.（2024?福建龍巖?三模）某企業(yè)對某品牌芯片開發(fā)了一條生產(chǎn)線進行試產(chǎn).其芯片質(zhì)量按等級劃分為五

個層級，分別對應如下五組質(zhì)量指標值：［45,55）,［55,65）,［65,75）,［75,85）,［85,95］.根據(jù)長期檢測結(jié)

果，得到芯片的質(zhì)量指標值X服從正態(tài)分布并把質(zhì)量指標值不小于80的產(chǎn)品稱為A等品，

其它產(chǎn)品稱為R等品.現(xiàn)從該品牌芯片的生產(chǎn)線中隨機抽取100件作為樣本，統(tǒng)計得到如圖所示的頻

率分布直方圖.

(1)根據(jù)長期檢測結(jié)果,該芯片質(zhì)量指標值的標準差s的近似值為11,用樣本平均數(shù)了作為〃的近似

值,用樣本標準差s作為。的估計值.若從生產(chǎn)線中任取一件芯片，試估計該芯片為A等品的概率(保

留小數(shù)點后面兩位有效數(shù)字)；

(①同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表；②參考數(shù)據(jù):若隨機變量e服從正態(tài)分布,則